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第二章
波
动
（Wave）
1
本章目录
§2.1 机械波的形成和特征
§2.2 行波，简谐波
△§2.3 物体的弹性变形
△§2.4 波动方程
§2.5 波的能量
§2.6 惠更斯原理
§2.7 波的叠加，驻波
△§2.8 声波，*地震波，*水波
§2.9 多普勒效应
*§2.10 复波，群速度
△*§2.11 孤子
2
§2.1 机械波的形成和特征
一. 机械波的形成
0
4
8
12
16
20
24
· · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · ··· t = 0
··
· · ··
······· · ·· · · ··· ······ t = T/4
· · · · · · · · ·· ·· · · ·· ··· ··· ·· t = T/2
·· · ·
·
·
·
· ··
·
·
·
·
·
····
·
·
·
·
t = 3T/4
·· ·
·
···
·
·
·
t=T
·
· ··
·
·
·
·
··
·
·
·
· · · ··
3
弹性媒质的质元受外界扰动而发生振动时，
因媒质各部分间的弹性联系，
会使振动传播开去，
这就形成了波动 — 机械波（mechanical wave）。
“上游”的质元依次带动“下游”的质元振
动。
某时刻某质元的振动状态将在较晚的时刻于
“下游”某处出现。
波动是振动状态的传播，不是媒质的传播。
 波源
形成机械波的条件 
 弹性媒质
4
二 . 波的几何描述
波线（wave line）——
表示波的传播方向的射线（波射线）
波面（wave surface）——
媒质振动相位相同的点组成的面（同相面）
波阵面（wave front）——
某时刻波到达的各点所构成的面（波前）
波面
平面波
波
线
球面波
5
三 . 波的分类
机械波（ mechanical wave ）
按波的性质 电磁波（electromagnetic wave ）

按波线与振 横波（transverse wave ）
动方向关系 纵波（longitudinal wave ）
演示 横波模型（KZ023）
细弹簧纵波（KZ024）
6
水表面
波速
的波既非
横波又非
纵波。
7
按波面形状
按复杂程度
按持续时间
按波形是
否传播

平面波（plane wave ）
球面波（spherical wave ）
柱面波（ cylindrical wave ）
简谐波（simple harmonic wave ）
复波（ compound wave ）
连续波（continued wave ）
脉冲波（pulsating wave ）
行波（ travelling wave ）
驻波（standing wave ）

8
四. 波的特征量
1. 波速 u ： 振动状态传播的速度
它由媒质的性质决定与波源情况无关。
2. 周期（period）T：
一个完整的波通过波线上的某点所需的时间。
它由波源决定（波源、观测者均不动时）
频率（frequency） 

1
T
角频率（angular frequency）  2 π 
9
3. 波长（wave length） ：
波线上相邻的振动状态相同的两质元间的距离。
u
x

  uT
它由波源和媒质共同决定。
波长是波的“空间周期”。
10
§2.2 行波，简谐波
一. 行波（ travelling wave ）
某种物理量的扰动的传播称为行波。
设  为传播的物理量，它沿 x 轴传播，则
  f（ t 
ξ
ξ
x
）为沿+x
向传播的行波，u 为波速。
u
f
u
x
t 时刻
f (t  t 
t
x
x
x +Δx
x
)
u
x
t +Δt 时刻
x  x
x  ut
f (t 
x
u
11
)
即
∴
 （ x   x ， t   t ）  （ x ， t ）
  f (t 
x
u
同理，
 f (t 
) 具有沿+x向传播的性质。
x
u
) 具有沿-x向传播的性质。
 （ x ， t ）的函数形式称为波函数，它也就
是波传播时媒质质元的运动函数。
 （ x , t ） f （ t 
x
u
）
称为行波的波函数。
12
二 . 简谐波（simple harmonic wave）
如果波传播的扰动是简谐振动的话，这样的
波称为简谐波（余弦波，单色波）
1. 一维平面简谐波的波函数
以机械波的横波为例，设平面波沿 x方向以
速度 u 传播， 媒质均匀、无限大，无吸收。
在 x = 0 处质元振动方程为 y ( 0 , t )  A cos  t ，
则应有：
y ( x , t )  A cos （ t 
x
）
—— 波函数
u
（因无吸收，故振幅 A不变）
13
上面波函数式中的  （ t 
x
u
）为波的相位。
波在某点的相位反映该点媒质的“运动状态”。
所以简谐波的传播也是媒质振动相位的传播。
设 t 时刻 x 处的相位经 dt 传到（x +dx）处，
则应有
于是得到
（ t 
x
u
）  （ t  d t ）
u
dx
dt
xdx
u

—— 相速度（相速）
即简谐波的波速就是相速。
14
2. 一维简谐波函数的另一种常用的表示
y ( x , t )  A cos （ t 
u 
T 
说明：

x
）
u
y ( x , t )  A cos(  t 
T
2π

 t
0
 t  2π

2π

x)
 t   (x)
x
沿波传播方向每增加 的距离，相位落后2。
∴
 (x)  
x

2π
15
例1 如图示，已知：y0 = Acos t ，波长为 ，
入
全
y0 = Acosωt 反 S 反
射
x
0
(l- x) 壁
l
反射波在S处相位改变。
求：反射波函数 y(x , t )
解：全反射， A不变。
波由0经壁反射到 x 传播了距离l + (l  x) = 2l x，
相位落后了(2lx)/ ，在壁处反射相位改变了 ，

y  ( x , t )  A cos  t 
 A cos  t 
“+”表示沿  x 方向传播
2l  x

x

2π 
2π  π
2l


2π  π 
取+、均可
16
3. 波函数的意义
（1） x 一定，y  t 给出 x 点的振动方程。
振动曲线
y
x 一定
t
0
T
（2） t 一定，y  x 给出 t 时刻空间各点位移分布。
y
波动曲线
0

t 一定
x
17
例2 已知：一个向右传播的波在 x = 0点的振动
y
曲线如图所示。
A
试画出该波在
0
T
t > 0
较0点相位
落后 /2
-T
t
t = 0 时的波形曲线。
解：
向+y方向运动
t=0
0
A
y
0点初相位为-  /2

y
A
0
-A





x

18
4. 一维波函数的另几种常见的表示式
y  A cos(  t  kx ) ， k 
t
y  A cos 2 （

T
x

2

—— 波数
(wave number)
）
y  A cos k （ u t  x ）
y  Ae
 Ae
i (  t  kx )
 ikx
e
i t
（Re）
（Re）
空间因子 振动因子
（复振幅）
19
△§2.3
物体的弹性变形
（自学书第2.3节）
着重搞清线变、切变和体变的概念，
以及与三种变化相应的材料的弹性模量。
20
△§2.4
波动方程（wave equation）
一. 一维波动方程
 y
2
x
2

1
u
将 y  A cos  ( t 
 y
2
2
x
u

)
t
2
（u 是波速）
代入可以验证。
书P63-66有其以棒中纵波为例的动力学推导。
实际上，不光是简谐波函数是波动方程的解，
任意一个以（ t 
x
）为变量的波函数 y  f ( t 
u
都是波动方程的解。
（可自己证明）
x
u
21
)
二. 波速 u 与媒质性质的关系（公式不必记忆）
气体中
u
 RT
，
M
 —— 比热比
p
液体中
u
K  
K

，
p
V+ V
p
P
V V
（体积模量）
p
体变
22
弹性绳上的横波
u
F
l
F — 绳的初始张力，l — 绳的线密度
横波 u t
固
体
中

G

，G 
F S

切应变
（切变模量）
应力
纵波
ul 
E

，E 
F S
 F
切应力
S
F
切变
F
F
l l
线应变
l
线变
l
（杨氏模量）
书表2.2：u l  u（地震波传播，
沙漠蝎子捕食）
t
23
§2.5 波的能量 （energy of wave）
一. 波的能量
振动有能量，它的传播将导致能量的传播。
这里要搞清：
①媒质质元能量是如何变化的？
②能量传播的规律如何？
以弹性棒中的简谐横波为例来分析：
24
y
x
0
y
y =Acos ( t- x /u)
u
y  y
y

S
y
F x
x
x x+x
0
“质元”形变势能ΔWp，振动动能ΔWk
F
y
y
y

W p   F d y   G S x d  
0
0
切变
F /S
 F  GS 
G
模量

1
G V
2
2
（ 
y
x
）
25
W p
又
∴
2
2
 y 
1 2  y 
 G
 V 
u 
 V
2  x 
2
 x 
G
2
x
u
 G  u 
y  A cos  ( t  )

y
x
1
u

d y
   A sin  ( t 
x
d x
u
1
x
2
2
2
 W p    V  A sin  ( t  )
2
u
2
1
d y
 W k  (   V )

2
 dt 

1
2
  V  A sin  ( t 
2
2
2
x
u
)
1
u
)  W p
26
∴ 质元总能量
W  W p  W k  2W p  2W k
  A sin  ( t 
2
2
2
x
) V
u
振动系统： E k
 E p ， E k  E p  const .
系统与外界无能量交换。
波动质元： W k   W p ，  W k   W p  const .
每个质元都与周围媒质交换能量。
能量密度（energy density）：
w 
W
V
  A sin  ( t 
2
2
2
x
u
)   A （特征）
2
2
27
w 
1
T
T
w d t 
0
1
 A
2
2
适用于各种弹性波
2
w y
 A
2
2
u
w
能量“一堆
一堆”地传
播
A
0
x

2
y  0 处，w  w max ，y  A
处，w  0
，
28
二. 能流密度 （energy flux density）
波的传播 → 能量传播 → 能流
能流密度S ——单位时间内通过垂直于波线
方向单位面积波的能量。
波的强度 I  S（平均能流密度）
u
w
u
由图示有
x
单位面积
I  wu 

1
1
 A u
2
2
2
z A
2
2
2
z   u — 媒质 “特性阻抗”
29
利用 I 
1
z A
2
2
和能量守恒，可以证明，
2
对无吸收媒质，有：
平面波
球面波
A  const .
Ar  const .， A 
柱面波 A r  const .， A 
1
r
1
r
r —— 场点到波源的距离
30
*三 . 波的吸收（absorption of wave）
波通过媒质时，一部分能量要被媒质吸收。
造成吸收的因素：
①内摩擦： 机械能→热运动能（不可逆）；
②热传导： 疏部、密部有温差，发生热交换，
机械能→热运动能 （不可逆）；
③分子碰撞：非弹性碰撞使分子规则振动能
→分子内部无规则的转、振能
（不可逆）。
31
定义吸收系数
 
dA
Ad x
对平面波：
A0
0
A
d A   A d x  
A0
设  = const. 则
∵
I  A
2

A
x
A+dA
dA
x
A
x
x+dx
  d x
0
A  A0 e
I  I 0e
x
 2 x
32
， 气  2  10
 11
 m
空气：  
  
7
1
钢：    ，  钢  4  10  m
▲ 空气中低频波可传得很远
 气   钢
▲  很大时（超声）
2


超声波探伤：
探
超
测
声
波
器
钢件
2
若   5  10 H z
6
I0
I0
空气
I 
4 . 6 mm
100
钢
I 
1 . 15 m
3
I0
100
1 . 15 m
4 . 6  10
I0
 250
m
33
1
§2.6 惠更斯原理（Huygens principle）
前面讨论了波动的基本概念，现在讨论与波
的传播特性有关的现象、原理和规律。
由于某些原因，波在传播中，其传播方向、
频率和振幅都有可能改变。
惠更斯原理给出的方法（惠更斯作图法）
是一种处理波传播方向的普遍方法。
34
一. 惠更斯原理（1690）
1. 原理的叙述
媒质中任意波面上的各点，都可看作是
发射子波（次级波）的波源（点源），其后
的任一时刻，这些子波面的包络面（包迹）
就是波在该时刻的新的波面。
2. 原理的应用
已知 t 时刻的波面 t+t 时刻的波面，
从而可进一步给出波的传播方向。
35
例如，均匀各向同性媒质内波的传播：
平面波
球面波
t 时刻波面 t+t时刻波面
u
·
·
·
·
·
ut
t + t
波传播方向
·
·
·
·
·
·
t
·
·

· · · ·
·
·
·
36
二. 波的衍射（wave diffraction）
衍射：波传播过程中，当遇到障碍物时，
能绕过障碍物边缘而偏离直线传播的现象。
例如：
·
a ·
·
·
衍射波
入射波
障碍物
衍射波
入射波
障碍物
相对于波长而言，障碍物的线度越大衍射现象
越不明显， 障碍物的线度越小衍射现象越明显。
37
水波通过窄缝时的衍射
38
障
碍
物
广播和电
视哪个更
容易收到 ?
更容易听到
男的还是女
的说话的声
音？
（声音强度相同的情况下）
39
三. 波的反射和折射（reflection & refraction）
△1.波的反射（书 P 74）
用惠更斯作图法导出折射定律
2.波的折射：
入射波 u
1
媒质1、
折射率n1
法线
i
B
BC  u 1  t  AC sin i
u1t
E
C
· ·· F ·
· u
A
媒质2、
折射率n2 u2t r D
2
折射波传播方向
得到
AD  u 2  t  AC sin r
sin i
sin r

u1
u2
光波 u 1 
n 1 sin i  n 2 sin r

n2
 const .
n1
c
n1
， u2 
c
n2
—— 折射定律
40
光密媒质光疏媒质时，折射角r >入射角 i 。
n1(大)
n2(小)
i = iC
n1(大)
i
n2(小)
r
sin i C 
n2
n1
r = 90
iC — 临界角
当入射i >临界角 iC 时，将无折射光 — 全反射。
全反射的一个重要应用是光导纤维（光纤），
它是现代光通信技术的重要器件。
41
光 导 纤 维
42
光纤通信容量大，
电缆
而且损耗小。
在不加中继站的情
况下，光缆传输距离
可达300公里。而同轴
光缆
电缆只几公里，微波
也只有几十公里。
图中的细光缆和粗
电缆的通信容量相同
我国电信的主干线
早已全部为光缆。
43
近10年发展起来的导管 X 光学也应用了全反
射现象。对 X 光来说，玻璃对真空的折射率<1：
n玻璃
色
散
曲
线
反常色散区（吸收带）
1
r
0
可
见
光
X 射线
0

故 X 光从真空或空气射向玻璃时会发生全反射。
X 光以大于临界角入射到内表面光滑的玻璃
管内，就可以沿着弯曲的导管传播。
44
应用毛细的 X 管束可制成 X 光透镜。
聚焦提高光束功率密度
将发散光变为平行光
X 光透镜已用于：
光荧光分析
▲ X 光衍射分析
▲ 深亚微米X 射线光刻
▲ 医疗诊断
▲ X光天文望远镜
▲X

45
§2.7 波的叠加 驻波
一. 波的叠加原理 (superposition principle of waves)
波传播的独立性：
?
两不同形状的正脉冲
大小形状一样的正负脉冲46
现象： ▲ 红、绿光束空间交叉相遇
（红仍是红、绿仍是绿）
▲ 听乐队演奏
（仍可辨出不同乐器的音色、旋律）
▲ 空中无线电波很多
（仍能分别接收不同的电台广播）
波的叠加原理： 几列波可以保持各自的特点
（方向、振幅、波长、频率）同时通过同一媒质，
在它们相遇处，质元的位移为各波单独在该处
（亦称波传播的独立性）
产生位移的合成。
47
当波强度
叠加原理由波动方程的线性所决定，
过大时，媒质形变与弹力的关系不再呈线性，
叠加原理也就不再成立了。
★ 对于电磁波的情形：
*麦克斯韦方程组的各个方程都是线性的，
如果 D= E 和 B= H 也是线性关系，
则E或H的每个分量的波动方程也是线性方程。
其解同样满足叠加原理。
48
*光波在媒质中传播时：
▲ 弱光情形，媒质可看作线性媒质。
弱光：光波电场强度的幅值<<原子内部电
子受到的电场强度（～1010V/m）。
普通光源的光属弱光 (E的幅值～103V/m)。
▲
强光情形（激光E 的幅值可超过10 9 V/m），
媒质非线性，波的叠加原理不成立。
非线性光学现象：倍频效应
混频效应
光致透明和光学双稳态
49
二 . 波的干涉现象
波叠加时在空间出现稳定的振动加强和减
弱的分布叫波的干涉。
水波盘中水波的干涉
50
相干条件： ① 频率相同；
② 振动方向相同；
③ 有固定的相位差。
两列波干涉的一般规律留待在后面光的
干涉中再去分析。
下面研究一种特殊的、常见的干涉现象
—— 驻波
51
三 . 驻波（standing wave）
能够传播的波叫行波（travelling wave）。
两列相干的行波沿相反方向传播而叠加时，
就形成驻波，它是一种常见的重要干涉现象。
1. 驻波的描述
设两列行波分别沿 x 轴的正向和反向传播，
在 x = 0 处两波的初相均为 0：
 x:
y 1  A cos（  t 
 x:
y 2  A cos（  t 
x

x

2π ）
2π ）
52
y  y1  y 2
令
A2
A1  A 2  A
如图 A 合  2 A cos

x

2π

y
A合
x

2π
A1


x

2π
各点都做简谐振动，振幅随位置不同而不同。
∴
y  2 A cos
x

2 π  cos  t —— 不具备传
播的特征
其绝对值为振幅 相位中无 x
53
y
t=0
2A
0
x
0
x
x
t = 3T/8
0
0
t = T/2
0
t = T/ 8
t = T/4
x
x
2A
振动范围
波腹
0
-2A
- /4  /4
/2
x
波节
54
2. 驻波的特点：
（1）振幅：各处不等大，出现了波腹（振幅最
大处）和波节（振幅最小处）。
相邻波节间距 /2，测波节间距可得行波波长。
（2）相位：没有x 坐标，故没有了相位的传播。
驻波是分段的振动。两相邻波节间为一段，
同一段振动相位相同；相邻段振动相位相反：
x =/4 , 波节
x = / 2
波腹
(-)
(+)
(-)
(+)
2π x 
x = 3 /4 , 波节
A  2 A cos
x
2π

x=0
波腹 在波节两侧变号
55
（3）能量： 合能流密度为


w  u  w  ( u)  0 ，
平均说来没有能量的传播，
但各质元间仍有能量的交换。
能量由两端向中间传，
势能→动能。
瞬时位移为0， 势能为0，
动能最大。
能量由中间向两端传，
动能→势能。
56
3. A1  A2 的情形：
设 A 2  ( A1   A )  A1 ， 则有
y  2 A1 cos
x

2  cos  t   A cos(  t 
典型的驻波
x

2π )
行波
此时仍可称“驻波”，不过波节处有振动。
演示
波动投影模型（KZ026）
马达激励绳索弦驻波（KZ029）
气体火焰驻波（KZ030）
TV 驻波（注1）
57
二 . 波在界面的反射和透射，“半波损失”
透射波 y2
入射波 y1
z1
反射波 y1
z   u — 特性阻抗
0
z2
x
z大 — 波密媒质 相对
z小 — 波疏媒质 而言
入射波
y 1  A1 cos(  t 
反射波
y 1  A1 cos(  t 
透射波 y 2  A 2 cos(  t 
x
1
x
1
x
2
2π   1 )
2 π   1 )
2π   2 )
58
机械波⊥入射时，有界面关系：
①界面两侧质元位移相同（接触）
[ y1+ y1]x =0 = [ y2]x =0
②界面两侧应力相等（牛顿第三定律）
F
F1 
 F2 
1





S
S
S

 x 0



 x 0
 y1
y1 
 y2 
（纵波）
 E1 

 E2 



x

x

x

 x 0

 x 0
将 y 表达式代入界面关系，考虑E=u2 得：
59
1. 相位关系
反射波：
（1）若z1 > z2， 则  1 = 1
即波密波疏，反射波和入射波同相
（2） 若z1 < z2， 则  1 =  1  
即波疏波密，反射波有相位突变
——半波损失
透射波：不论 z1 > z2还是
， z1 < z2，均有 2 = 1
即透射波总是与入射波同相
60
若忽略透射波，则入射和反射波的波形如下：
波密媒质
波疏媒质
波
节
驻波 相位突变 
波密媒质
x

2
波疏媒质
波腹
x
驻波
相位不变
61
2. 振幅关系：
（利用
A1 
反射比
R 
z1  z 2
z1  z 2
I 1
I1
透射比
T 
I 
I2
I1
1
u A 
2
2
2
2 z1
z1  z 2
 z1  z 2 

(
)  
A1
 z1  z 2 

2
2
A1 ，
2
2
2
2
2
1
z2 A
z1 A
z A ）
2
A1 ， A 2 
A1
1

4 z1 z 2
( z1  z 2 )
R+T=1
(能量守恒)
2
z1 、 z2 互换， R、T 不变。
▲ z1 >> z2 或 z << z 时，R  1，T  0，全反射。
1
2
▲ z1  z2时，R  0（无反射），T  1，全透射。
▲
62
z (kg/m  s)
T
420
空气→水 0.1%
2
空气（标准状况）
水
1 . 5  10
钢（按纵波算）
4 . 6  10
6
7
空气→钢 0.004%
水→钢
12%
∴ 要使声波进入钢，不能有气隙。 通常在钢表面
以增加透射率。
涂一层油(保持“声接触”的过渡层)，
实际的波发射和接收装置都需要设置过渡层，
以保证声阻抗的“匹配”。
63
例 如图示，余弦波沿 x 方向传播，a 点振动为
y a  A1 cos  t ，1u1 < 2u2  3u3 。 求：
y1
a 0
d
2u2 3u3
1u1
y
x
1
2
3
y1
2）S1面上反射波 y1，
（设其振幅为A1）；
x
3）S2面上反射回1区的
y1
l
1）1区入射波函数 y1；
S1 D S 2
波 y 1  ，（振幅 A1）；
4）使两列反射波在 1区干涉相消的Dmin=？
解： 1）y 1 ( x , t ) 
A1 cos  ( t 
xd
u1
)
64
y1
a 0
d
2u2 3u3
1u1
y
1
2
3
y1
x y 
1
l
x
S1 D S2


d ll x
)π 
2） y 1 ( x , t )  A1 cos  ( t 
u1




x  2l  d
 A1 cos  ( t 
)π 
u1


3） y 1( x , t ) 
A1 cos  ( t 
x  2l  d
u1

2D
u2
)
65
4）如何使
y 1
和
y 1
产生相消干涉：

令
x  2l  d
y 1  A1 cos  ( t 
)  π   A1 cos  t   1 ( x ) 
u1


x  2l  d 2 D 令
y 1  A1 cos  ( t 

)  A1 cos  t   1( x ) 
u1
u2

 1   1   π 
2D

A1
 与 x 无关，
u2
y 1 和 y 1合成仍为行波，
其振
幅 A1 合由  1   1 决定。
 1

A1合

A1
 1
y
相长干涉： 1   1  2 k π （k = 0，1，2）
相消干涉： 1   1  ( 2 k  1 )π
66
若要

y 1
和
x  2l  d
u1
y 1
π
产生相消干涉，应有：
 
2D
x  2l  d
u1
u2
 π  ( 2 k  1 )π
u2
2 D  2 ( k  1 )π
D  ( k  1)

u2

2D
  ( 2 k  1 )π
（k = 0,1,2,）
 ( k  1 ) u 2T  ( k  1 )  2
2
2
D min 
2
2
媒质2可作为隐形涂层。
67
三. 简正模式 （normal mode）
波在一定边界内传播时就会形成各种驻波。
如两端固定的弦，形成驻波必须满足以下条件：
n
n
 L ， n  1,2 ,3 …
2
L
n 
波速
u
n
u
或
 n
u
2L
F
l
n 
2L
n
——系统的固有频率
F ——弦中的张力
l ——弦的线密度
68
每种可能的稳定振动方式称作系统的一个
简正模式。
n =1
基频
1
2
n =2
二次
谐频
n =3
三次
谐频
2 2
3 2
69
边界情况不同，简正模式也不同：
L= n
n
L= n
4
n=1,3…
L
n=1
基频
1
n=3
三次
谐频
3
1
4
3 2
n
2
n=1,3…
n=1
基频
1
n=3
三次
谐频
3
L
1
2
3 3
2
70
末端封闭的笛中的驻波 末端开放的笛中的驻波71
例 一频率为248.5Hz的音叉放在盛水的细管口，
连续调节水面高度，当空气柱的高度相继为
L1 = 0.34 m 和 L2 = 1.03 m 时发生共鸣。
求：声波在空气中的声速 u
解： 发生共鸣时形成驻波，
L1
管口为波腹，水面为波节。
L2
空气柱长满足条件：
L  ( 2 n  1)

， n  0 , 1, 2 
4
72
L1  ( 2 n  1 )
L2
 0. 34 m
4
 2 ( n  1 )  1 

L 2  L1 
 1 .0 3 m
声速
 0 . 69 m
2
u    1 . 38  248 . 5  343 m/s
L1  ( 2 n  1 )

 ( 2 n  1)
4
1 . 38 m
 0. 34 m
4
L1 
得

4
  2 ( L 2  L1 )  1 . 38 m
故
因

n=0
L2 

4
L1
L2
3
4
73
△ §2.8
声波 ，*地震波，*水波
（自学书2.8、2.9、2.10节）
对声波（sound wave）要求搞清如下概念：
声压
p  p波  p静
（可正、可负）
声压振幅：p m   uA 
声强
I 
1
u A
2
2
2
标准声强： I 0  10  12 W/m
2
（在1000Hz下，这个声强人能够勉强听到）
 的数量级为102 Hz时，标准声强振幅∼10 -10 m
74
声强级
L  log
I
(Bel)  10 log
I0
I
(dB)
I0
正常说话~60dB，噪声>70dB，炮声~120dB。
每条曲线
描绘的是
相同响度
下，不同
频率的声
强级。
dB
声
强
级
听觉界限
声响曲线
频率
Hz
75
dB
声
疼痛界限
音乐范围
强
语音范围
级
听觉界限
声音范围
频率
Hz
声 阈
76
超声波
 > 20000Hz的声波
要了解其应用
胎儿的超
声波影象
（假彩色）
演示 超声喷泉（KZ032）
77
§2.9 多普勒效应(Doppler effect) (书2.11节)
多普勒效应： 由于波源和观察者的运动，
而使观测的频率不同于波源频率的现象。
一. 机械波的多普勒效应
设 运动在波源 S 和观测者R的连线方向上，
以二者相向运动的方向为速度的正方向。
 R（观测频率）
 S（波源频率）
 (波的频率) R
S
vS > 0
（对媒质）
u
vR > 0
（对媒质）
78
（1） vS = 0 ，vR ≠ 0， 此时，   S
R 
S
· · ·R
uvR

( 

uvR
u
u


u
S
S
)
vR > 0(R接近S)， R   S

vS = 0 vR u
vR < 0(R远离S)，
R
S
79
（2） vR = 0 ，vS ≠ 0， 此时， R  
0
R
vS
S
·· ·
vSTS
R
u
uTS
测=  S 运动的前方波长缩短
vS
R  
· ·S

u


u
( u  v S )T S

u
u vS
S
80
水波的多普勒效应（波源向左运动）
81
（3）vR ≠ 0 ，vS ≠ 0， 此时， S     R
R 
uvR
u
 
uvR
u

u
u vS
S 
uvR
u vS
S
当 vR = -vS 时（无相对运动）， R   S
注意：
1. S 动R不 动
  0
波对R速
R 动S不 动
   0 度不是u
R S
R S
本质
不同
2. vR、 vS 是对媒质而言，且以相向为正。
82
演示
多普勒效应（KZ031）
二. 电磁波的多普勒效应
电磁波不同于机械波，不需要媒质。
v (对R)
S

S c
当
由相对论可导出：
R
R


2
c v
2
R 
2
c  v cos 
S
时，仍有  R   S
—— 横向多普勒效应
83
三. 激波
v S  u 时， R  0 —后发出的波面
马赫锥
uΔt

· · · ·
S v
S
vSΔt

将超越先发出的波面，
形成锥形波阵面 ——
· （冲击波）（shock wave）
sin  
vS
u
u
vS
—— 马赫数
（Mach number）
对超音速飞机的最小
冲击波带 飞行高度要有一定限制。
84
超音速的子弹
在空气中形成
的激波
（马赫数为2 ）
85
电磁激波 —切连柯夫辐射(Cerenkov radiation)：
高能带电粒子在介质中的速度超过光在介质中
的速度时，将发生锥形的电磁波—切连柯夫辐射。
它发光持续时间短（数量级10 -10s）， 不易引起
脉冲重叠，可用来探测高能带电粒子。也可用来
作起始脉冲和截止脉冲。
四. 多普勒效应的应用：
▲ 测速（固、液、气）
▲ 多普勒红移（“大爆炸”宇宙论）
▲ 卫星跟踪（书P95  96）
86
警察用多普勒测速仪测速 超声多普勒效应测血流速
87
例 已知：如图，
当汽车 C 经过O 时，B处监测到
电视信号( = 6108Hz)有每秒20次的强度起伏。
求：汽车 C 经过O 时的车速 v =？
v
C
解：为什么B处会接收到强度
O
30 x
起伏的电视信号？ 分析：—
电 C作为接收者在动，使它接收

视
信 的频率  ，反射亦为 。
号 C作为发射者在动，使B接收
B
C反射的频率 。
在B处，反射波和直接入射波叠加形成“拍”。
88
这就造成了信号强度的起伏。
 v
C
O

拍频         20 Hz
30
x
C

C  
v
30
等同
电


视
S
信
c
号 v  c ：  
 
B
c  v cos 
30

v

S
 ，   30 
汽车接收和反射（发射）电磁波的频率：

c
c  v cos 30 
c
 
c
3
2
v
3 v
 （ 1 
 )
2 c
89
C
 v
O
B处监测到汽车反射的频率：
x
90
电
视
信
号
 
B

v 
2
3

20
3



  
c
c  v cos 90 

拍频            
3 v

 
2 c
c 
2  20
3  6  10
8
 3  10
8
 11 . 5 m/s  41 . 4 km/h
90
*§2.10 复波，群速度（书2.12节）
一. 复波
复波是非简谐波，它是若干不同频率的简谐
波叠加而成的合成波。
y
x

上面是两个频率相近的简谐波合成的复波
的波形图，它表示了振动合成中的拍现象。91
二. 色散（dispersion ）
在有些介质中不同频率简谐波的波速也不同，
这种现象称为“色散”（或“频散”）。
能产生色散现象的介质称为“色散介质”。
不产生色散现象的介质称为“无色散介质”。
在无色散介质中不同频率的简谐波的波速相同，
合成的复波也以同样速度传播，且波形保持不变。
在色散介质中不同频率的简谐波合成的复波
情况比较复杂。
92
三. 群速（group velocity）
对简谐波来说，u 既是波形整体传播的速度，
又是相位传播的速度。
对色散介质中的复波来说，不仅不同频率简
谐波的相速不同，而且它们与合成波波形整体
传播的速度也不同。
下面我们以两个频率相近、振幅相等、 沿同
向传播的两列简谐波的合成为例，进行讨论。
设简谐波1：  ， u ，  ，
k
简谐波2： + d ，u + du， + d  ，k + d 93k
d
2 1

B
u
A
u + du
x
设经过时间 ，合成波位移最大点由A移到B，
则站在第1个波上看，最大位移在 内后移了 。
∴从介质参考系看，最大位移传播的速度为：
ug  u 
∴

，

ug  u  
du
d
又
d   d u 
或 ug 
d
dk
u   k ，   2 k
94
y
ug
x

由于振幅的变化，合成波为一群群振动的传播，
这样的一群振动叫一个“波群”或“波包”。
ug 既是合成波位移最大值传播的速度，又是
“波包”传播的速度， 也是信号和能量传播的
速度。这个速度称为复波的“群速度”。
95
由于两个成分波的频率十分接近，它们的相
速度也十分接近， 因此合成波的相速度就可认
为是成分波的相速度u 。群速和相速的关系式
就是
ug  u  
du
对无色散介质，
d
du
d
du
d
 0
ug  u 

k
越大，色散越严重，ug 和 u 相差越大。
只有在
du
d
 0
或
du
d
很小的情况下，波包
才是稳定的。色散较大时，波包会扩散消失。
96
此时群速将失去意义。
△*§2.11
孤子（soliton）（自学书2.13节）
在非线性介质中（相速度和振幅有关），
非线性效应有可能使波包被挤压，从而与色散引
起的波包扩散相抵消， 形成形状不变的孤立波，
又称做孤立子或孤子。
孤子在信号传播中有重要应用。
第二章结束
97