Transcript 第1讲

第1章
光在各向同性介质中的传播
本章内容
1.1 光波的特性
1.2 光波在介质界面上的反射和折射
1.3 光波在金属表面上的反射和折射
1.1 光波的特性
主要内容
1.1.1 光电磁波及Maxwell方程组
1.1.2 几种特殊形式的光波
1.1.3 光波场的时域频率谱
1.1.4 相速度和群速度
1.1.5 光波的横波性、偏振态
1.1.1 光电磁波及Maxwell电磁方程
1. 电磁波谱
可见光
  
  
  
波长 1014m 0.1nm 1nm 10nm 100nm 1m 10m 100m 1mm 1cm 10cm 1m 10m 100m 1km
Cosmic
rays
-rays X-rays
  
频率(Hz) 1021
Microwave
Infra-red
Ultrviolet
Radio waves
  
Longwaves
  
1018
1017 1016
1015
1014
1013
1012
1011
1010
109
108
107
106
1.1.1 光电磁波及Maxwell电磁方程
2. Maxwell方程

D  

B  0


B
E  
t



D
H 
J
t
(1.1-1)
(1.1-2)
(1.1-3)
(1.1-4)
1.1.1 光电磁波及Maxwell电磁方程
3. 物质方程
各向同性介质



D   E   0 r E



B  H   0 r H


J  E
(1.1-5)
(1.1-6)
(1.1-7)

 
D   E
各向异性介质

 
B   H


J  E
说明：物质的不同决定了物质特性的不同
1.1.1 光电磁波及Maxwell电磁方程
4. 波动方程
无源空间

J  0,
=0

D  0

B  0


B
E  
t

H 
(1.1-8)
(1.1-9)
(1.1-10)

D
t
(1.1-11)
1.1.1 光电磁波及Maxwell电磁方程
对(1.1-10)式两边取旋度，并将(1.1-11)式代入，可得

  (  E )    0

 E
2
t
2
利用矢量微分恒等式



2
 （   A ）  (   A )   A
对于各向同性均匀介质并考虑到 (1.1-8)式，可得

 E   0
2
同理得

 H   0
2

 E
2
t 
2
 H
2
t
2
0
(1.1-12a)
0
(1.1-12b)
1.1.1 光电磁波及Maxwell电磁方程
令
v 
1
(1.1-13)


1  E

 E
2
2
波动方程
v t 
2
1  H
2

2
 H 
v
真空中的光速
介质折射率
c
n 
c
v
2
t
2
1
(1.1-14)
0
 2 . 99792  10 m/s
8
 0 0

2
0
 r r 
r
(1.1-16)
一般介质，r 或 n 是频率(波长)的函数，其取决于介质结构。
1.1.1 光电磁波及Maxwell电磁方程
5. 光电磁场的能流密度

能流密度矢量——坡印廷矢量 S 定义为
  
S  EH
(1.1-17)
沿 z 方向传播的平面光波的光场可表为：


E  ex E0 cos(t  kz)


H  e y E0 cos(t  kz)

则平面光波的能流密度 S 表示为：
 
2
S  s z E0 H 0 cos (t  kz)
1.1.1 光电磁波及Maxwell电磁方程
由(1-10) 式，平面光波场有：
 E0 
  n
2
2
 S  sz
E0 cos (t  kz)
0c
H0
(1.1-18)
该式表明，平面光波的能量沿 z 方向以波动形式传播。
实际应用中，通常用能流密度的时间平均值〈S〉表征
光电磁场能量传播的平均效果，并称其为光强，以 I 表示。
如果光电探测器的响应时间为T ，则
I  S 
1
T

T
0
S dt
1.1.1 光电磁波及Maxwell电磁方程
将(1-18)式代入， 进行积分可得
I  S 
1 n
E0 
2
2 0 c
1

2
0
E0  E0
2
2
(1.1-19)
式中，  n /( 2  0 c )   /  0 / 2 是比例系数。
即在同一种介质中
I  E0
2
某些应用场合，由于只考虑某一种介质中的光强，只
关心光强的相对值，因而往往省略比例系数，把光强写成
I  E
2
 E 0
2
如果考虑的是不同介质中的光强，则比例系数不能省略。
1.1 光波的特性
主要内容
1.1.1 光电磁波及Maxwell方程组
1.1.2 几种特殊形式的光波
1.1.3 光波场的时域频率谱
1.1.4 相速度和群速度
1.1.5 光波的横波性、偏振态
1.1.2 几种特殊形式的光波


交变电场 E和交变磁场 H 所满足的波动方程一般形式：

 f 
2

1  f
2
v t
2
2
0
(1.1-20)
对于不同的边界条件（或者边值条件），其
解的具体形式不同。

说明：只讨论电场矢量 E
1.1.2 几种特殊形式的光波
1. 平面光波
1）波动方程的平面光波解
直角坐标系

 
2

2
x
2

2
y

2

2
z
2
假设 f 不含 x 、y 变量，则波动方程可表示为

 f
2
z
改写为
(

z

2

1  f
2

1 
v t
v
)(
t
2

z
2

0
1 
v t
(1.1-21)

)f 0
1.1.2 几种特殊形式的光波
令
p  z  vt
q  z  vt

可以证明
p

q
因此
求解得

1

1
(

2 z
(



1 
v t
1 
2 z v t

2
 f
0
pq
)
)



f  f1 ( p )  f 2 ( q )


 f 1 ( z  vt )  f 2 ( z  vt )
(1.1-22)
1.1.2 几种特殊形式的光波

f1 (zvt) 表示沿 z 方向以速度 v 传播的波 ——右行波。

f2 (z+vt) 表示沿 z 方向以速度 v 传播的波——左行波。
图 1-2 平面波示意图
1.1.2 几种特殊形式的光波
2）单色平面光波
① 三角函数表示



f  A cos(  t  kz )  B sin(  t  kz )
若平面波沿 z 方向传播，其电场表示式为
 
z

E  e E 0 cos(  t  kz )  e E 0 cos[  ( t  )]
v
t
z

 e E 0 cos[ 2 π (  )]
T 
(1.1-23)
1.1.2 几种特殊形式的光波
2）单色平面光波
② 复数表示

  i( ωt  kz )
E  E 0e
则
又
(1.1-24)
 
  i( ωt  kz )  i( ωt  kz )
2
E  E  E0e
 E0e
 E0
~

 i kz  i ωt
 i ωt
E  E0e e
 Ee
复振幅
~
 i kz
E  E0e
考虑到初相位
~
 i( kz   )
0
E  E0e
1.1.2 几种特殊形式的光波

若单色平面光波沿任一波矢 k 方向传播，则
 


三角函数表示 E  E 0 cos(  t  k  r   0 )
复数表示
相应复振幅
(1.1-28)

  i( ωt  k  r   )
0
E  E0e
(1.1-29)
~
 i( k  r   )
0
E  E0e
(1.1-30)

假定平面光波的波矢量 k 平行于xOz平面，则在 z = 0
平面上其复振幅可表 为：
~

 i ikx sin
E  E0 e 0 e

 为 k与 z 轴的夹角，

k
x

O
~

E
z
则与之相应的相位共轭光波的复振幅可表为:
~
*
 i ikx sin
 i ikx sin( )
E  E0 e 0 e
 E0 e 0 e
该式表明：此相位共轭光波是与波来自同一侧的平面光
波，其波矢量也平行于xOz平面、并且与z轴夹角为 。
对照(1-30)式，可将(1-28)式的
复数共轭写成下列形式：
~
*
 i ikr
E  Ee 0 e
1.1.2 几种特殊形式的光波
说明：
① 凡是描述真实物理量的参量都必须是实数。采用
复数形式来描述，只是为了数学运算上的方便。
② 对复数形式的量进行运算，只有取实部后才有物
理意义，并且才能得到与三角函数运算相同的结果。
③ 由于对 ei(t  kz)和 e i(t  kz) 取实部可得到相同结
果，因此对于平面简谐光波而言，采用ei(t  kz) 和
ei(t  kz) 两种形式完全等效。
1.1.2 几种特殊形式的光波
2. 球面光波
一个各向同性的点光源，向外发射球面光波，等相位面
是以点光源为中心、随距离的增大而逐渐扩展的同心球面。
采用标量波理论，且令 f = f (r, t) ， 波动方程的形式为
1  f
2
 f
2
v t
2
2
0
球坐标系下
1   2 f  1  f
0
r
 2
2
2
r r  r  v t
2
1.1.2 几种特殊形式的光波
解
f 
f 1 ( r  vt )
f 2 ( r  vt )

r
单色球面光波
(1.1-19)
r
E 
A1
cos(  t  kr )
r
f1(rvt) — 从原点沿 r 向外发散的球面光波；
f2(r+vt) — 向原点(点光源)传播的会聚球面光波。
可以看出：球面光波的振幅与球面的曲率半径 r成反比。
单色球面光波的波函数 E 
A1
cos(t  kr)
r
复数形式为
E 
A1
r
e
 i (t  kr )
1.1.2 几种特殊形式的光波
3. 柱面光波
一个各向同性的无线长线光源，向外发射柱面光波，等
相位面是以线光源为中心轴、随距离的增大而逐渐展开的同
轴圆柱面。
圆柱坐标系中波动方程
1   f 
1  f
0
r
 2
2
r r  r  v t
2
单色柱面光波
E 
A1
r
e
 i( ωt  kr )
(1.1-19)
1.1.2 几种特殊形式的光波
4. 高斯光束
概念：
研究表明，从稳定球面腔和共焦腔中所发出的激光束是
高斯激光束。这种高斯激光束最显著的特征就在于，它的外
轮廓是圆形双曲面（即旋转双曲面）或者椭圆形双曲面。
特点：
· 等相面曲率半径在正无限大和负无限大之间连续变化；
· 曲率中心在正无限大和负无限大之间连续变化；
· 在垂直光传播轴线的平面内光场振幅分布遵循高斯分布。
1.1.2 几种特殊形式的光波
圆柱坐标系下，波动方程的形式：
2
2
 2
1 

1 

 r 2  r r  z 2  v 2 t 2



E  0

基模圆高斯光束的标量波解
E00 (r , z , t ) 
E0

e
r
2
2
w (z)
e
2


r
z 
  

  arctan  
 i  k  z 
2 R ( z ) 
f 


  
e
 i t
w( z )
光斑半径：中心振幅值下降到1/e的点所对应的光斑宽度。
w( z )  w0
 z 
1 



f


2
1.1.2 几种特殊形式的光波
高斯分布与光斑半径
光斑半径随z 的变化按双曲线规律扩展
基模圆高斯光束在其传播轴线附近，可以看作是一种非均
匀的球面波，其等相位面是曲率中心不断变化的球面，振幅和
强度在横截面内保持高斯分布。
1.1.2 几种特殊形式的光波
光束的分类
波动方程的特解 1 —— 同心光束解
均匀平面光波
均匀球面光波
均匀柱面光波
波动方程的特解 2 —— 非同心光束解
高斯光束
高次曲面光波
1.1 光波的特性
主要内容
1.1.1 光电磁波及Maxwell方程组
1.1.2 几种特殊形式的光波
1.1.3 光波场的时域频率谱
1.1.4 相速度和群速度
1.1.5 光波的横波性、偏振态
1.1.3 光波场的时域频率谱
1.
频率为ω的单色平面光波可表为
E  E 0 cos(  t  kz   0 )
复色光波可表为不同频率单色光波的叠加
N
E   E0l cos(l t  kl z )
l 1
(1.1-51)
1.1.3 光波场的时域频率谱
2. 频率谱
只考虑光波场在时间域内的变化，表示为E(t)。
傅里叶变换：
1
E ( t )  F [ E ( )] 



E ( ) e
 i 2 π t
d
(1.1-52)
exp(i2t) ——傅氏空间(或频率域)中频率为 的基元，
取实部得cos(2t)。因此可将exp(i2t)视为频率为 的单
位振幅简谐振荡。E()随 的变化称为E(t)的频谱分布，或
简称频谱。
1.1.3 光波场的时域频率谱
因此可理解为：一个随时间变化的光波场振动E(t)，可以
视为许多单频成分简谐振荡的叠加，各成分的振幅为E()，
E ( )  F[ E ( t )] 



E (t ) e
i 2 π t
dt
一般情况下，由上式计算出来的E()为复数，它就是
频率分量的复振幅， 可表示为：
E ( )  | E ( ) | e
i  ( )
式中，|E()|为模，()为辐角。因而，|E()|2就表征了 频率
分量的功率，称|E()|2为光波场的功率谱。可见，一个时域
光波场 E(t) 可以在频率域内通过它的频谱进行描述。
1.1.3 光波场的时域频率谱
(1) 无限长时间的等幅振荡——理想单色光波
E(t)
E (t )  E 0 e
 i 2 π 0t
 t 

E0

t
E (v ) 

E() 2



E0e
 E0  e

 i 2 π 0t
i2 π (  0 ) t
e
i 2 π t
dt
E0 2
d t  E 0  (   0 )
0
即：等幅振荡光场对应的频谱只含有一个频率成分  0 ，
我们称其为理想单色振动，其功率谱为|E()|2。

1.1.3 光波场的时域频率谱
(2) 持续有限时间的等幅振荡
——无吸收损耗作用的有限长波列（串）
 i2 π  0 t

e
(设振幅为1) E ( t ) 

0
E (v ) 
或
相应的功率谱

T /2
e
T /2  t  T /2
其它
 i2 π  0 t
T / 2
dt  T
sin π T (   0 )
π T (   0 )
E ( )  T sinc[ T (   0 )]
2
E ( v )  T sin c [ T ( v  v 0 )]
2
2
1.1.3 光波场的时域频率谱
E(t)
1
t
E()
T2
2
T

1 0 2

其频谱的主要部分集中在从  1 到  2 的频率范围之内，主
峰中心位于0 处，0 称为振荡的表观频率或中心频率。
1.1.3 光波场的时域频率谱
为表征频谱分布特性，定义最靠近0的两个强度为零的
点所对应的频率2和1之差的一半为这个有限正弦波的频谱
宽度 ，即 = ( 2   1)/2 。
当 =0 时， E(0)|2 =Ｔ2
当 =0±1/T 时，|E()| = 0
所以：
 
1
T
可见，振荡持续的时间越长，频谱宽度愈窄。
1.1.3 光波场的时域频率谱
(3) 衰减振荡——有吸收损耗作用的半无限长衰减波列
表达式
频谱
 e   t e  i 2 π 0t
E (t )  
0
E (v ) 




e
t
e
 i2 π  0 t
e
i2 π  t
t0
t0
dt 



e
i[2 π (  0 )  i  ] t
i
2 π (   0 )  i 
功率谱 | E ( ) |  E ( ) E * ( ) 
1
2
4 π (   0 )  
2
2
2
dt
1.1.3 光波场的时域频率谱
E(t)
t
E() 2
1/2
1/(22)

1 0 2

可见，该衰减振荡也可看作无限多个振幅不同、频率连续变
化的简谐振荡的叠加,0为中心频率。把最大强度一半所对应
的两频率2和1之差，定义为这个衰减振荡的频谱宽度。
1.1.3 光波场的时域频率谱
由于 1=  2 时，|E( 2)|2= |E(ν0)|2/2，即：
1
4 π ( 2   0 )  
2
化简得：
2
( 2   0 ) 
2

1
2
2

2π
所以：      (  )  (  ) 
2
1
2
0
0
1

π
1.1.3 光波场的时域频率谱
注意：
在上面的有限正弦振荡和衰减振荡中，尽
管表达式中含有exp(i20t)的因子，但E(t)已不
再是单频振荡。
换言之，我们只能说这种振荡的表观频率
为 0，而不能简单地说振荡频率为 0 。只有以
某一频率作无限长时间的等幅正弦振荡，才可
以说是严格的单色光。
1.1.3 光波场的时域频率谱
3. 准单色光
理想的单色光是不存在的，实际上能够得到的
只是接近于单色光的准单色光。例如：
(1) 持续有限时间的等幅振荡，如果其振荡持续时间很长，
以致于1/T<<0，则E( )的主值区间 (01/T)< < ( 01/T)
很窄，可认为接近于单色光；
(2) 对于衰减振荡，若 很小(相当于振荡持续时间很长) ，
则频谱宽度很窄，也接近于单色光。
1.1.3 光波场的时域频率谱
对于一个实际表观频率为0的振荡，若其振幅随时间
的变化比振荡本身缓慢得多，则这种振荡的频谱就集中于
0附近的一个很窄的频段内，可认为是中心频率为0的准
单色光。
场表达式：
E (t )  E0 (t )e
 i2π 0t
1.1.3 光波场的时域频率谱
例如：在空间某点以表观频率0振动、振幅为高斯函数的准
单色光波
4 ( t  t0 )
场表达式： E ( t )  A e
t
2
2
e
 i ( 2 π 0t  0 )
E(t)
A
t
t
振动曲线在t = t0 时，振幅最大，且为A ；当|t t0|=t/2时，振
幅降为A/e。参数t 表征着振荡持续的有效时间。
1.1.3 光波场的时域频率谱
频谱：
E (v ) 

4 ( t  t0 )


t
Ae
2
2
e
 i ( 2 π 0t  0 )
e
i 2 π t
dt
变量代换，并将被积函数分为实部和虚部分别积分，得：
1
E (v ) 
π  tA e
 π  t (  0 ) / 4
2
2
2
e
 i [ 2 π ( 0  ) t 0   0 ]
2
相应的功率谱： | E (v) | 
2
E()
2
1
πt A e
2
2
 π t (  0 ) / 2
2
2
2
4
E(0) 2
E(1) 2/e

1 0 2

1.1.3 光波场的时域频率谱
根据上述定义，有|E(2)|2=|E( 0)|2/e， 计算可得
( 2   0 ) 
因此
2 / πt
   2  1 
2 2
πt
该频谱宽度 表征了高斯型准单色光波的单色性程度。
1.1 光波的特性
主要内容
1.1.1 光电磁波及Maxwell方程组
1.1.2 几种特殊形式的光波
1.1.3 光波场的时域频率谱
1.1.4 相速度和群速度
1.1.5 光波的横波性、偏振态
1.1.4 相速度和群速度
1. 单色光波的速度——相速度
单色光波场表示式：


E  E ( r ) cos[  t   ( r )]

 ( r ) ——随距离变化的相位项。

相应于 t   ( r )  常数 的空间曲面为该单色光波的等相位面，

满足该式的 r 是这个相位状态在不同时刻的位置。

对  t   ( r )  常数 求微分，得：

 dt     dr  0
1.1.4 相速度和群速度

 

设 r 0为 d r 方向上的单位矢量，并写成 dr = r0 ds，则 ：
ds

 
dt
r0   


当 r0垂直于等相位面，即 r0=   | |时，上式值最小：

v(r ) 

|  |

该v( r )就是等相位面的传播速度，简称为相速度。

对于波矢量为 k 的平面单色光波，其空间相位项为：
 

 (r )  k  r   0

  k
1.1.4 相速度和群速度
因此平面单色光波的相速度为：
v

k

c
r r
特别说明：相速度是单色光波所特有的一种速度，
并不表示光波能量的传播速度。
所以当 n   r  r  1 时，例如在色散介质的反
常色散区，就有相速度 v 大于真空中光速度 c 的情
况，这并不违背相对论的结论。
1.1.4 相速度和群速度
2. 复色光波的速度
实际上的光波都不是严格的单色光波，它的
光电场可表示为单色光波电场的叠加，即：
N
E 
E
0l
cos(  l t  k l z )
l 1
以二色波为例，其光电场：
E  E 01 cos(  1t  k1 z )  E 02 cos(  2 t  k 2 z )
1.1.4 相速度和群速度
若E01=E02=E0，且|1  2| <<  1 ,  2 ，则：
E  E ( z, t ) cos( t  k z )
式中：
E ( z , t )  2 E0 cos( m t  k m z )
m 
1
km 
1

2
2
1
2
k 
1
2
(1   2 ) 
( k1  k 2 ) 
(1   2 )
( k1  k 2 )
1

2
1
2
k
1.1.4 相速度和群速度
1.1.4 相速度和群速度
可见对于复色波，其传播速度包含两种含义：
(1) 等相位面的传播速度，称为相速度。
(2) 等振幅面的传播速度，称为群速度。
1.1.4 相速度和群速度
(1) 复色波的相速度
令复色波相位为常数
 t  k z  常数
则某时刻等相位面的位置 z 对时间的变化率即为
等相位的传播速度——复色波的相速度，且
v 
dz
dt


k
1.1.4 相速度和群速度
(2) 复色波的群速度
复色波的振幅是时间和空间的余弦函数:
E ( z , t )  2 E 0 cos(  m t  k m z )
任一时刻，满足(mt kmz)=常数的 z 值，即为某等振幅面
的位置。该等振幅面位置随时间的变化率即为等振幅面的
传播速度—复色波的群速度：
vg 
当 很小时，写成：
dz

dt
vg 
m
km
d
dk


k
1.1.4 相速度和群速度
(3) 相速度与群速度之间的关系
由波数 k =
 
由 k =2/
vg 
d (kv)
dk
dk
dk = (2/2)d
vg  v  
由 v = c/n
vk
dv
dv
d
dv = (c/n 2)dn
 dn 

v g  v 1 

n d 

1.1.4 相速度和群速度
(4) 结果和结论
由此可见：在折射率n 随波长变化的色散介质
中，光波的相速度不等于群速度。
①对于dn/d＜0(正常色散介质)，v＞vg；
②对于dn/d ＞0 (反常色散介质) ，v＜vg；
③对于dn/d = 0(无色散介质)， v＝vg；
相速度等于群速度，只有真空才属于这种情况。
1.1.4 相速度和群速度
①复色波是由许多单色光波组成的，只有复色波
的频谱宽度很窄，各个频串集中在某一“中心”
频率附近时，才能构成波群，上述关于复色波速
度的讨论才有意义。如果 较大，得不到稳定的
波群，则复色波群速度的概念没有意义。
②只有在色散很小的介质中传播时，群速度才可
以视为一个波群的传播速度。
③由于光波的能量正比于电场振幅的平方，而群
速度是波群等振幅点的传播速度，所以在群速度
有意义的情况下，它即是光波能量的传播速度。