Transcript 数学与哲学

报告人:
唐卓欣 叶佩羚
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西方数学与哲学的发展
东方数学与哲学的发展
数学与哲学随想
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第一次数学危机
古代的西方哲学家们大都重视数学，著名哲学家柏
拉图提出了一种理念论和回忆说的认识论，并将它作
为其数学理论的哲学基础，而且他曾在阿卡德米学院
门口立了块碑：不懂几何者不得入内。
柏拉图的弟子阿里士多德则将数学推理规范化和系
统化，其中最基本的原理是矛盾律---一个命题不能
既是真的又是假的、排它律---一个命题要么是真的
要么是假的，这两条已成为数学证明的核心。
毕达哥拉斯学派认为：1是最神圣的数字。生2，
2生诸数，数生点，点生线，线生面，面生体，体
生万物。即“万物皆数”，万物皆可用自然数或分
数表示。但是偶然的机会，毕达哥拉斯却发现了第
一个无理数。
如图，这是第一个勾股定理的发现：直角三角形斜边上正方形的面积恰
巧是两条直角边上正方形面积之和。
根据勾股定理，边长为1的正方形，其对角线的长
度应当是，但是这既不是自然数，也不是分数，这
使毕达哥拉斯学派非常惶恐，“万物皆数”的观点
破灭了。这就是第一次数学危机，人们发现了无理
数，又不承认它是数。其实正是这一危机的出现，
才使数具有了表达一切量的能力。数的概念在不断
扩大：复数，四元数，超限数，理想数等等，或许
我们可以那么说，万物都与数相关。
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思考一个问题:
从南京到北京坐火车需要多长时间到?
南京到北京的距离:900公里左右
2010年最新投入的京沪高铁的火车速度:每小时
350公里
结果:2.6小时左右
哲学上:某一物体在某一瞬间处于什么状态
数学上:瞬时速度
如何解决求瞬时速度的问题?
牛顿给出瞬时速度的定义和计算方法.
令时间从T1 变到T2，这段时间记做T，这段时间
走过的距离记做S，S/T 是T 时间内的平均速度.
牛顿设想:当T 越小,这个平均速度就应当越接近物
体在时刻T1 的瞬时速度.
贝克莱的反驳:无穷小量究竟是不是0 ?
牛顿和其后的一百多年的数学家都无法回答这一
问题,造成了第二次数学危机.
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提出了经典力学的三个基本定
律和万有引力定律，这些定律
都是建立在客观研究的基础上。
牛顿十分重视科学研究的方法
和态度，他指明了研究自然的
四条基本规则，这四条规则的
核心问题是强调研究的客观性，
即坚持对自然研究的唯物主义
的态度。他自身的研究就是建
立在长期实际观察的基础上。
“概念的外延”:
“太阳系中的行星”----地球、金星、木星、火星等
等
“985工程大学”----北京大学、清华大学、南京
大学等等
“太阳”“南京”(唯一)
方程“㎡﹢1＝0”的实根(空无一物)
“概念的外延”是19世纪的数学家和逻辑学家弗雷格
所提出的，其实就是我们高中时期所学过的集合，
不同的是他将“概念的外延”归为逻辑范畴，那么
算术也归为逻辑了。这一将算术化归为集合和逻辑
的理论却遭到了罗素的质疑。
罗素认为:
有些集合不以自己为元素，如弗雷格规定的｛1，2，3｝
＝3，3并不是自己的元素，也可能以自己为元素，如“
所有集合的集合”,自己是个集合,所以也是自己的元素.
考虑所有那些“不以自己为元素的集合”,这个概念的
外延就确定了一个集合,她是不是自己的元素呢?如果它
以自己为元素,它就不符合定义自己的概念,因而不是自
己的元素.如果它不以自己为元素,它又和概念相符,它应
当以自己为元素.于是产生了矛盾.
这就是第三次数学危机.
数学经历了三次危机,第一次危机的结果,建立了严
格的实数理论,同时回答了“什么是连续性?”这个哲
学问题;第二次危机的结果,建立了微积分的严密基
础,回答了“运动是怎么回事?”这个哲学问题;第三
次数学危机,充分体现了矛盾是事物发展的动力.可
以说西方数学史上数学和哲学是紧密相连,不可分
割的.
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伟大的中华民族已经走过了5000年的文明历程。
在古老的中华大地上，勤劳、勇敢、智慧的各族人
民共同开拓了幅员辽阔的国土，共同缔造了统一的
多民族国家，共同发展了悠久灿烂的中华文化。而
数学与哲学作为中国科学发展的重要组成部分，在
中国历史上也发挥了不可取代的作用。
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在古代世界四大文明中，中国数学持续繁荣时期最
为长久。从公元前后至公元14世纪，中国古典数学
先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北
朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰。中国
古代数学是以创造算法特别是各种解方程的算法为
主线。从线性方程组到高次多项式方程，乃至不定
方程，中国古代数学家创造了一系列先进的算法
(中国数学家称之为“术”)，他们用这些算法去求
解相应类型的代数方程，从而解决导致这些方程的
各种各样的科学和实际问题。
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春秋战国时代，社会处于大变革时期，产生了各种
思想流派，如儒、墨、法、道等，他们著书讲学，
互相论战，出现了学术上的繁荣景象，从而也在不
同程度上促进了数学的发展。
名家认为经过抽象以后的名词概念与它们原来的实体不
同，他们提出“矩不方，规不可以为圆”，把“大一”(无穷
大)定义为“至大无外”，“小一”(无穷小)定义为“至小无
内”。还提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等命题。
而墨家则认为名来源于物，名可以从不同方面和不同深
度反映物。墨家给出一些数学定义。例如圆、方、平、直、
次(相切)、端(点)等等。
墨家不同意“一尺之棰”的命题，提出一个“非半”的
命题来进行反驳：将一线段按一半一半地无限分割下去，就
必将出现一个不能再分割的“非半”，这个“非半”就是点。
名家的命题论述了有限长度可分割成一个无穷序列，墨家的
命题则指出了这种无限分割的变化和结果。他们的讨论，对
中国古代数学理论的是很有意义的。
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说到魏晋时期，不得不提的是玄学，它是与科学相
对的理论，它所回答的永远都是科学回答不了的问
题，但它能够运用逻辑思维，分析义理，在一定程
度上使数学在理论上得以提高。
赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明和推导的最早
的数学家之一。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合
得到方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方
图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角
形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的
面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）
2。于是便可得如下的式子：
4×（ab/2）+（b-a）=c
化简后便可得：
a+b=c
赵爽的推理比西方毕达哥拉斯至少早了五百年，对世界数学作
出
了极大的贡献，在中国数学史上也占有重要地位。
（1）、大衍类
（2）、天时类
（3）、田域类
（4）、测望类
（5）、赋役类
（6）、钱谷类
（7）、营建类
（8）、军旅类
（9）、市场类
一次同余式组问题
有关天文、历法和雨雪量问题
田地面积
勾股、重差和其他测量问题
田赋、户税问题
征购米粮和仓库问题
建筑施工问题
兵营布置和军需供应问题
商品交易和利息问题
这里，我们可以看到，秦九韶用很大的篇幅设计了许多与人民
的社会生活有关的应用问题，反映了当时社会经济的实际情况，这
与道学的“格物致知”学说是相悖的。《数书九章》卷一的第一题
是“蓍卦发微”题，秦九韶试图用“求一法”来解释《周易·系辞
传》，与历代经学家的注疏不同，试图以此法来取代古法，认为古
法牵附、反晦。但是在秦九韶的著作中，出现一些与道学有关的试
题和言语，是可以理解的。因为秦九韶生活在道学盛行而又斗争激
烈的年代，他既“性机巧，星象，音律，算术，以至营造等事无不
精究”。自然对《周易》和道学家的“象数学”不可不广泛涉猎。
在这样的历史背景下，秦九韶的《数书九章》中摘引了某些道学家
的词语是可以理解的。这可以说是一种“时代的印记”并不能简单
地视为作者本人的哲学观点。
宋元时期数学与哲学的发展
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起初，程朱理学在宋元时期对当时的数学发展没有
起过阻碍作用，但是，到了明代以后就起着严重的
阻碍作用了。社会在发展，数学在发展，这些是不
可能不受到当时哲学思想的影响的。哲学对数学有
不可否定的积极影响，但是其特有的时代特征有决
定了其也有一定的局限性，或者说是自身的弊端.
哲学思想分为两大流派：唯物主义和唯心主义。对
于数学来说，任何唯心主义哲学流派都不能对数学
的发展起到真正的促进作用。
哲学的一个分支，研究数学中的哲学问题的学科。从毕达哥拉斯到康
德的众多思想家都有许多数学哲学的重要思想，但作为专门学科直到
19世纪中叶以后才逐渐建立起来。
 着重研究：
数学的对象、性质、特点、地位与作用；
数学新分支、新课题提出的重要概念的哲学意义；
著名数学家和数学流派的数学和哲学思想；
数学方法和数学基础等问题。
 现代数学哲学的研究内容包括：
数学基础的研究，形成罗素的逻辑主义、布劳维的直觉主义和希
尔伯特的形式主义等流派；
数学悖论的研究，探讨悖论的排除及彻底解决的可能性；
数学本体论的研究，探讨数学的研究对象是否为客观的真实的存
在；数学真理性的研究等。
 哲学观点不同的数学派别：
逻辑主义学派（罗素，怀德海）
直觉主义学派（克罗内克）
形式主义学派（希尔伯特）
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在数学和哲学发展的历史过程中，我们不难发现，
不管他们是如何发展，壮大或者削弱，扩大或者缩
小，它们都在推动着科学发展，推动着历史进程，
它们都是人类智慧的结晶，人类的宝贵财富。
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哲学曾把整个宇宙作为自己的对象.那时侯,它是包
罗万象的.数学只不过是算术和几何.
今天,数学的研究对象是一切抽象结构---所有可能
的关系和形式.数学向一切学科渗透.
哲学,从某种意义上是望远镜,是人类认识世界的先
导,数学则相反,它最容易进入成熟的科学,好象是显
微镜.
哲学从一门学科退出,意味着这门学科的诞生.数学
渗入一门学科,意味着这门学科达到成熟的阶段.
哲学的地盘缩小,数学的领域扩大,这是科学发展的
结果,是人类智慧的胜利.
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黑格尔在德国国王宫廷讲学时说:世界上没有两件
事物是完全一样的.
在数学看来,什么是完全一样?
“一样”是一种关系,可能存在于两个事物之间,满
足三个条件:
1 任何事物自己与自己是一样的
2 如果甲和乙一样,乙就和甲一样
3 如果甲和乙一样,乙和丙一样,那么甲就和丙一样
满足这三个条件,叫等价关系
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所谓一样,就是提供了一个把事物进行分类的方法,
同一类事物认为是一样的.根据不同的目的,可以有
各种分类方法.所以,这里的“完全一样”意味着:对
事物进行分类时,每一类只有一件事物,当然不可能
有两件事物完全一样了.
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现代数学十分关心事物的总体性.
研究一个三角形,将其作为一个总体考虑,它的内角和
180度,那么四边形呢?五边形呢?很好回答,360
度,540度,一般地,N边形的内角和是（N-1）个180
度.
再来看看外角,任意凸多边形的外角和是360度.
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不仅看内角,而且看外角;不仅看直线,而且看曲线;不仅
看平面,而且看曲面.这里生动地体现了辨证的方法.
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“假如你对数学的历史发展，对一个领域的发生和
发展，对一个理论的兴旺和衰落，对一个概念的来
龙去脉，对一种重要思想的产生和影响等这许多历
史因素都弄清了，我想，对数学就会了解得更多，
对数学的现状就会知道得更清楚、更深刻，还可以
对数学的未来起一种指导作用，也就是说，可以知
道数学究竟应该按怎样的方向发展可以收到最大的
效益”。
--吴文俊