Transcript 单缝衍射的应用

3.4夫琅禾费单缝衍射
一、夫琅禾费衍射装置
远场与焦面对应
二、单缝衍射光强分布公式
思路：先求衍射的复振幅分布。
利用夫琅禾费衍射积分公式，结合单缝
的具体情况，作适当的简化。

exp ikz1 
 ik 2

E ( x, y ) 
e xp   x  y 2     E ( x1 , y1 )e xp  i 2  ux1   y1   dx1dy1
ikz1
 2 z1
 
exp ikz1 
 ik 2
2 
C
e xp   x  y  
ikz1
 2 z1

对于单缝

E  x   C  E  x1  exp(i 2 ux1 )dx1

C:常数；E(x1):衍射屏上的复振幅分布
单缝衍射屏的振幅透过率函数为

1
t ( x1 )  

0
x1  a / 2
x1  a / 2
平行光垂直入射，波面与衍射平面平行，
波面上的复振幅为常数，设为1
1
E  x1   t ( x1 )  
0
x1  a / 2
x1  a / 2
P点的复振幅分布为
sin  ua 
E ( x)  C  exp(i 2 ux1 )dx1  C
a / 2
u

x 
sin   a

f 

C
x

f
a/2
近轴近似下，衍射角与x的关系
x
sin  
f
 sin  
sin   a



则： E ( )  Ca 
 sin  
 a




光强
 sin  
sin   a




E ( )  Ca
 sin  
 a




 sin  
I  I0 

  
其中
2
sin 
 a

I 0   Ca 
2
各级亮条纹光强不相等，中央最大值的光强最大，次极大值都远小
于中央最大值，并随着级数的增大而很快地减小，即使第一级次极
大值也不到中央最大值的5%
三、单缝衍射公式的讨论
I  sin  


I0   
衍射因子
2
sin 

1) 主极大（中央明纹中心）位置
sin 
 1  I  I 0  I max
  0处，  0 

1.0
0.8
0.6
2) 极小（暗纹）位置
   , 2 , 3  即
a sin   n
有
I 0
0.4
-2.451.43

0.0
-10
-5
2 
1.43
 2.45
0.2
0

5
2

10
1.0
暗纹位置
0.8
a sin   n
0.6
中央亮斑的半角宽度和半线宽度:
0.2


  a

 x   f   f

a
e
a
-2.451.43
0.0
-10
2
-5
e
亮斑左右两侧：相邻暗点的距离

0.4
f

e
1.43
2.45
0
2△x
=2e

5
2

10
光强次极大位置
tan   
光强次极大位置



sin   1.43 ，
 2.46 ，
 3.47 ，

a
a
a
中央亮斑的半角宽度和半线宽度
x 

a
相邻暗点的距离
f
e

a
f
小结 单缝衍射光强分布特点
1).中央亮条纹的宽度等于其它亮条纹角宽度的二倍。
缝越窄，半角宽度和半线宽度越大，衍射现象越明显；
2).波长越长，衍射现象也越明显;
用白光为光源，中央亮纹是白色的，其他各级条纹彩色
3).当
，衍射现象不明显，波动光学过渡到几何光学
0
a
4）若单缝偏离光轴，由于入射角不变，所以衍射条纹不变。
单缝衍射条纹沿与缝长正交方向延伸
5）若光源偏离光轴，这时为平行光非垂直入射
在缝前造成的最大光程差为a sin，结果使得衍射条纹偏离光轴。
i
用缝光源代替点光源后，衍射条纹为竖条纹。
四、单缝衍射的应用
1.测量狭缝宽度

a

2.细丝直径测量
巴俾涅原理
E ( P)  E1 ( P)  E2 ( P)
E1 ( P) ：单缝衍射时在观察屏上某点P的复振幅
E2 ( P) ：与单缝互补的单丝在观察屏上同一点P的复振幅
E ( P) ：单缝和单丝都不存在时在观察屏上同一点P的复振幅
四、单缝衍射的应用
2.细丝直径测量
巴俾涅原理
E ( P)  E1 ( P)  E2 ( P)
E1 ( P) ：单缝衍射时在观察屏上某点P的复振幅
E2 ( P) ：与单缝互补的单丝在观察屏上同一点P的复振幅
E ( P) ：单缝和单丝都不存在时在观察屏上同一点P的复振幅
若用点光源，则除了轴上P0点外，其余各处的复振幅为零，则
E1 ( P)   E2 ( P)
和
I1 ( P)  I 2 ( P)
巴俾涅原理
一个形状相等的狭缝和细丝的衍射图形是一样，
形状大小一样的屏和孔产生的衍射图样也是一样的。
干涉与衍射
1. 干涉与衍射都是波的相干叠加的结果。
干涉是有限多的子波的相干叠加，衍射是无限多的子
波的相干叠加 。
2. 一般问题中两者的作用是同时存在的。
例如，不是极细缝情况下的双缝干涉，就应该既考虑
双缝的干涉，又考虑每个缝的衍射。
3.5 夫琅禾费矩孔衍射
一、装置
衍射屏的复振幅
1
E  x1 , y1   
0
x1  a / 2,
y1  b / 2
x1  a / 2
y1  b / 2
二、衍射强度分布
1.振幅分布
E ( x, y )  C
a/2
b/2
a / 2
b / 2
 
E ( x1 , y1 )e xp  i 2  ux1   y1   dx1dy1
 sin  x  sin   b sin  y 
sin   a




 


 Cab
 
 sin  x 
 sin  y 
 a

 b







y1
b
其中
a
b
 x和 y 为观察屏上P点对衍射光线在x和y方向所张的角。
x
sin  x  ,
f
y
sin  y 
f
a x
1
2.衍射强度分布
 sin    sin  
I  I0 
 




 

2
2
其中
a

   sin  x

    b sin 
y


1.分别考察x轴和y轴，各轴上的强度分布与单缝情况相仿；
 sin  
  0, 
 1
  
2
如y轴上
 sin  
I y  I0 

  
2
2.轴外（x,y）点的强度则取决于两个因子的乘积。
矩孔衍射
0.15
0.1
4
0.05
2
0
0
-4
-2
-2
0
2
-4
4
0.003
0.002
10
0.001
0
0
-10
0
-10
10
3.6夫琅禾费圆孔衍射与成像仪器的分辨本领
一、夫琅禾费圆孔衍射
大多数光学仪器中的光瞳都是圆形的，所以研究夫琅禾费圆
孔衍射具有重要的意义。
一、光强分布
设圆孔半径为R
衍射屏、观察屏上的坐标如下
x1  r1 cos 1
y1  r1 sin 1
x  r cos
y  r sin
x
sin  cos
u

f

y
sin  sin


f

d  r1dr1d 1
 1, r1  R
t (r1 )  
r1  R
0,

 x

y
E ( x, y )  C   E ( x1 , y1 )e xp  i 2 
x1 
y1   dx1dy1
 f 
f



极坐标
R 2
E  r ,   C   exp[ ikr1 sin  cos( 1   )]r1dr1d 1
0 0
2 J1 (kR sin  )
E ( )  C  2 J 0 (kr1 sin  )r1dr1   RC
kR sin 
0
R
 2 J1 ( m) 
I  I0 
 m 
2
其中： m  kR sin 
J1 ( m )
1

1. 中心处 m  0,
m
2
衍射中心的光强： I 0   R  C
2
2. 暗环位置：
m  0,
2
J1 (m)  0,
I 0
3.次级极大的位置： d  J1  m     J 2  m   0
dm  m 
m
由二阶贝塞尔函数的零点决定，见书本118页
相邻暗环间隔不等
次极大光强比中央极大小得多
1
10
0.5
0
5
-10
0
-5
-5
0
5
10
-10
1
0.75
0.5
0.25
0
-2
2
1
0
-1
-1
0
1
2
-2
爱里(Airy)斑：中央亮斑
第一暗环的角半径，或爱里斑半径
 0  0.61
 0  1.22

R

D