5.3-5.简谐运动的能量合成阻尼振动受迫振动共振
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Transcript 5.3-5.简谐运动的能量合成阻尼振动受迫振动共振
5
机械振动
任课教师
中原工学院
曾灏宪
理学院
大学物理（上）
5
机械振动
5.3 简谐运动的能量
孤立谐振动系统的能量
不计振动传播带来的能量损失 —— 辐射阻尼
不计摩擦产生的热损耗 —— 摩擦阻尼
以水平放置的弹簧振子为例
以平衡位置为坐标原点
{
x A cos( t )
v A sin( t )
1 2 1 2
势能 Εp kx kA cos 2 ( t )
E Ep Ek
2
2
1
1 2 1
2
2 2
2
kA
动能 Ek mv mA sin ( t )
2
2
2
恒量
1
𝒎
2
2
kA sin ( t )
𝝎𝟐 =
𝒌
2
E
E–t 曲线
E –x 曲线
能量随时间变化
能量随空间变化
E
Ep
1
E kA2
2
E
k
o
x
t
1 2
2 2
Εp kA cos ( t )
2
T
2
1 2 2 2
Ek
t
x A cos( t )
2
o
2
kA sin (
t )
T
2
E
Ek
-A
Ep
A
x
Ek , Ep变化频率为x 的2倍
Ek , Ep彼此变化步调相反
例 已知一谐振动曲线如图所示，由图确定：
k+1/2
（1）在_______s时速度为零
k
（2）在___s时动能最大
2k+1/2
（3）在_______s时加速度取正的最大值
x(cm)
o
1
2
t
（s）
例 质量为 0.10kg的物体，以振幅 1.0 102 m
作简谐运动，其最大加速度为 4.0m s 2，求：
（1）振动的周期；（2）通过平衡位置的动能；
（3）总能量；
（4）物体在何处其动能和势能相等？
解:
amax A
2
amax
1
20s
A
T
2π
0.314 s
Ek ,max
1 2
mvmax
2
1
2 2
m A
2
3
2.0 10 J
T 0.314s
3
Ek ,max 2.0 10 J
（3）总能量；
3
E Ek ,max 2.0 10 J
（4）物体在何处其动能和势能相等？
Ek Ep 时，
3
Ep 1.0 10 J
1 2 1
由 Ep kx m 2 x 2
2
2
x
2
2 Ep
m 2
0.5 104 m 2
x 0.707 cm
例一弹簧振子的振动方程为 𝒙 = 𝑨𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕 + 𝝋) (SI)。设弹簧的
弹性系数为 k，求：
𝑨
(1)当 𝒙 = 时，系统的动能和势能；
𝟐
(2)物体在什么位置，系统的动能与势能相等。
解: (1)对弹簧振子，系统总能量为 E
1
kA
2
2
1 2 1 2 E
在 𝒙 = 时，系统势能为 E p kx kA
2
8
4
3E 3
kA
系统动能为 E E E
4 8
𝑨
𝟐
2
k
p
(2)设在 𝒙𝒂 处系统动能与势能相等
1 2 1
1 2
kxa E kA
2
2
4
A
xa
2
大学物理（上）
5
机械振动
5.4 简谐运动的合成
一
两个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1 )
x2 A2 cos(t 2 )
x x1 x2
A2
（数学运算？）
2
x A cos(t )
0
1
x2
A1
x1
A
x
x
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
1
2
2
A1 sin 1 A2 sin 2
tan
A1 cos 1 A2 cos 2
两个同方向同频
率简谐运动合成
后仍为简谐运动
A
讨论：
A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
1
2
2
1）相位差 𝚫𝝋 = 𝝋𝟐 − 𝝋𝟏 = 𝟐𝒌𝝅 （同相、同步）
x
x
Ao
o
A2
A
1
T
t
A A1 A2
x ( A1 A2 ) cos(t )
2 1 2k π
A
A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
1
2
2
2）相位差 𝚫𝝋 = 𝝋𝟐 − 𝝋𝟏 = (𝟐𝒌 + 𝟏)𝝅（反相、异步）
x1 A1 cost
x2 A2 cos(t π )
x
x
o
2
o
A1
A
A
2
x ( A2 A1 ) cos(t π)
A A1 A2
2
T
t
A
A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2
1
相位差
1）相位差
2）相位差
3）一般情况
2
2
2 1
1，
)
2k π (k 0 ，
相互加强
A A1 A2
1，
)
(2k 1) π (k 0 ，
A A1 A2
相互削弱
A1 A2 A A1 A2
例
已知两个同方向的简谐振动：
x1 0.04cos(10t π ),
3
x2 0.03cos(10t )
则（1）
（2）
2kπ π / 3
x1 x2 为最大时， 为______________
x1 x2
2kπ 4π / 3
为最小时， 为_____________
例 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线. 若这
两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为
x
（1） 3 π / 2
（2）
（3）
π
π/2
（4）0
A/2
O
-A
t
例 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振
动，求合振动的振幅和初相位。
2
1
x1 (4 10 m) cos(2s t π 6)
2
1
x2 (3 10 m) cos(2s t 5 π 6)
0
A2
π
A
2
1
A1
x
π
A 110 m 1
6
2
1
2
x (110 m) cos(2s t π 6)
* 二
多个同方向同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(t 1 )
x2 A2 cos(t 2 )
xn An cos(t n )
A
A 3
3
A2
2
x x1 x2 xn
x A cos(t )
o
1 A1
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
* 三
两个同方向不同频率简谐运动的合成 拍现象
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，
其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.
四
两个相互垂直的同频率简谐运动的合成
两个振动
合振动
2
x A1 cos(t 1 )
y A2 cos(t 2 )
质点运动轨迹
2
（椭圆方程）
x
y
2 xy
2
cos(
)
sin
( 2 1 )
2
1
2
2
A1 A2 A1 A2
x 2 y 2 2 xy
2
2
cos( 2 1 ) sin ( 2 1 )
2
A1 A2 A1 A2
讨论：
1） 2 1 0 或 2π
A2
y
x
A1
合振动的轨迹为通过原点且
在第一、第三象限内的直线
A2
斜率
A1
质点离开平衡位置的位移 S x 2 y 2
A2
y
x
o
A1
2
2
x
y
2 xy
2
2
cos( 2 1 ) sin ( 2 1 )
2
A1 A2 A1 A2
2） 2 1 π
y
A2
y x
A1
合振动的轨迹为通过原点且
在第二、第四象限内的直线
3） 2 1 π 2
x2 y2
2 1
2
A1 A2
合振动的轨迹为以 x 轴和 y 轴
为轴线的椭圆
A2
o
A1
x
A2 y
o
A1
x
两
相
互
垂
直
同
频
率
不
同
相
位
差
简
谐
运
动
的
合
成
图
五
两相互垂直频率成简单整数比的简谐运动的合成
x A1 cos(1t 1 )
y A2 cos( 2t 2 )
1 0
π π 3π π
2 0, , ,
,
8 4 8 2
合运动具有严格的
周期性和稳定、封
闭的轨道。
——李萨如图形
测量振动频率
和相位的方法
李 萨 如 图
大学物理（上）
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机械振动
5.5 阻尼振动 受迫振动 共振
一 阻尼振动
欠阻尼
– 物体在介质中振动，若介质的阻尼不大
（如水中），可近似看成振幅逐渐减小
的简谐运动.
过阻尼
– 若介质的阻尼很大，物体从开始的最大
位移处缓慢地逼近平衡位置，其后静止
不动.
临界阻尼
– 物体不能作往复运动的临界情况.
x
C
b
a
o
t
三种阻尼振动位移时间曲线
a）欠阻尼
b）过阻尼
c）临界阻尼
二
受迫振动
系统在周期性外力
作用下所进行的振动叫
受迫振动. ( 如扬声器
中纸盆的振动、机器运
转时引起基座的振动 )
当受迫振动达到稳
定后，振动的振幅保持
稳定不变.
三
共振
共
振频率
共振频率
振子在做受迫振动
时，当周期性外力的频
率与振子的固有频率接
近时，振子振幅显著增
加, 在某一频率时, 振幅
达到最大 , 这一现象称
为共振. 达到共振时的
频率叫共振频率.
A
小阻尼
阻尼 0
大阻尼
o
0
P
当阻尼趋于零时，共振频率等于系统的固有频率.
共振演示实验
共振演示实验
单摆 1 作垂直于纸
面的简谐运动时，单摆
5 将作相同周期的简谐
运动，其它单摆基本不
动.
6
3
1
5
2
4
共振现象在实际中的应用：乐器、收音机……
共振现象的危害
1940 年11月7日美国 Tocama 悬索桥因共振而坍塌
作业
P144: 17；19
版权声明
本课件根据高等教育出版社《物理学教程（第二版）上册》
（马文蔚 周雨青 编）配套课件制作。课件中的图片和动
画版权属于原作者所有；部分例题来源于清华大学编著的
“大学物理题库”；其余文字资料由 Haoxian Zeng 编写，
采用 知识共享 署名-相同方式共享 3.0 未本地化版本 许可
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