Transcript 第四章1
第四章 转动参考系 知识要用心体会，才能变成自己的智慧。 第四章 §1 平面转动参考系 研究点(动点)相对不同参考坐标系（定系和 动系）运动之间的关系。 定参考系 Z z P：动点 动参考系 p y 行吊机 o X x 第四章 Y 相对运动基本定义 绝对运动 — 动点对于定参考系的运动 相对运动 — 动点对于动参考系的运动 牵连运动 — 动参考系对于定参考系的运动 绝对运动和相对运动是点的运动，而牵连运 动是刚体的运动。 动系和定系的选取是人为的，“动” 和“定 ” 是相对的。 第四章 一、速度合成公式 R R0 r Z z v v 0 dr dt * d r v0 r v ve vr O X d r vr 是P点的相对速度 dt ve v0 r 是P点的牵连速度 第四章 r y o R0 x dt * R P Y 怎么理解速度合成公式呢？ v ve vr ve v0 r 牵连速度ve是动参考系（平面转动参考系）上与点P重 合的点(称为牵连点）的瞬时速度。 牵连速度 ve 也可以看成是在该瞬时将 P 点固结在 动参考刚体上，跟随动参考刚体一起运动时所具 有的速度，即受动参考刚体的拖带或牵连而产生 的速度。 点 P 的绝对速度包括两部分：点相对动参考刚体 的速度和被动参考刚体携带一起运动的速度。 第四章 实例分析 在岸上观察，舰以角速度 ω 作纵摇运动， 飞机沿甲板飞行。问： 当飞机未飞出甲板时v =？ e 当飞机已飞出甲板时v =？ e M C 岸 y ve o ve M x C 第四章 平面转动参考系特点： k 速度合成公式 r xi yj k P点相对于静止坐标系O-XYZ的速度： dr dx dy di dj v i jx y dt dt dt dt dt P点相对于动系的速度 Y y p x dj di i j , j i dt dt 简写成： 第四章 o Z P点的牵连速度 v ( x y)i ( y x) j X z P点为平板上运动 着的一个点 v v r 例1 已知直管以等角速度ω绕定轴 O转动。管中 质点P以等速度u沿管线运动。求OP ＝R/3和 OP＝R时，质点P对地面的速度。 直管 P u O 质点 第四章 解: 动点－P； 绝对运动－平面曲线； 定系－地面； 牵连运动－绕O轴的定轴 转动； 动系－直管； 相对运动－沿管线的等速 直线运动。 P PP P P O 第四章 解: OP ＝R/3时的速度 动点－P； 绝对速度 va ＝？ 定系－地面OXY； 相对速度 vr＝u 动系－直管oxy 牵连速度 ve＝(R ω /3) j Y y ve o O P, P1 va x vr R va ve vr ve j ui j ui 3 第四章 X OP ＝R 时的速度 动点－P 绝对速度 va＝？ 定系－地面OXY 动系－直管oxy 相对速度 vr ＝u＝ui 牵连速度 ve ＝(Rω) j y Y va x vr P X O P va ve vr ve j vr i Rj ui 第四章 二、加速度合成公式 v ( x y)i ( y x) j di dj a ( x y y )i ( y x x ) j ( x y ) ( y x) dt dt 2 xi yj ( xi yj ) ( yi xj ) 2 ( y i xj ) 各项的意义 1、a xi yj 相对加速度 2 2 2、 ( xi yj ) r 指向o点的加速度，向心加速度 3、 (yi xj ) r 由于平板作变角速度转动所引起 的加速度，切向加速度 第四章 牵 连 加 速 度 4、2 ( y i xj ) 2k v 2 v 称为科里奥利加速度 ？ 方向垂直于 与 v构成的平面，在平板平面内。 简称科氏加速度 a c y 2 v v x O 科里奥利 (G.G.Coriolis) 第四章 1792---1843 因此，绝对加速度为 2 a a r r 2 v a a ae ac 几点说明： 10牵连加速度的物理意义 牵连加速度 vt 是动参考系（刚体）上与点 P 重合的点（牵连 点）的瞬时加速度。 牵连加速度 vt 也可以看成是在该瞬时将 P 点固结在动参考刚 体上，跟随动参考刚体一起运动时所具有的加速度，即受动参 考刚体的拖带或牵连而产生的加速度。 0 2 s系中的观察者只能观测到 v 和a 无法区分 v 中的 v 和ve s‘系中的观察者只能观测到 v 和a 观测不到 v 、ve、a 、at 和ac 第四章 [例题2]一根直线 在 oxy 平面内以匀角速度ω绕O 转动，当直管位于ox的位置时，有一质点P 开始从o点沿该直线运动。欲使此点的绝对 速度v 的量值为常数，问此点应按何种规律 沿此直线运动？ x y y x O P 第四章 x 解： 动点－P； 绝对速度 va ＝v 定系－OXY； 相对速度 v’＝？ 动系－直管oxy 牵连速度 ve＝ω×r ve r k xi dx v i dt xj dx xj i dt y x v x ( ) 2 2 2 x y v ve v dx 2 dt 第四章 O P x dx 2 2 2 v x dt dx dt 2 2 2 v x v x ( ) 2 2 2 dx 2 dt 积分，得 x t dx dt t v x 0 x x arcsin 0 t v x sin t v 2 2 2 0 第四章 x v sin t [例题3] 设一圆盘以匀角速度 绕定轴Ｏ 顺时针转动，盘上圆槽内有一点M以 大小不变的速度 vr 沿槽作圆周运动， 那么M点相对于静系的绝对加速度应 是多少呢？ 第四章 选点M为动点，动系固结与圆盘上， 则M点的牵连运动为匀速转动 ve R, ae 2 R （方向如图） 相对运动为匀速圆周运动， 2 vr 有vr 常数, ar R （方向如图） 由速度合成定理可得出 va ve v r R v r 常数 即绝对运动也为匀速圆周运动，所以 va ( R vr ) vr 2 aa R 2vr R R R 方向指向圆心Ｏ点 2 2 2 第四章 §2 空间转动参考系 一般情况，参考系不是平面， 也不是固定方向， 其大小方向可以改变。 为简便计，暂时让转动坐标系s ′的原点o′与静止 坐标系s的原点o重合， 恒通过o点。 令 i , j , k 为s ′系上三个坐标轴上的单位矢量，故任意矢量 G Gx i G y j Gz k dG dG x dG y dG z di dj dk i j k Gx Gy Gz dt dt dt dt dt dt dt 绝对变化率 di d *G i G dt dt 相对变化率 牵连变化率 第四章 第四章 故质点P的绝对速度： * dr d r v r dt dt v v r 相对速度 牵连速度 质点P的绝对加速度： * * * * d r dv d v d d r ( r) ( r) a v dt dt dt dt dt * * * d r d d r d r r ( r ) dt dt dt dt 2* * d r d a 相对加速度 at r ( r ) 牵连加速度 dt dt 2* 第四章 d at r ( r ) dt * 牵连加速度 d d a d r ( r ) t dt dt dt * d r 科里奥利加速度 ac 2 2 v dt * a a at a c 第四章 如果s ′系以匀角速转动， d 0 加速度公式可简化 是恒矢量， dt 2 ( r ) ( r ) r r r cos 2 at (r cos ) r R M (OM ) 2 (OM MP) 2 OM ) 2 (OM MP) R 2 加速度可简化为 2 a a R 2 v 第四章 P r O 地球自转属于这种情况 作业： p.180-185 p.197：4.1）,4.2）4.3)。 第四章 例题4 在地球上北纬度为φ处，一辆汽车以匀速率vr沿经线自 北向南运动，地球半径为R，绕地轴的自转角速度为ω。不考虑 地轴在空中的平移，试求汽车的绝对速度和绝对加速度。 解： 相对运动—沿经线绕地心o 的圆周运动 动点－汽车； 定系－固联于某恒星； 动系－地球oxy v v r sin j v r cos k R R cos j R sin k 牵连运动—地球绕地轴转动 z z R ve R k ( R cos j R sin k ) R cos i 第四章 v R o v y x y v v ve R cos i vr sin j vr cos k v R 2 2 cos 2 v r2 v2r v2r 指向o点 a cos j sin k R R 2 2 at R R cos j ac 2 v 2k (vr sin j vr cos k 2v r sin i 2 v r2 v 2 r a 2v r sin i ( R ) cos j sin k R R 2 2 v v a (2v r sin ) 2 ( r R 2 ) 2 cos 2 ( r sin ) 2 R R 1 v r4 2 R 2 2 (1 sin 2 )v r2 R 4 4 cos 2 R 第四章 回顾 v v r d r v dt * 相对速度 牵连速度 a a at a c * d r d r a 相对加速度 ac 2 2 v 科里奥利加速度 dt dt * d at r ( r ) 牵连加速度 dt 2* 第四章 4.3)质点在旋转的圆锥母线槽内运动。 解：取如图所示的转动坐标系，经过时间t后质点自o点运动到M点时 ' v R v't sin 2 at R (Why ?) v' t sin j ac 2 ' 2k v' (cos k sin j ) 2 v' sin i a a ' at ac 2 2v' sin i v' t sin j 2 第四章 飞行员的黑晕与红视现象 由俯冲拉起时， 会由于脑失血而 “黑晕”，这是 为什么？ 第四章 飞行员在飞机爬升 转为俯冲的时候， 会由于脑充血而 “红视”，这又为 什么？ §3 一、 非惯性系动力学（二） 平面转动参考系 1、动力学方程 2 a a r r 2 v 2 两边同乘以m， ma ma m r m r 2m v F F惯性力 牛顿第二定律 相对加速度 第四章 2 ma ma m r m r 2m v 2、三种惯性力 Fet m r ：参考系作加速转动而引入的牵连的、切向惯性力 2 Fen m r ：参考系作转动而引入的法向惯性力，也叫 惯性离心力 FC 2m v F惯 m, ：参考系转动及质点对参考系又有相对运动 引起的力。科里奥利力。 是由于物体的惯性引起的，具有力的含义。 第四章 Note! 惯性力的方向 o v r m r 2 惯性离心力 科里奥利力 2m v m r 切向惯性力 第四章 [例题1] 在一光滑水平直管中，有一质量为m的小球。此管以恒定 角速度ω绕通过管子一段的竖直轴转动。如果起始时，球距转动轴 的距离a，球相对于管子的速度为零，求小球沿馆的运动规律及管 对小球的约束反作用力。 解： 用非惯性系。建立固结于管的坐标系0-xyz,受力分析。 y Ry Rz P x O z Fc Fen mg 约束反力 R R y j Rz k 第四章 ma F F惯 投影到x，y，z轴上， mx m 2 x （1） my R y mg 0 （2） mz 2mx Rz 0 （3） Rz 2mx dx dx 2 2 x x x, 由（1） dt dx 积分，得 x 2 2 x 2 C R y mg t=0时， y Ry Rz P O z Fc u x Fen mg xdx 2 xdx, x a, x 0. C 2 a 2 x x 2 a 2 第四章 x x 2 a 2 dx dx 2 2 x a , dt dt x2 a2 2 2 x dx x x a 积分，得 ) t a x 2 a 2 ln( a x acht x asht Rz 2mx 2m 2 asht 用惯性系如何解？ 第四章 二、 空间转动参考系 ma F F惯 类似地 所不同的是， 不是恒矢量，F惯也是三种，但惯性离心力变成 2 m ( ( r ) m ( r ) m r 三、 相对平衡 质点P相对于s´系不动时， v 0, 则ac 0, a 0 a ae , 则F mae 0 质点相对平衡方程 包括主动力，约束反力。 第四章 应用非惯性系中质点的动力学方程处理具体问题时，应注意： （1）必须明确指出惯性系s和非惯性系s´的选取，说明以s´系 为参考系； （2）分析受力时，要同时分考虑质点系的相互作用和惯性力， 逐一分析，不遗漏； （3）公式中， 是 s´系相对s系的转动角速度，不可与刚体角速度 混淆； （4）许多问题即可在s系中讨论，也可在s´系中讨论。 第四章 [例题2]质量为m，长度为l 的单摆，其悬挂点 随框架以匀角速度绕铅垂轴转动，求单摆相 对静止时的 角和摆杆的张力。摆杆质量不 计。 a A l 解：取小球 M 为研究对象,框架为参考系 单摆相对静止时，应满足 Fx 0 FIe FT sin 0 M Fy 0 FT cos mg 0 FT 解得： a l sin 2 tan g mg F T cos FIe M mg 第四章 惯性力的性质与起源 （1）惯性力的性质——虚拟性和真实性 惯性力的虚拟性： 由惯性力的定义可知：惯性力是为了使牛顿第二定律能够 形式地成立而引入的虚拟的力，只与质点及参考系的运动状态 有关，并非物体间的相互作用。因此，只能推断惯性力的存在， 不能找出惯性力的施力者，它是非惯性系中的观察者观测到的 力，在惯性系中不存在惯性力。 惯性力的真实性： 对于非惯性系中的观察者，可直接测量出惯性力的大小和 方向；在非惯性系中惯性力具有同真实力的动力学与静力学效应。 （2）惯性力的实质和起源 惯性力是与加速系等效的引力场对运动质点的作用，即 惯性力就是引力。等效引力场是遥远的天体相对于选定的参考 系的运动引起的。 第四章 飞行员的黑晕与红视现象 飞机急速爬高时 飞行员的黑晕现象 惯性参考系——地球 非惯性参考系——飞机 动点——血流质点 牵连惯性力向下，从心脏 流向头部的血流受阻，造成 大脑缺血，形成黑晕现象。 爬升时：a > 5g 第四章 飞行员的黑晕与红视现象 飞机急速俯冲时 飞行员的红视现象 惯性参考系——地球 非惯性参考系——飞机 动点——血流质点 牵连惯性力向上，使血流 自下而上加速流动，造成 大脑充血，形成红视现象。 俯冲时：a > 2g 第四章 慢速转动的大盘使快速运动的皮带变形 惯性参考系——地球 非惯性参考系——大盘 动点——皮带上的小段质 量 m 牵连惯性力—— 大盘转速 很慢，牵连加速度很小， m的牵连惯性力可以忽略 不计。 第四章 慢速转动的大盘使快速运动的皮带变形 牵连惯性力 —— 大盘转速很慢，牵连加 速度很小， m的牵连 惯性力可以忽略不计。 科氏力 —— m 的科氏加速度 aC＝2 v,科氏力 FIC＝－2 m v，使皮带变形。 第四章 慢速转动的大盘使快速运动的皮带变形 第四章 §3 地球自转的影响 5 1 7 . 29 10 s 角速度自转又以 1.20 107 s 1 地球以 0 绕太阳公转， 所以 不是一个严格的惯性系而是非惯性系。地球公转引起的非 惯性效应比自转的非惯性效应小1-2个数量级，一般可忽略。下 面只讨论地球自转引起的非惯性效应。 一、重力加速度g随纬度λ的变化 对地面上的观察者：在纬度为λ处的地面上质量为m的物体：受地 F 球引力 和惯性离心力 Ft mR 02 cos 作用而处于相对平衡，故 mg F Ft 第四章 2 R R cos Ft m 0 R cos 由图（b）知： 1 mR 02 sin(2 ) （1） 2 F sin mg sin( ) （2） mg sin Ft sin F mg cos Ft cos mg cos mR 02 cos2 （3） 由（1）式： R 02 sin(2 ) sin 2g （4） 在赤道处：λ=α=0，由（3）式， F mg 0 mR 02 m( g0 R 02 ) 式中 g 0 （5） 是赤道地区的重力加速度，将（5）式代入（1）式，得 ( g 0 R 02 ) sin g sin cos cos sin 第四章 （6） 联立（4）和（6）式可解得g和α，其结果很复杂，为此，作为 不近似处理： R 02 sin 2 sin 2 g0 （7） cos 1 ，得 ( g 0 R 02 ) sin g 0 R 02 g 2 R 0 sin 2 R 02 cos 2 sin cos 1 将（7）代入（6）式，取 2 g0 g0 R 02 cos 2 ( g 0 R )(1 ) g0 2 0 R 02 g 0 (1 sin2 ) g0 （8） 将λ=45°时的 g 9.8062m / s 2 及 0 和 R的值代入上式子得 g 9.7803(1 0.0053sin2 ) 第四章 （9） 二、科里奥利力对水平运动的影响 当质点相对于地球运动时，应同时考虑 惯性离心力和科氏力，但因是近地表运动， 故用重力代替引力即考虑了惯性离心力。 只考虑科氏力的效应。 北半球， ma F mgk 2m v i j k v cos 0 sin y sin i (z cos x sin ) j y cos k x y z mx Fx 2my sin my Fy 2m ( x sin z cos ) mz Fz mg 2my cos 第四章 二、科里奥利力对水平运动的影响 北半球，λ>0， 当物体由南向北运动时， y 0, z 0, x 0 科氏力向东；当物体由北向南运动时，科氏力向西。 右偏效应！ 南半球相反。 第四章 （一）贸易风 在地球上，热带部分的空气，因热上升，并在高空向两极 推 进；而两极附近的空气，则因冷下降，并在地面附近向 赤道附近推 进，形成了一种对流，彼此交易，故称 贸易 风 ，但由于受到科里奥 利力的作用，南北向的气流，却 发生了东西向的偏转。 地面附近 大气上层 北半球 东北贸易风 西南贸易风 南半球 东南贸易风 西北贸易风 第四章 （二）轨道的磨损和河岸的冲刷 当物体在地面上运动时，在北半球上科里奥利力的水平分 量总是指向运动的右侧，即指向相对速度的右方。这种长年累 月的作用，使得北半球河流右岸的冲刷甚于左岸，因而比较陡 峭。双轨单行铁路的情形也是这样。由于右轨所受到的压力大 于左轨，因而磨损较甚。南半球的情况和此相反，河流左岸冲 刷较甚。而双线铁路的左轨磨损较甚。 第四章 （三）气旋-反气旋 在气压梯度力和地转偏向力的共同作用下，大气并不是径直 对准低气压中心流动，也不是沿辐射方向从高气压中心流出。低 气压的气流在北半球向右偏转成按逆时针方向流动的大旋涡，在 南半球向左转成按顺时针方向流动的大旋涡，大气的这种流动很 象江河海流中水的旋涡，所以又叫气旋。夏秋季节，在我国东南 沿海经常出现的台风，就是热带气旋强烈发展的一种形式。高气 压的气流在北半球按顺时针方向旋转流出，在南北半球按逆时针 方向旋转流出，高气压的这种环流系统叫反气旋。 第四章 2001年，亚洲尘暴弥漫在太平洋海面上 第四章 2005年，GOES-12气候卫星拍摄到的最强程度的“卡特里娜”飓风 第四章 作业： p.185-190 p.198：4.5）,4.6）4.7) 第四章