Transcript 4.1 衍射现象及其数学描述
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4 光波衍射与变换
§4.1 衍射现象及其数学描述
Slide 2
4 光波衍射与变换
4.1 衍射现象及其数学描述
主要内容
1. 光的衍射现象
2. 惠更斯原理
3. 惠更斯-菲涅耳原理
4. 菲涅耳-基尔霍夫衍射积分
5. 巴俾涅原理
6. 衍射现象的分类
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4 光波衍射与变换
4.1 衍射现象及其数学描述
4.1.1 光的衍射现象
(1) 波动的衍射现象
声波的衍射现象：
水波的衍射现象：
衍射现象的定义：波动的传播偏离直线传播规律的行为
衍：滋生、繁衍、衍生
(2) 光波衍射的基本特征
几何阴影区光强不为零，几何投影区光强非均匀分布
障碍物线度愈小，衍射效应愈强烈
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4 光波衍射与变换
4.1 衍射现象及其数学描述
4.1.1 光的衍射现象
(3) 波动的衍射与直射之关系
衍射是波动的基本特征之一，反映了波动在传播过程中的一种边缘效
应。任何波动在通过任何物体的边缘时，都会产生衍射现象。然而，只有
当障碍物的几何线度与波长大小可以比拟时，其衍射现象才能明显地表现
出来。当障碍物的线度远大于波长时，这种边沿效应将变得不明显，从而
表现出直射（直线传播）特征。因此，波动的衍射与直射并不矛盾，只是
传播条件不同而已。
衍射理论是现代变换光学的理论基础。从严格意义上讲，衍射是波动
在传播过程中其波面受到限制的必然结果，而不仅仅是一种边缘效应。在
波动的传播过程中，只要其波面受到了某种限制，如振幅或相位的突变等，
就必然伴随着衍射现象的发生。
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4 光波衍射与变换
4.1 衍射现象及其数学描述
4.1.2 惠更斯原理
惠更斯原理的表述：在波动传播过程中的任一时刻，波面上的每一点都可以
看作是一个新的波源，各自发射球面子波。所有子波的
包络面，形成下一时刻的新波面。两个波面的空间间隔
等于波的传播速度与传播时间间隔的乘积。
光的直线传播定律的解释：
平面波的直线传播
球面波的直线传播
图4.1-1 惠更斯原理与波动的直线传播
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4 光波衍射与变换
4.1.2 惠更斯原理
4.1 衍射现象及其数学描述
反射和折射定律的解释：
入射光：折射率n1，入射角i1，波面AB，
速度v1
反射光：折射率n1，折射角i1'，波面A'B'，
速度v1'= v1
折射光：折射率n2，折射角i2，波面A'C，
B
v1
n1
i1
n2
A
B'
v1'
i1'
A'
i2
C
v2
速度v2
图4.1-2 反射和折射定律
反射定律：
(4.1-1)
折射定律：
(4.1-2)
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4 光波衍射与变换
4.1.2 惠更斯原理
4.1 衍射现象及其数学描述
衍射现象的定性解释：
图4.1-3 光波的衍射
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4 光波衍射与变换
4.1 衍射现象及其数学描述
4.1.3 惠更斯-菲涅耳原理
(1) 惠更斯原理的局限性
没有涉及波动的时空周期特性，即波长、振幅、相位等。虽然可以
用于确定光的传播方向，但无助于确定沿不同方向传播的光波的振幅和
相位大小。
(2) 惠更斯-菲涅耳原理
菲涅耳对惠更斯原理的贡献：将不同子波的干涉叠加引入惠更斯原
理，并赋予其以相应的相位和振幅表达式。
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4 光波衍射与变换
4.1.3 惠更斯-菲涅耳原理
4.1 衍射现象及其数学描述
S
q0
dS
q
S
R
Q
S：光源
n
S ：光源S发出的光波的任一波面
r
dS ：波面Σ上位于Q点的面元
P
n：面元d Σ 的法线方向单位矢量
q0：光源S到点Q连线与面元法线夹角
图4.1-4 惠更斯-菲涅耳原理
q：Q点到场点P的连线与面元法线夹角
惠更斯-菲涅耳原理的表述：
波面S 上的每个面元dS 都可以看作是新的波源，它们均发射球面子波，
在与波面相距为r处的P点的光振动U(P)，等于所有球面子波在该点的光振
动dU(P)的相干叠加：
(4.1-3)
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4 光波衍射与变换
4.1 衍射现象及其数学描述
4.1.3 惠更斯-菲涅耳原理
按照菲涅耳的假设，Q点处dS 面元发出的球面子波在P点的光振动复振幅：
(4.1-4a)
或
(4.1-4b)
K：比例常数；U0(Q)：光源S在Q点引起光振动复振幅；
F(q0, q )：倾斜因子，随q0和q 的增大而减小。
P点总的光振动复振幅——菲涅耳衍射积分式：
(4.1-5)
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4 光波衍射与变换
4.1 衍射现象及其数学描述
4.1.4 菲涅耳－基尔霍夫衍射积分
基尔霍夫的数学结论（通过由电磁场理论严格地数学推导而得到）：
(4.1-6)
(4.1-7)
基尔霍夫边界条件：设波面处放置一开孔的无限大不透明光屏，且开孔所对
应的波面面积为S0，则透过光屏的光振动满足：
(4.1-8)
菲涅耳-基尔霍夫衍射积分：
(4.1-9)
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4 光波衍射与变换
4.1 衍射现象及其数学描述
4.1.4 菲涅耳－基尔霍夫衍射积分
说明：
① 当波面为以S点为中心的球面时， q 0=0，F(q0, q)=(1+cosq )/2，只与场点
P相对波面的方位有关。
(4.1-10)
② 在傍轴条件下，cosθ0 ≈cosθ≈1，F(θ0, θ )=1。
(4.1-11)
③ 实际问题中，通常以光波在光屏平面上的波前代替实际波面，此时S0表
示光屏透光孔的面积，而函数U0(Q)表示透过光屏开孔的波前上的光振
动复振幅。
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4 光波衍射与变换
4.1 衍射现象及其数学描述
4.1.5 巴俾涅原理
假设：一对互补光屏（透光区域相反）的透光面积分别为 SA和 SB，且有
S0= SA+SB，则由积分的线性和可加性可得
(4.1-12a)
即
(4.1-12b)
巴俾涅原理：由一对互补光屏分别在某个给定场点引起的衍射光场复振幅
之和，等于没有光屏情况下，该场点的光振动之复振幅。
+
=
图4.1-5 巴俾涅原理
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4 光波衍射与变换
4.1 衍射现象及其数学描述
4.1.5 巴俾涅原理
巴俾涅原理的意义
已知光源发出的光波在自由空间中及透过某个光屏的
复振幅分布，则两者之差即该光波透过相应互补屏的复振
幅分布。在远场条件下，一对互补屏引起的衍射图样具有
相同的形状，只是中心点的强度大小不同而已。
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4 光波衍射与变换
4.1 衍射现象及其数学描述
4.1.6 衍射现象的分类
(1) 菲涅耳衍射：近场衍射
产生条件：衍射屏相距光源及观察点两者或两者之一为有限远
y0
y
Q
x0
r
O0
P
O
z
图4.1-6 子波源点与场点的几何关系
场点与衍射屏上的次级点源之距：
x
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4 光波衍射与变换
4.1 衍射现象及其数学描述
4.1.6 衍射现象的分类
场点的傍轴条件：z2 >> x2, y2
次级点源的傍轴条件：z2 >> x02, y02
衍射积分式：
图样特点：光强分布与场点到衍射屏的距离及波面形状有关
观察方式：球面波照明时，可在衍射屏后任一平行平面上观察
平面波照明时，可在衍射屏后较近距离处观察
(4.1-13)
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4 光波衍射与变换
4.1 衍射现象及其数学描述
4.1.6 衍射现象的分类
(2) 夫琅禾费衍射：远场衍射
产生条件：狭义：衍射屏距光源点及观察点均为无限远
广义：观察点与光源点所处平面为一对共轭平面
场点与衍射屏上的次级点源之距：
场点的远场条件：|z| >> x2/l, y2/l
次级点源的远场条件：|z| >> x02/l, y02/l
衍射积分式：
(4.1-14)
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4 光波衍射与变换
4.1 衍射现象及其数学描述
4.1.6 衍射现象的分类
图样特点：光强分布与照明方式及观察位置无关
观察方式：远场或光源的共轭像平面上
说明：
菲涅耳衍射衍射属于近场衍射，夫琅禾费衍射属于远场衍射。
由衍射积分式原则上可以求解所有的衍射问题，但当波前及衍射屏形
状较为复杂时，求解过程变得复杂、烦琐。一般只在简单情况下的夫
琅禾费衍射或傅里叶光学中使用衍射积分。
处理菲涅耳衍射问题，大多采用半定量的菲涅耳半波带法或振幅矢量
叠加法。
可以由衍射积分出发利用计算机数值模拟出各种衍射现象。
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4 光波衍射与变换
4.1.6 衍射现象的分类
4.1 衍射现象及其数学描述
菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射的仿真实验结果
(a) 圆孔
(b) 圆盘
(c) 环孔
(d) 方孔
(e) 三角孔
(f) 剃须刀片
图4.1-7 各种孔径（上）的菲涅耳衍射（中）和夫琅禾费衍射（下）仿真图样
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4 光波衍射与变换
4.1 衍射现象及其数学描述
本节重点
1. 光的衍射现象的物理实质
2. 惠更斯原理的表述
3. 惠更斯-菲涅耳原理的表述
4. 巴俾涅原理的物理意义
5. 菲涅耳近似条件和夫琅禾费近似条件及区别
4 光波衍射与变换
§4.1 衍射现象及其数学描述
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4 光波衍射与变换
4.1 衍射现象及其数学描述
主要内容
1. 光的衍射现象
2. 惠更斯原理
3. 惠更斯-菲涅耳原理
4. 菲涅耳-基尔霍夫衍射积分
5. 巴俾涅原理
6. 衍射现象的分类
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4 光波衍射与变换
4.1 衍射现象及其数学描述
4.1.1 光的衍射现象
(1) 波动的衍射现象
声波的衍射现象：
水波的衍射现象：
衍射现象的定义：波动的传播偏离直线传播规律的行为
衍：滋生、繁衍、衍生
(2) 光波衍射的基本特征
几何阴影区光强不为零，几何投影区光强非均匀分布
障碍物线度愈小，衍射效应愈强烈
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4 光波衍射与变换
4.1 衍射现象及其数学描述
4.1.1 光的衍射现象
(3) 波动的衍射与直射之关系
衍射是波动的基本特征之一，反映了波动在传播过程中的一种边缘效
应。任何波动在通过任何物体的边缘时，都会产生衍射现象。然而，只有
当障碍物的几何线度与波长大小可以比拟时，其衍射现象才能明显地表现
出来。当障碍物的线度远大于波长时，这种边沿效应将变得不明显，从而
表现出直射（直线传播）特征。因此，波动的衍射与直射并不矛盾，只是
传播条件不同而已。
衍射理论是现代变换光学的理论基础。从严格意义上讲，衍射是波动
在传播过程中其波面受到限制的必然结果，而不仅仅是一种边缘效应。在
波动的传播过程中，只要其波面受到了某种限制，如振幅或相位的突变等，
就必然伴随着衍射现象的发生。
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4.1 衍射现象及其数学描述
4.1.2 惠更斯原理
惠更斯原理的表述：在波动传播过程中的任一时刻，波面上的每一点都可以
看作是一个新的波源，各自发射球面子波。所有子波的
包络面，形成下一时刻的新波面。两个波面的空间间隔
等于波的传播速度与传播时间间隔的乘积。
光的直线传播定律的解释：
平面波的直线传播
球面波的直线传播
图4.1-1 惠更斯原理与波动的直线传播
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4.1.2 惠更斯原理
4.1 衍射现象及其数学描述
反射和折射定律的解释：
入射光：折射率n1，入射角i1，波面AB，
速度v1
反射光：折射率n1，折射角i1'，波面A'B'，
速度v1'= v1
折射光：折射率n2，折射角i2，波面A'C，
B
v1
n1
i1
n2
A
B'
v1'
i1'
A'
i2
C
v2
速度v2
图4.1-2 反射和折射定律
反射定律：
(4.1-1)
折射定律：
(4.1-2)
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4.1.2 惠更斯原理
4.1 衍射现象及其数学描述
衍射现象的定性解释：
图4.1-3 光波的衍射
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4.1 衍射现象及其数学描述
4.1.3 惠更斯-菲涅耳原理
(1) 惠更斯原理的局限性
没有涉及波动的时空周期特性，即波长、振幅、相位等。虽然可以
用于确定光的传播方向，但无助于确定沿不同方向传播的光波的振幅和
相位大小。
(2) 惠更斯-菲涅耳原理
菲涅耳对惠更斯原理的贡献：将不同子波的干涉叠加引入惠更斯原
理，并赋予其以相应的相位和振幅表达式。
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4.1.3 惠更斯-菲涅耳原理
4.1 衍射现象及其数学描述
S
q0
dS
q
S
R
Q
S：光源
n
S ：光源S发出的光波的任一波面
r
dS ：波面Σ上位于Q点的面元
P
n：面元d Σ 的法线方向单位矢量
q0：光源S到点Q连线与面元法线夹角
图4.1-4 惠更斯-菲涅耳原理
q：Q点到场点P的连线与面元法线夹角
惠更斯-菲涅耳原理的表述：
波面S 上的每个面元dS 都可以看作是新的波源，它们均发射球面子波，
在与波面相距为r处的P点的光振动U(P)，等于所有球面子波在该点的光振
动dU(P)的相干叠加：
(4.1-3)
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4.1 衍射现象及其数学描述
4.1.3 惠更斯-菲涅耳原理
按照菲涅耳的假设，Q点处dS 面元发出的球面子波在P点的光振动复振幅：
(4.1-4a)
或
(4.1-4b)
K：比例常数；U0(Q)：光源S在Q点引起光振动复振幅；
F(q0, q )：倾斜因子，随q0和q 的增大而减小。
P点总的光振动复振幅——菲涅耳衍射积分式：
(4.1-5)
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4.1 衍射现象及其数学描述
4.1.4 菲涅耳－基尔霍夫衍射积分
基尔霍夫的数学结论（通过由电磁场理论严格地数学推导而得到）：
(4.1-6)
(4.1-7)
基尔霍夫边界条件：设波面处放置一开孔的无限大不透明光屏，且开孔所对
应的波面面积为S0，则透过光屏的光振动满足：
(4.1-8)
菲涅耳-基尔霍夫衍射积分：
(4.1-9)
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4 光波衍射与变换
4.1 衍射现象及其数学描述
4.1.4 菲涅耳－基尔霍夫衍射积分
说明：
① 当波面为以S点为中心的球面时， q 0=0，F(q0, q)=(1+cosq )/2，只与场点
P相对波面的方位有关。
(4.1-10)
② 在傍轴条件下，cosθ0 ≈cosθ≈1，F(θ0, θ )=1。
(4.1-11)
③ 实际问题中，通常以光波在光屏平面上的波前代替实际波面，此时S0表
示光屏透光孔的面积，而函数U0(Q)表示透过光屏开孔的波前上的光振
动复振幅。
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4.1 衍射现象及其数学描述
4.1.5 巴俾涅原理
假设：一对互补光屏（透光区域相反）的透光面积分别为 SA和 SB，且有
S0= SA+SB，则由积分的线性和可加性可得
(4.1-12a)
即
(4.1-12b)
巴俾涅原理：由一对互补光屏分别在某个给定场点引起的衍射光场复振幅
之和，等于没有光屏情况下，该场点的光振动之复振幅。
+
=
图4.1-5 巴俾涅原理
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4 光波衍射与变换
4.1 衍射现象及其数学描述
4.1.5 巴俾涅原理
巴俾涅原理的意义
已知光源发出的光波在自由空间中及透过某个光屏的
复振幅分布，则两者之差即该光波透过相应互补屏的复振
幅分布。在远场条件下，一对互补屏引起的衍射图样具有
相同的形状，只是中心点的强度大小不同而已。
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4.1 衍射现象及其数学描述
4.1.6 衍射现象的分类
(1) 菲涅耳衍射：近场衍射
产生条件：衍射屏相距光源及观察点两者或两者之一为有限远
y0
y
Q
x0
r
O0
P
O
z
图4.1-6 子波源点与场点的几何关系
场点与衍射屏上的次级点源之距：
x
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4.1 衍射现象及其数学描述
4.1.6 衍射现象的分类
场点的傍轴条件：z2 >> x2, y2
次级点源的傍轴条件：z2 >> x02, y02
衍射积分式：
图样特点：光强分布与场点到衍射屏的距离及波面形状有关
观察方式：球面波照明时，可在衍射屏后任一平行平面上观察
平面波照明时，可在衍射屏后较近距离处观察
(4.1-13)
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4.1 衍射现象及其数学描述
4.1.6 衍射现象的分类
(2) 夫琅禾费衍射：远场衍射
产生条件：狭义：衍射屏距光源点及观察点均为无限远
广义：观察点与光源点所处平面为一对共轭平面
场点与衍射屏上的次级点源之距：
场点的远场条件：|z| >> x2/l, y2/l
次级点源的远场条件：|z| >> x02/l, y02/l
衍射积分式：
(4.1-14)
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4.1 衍射现象及其数学描述
4.1.6 衍射现象的分类
图样特点：光强分布与照明方式及观察位置无关
观察方式：远场或光源的共轭像平面上
说明：
菲涅耳衍射衍射属于近场衍射，夫琅禾费衍射属于远场衍射。
由衍射积分式原则上可以求解所有的衍射问题，但当波前及衍射屏形
状较为复杂时，求解过程变得复杂、烦琐。一般只在简单情况下的夫
琅禾费衍射或傅里叶光学中使用衍射积分。
处理菲涅耳衍射问题，大多采用半定量的菲涅耳半波带法或振幅矢量
叠加法。
可以由衍射积分出发利用计算机数值模拟出各种衍射现象。
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4.1.6 衍射现象的分类
4.1 衍射现象及其数学描述
菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射的仿真实验结果
(a) 圆孔
(b) 圆盘
(c) 环孔
(d) 方孔
(e) 三角孔
(f) 剃须刀片
图4.1-7 各种孔径（上）的菲涅耳衍射（中）和夫琅禾费衍射（下）仿真图样
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4.1 衍射现象及其数学描述
本节重点
1. 光的衍射现象的物理实质
2. 惠更斯原理的表述
3. 惠更斯-菲涅耳原理的表述
4. 巴俾涅原理的物理意义
5. 菲涅耳近似条件和夫琅禾费近似条件及区别