Transcript 第八章 二阶电路

第二篇：动态电路的时域分析
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第六章 电容元件与电感元件
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第七章 一阶电路
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第八章 二阶电路
包含一个电容和一个电感，或两个电容，或
两个电感的动态电路称为二阶电路。
本章着重分析含电感和电容的二阶电路，这
类电路的响应可能出现振荡的形式。
本章学习目的及要求
1、电路二阶微分方程的建立；
2、求特征根，并由此能判断响应
的四种形式（无阻尼、临界阻尼、欠阻
尼、过阻尼）；
3、求四种不同形式的响应。
补充：二阶线性常系数微分方程的求解
二阶齐次方程的求解
方程和初始条件
d 2x
dx
a
b
 cx  0
2
dt
dt
(1  1)
 (t0 )  A2
x(t0 )  A1 , x
(1  2)
其中 x(t) 为待求变量，a、b、c、A 1及A2 均为常数。
求通解
特征方程
as2  bs  c  0
设特征根（固有频率）为 s1和 s2 ，根据 s1和 s2 的
不同情况，（1－1）方程有如下形式的通解。
s1 、s2
s1  s2
s1  s2 且
s1, 2    j wd
s1  s2  s *
x (t)
K 1e s1 t  K 2 e s2 t
e  t ( K1 cos wd t  K 2 sin wd t )
 t
Ke
cos( wd t   ) 、
或
Ke  t sin( wd t   )
K 1e s * t  K 2 t e s * t
确定待定常数
将初始条件(1－2)式代入通解中，可求得待
定常数(K1，K2)、(K，)或(K，) 。
二阶非齐次方程的求解
方程和初始条件
d 2x
dx
a
b
 cx  d w
2
dt
dt
 (t0 )  A2
x(t0 )  A1 , x
(2  1)
(2  2)
其中 x(t) 为待求变量，w(t) 为输入函数，a、b、c、
d、A 1及A2 均为常数。
求通解：
x (t )  xh (t )  x p (t )
( 2  3)
其中 xh(t) 为齐次通解，形式取决于微分方程的特征
根，称为自由分量； xp(t) 为（2－1）式的一个特解，
形式取决于输入函数，称为强制分量。
xh(t)的求解如前所述， xp(t) 的形式与 w(t) 有关。
第八章
二阶电路
§8.1 LC电路中的正弦振荡
§8.2 RLC串联电路的零输入响应
§8.3 RLC串联电路的全响应
§8.4 GLC并联电路的分析
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§8.1 LC电路中的正弦振荡
1、LC电路中能量的振荡
设：电容的初始电压为U0，电感的初始电流为零。
(a)在初始时刻，能量全部储于电容中，电感中没
有储能，电路的电流为零。由于U0的存在，电容
通过电感放电，电路的电流开始增加，能量逐渐
转移到电感的磁场中。
(b)当电容电压下降到零的瞬间，电感电压为零，
即di/dt=0，电路电流达到最大值I，此时储能全部
转入到电感。
(c)由于电感电流不能跃变，此时电路的电流开始
逐渐减小，电容在该电流的作用下又被充电，只
是电压的极性不同。当电感电流下降到零的瞬间，
能量又全部转入到电容之中。电容电压又达到U0，
但极性与(a)相反。
(d)当电容电压达到U0的瞬间，电容通过
电感又开始放电，只是放电电流与上一次
放电电流方向相反。随放电电流的增加，
能量逐渐又转移到电感的磁场中，电流又
达到最大值。
(e)当电感电流达到最大值的瞬间，电容
在该电流的作用下又被充电，当电感电
流下降到零的瞬间，能量又全部转入到
电容之中，电容电压又达到U0，电路状
态又和初始时刻相同，这意味着上述过
程将不断地重复进行。
由此可见，在由电容和电感两种不同的储能元件构
成的电路中，随着储能在电场和磁场之间的往返转移，
电路中的电流和电压将不断地改变大小和极性，形成振
荡。这种电路中不含电阻由初始储能维持的振荡是一种
等幅振荡。
如果电路中含有电阻，在能量转移过程中要被电
阻消耗，振荡将不可能是等幅的，幅度会逐渐衰减而
趋于零。这种振荡称为阻尼振荡。
如果电路电阻较大，在能量初次转移过程中大
部分能量就被电阻消耗，将不可能产生振荡。
２、LC电路中振荡的方式
右图中，L=1H 、C=1F，uc(0)=1V、iL(0)=0。
上述两个联立的一阶微分方程表明：电压的存在要求有电
流的变化，电流的存在要求有电压的变化。因此电压、电
流都必须处于不断的变化状态之中。
结合初始条件：uc(0)=1V、iL(0)=0。
因此，LC回路中的等
幅振荡是按正弦方式随
时间变化的。
3、LC电路中的储能
根据电容和电感的储能公式，可得LC回路的储能为：
将u、i、L=1H 、C=1F代入上式,
可得在任何时刻储能均为常量,这就表明: 储能不断地
在电场和磁场之间往返,永不消失。
§8.2 RLC串联电路的零输入响应
8.2.1 电路和方程
8.2.2 过阻尼(overdamped)情况
8.2.3 临界阻尼(critically damped)情况
8.2.4 欠阻尼(underdamped)情况
8.2.5 零阻尼情况
8.2.1 电路和方程
换路后电路如图，
电路中无电源，电路响
应为零输入响应。
R
L
iL
C
有以下三种初始状态情况：
(1)
uC (0) U0
(2)
(3)
uC (0)  0 , iL (0)  I 0
uC (0) U0 , iL (0)  I 0
,
+
uC
-
iL (0)  0
下面仅以第一种情况为例讨论该电路的零输入响应。
R
由KVL，有
L
d iL
R iL  L
 uC  0
dt
iL
+
C
uC
-
duc
，得微分方程：
代入电容的VAR ic  C
dt
d 2 uC
d uC
LC
 RC
 uC  0
2
dt
dt
d 2 uC
R d uC
1


uC  0
2
dt
L dt
LC
(1)
(1)
初始条件为：
uC (0) U0
, uC (0)  iL (0) C  0
(2)
d 2 uC
R d uC
1


uC  0
2
dt
L dt
LC
（1）式的特征方程为
R
1
S 
S
0
L
LC
2
可求得特征根：
R
s1, 2  

2L
2
1
 R 

 
LC
 2L 
R
1


2L 2L
L
R 4
C
2
(1)
s1, 2
R


2L
2
1
 R 

 
LC
 2L 
根据两特征根的形式，响应可分为四种：
L
R 2
1
1、当 ( ) 
时，即 R  2
C
2L
LC
时，S1、S2
为两个不相等的负实根，则响应形式为：
uc (t )  k1es1t  k2es2t
称为过阻尼
2、当 R＝2 L 时, S1、S2 为两相等的负实根，
C
则响应为： uc (t )  (k1  k2t )est
L
R＝2
为临界电阻
C
称为临界阻尼
2
R
1
 R 
 


2L
LC
 2L 
L
R 2
1
3 、当 ( ) 
时，即 R  2
时，S1、S2
C
2L
LC
s1, 2  
为一对共轭复根：称为欠阻尼。则响应形式为
 t
uc (t )  ke
cos(d t   )
1
R
2
2
式中：  ＝
；  d ＝  0   ；  0＝
LC
2L
4、当R=0时，即＝0时，S1、S2 为一对共轭虚
根：称为无阻尼。则响应形式为
uc (t )  k cos(0t   )
8.2.2 过阻尼(overdamped)情况
(R  2
L C)
特征根为两个不相等的负实根，
令 s1  1
,
其
中 1, 2  R 
2L
显然有
1   2
s2   2
L
R
C
2
1
 R 

 
LC
 2L 
iL
,
+
uC
-
（1）式通解为：
uC (t )  k1e
1t
 k2e
2t
(3)
上式求导，得：
uC (t )   1k1e
1t
 2k2e
2t
初始条件代入（3）、（4）式，得：
k1  k2  U 0


1k1   2k2  0
(5)
(4)
 1U 0
k2 
 2  1
 2U 0
由（5）式求得 k1 
 2  1
代入（3）得方程（1）满足初始条件的解为：
U0
uC (t ) 
( 2 e 1t  1e  2t )
(t  0)
 2  1
uc
 2U 0  t
e
 2  1
1
 1U 0  2t
e
 2  1
t
结果分析：
U0
uC (t ) 
( 2e 1t  1e  2t )
 2  1
CU 0 21  2t
iL (t ) 
(e
 e 1t )
 2  1
(1) uC (0)  U 0 , uC ()  0 ,
u c (t )  0 且uc(t)单调下降 (0  t  )
(2) iL (0)  0 , iL ()  0 , 1   2 ,iL (t )  0 (0  t  )
(3) 令 diL / dt =0 , 求得 iL 的极值点
1
2
tm 
ln
 2  1 1
(4) 过渡过程的能量情况
如下图所示：
R
R
C
L
0  t  tm
C
L
t  tm
(5) 过阻尼情况下，电路具有非振荡的过渡过程。
电压和电流表达式中，特征根 s1= -1 对
应项在过渡过程中起主要作用。
8.2.3 临界阻尼(critically damped)情况
(R  2 L C )
特征根为两个相等的负实根：
s1  s2  
R
L
R
( 
)
2L
iL
+
C
uC
-
（1）式通解为：
uC (t )  k1e
t
t
 k2te
(6)
上式求导，得：
 t
 t
 t

uC (t )    k1e
 k2te
 k2 e
(7)
初始条件代入（6）、（7）式，求得：
k1  U0 , k2  U0
代入（6）式得微分方程（1）满足初始条件的解为：
uC (t ) U0et (1  t )
iL (t )  C(d uC dt)   (U0 L)t e
(t  0)
 t
(t  0)
分析可知， uc 、iL 波形图与过阻尼情况类似。
8.2.4 欠阻尼(underdamped)情况
(R  2 L C )
特征根为一对共轭复根：
R
s1, 2    jd
其中
R
 
2L
,
L
iL
+
uC
C
d 
1
 R 


LC  2 L 
2
通解为：
uC (t )  e
t
 ke
( K1 cosd t  K 2 sin d t )
 t
cos(d t   )
(8)
上式求导，得：
K

K2
K1
uC (t )    ke t cos(d t  )  d ke t sin(d t   ) (9)
初始条件代入（8）、（9）式，得：
k cos( )  U 0

 (10)
d k sin( )   k cos( )  0
由（10）式求得
k
U 0  2   d2
d

U 00
d

,   arctg (
)
d
其中  0   2   d2  1 / LC
、d 、0及 的关系如下图所示
0

d

方程（1）满足初始条件的解为：
uC (t ) 
U 00
d
e  t cos(d t   )
(t  0)
进一步求得：
d uC
CU 002  t
iL (t )  C

e sin(d t )
dt
d
U 0  t

e sin(d t )
d L
(t  0)
分析： uC (t )  U 00 e  t cos(d t   )
d
(t  0)
U 0  t
iL (t )  
e sin( d t ) (t  0)
d L
(1) uc 和 iL 均是幅值按指数规律衰减的正弦函数。
(2)
0


d
iL (0)  0 , iL ()  0 , uC (0)  U 0 , uC ()  0
(3) uc 的过零点为
iL 的过零点为
 d t  k   / 2   (k  0,1,2,...)
 d t  k (k  0,1,2,...)
(4) uc 的极值点即 iL的过零点。
U 0 0 t
diL
由

e cos( d t   )
dt
d L
可求得 iL的极值点为
d t  k   2  
(k  0,1, 2,)
U
uC
d
0
 2 
 2 
e  t
d t

iL

结果分析
U 00
d
e  t
*过渡过程中电场和磁场能量相互转换，由于耗能电阻的存
在，总能量逐渐减少。
 2    d t   2    2    d t  
0  d t   2  
+
-
U 00
+
C
L
R
-
+
C
L
R
-
C
L
R
U
U 00
uC
d
0
 2 
 2 
e  t
d t

iL

U 00
d
e  t
*欠阻尼情况下，电路具有阻尼振荡(damped oscillation)或衰
减振荡的过渡过程。由
uC (t ) 
U 00
d
e
 t
cos(d t   )
iL (t )  
U 0  t
e sin(d t )
d L
可知uc(t) 和iL的包络线函数分别为

U 0 0
d
e
t
U 0 t

e
d L
称  为衰减系数，  越大，则电压和电流衰减越快；称 d
为衰减振荡角频率， d 越大，则电压和电流振荡越剧烈。
R
*由  
, d 
2L
1
 R 


LC  2 L 
2
可知，若电路中L、C一定，则R越小，  就越小，
d 就越大。电路过渡过程的振荡性就会越强，过
渡过程时间也会越长。可以想象，若R＝0，则过
渡过程会无休止地进行下去。
8.2.5 零阻尼情况
( R  0)
特征根为一对共轭虚根：
R
s1, 2   j 1 LC   j0
L
iL
C
+
uC
-
（相当于欠阻尼情况下 =0、d = 0 、 = 0 。）
uC (t ) 
U 00
d
e  t cos(d t   )
U 0  t
iL (t )  
e sin(d t )
d L
利用欠阻尼情况的分析结果，得：
uC (t )  U 0 cos(0t )
(t  0) +
-
C
L
t
iL (t )  
U0
sin(0t )  U 00C sin(0t )
0 L
(t  0)
零阻尼情况下，电路响应为等幅振荡的正弦函
数，0称为无阻尼振荡角频率。电场和磁场不断进
行着完全的能量交换，但总能量并不减少，任一时
刻的电路总能量都等于电路的初始储能。
因振荡仅由电路的初始储能所产生，故称为自
由振荡。
图9-6
例1
解:
电路所示如图， t = 0 时打开开关。求 :
电容电压uC , 并画波形图。
20Ω
0-电路
+
20Ω
+
uC
+
iL
50V
-
10Ω
5Ω
+
u
- c
50V
5Ω
0.5H
iL
10Ω
100 μF
-
10Ω
10Ω
(1)
uc(0-)=25V
(2) uc(0+)=25V
iL(0-)=5A
iC(0+)= -5A
+
25V
-
20Ω
5A
iC
0+电路
10Ω
10Ω
20Ω
d 2 uC
duC
(3) LC 2  RC
 uC  0
dt
dt
特征方程为
50S2+2500S+106=0
S  25  j139
100μF
5Ω
t >0 电路:
 uC ( 0  )  25

由  duC
C
 5

dt

+
K sin   25


139K cos  25K sin    5

104

K  358
iL
+
0.5H
10Ω
10Ω
uC  Ke25t sin(139t   )
(4)
+u
- c
50V
-
，  176

-
C
L
25
uC  358e 25t sin(139t  176 )V t  0
uC
358
25
0
t
例：判断如图所示电路，是过阻尼情况还是欠
阻尼情况。
di1 t 
解：由KVL可知 Ri t   L
 uC t   u S t 
dt
由KCL知 i1 t   1  0.5it 
则 i
du C t 
i1 t 
C


1  0.5 1  0.5
dt
2
1
2


d
di
t
而 1  C uC t 
dt
dt 2
3
将式(2)和式(3)代入式(1)得电路的二阶微分方程
d 2uC t 
RC duC t 
LC

 uC t   uS t 
2
dt
1  0.5 dt
其特征方程为
RC
LCs 
s 1  0
1  0.5
108 s 2  4 10 4 s  1  0
2
s  4 10 s  10  0
2
4
8
4
特征根为
 4 10
4 10

 
2
 2
4
s1, 2
因
4
2

  108     2  02

  0，电路为过阻尼情况。
作业
P367: 8-2 8-5
§8.3 直流RLC串联电路的全响应
换路后电路如图，
电路响应由电源和电路
的原始储能共同产生。
R
US
d 2uc
duc
LC 2  RC
 uc  u s (t )
dt
dt
uc (0)  U 0
il (0) I 0
uc (0) 

C
C
'
或：
L
iL
C
+
uC
-
uC (0) U0 , iL (0)  I0
dus
d 2 iL
diL
LC 2  RC
 iL  C
dt
dt
dt
iL (0)  I 0

1
iL (0)  u s (0  )  RiL (0  )  uc (0  )
L
'

d 2uc
duc
LC
 RC
 uc  u s (t )
2
dt
dt
uc (0)  U 0
通解为：
uC (t )  uC h  uC p
il (0) I 0
uc (0) 

C
C
'
可求得特解：
uC p  U S
R
US
L
iL
C
+
uC
-
uch 为方程对应齐次方程的通解，它的形式
决定于方程的特征根也有四种，讨论与零输入响
应相同。
初始条件代入通解，即可确定2个待定的积分常数。
例: 电路如图所示。已知R=6, L=1H, C=0.04F,
uS(t)= (t)V。求t>0时电容电压的零状态响应。
解：t>0时，(t)=1V，可以作为直流激励处理。首
先计算电路的固有频率：
2
R
1
 R
s1，2      
 3  32  52  3  j4
2 L  2 L  LC
根据这两个固有频率s1=-3+j4和s2=-3-j4，可以
得到全响应的表达式为
uC (t )  {e 3t [ K1 cos( 4t )  K 2 sin( 4t )]＋1}V
(t  0)
利用电容电压的初始值uC(0)=0和电感电流的
初始值iL(0)=0得到以下两个方程
uC (0)  K 1  1  0
duC ( t )
dt
t 0
 3 K 1  4 K 2  0
求解以上两个方程得到常数K1＝-1和K2＝0.75，得到电容电压的零状态响应:
uC (t )  {e 3t [ cos( 4t )  0.75 sin( 4t )]  1}V
 [1.25e 3t cos( 4t  143.1 )  1]V
(t  0)
可以画出电容电压和电感电流零状态响应的波
形为：
注：图(c)和(d)表示当电阻由R=6Ω减小到R=1Ω，衰减系数由3变
为0.5时的电容电压和电感电流零状态响应的波形曲线。
§8.4 GCL并联电路分析
Is
G C
iL
L
R
L
US
iL
+
uC
C
-
它是RLC串联电路的对偶电路,二阶微分方程为：
d 2il
dil
LC

GL
 il  I s
2
dt
dt
il (0)  I 0
il (0) 
'
u c ( 0) U 0

L
L
特征根：
s1, 2
G
G 2
1

 (
) 
2C
2C
LC
d 2uc
du
LC 2  RC c  uc  u s (t )
dt
dt
uc (0)  U 0
il (0) I 0
uc (0) 

C
C
'
2
s1, 2
R
1
 R 

 
 
2L
LC
 2L 
响应形式：
2
C
L
,为过阻尼。
2、G＝ 2
C
L
，临界阻尼。
3、G<
C
L
,为欠阻尼。
1、G>
2
4、G＝0 ，为无阻尼。
例1： 已知：i (0 )=2A u (0 )=0 求：iL,iR
L C -
d 2il
dil
LC
 GL
 il  I s
2
dt
dt
il (0)  2
u c ( 0)
il (0) 
0
L
2
d
iL
di
6
50 10
 0.01  iL  1
2
dt
dt
'
(2)求特解
iLp  1
50 
+
iR
iL
50 V
-
1A
R
0.5H
100F
解：(1) 先变成标准并联电路，
根据已讨论的结果，可直
接列出微分方程：
iC
iL
50 C
L
2
d
iL
di
6
50 10
 0.01  iL  0
2
dt
dt
(3)求通解
特征方程为： S 2  200S  20000  0
特征根为： S= -100 j100
i  1  Ae
100t
(4)定常数 1  A sin   2
  45

A  2
sin(100t   )
 iL (0 )

100 A cos  100 A sin   0  uL (0 )
iL  1  2e100 t sin(100 t  45 )
50 
iR
iL
100F
R
+
(5)求iR
50 V
0.5H
-
iC
50 
+
R
iR
2A
d iL
iR  iL  iC  iL  LC 2
dt
或设解答形式为：
iR  1  Ae 100t sin(100t   )
定常数
50V
-
2
iC
iR (0 )  1 iC (0 )  1

50  uC
 diR
 dt (0 )  ? iR  R
diR
1 duC
1
(0  )  
(0  )  
iC (0 )  200
dt
R dt
RC
iR  1  Ae
100t
sin(100t   )
1  A sin   1

100 A cos  100 A sin   200
  0

A  2
小结
1. 一阶电路是单调的响应，可用时间常数表示过渡过程
的时间。
2. 二阶电路用三个参数 ，d 和 0来表示动态响应。
S    jd
特征根
R  0 共轭虚根
L
R2
共轭复根
C
d 2   02   2
响应性质
自由分量形式
等幅振荡(无 阻尼)
K cos( 0t   )
衰减振荡(欠阻尼)
Ke  t cos(d t   )
t
或e （
K1 cosd t  K 2 sin d t )
L
相等 的实根 非振荡放电( 临界阻尼)
C
L
R2
不等 的实根 非振荡放电( 过阻尼)
C
R2
e t (K1  K2 t )
K1e1t  K 2e 2t
3. 电路是否振荡取决于特征根，特征根仅仅取决于电路的结
构和参数，而与初始条件和激励的大小没有关系。
4.线性电路古典法解二阶过渡过程包括以下几步：
(1)换路后(0+)电路列写微分方程;
(2)求特征根，由根的性质写出自由分量（积分常数待定）;
(3)求强制分量（稳态分量）;
(4)全解=自由分量+强制分量；
(5)将初值f(0+)和f(0+)代入全解，定积分常数求响应；
(6)讨论物理过程，画出波形。
作业
P368：8-7、8-10