Transcript 14.5-7.光的衍射单缝衍射圆孔衍射

14 波动光学
任课教师
中原工学院
曾灏宪
理学院
大学物理（下）
14 波动光学
14.5 光的衍射
一
光的衍射
屏幕
阴
影
S
缝较大时，光是直线传播的

缝很小时，衍射现象明显
衍射 光在传播过程中绕过障碍物的边缘而偏离直线传播的现象。
衍射现象是否明显取决于障碍物线度与波长的对
比，波长越大，障碍物越小，衍射越明显。
二 惠更斯-菲涅尔原理
惠更斯：光波阵面上每
一点都可以看作新的子
波源，以后任意时刻，
这些子波的包迹就是该
时刻的波阵面。
——1690年
惠更斯解释不了光强
明暗分布！
菲涅耳补充：从同
一波阵面上各点发
出的子波是相干波。
——1818年
菲涅耳原理
 对子波的振幅和相位作了定量描述
波面上各面元 —— 子波源
各 子 波 初 相 相 同: 0
子 波 在 P 点 相 位 : t   0  2 π
r
r

子 波 在P点 振 幅 :
1
A ;
r
 n
dS
1
A  (1  cos  )dS
2
S
P
1
1
倾斜因子： f ( )  (1  cos ) 
2
12
0
(  0)
(  π 2)
(  π)
波面上各面元 —— 子波源
c
r
子波：dE  (1  cos  )  cos(  t  0  2 π )  dS
2r

 空间任一点P的振动为所有子
r P
 n
波在该点引起振动相干叠加的结果
dS
合振动： E   dE
S
衍射本质： 子波的相干叠加
有限个分立的相干波叠加 —— 干涉
无限多个连续分布子波源相干叠加 —— 衍射
三
菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射
菲涅尔衍射
S
缝
夫琅禾费 衍射
缝
P
光源、屏与缝相距有限远
光源、屏与缝相距无限远
在夫
R ？ L2
问：如何实现夫琅禾费衍射
琅
实
L1
验禾
中费 S
实衍
现射
P
大学物理（下）
14 波动光学
14.6 单缝衍射
（一）典型装置

o
*
f
P

A C
'
·x
B
0
0
f
( 单缝夫琅禾费衍射典型装置 )
A,B
P的光程差
  AC  asin
（二） 菲涅耳半波带法
( a 为缝 AB的宽度 )
将衍射光束分成一组一组的平行光，每组中各平行
光线具有相同的衍射角（与原入射方向的夹角）
（衍射角  ：向上
为正，向下为负 .）
A
A C  a sin 
衍射角不同，最大
光程差不同，P点
位置也不同，光的
强度分布取决于最
大光程差
a
 (1 )
C
(2)
(1 )
P0
 (2)
x
(1 )
B
P
(2)
f
  0   0 对应中央明纹中心


用 去分 ，设   N 
2
2
相邻平面间的距离是入
射单色光的半波长

A
半波带  S
对应的单缝 a 被分为 N 个半波带
A1

c
B
1
2
1
2
a sin 

狭缝波面上半波带的数目为 N  a sin  
2
任何两个相邻波带上对应点所发出的光线到达屏
的光程差均为半波长（即位相差为） ，在P点会
聚时将一一抵消。
AB面分成偶数个半波带: 相邻两半波带中对应光线


  ，  
AC  a sin   4 
2
2
a
A .
..
A1 . . .C
A 2.
A 3 .φ
B
φ
x
.
两两相消，屏上相聚点为暗纹
P
f
AB面分成奇数个半波带

AC  a sin   3 
2
剩下一个
半波带中
的衍射光
线未被抵
消
对应的屏
上相聚点
为明纹中
心

2
a

2

2
A .
.. .C
A1 .
A 2.φ
B
φ
.
x
P
f
结论：分成偶数半波带为暗纹。
a sin 
分成奇数半波带为明纹。
0
中央明纹中心

2k
a sin   2k   k 干涉相消（暗纹） 个半波带
2

a sin   (2k  1)
干涉加强（明纹中心） 2k  1
2
个半波带

a sin   k
介于明暗之间 (k  1,2,3,)
2
正、负号表示衍射条纹对称分布于中央明纹的两侧
对于任意衍射角，单缝不能分成整数个半波带，在屏幕上光强
介于最明与最暗之间。
[用半波带法求得暗纹位置条件是 a sin   k (k  1,2,) 是准确的，而亮纹条件

a sin   (2k  1) (k  1,2,) 是近似的]
2
单缝衍射明暗纹条件中 k 值为什么不能取零？

3
a
二级
暗纹

一级
暗纹
2
a


a
中央明纹
0
三级
暗纹

a
一级
明纹
二级
明纹
3
2a
5
2a


2
2

2
sin


2
2
2
暗纹公式中 k  0 Δ  0 为中央明纹中心，不是暗纹
 仍在中央明纹区内，不是明
k

0
明纹公式中
Δ
2 纹中心
讨论
1. 条纹位置 x
A
a

x
a sin   a tan  a
f
C
坐标与明暗纹的关系
0

x
B
f
x0
中央明纹中心
f
x   k
a
f
x  (2k  1)
2a
暗纹
明纹中心
(k  1,2,3,)
2. 中央亮纹宽度
中央两侧第一暗条纹之间的区域，称做零级（或中
央）明条纹，它满足条件： 
  a sin   
亮纹较宽，以暗纹位置作为标记，在中央明纹两侧第一级暗纹
之间的宽度，即是中央亮纹的宽度
f
x
a sin  0  atg 0  a    （一级暗纹条件）坐标 x  
a
f
2 f
 x 0  2 f tan  0 
中央亮纹线宽度
a

 0  tan  0 
中央亮纹半角宽度
变化？
a
3.其它相邻两衍射暗条纹间距
条纹在接收
屏上的位置
kf
xk 
a
x  k  f / a
x  (2k  1)  f
( k  1 ) f
x k 1 
a
f
x  x k 1  x k 1 
a
暗纹中心
k   1 , 2 
明纹中心
/ 2a
变化？
其它各级明条纹的宽度为中央明条纹宽度的一半。
4. 条纹随 λ, a 的分布
一定时
 x   f / a 看出，缝越窄（ a 越
由  x0  2 f / a
小），条纹分散得越开，衍射现象越明显，但 a 太小，光
强太弱；反之，条纹向中央靠拢。
当 a大于，又不大很多时会出现明显的衍射现象。
当缝宽比波长大很多时，形成单一的明条纹，这就是
透镜所形成线光源的象。显示了光的直线传播的性质。

a一定时
x 
白光照射，中央白色，其余明纹形成内紫外红
光谱(该衍射图样称为衍射光谱)，高级次重叠。

x 
浸入液体中、条纹变密。
单缝宽度变化，中央明纹宽度如何变化？
入射波长变化，衍射效应如何变化 ?
 越大， 1越大，衍射效应越明显.
5. 光强分布（明纹亮度分布）
中央明纹中心亮度最强，明纹亮
度随级数的增大而减小。暗纹是
绝对的，明纹是过渡区域
I
一级明纹中心:
1
部分光线干涉相长
3
二级明纹中心:
1
中央明纹中心:
部分光线干涉相长
5
全部光线干涉相长
5
3
5 sin 
3
0


2a
2a
2a
2a
当 角增加时，半波带数增加，未被抵消的半波带面积
减少，所以光强变小；
另外，当：   f ( )   E 0   I 
倾斜因子
6.入射光非垂直入射时光程差的计算
Δ  DB  BC
 a(sin  sin  )
A

b
D
（中央明纹向下移动）
（中央明纹向上移动）
C
B
Δ  BC  DA
 a(sin   sin  )

A
D

b

B
C
大学物理（下）
14 波动光学
14.7 圆孔衍射 光学仪器的分辨本领
一
H
圆孔衍射
P
L
艾
里
斑
𝒅
𝜽 ≈ 𝒔𝒊𝒏𝜽 = 𝟏. 𝟐𝟐𝝀 𝑫 = /𝒇
𝟐
d
第一暗环所围成的中
央光斑称为艾里斑
P
L

D

f
d
艾里斑半径d /2 对透镜
光心的张角称为艾里斑
的半角宽度
二
光学仪器的分辨率
（两光点刚好能分辨）
点光源经过光学仪器的小圆孔后，由于衍射的影响，
所成的象不是一个点而是一个明暗相间的圆形光斑。
若两物点距离很近，对应的两个艾里斑可能部分重
叠而不易分辨
爱里斑
S1
*
S2*
D
瑞利判据
0.8I 0
对于两个强度相等的不相干的点光源（物点），
一个点光源的衍射图样的主极大刚好和另一点光源衍
射图样的第一极小相重合，这时两个点光源（或物点）
恰为这一光学仪器所分辨.
光学仪器的通光孔径 D
s1 *
s 2*
0
f
d 2


 1.22
f
D
d
2
d 2

0 
 1.22
f
D
在恰能分辨时，两个点光源在透镜前所张的角度，
称为最小分辨角0 ，等于艾里斑的半角宽度。
 0  1 . 22  / D
1
D
 D,

光学仪器分辨率 

 0 1.22
1
 14-5 光的衍射
 14-6 单缝衍射
练习和例题
例
在单缝的夫琅和费衍射实验中，屏上第三
级暗纹对应的单缝处波面可划分为
6 个半波带，
若将缝宽缩小一半，原来第三级暗纹处将是
第一级亮纹
__________
1
1


b sin    6   3
2
2
2
2
例 双缝的缝宽为b，缝间距为2b（缝的中心
点的间隔），则单缝中央衍射包络线内明条纹有
（1）1条 ;
（2）3条 ;
I
2b 2

b 1

2
b
（3）4条;


b
0
k=1
（4）5条
单缝中央衍
射包络线

b
2

b
sin 
例1 一束波长为 =500nm的平行光垂直照射在一个单
缝上。(1)已知单缝衍射的第一暗纹的衍射角1=300，
求该单缝的宽度a=? (2)如果所用的单缝的宽度
a=0.5mm，缝后紧挨着的薄透镜焦距f=1m，求：(a)
中央明条纹的角宽度；(b)中央亮纹的线宽度；(c) 第
一级与第二级暗纹的距离；
解： (1) a sin
   k  ( k  1, 2 , 3  )
第一级暗纹 k=1,1=300

a
 500  2  1000 nm  1.0 m
sin 1
一束波长为 =500nm的平行光垂直照射在一个单
缝上。(2)如果所用的单缝的宽度a=0.5mm，缝后紧
挨着的薄透镜焦距f=1m，求：(a)中央明条纹的角宽
度；(b)中央亮纹的线宽度；(c) 第一级与第二级暗纹
的距离；
(a)  0  sin  0  tan  0 

a
中央亮纹半角宽度
2
0 .5 m
3
  0 
 2

2

10
rad
3
a
0.5  10 m
2 f
3

x


f



2

10
m  2 mm
(b)
0
0
a
1
(c)  x 21   x 0  1mm
2
一束波长为 =500nm的平行光垂直照射在一个单缝
上。 a=0.5mm，f=1m (3) 如果在屏幕上离中央亮纹中
心为x=3.5mm处的P点为一亮纹，试求(a)该P处亮纹
的级数；(b)从P处看，对该光波而言，狭缝处的波阵
面可分割成几个半波带？
(a )
x  ( 2 k  1)   f / 2 a
ax 1
k
 3
f 2
(b) 当k=3时，光程差
a sin   ( 2 k  1)

2
 7

2
狭缝处波阵面可分成7个半波带。
例2 一单色平行光垂直入射一单缝，其衍射第三
级明纹位置恰好与波长为 600 nm 的单色光垂直入射
该缝时衍射的第二级位置重合，试求该单色光的波长.
解
b sin   ( 2k1  1)
1
b sin   ( 2k 2  1)
2
2
2
k1  3, k2  2, 2  600nm
2k 2  1
5  600
1 
2 
 428.6nm
2k1  1
7
 14-7 圆孔衍射 光学仪器分辨率
练习和习题
例 用一定波长的光通过光学仪器观察物体
（1）物体大时，分辨率大
（2）物体离光学仪器远时分辨率大
（3）光学仪器的孔径愈小分辨率愈小
（4）物体近时分辨率大
例1 设人眼在正常照度下的瞳孔直径约为 D  3mm,
而在可见光中，对人眼最敏感的波长为550nm，问
（1）人眼的最小分辨角有多大？
（2）若教室黑板上写有一等于号“＝”，在什么情
况下，距离黑板10m处的学生才不会因为衍射效应，将
等于号“＝”看成减号“－”?
解（1）  0
（2） s
 1.22

D
4
 2.2 10 rad
 l 0  2.2mm
等号两横线间距不小于 2.2 mm
例2 太空望远镜
（1）哈勃太空望远镜是1990
年发射升空的天文望远镜 ，它的
主透镜直径为 2.4m ,
是目前太
空中的最大望远镜 . 在大气层外
615km高空绕地运行 , 可观察 130
亿光年远的太空深处, 发现了500 亿个星系 . 试计算哈勃
望远镜对波长为 800nm 的红外光的最小分辨角.
解 （1）哈勃望远镜的最小分辨角为
1.22

 4.0  10 7 rad
D
例 2 太空望远镜
（2）人类正在建造新一代太
空望远镜韦布，计划于2012年利
用欧洲航天局的 “阿丽亚娜5号”
火箭发射, 在距离地球150万公里
的遥远轨道上运行，以代替将要
1
D

D
解
布太空望远镜的主透镜直径至少
 1.22
退役的哈勃望远镜 . 设计中的韦
为 6m , 也可在红外频率下工作，
问与哈勃望远镜相比韦布望远镜
的分辨率预计可以提高多少倍？
提高的倍数为
D
 2 .5
D
例3 毫米波雷达发出的波束比常用的雷达波束窄，
这使得毫米波雷达不易受到反雷达导弹的袭击.
（1）有一毫米波雷达，其圆形天线直径为55cm，
发射频率为220GHz的毫米波，计算其波束的角宽度；
（2）将此结果与普通船用雷达发射的波束的角宽
度进行比较，设船用雷达波长为1.57cm，圆形天线直
径为2.33m .
c
3 108 m/s
3

1
.
36

10
m
解（1） 1  
9

22010 Hz
3
1
1.3610 m
1  2.44
 2.44
 0.00603rad
2
D1
5510 m
（2）
 2  2.44
2
D2
 0.0164rad
s1 *
s2 *
D
0
l
例4 设人眼在正常照度下的瞳孔直径约为3mm，
而在可见光中，人眼最敏感的波长为550nm，问
（1）人眼的最小分辨角有多大？
（2）若物体放在距人眼25cm（直视距离）处，
则两物点间距为多大时才能被分辨？
7

1
.
22

5
.
5

10
m
4
解（1）  1.22 

2
.
2

10
rad
0
3
D
3 10 m
0
4
 l 0  25cm  2.2 10
（2）d  2l tan
2
 0.055 mm
作业
 P237: 21；22；
版权声明
本课件根据高等教育出版社《物理学教程（第二版）下册》
（马文蔚 周雨青 编）配套课件制作。课件中的图片和动
画版权属于原作者所有；部分例题来源于清华大学编著的
“大学物理题库”。由 Haoxian Zeng 设计和编写的内容采
用 知识共享 署名-相同方式共享 3.0 未本地化版本 许可协
议进行许可。详细信息请查看课件发布页面。