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平面電磁波
(Plane Electromagnetic Wave)
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
9.1.1 沿正z方向傳播的均勻平面波 (UPW) 電磁場
計算
1.電磁波的波動方程式表示如下：

2

1  E
，其中物質波速度
2E  2 2  0
v t
v

e
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
2. 考慮線性極化波的電場，其相量齊次漢姆霍茲方程式如
下：
 2 Ex  k 2 Ex  0
其中 K   e 稱為介質中的波數 (wave number)
 2
2
2
 2  2  2
y
z
 x

 E x  k 2 E x  0

9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
x  y 平面”是
由於電場 E x 沿著 zˆ 方向傳播，且在“
“均勻”平面波，因此
2
Ex  0
2
x
且
2
Ex  0
2
y
故上式可簡化如下：
d 2 Ex
2

k
Ex  0
2
dz
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
沿 z 軸平面波的電場相量解如下：

  jkz
 jkz
Ex ( z)  E0 e  E0 e
上式中的 E 0 和 E0 為常數分別代表從  zˆ和  zˆ方向的振幅
強度，此數值大小，必須由邊界條件決定，沿 z 軸平面波
電場時域型式如下：

Ex ( z , t )  Re[Ex ( z)e jt ]  E0 cos(t  kz)  E0 cos(t  kz)
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
Ex ( z)  E0 e jk z  E0 e jk z


 


註：相量
沿 z 軸傳播
時間諧波場
沿 z 軸傳播

Ex ( z , t )  E0 cos(t  k z)  E0 cos(t  k z)
 
沿 z 軸傳播
沿 z 軸傳播
故沿“正 zˆ 軸”傳播的電場表示如下：

  jkz

相量：
E
(
z
)

E

x
0e




時域：
E
(
z
,
t
)

E
x
0 cos( t  k z )

9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
1.均勻平面波UPW (Uniform Plane Wave) 特性

相量場　E ( z )  E0 e  jk z
 
振幅
相位
其中波數 k   e ( 與空間位置無關 )。因此，當 z  定
值，相位k z  定值，因此無論在x - y 平面上的任意位

置，其相量電場大小 | E ( z) |  定值  E0 與 x , y 座標無關。
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
xˆ
zˆ
yˆ
E0
E0
E0
註：(  0) 衰減的均勻平面波，代表在 zˆ 軸方向存在衰減
項函數

 jk z
 z
相量場　E( z)  E0 e
e
  


振幅
相位
衰減項
其中  為衰減係數， 為相位常數。
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
2. 沿  z 軸傳播的特性

時域解 E( z , t )  E0 cos ( t  kz)
3. 相速度 (phase velocity) 特性
在波形的波峰位置觀察平面波電磁波向軸傳播情形，假設
電磁波是單一頻率，則“等相位面”行進的速度即稱為相速
度
E( z , t )  E0 cos(t  k z)
 
 

振幅
相位
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
等相位即 cos(t  k z)  常數  t  k z  常數
將左右兩邊微分得  dt  kdz  0
相速度定義 v p 
相速度　vp 

k

dz
d t  t  k z 常 數 ( 單位：m/s)
1
e
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
註：真空環境中，平面波的相速度是光速，
將 e  1  109 (F/m) ,  
代入可得
7
0
36 
0
4 10 (H/m)
真空的相速度即光速
vp 
1
0 e0
 c  3  108 (m/s)
4. 均勻平面波的傳播參數特性

時間諧波場 E( z , t )  E0 cos(t  k z)  Re [ E0 e j ( t k z ) ]
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
其中
 E 0 代表振幅(amplitude)

2 



代表角頻率





T




 k 代表波數( waven umber )
(1)若固定 z 軸上“某一點位置”觀察，則平面波隨“時間”
為週
期性的變化 e j t  e j (t T )  T  2
週期 T 
2

9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
(2) 若固定“某一特定時間”觀察，則平面波隨“空間”為
週期
性的變化 jk z
 jk ( z   )
e
e
波數 k 
波長  
 k  2
2

2
k
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
式中
 k 代表電磁波在介質中， 單位週期內「波」長的 個「數」。

  代表電磁波在介質空間 的波長， 即波峰到波峰的距離。
E x (z )
  2 / k
E0


4
2
0
t 0
3
4


t  t
2
z
圖9.2
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
註：波數 k 和波長  與介電質折射率 n 關係式
波數
k   e  0ere0   0e0
介質波數 k 
波長

c
er  nk0
2
2
2 c



k
nk0
n
0
c
介質波長  

nf
n
er
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
5. 平面電磁波特性歸納整理
相量標準式
E  aˆ x E0 e  jk z
(1) 傳播方向 ( 即電磁波能量方向 )：觀察指數項上式 aˆ k
為 aˆ z 方向。
(2) 電場方向 ( 稱為極化方向 )：垂直於傳播方向，上式
E 為 aˆ x方向。
 
(3) 磁場方向：E , H , aˆ k 為次序循環正交，上式 H 為 aˆ y方
向。
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
(4)
(5)
振幅大小：以符號 E 0 表示。
頻率、波長、速度：
v f 
1
e

c
er

c
n
0
c

v
和

會隨介質
n
的不同而改變
v

,


其中 
n
n
 f 不會隨介質n 的不同而改變，f 是由電磁波的波源的頻
率來決定

9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
(6) 圖形
xˆ
aˆ k
E
H
yˆ
圖9.3
zˆ
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
9.1.2 沿任意方向的均勻平面波
1. 沿  z 軸的均勻平面波，其電場相量的型式如下：
 jk z z
ˆ
ˆ
E  ax Ex  ax E0 e
 


方向 振幅
相位
2. 沿任意方向的均勻平面波，其電場相量型式如下：
E( x , y , z) 
 jk x x  kj y y  jk z z
E0 e

 


方向振幅
相位
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)


其中 





k  k aˆ k  aˆ x k x  aˆ y k y  aˆ z k z

R  R aˆ R  aˆ x x  aˆ y y  aˆ z z
 
k  R  kx x  k y y  kz z
則電場以相量球座標型式可表示如下：
E(R)  Eˆ 0 e
 
 jk R
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
其中






k 稱為波數向量 (wave number vector) 或傳播向量
R 稱為半徑向量 (radius vector) 或位置向量
Eˆ 0 稱為常數向量 (constant vector)
ˆ
x
0
等相位面
( 波前 )

R
ˆk
a
P
ˆ
y
zˆ
圖9.4
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
任意方向傳播的均勻平面波電磁場偏微分方法計算說明
2 E  k 2 E  0
 2
2
2
 2  2  2
y
z
 x
令
E( x , y , z )  E0 X ( x)Y ( y)Z ( z )

 E  k 2 E  0

代入上式，由變數分離法整理得
X ( x) Y ( y) Z ( z )


 k2  0
X ( x) Y ( y )
Z ( z)
  
k x2
k y2
k z2
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
由此可得 X ( x)  e jk x x , Y ( y)  e jk y y , Z ( z)  e jk z z
，即
 X   k x2 X  0

2


Y

k

yY  0

2


Z

k
z Z  0

代入上式可得  E( x , y , z)  E e  j ( kx xk y ykz z )  E e  jkR
0
0
其中 k 
k x2  k y2  k z2
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
任意方向傳播的均勻平面波運算特性
步驟1：利用相量運算特性，可將微分方程式轉換成代數方
程式，同理亦可將時域電磁場轉換成相量型式。

 j ( 此運算法則適用於所有時間諧波場 )
t
步驟2：利用均勻平面波特性，可將相量運算的戴爾運算n
子，轉換成均勻平面波型式。
   jk ( 此運算法則僅適用於UPW)
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
[e
 
 jk  R
 

   j (kx xkx y kx z )
]  aˆ x  aˆ y
 aˆ z  e
y
z 
 x
 [aˆ x ( jk x )  aˆ y ( jk y )  aˆ z ( jk z )]e
 ( jk )[e
 
 jk  R
 
 jk  R
]



散度運算：我們運用恆等式   ( f A)  (f )  A  f (  A)
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
  jkR
  E    [ E0 e
]
 
 


 jk  R
 jk  R
 [e
]  E0  e
[  E0 ]
 

 jk  R
 [(  jk ) e
]  E0  0
  jkR
 ( jk )  [ E0 e
]
旋度運算：我們運用恆等式
  jk  R
  E    [E0 e
]
 
 


 jk  R
 jk  R
 [e
]  E0  e
[  E 0 ]
 

 jk  R
 [  jk e
]  E0  0
  jk  R
 (  jk )  [ E 0 e
]
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
對於無源區域電磁波而言，其馬克斯威爾方程式整理
如下表：
時間諧波場


H
  E  
t


E
 H e
t
相量場
均勻平面波相量場
  E   j H
 jk  E   j H
  H  j eE
 jk  H  j eE

E  0
 E  0
 jk  E  0

H  0
 H  0
 jk  H  0
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
1. 任意方向均勻平面波UPW的“方向”判斷：
 
(1) k  E  0　代表 k  E
 
(2)
k  H  0　代表 k  H



由以上討論可知 H  k  E ，即電場、磁場、傳播方向彼
此互相垂直，因此可知均勻平面波是TEM波
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)

H
Magneticfield
Electricfield

K
Wave field

E
圖9.5
註：所謂TEM為“橫向電磁波”(transverse electromagnetic



E
H
K
waves)，代表電場 與磁場 均垂直於傳播方向 ，而均
勻平面波UPW亦是TEM電磁波。
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
2.
任意方向均勻平面波UPW的“大小”推導計算：
(1)已知UPW相量電場推導計算磁場，相量磁場
，將    jk 代入上式
言
 e | E |
| H |


|E|


H 
|E|

kE

，阻抗 (impedance) 以符號
或 表示
阻抗   Z 
E
 j 
，對於磁場大小而
e
Z
H
|E|


|H|
e
( 單位： )
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
(2)已知UPW相量磁場推導計算電場，相量電場
   jk 代入上式
| E |
 e
|H| 
e

e
E
k  H
e
E
H
j e
，將
，對於電場大小而言
| H | | H |
7
註：對於真空環境，   0  4 10 (H/m) , e  e0 
1
109 (F/m)
36
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
此空氣阻抗稱為本質阻抗 (intrinsic impedance)，本質阻抗
空氣阻抗 0  Z 0 
0
e0
 120   377 ()
對於非真空環境，   0 , e  ere0
介質阻抗   Z 

e

0
er e0

Z0
er

Z 0 120

n
n
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
以阻抗型式計算任意方向均勻平面波電磁場
1. 沿  z 軸均勻平面波電磁場計算：

電場 E( z , t )  aˆ x Ex ( z , t )  aˆ x E0 cos(t  kz)

磁場 H ( z , t )  aˆ y H y ( z , t )  aˆ y E0 cos( t  kz )


波數 k  k z
2.
沿任意方向均勻平面波的電磁場計算：我們將電場類比
成電壓函數，而磁場類比成電流函數，則只需知道電場
函數，即可運用阻抗關係式，求出磁場函數。循環圖說
明如下：
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
相量磁場　H 
1
aˆ k  E
( 單位：A/m)
相量電場　E   (H  aˆk )
( 單位：V/m)

E
k
H
圖9.6
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
電場與磁場互相推導計算歸納整理
相量場
已知電場推導磁場
已知磁場推導電場
應用範圍
H
E
 E
 j
 H
je
非均勻平面波、波導、天
線、共振腔
均勻平面波相量場
H
E
k  E aˆk  E



k  H
 ( H  aˆ k )
e
任意方向傳播均勻平面
波
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
均勻平面波的電磁能密度計算
時間諧波電場

E( z , t )  E0 cos(t  kz )
時間諧波磁場 H ( z , t )  E0 cos( t  kz)

1.電磁能密度計算如下：
1 2 1 2
eE  eE0 cos 2 ( t  kz )
2
2
1
1 E02
1
2
磁能密度  m (t )   H   2 cos 2 ( t  kz )  eE02 cos 2 ( t  kz )
2
2 
2
電能密度  e (t ) 
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
2.
平均電磁能密度計算如下：
1 T
1
1 1
平均電能密度  m( ave) 
 m (t )d t  eE02   eE02
T 0
2
2 4
T
1
1
1 1
平均磁能密度  e ( ave) 
 e (t ) d t  eE02   eE02
T 0
2
2 4


3.
全部的平均電磁能密度計算如下：
 total   e ( ave)   m ( ave)
1 2
 e E0
2
J 

單位：


m3 

9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
4.
平面波的平均功率密度計算：
 j kz
相量電場 E  E0 e
相量磁場
H 
E0

e  j kz
根據波恩庭定理
E0 1 E02
1
1
*
Pav  Re [ E  H ]  E0 

2
2
 2 
W 

 單位： 3 
m 

9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
註：平均功率整理比較
電路學
電磁學
V
E
I
H
V2
交流功率
2R
1 E 02
平均功率密度
2 
( 單位：W)
W

 單位： 3 
m 

9-1-1
請由Maxwell方程式出發，試證明在自由空間 (free space) 傳播的電磁波必須為
橫波 (Transverse wave)。因此 (a) 若已知在自由空間中一電磁波電場形式為




E  aˆ y E0 sin(t  kz )，求此電磁波之D 、 B 及 H 的大小及方向；(b) 同理若

 
已知 H  a x H 0 cos( t  kz ) ，求此電磁波的電場 E 之大小及方向。


解
：(a) D  e0 E  a y E0 sin(t  kz)，利用均勻平面波電場與磁場關係如下：


E
E
H  aˆ x
 aˆ x 0 sin( t  kz )
0
0


E
B   0 H  aˆ x  0 0 sin( t  kz )
0

(b)磁場 H  aˆ x H 0 cos(t  kz )，代表往  aˆ z 方向傳播。根據右手定則，
其電場、磁場、傳播方向如下：
y
E
x
z


E  aˆ y 0 H  aˆ y H 00 cos(t  kz)
k
H
9-1-2
均勻平面波在真空中傳播的電場為

E  aˆ x 5sin(3 108 t   z)  aˆ y 5 cos(3 108 t   z)

H
試求：(a) 相速及傳播方向；(b) 磁場 。
解
： (a)   3 108 , k  
相度速 v p 

k
 3  108 m/s
(b) 0  120  377



E  aˆ x Ex  aˆ y E y



E
E
y
H  aˆ y x  aˆ x
0
 aˆ y
0
5
5
sin(3  108 t   z )  aˆ x
cos(3  108 t   z )
377
377
9-1-3
對於簡單介質中的均勻平面波而言， E 及 H 皆隨著 exp ( jk  R) 而改變。試求
馬克斯威爾方程式，對於無源區域中的均勻平面波可簡化為：( 參考書目 [3] )
k  E   H
k  H   eE
kE  0
kH  0
解
：
相量馬克斯威爾方程式 ( 無源區域 )







  E   j H
  H  j eH
E 0
H 0
對於均勻平面波










   jk
j k  E   j H
j k  H  j eH
jk  E  0
jk  H  0




k  E   H
k  H   e E
kE  0
kH  0
9-1-4

8
E
已知時間諧波電場  aˆ x 10sin(3 10 t  2z)
(b) 相對介電常數 er ？

H
(d) 時間諧波磁場 ？
求 (a) 波數 k ？
(c) 介質阻抗  ？
解
： (a)在 xˆ 方向極化，在 zˆ 方向傳播的電場

標準式 E  aˆ x E0 sin( t  kz )
波數 k  2
( 單位：1 / m)

(b) k  nk0  n
c
3  10
3  108
 n  2  er  4
 120 
 60  ()
(c)   0 
n
2
2  n
8

E
(d) H
ˆ y 0 sin( t  kz )
a

ˆy
a
10
sin(3  108  2 z )
60 
9-1-5


8
已知時間諧波電場 E  (aˆ x  aˆ y A) sin10  t 

求(a) 波數 k ？
(d) 波長  ？
(g) 常數A ？
解
：(a)
k
(b)  p 
(b) 相速度  p ？
(e) 介質阻抗  ？

(h) 時間諧波磁場 H ？
k k
2
x

k
3
1

x y 
2
2
6 

108 

(c) k  nk  n
0

2
y
(c) 相對介電常數 er ？
(f) 單位傳播方向aˆk ？
 3   1  2


  (1 / m)
 2   2 


 108 (m/s)

c
108 
   er 
 er  9
3 108
2 2
(d)  

 2 (m)
k

 120
 40  ()
(e)   0 
n
3
3

aˆ x k x  aˆ y k y aˆ x
k
(f) aˆ k  

k
k
2
 aˆ y


2  aˆ
x
3
1
 aˆ y
2
2

(g) [aˆ x  aˆ y A]  aˆ x 3  aˆ y
 2
1
1
(h) H  aˆ k  E 

40
 aˆ z
1 
e
20
1
3 A
 0  A 3
0 
2 
2
2

3
ˆ
a
 aˆ y
 x
2

3x 1
 2 y  6
2
1

ˆ
ˆ

[
a

a
3
]
e

x
y
2
3
2
 12 y  6
9.2 平面波的極化 (Polarization)
均勻平面波的極化是描述空間上某一點的電量強度向量隨
時間變化的行為，其常見有下列幾種類型：
1. 線性極化波L.P. (linear polarized wave)
2. 橢圓極化波 (elliptical polarized wave)
(1)右手橢型極化R.H.E.P (Right Hand)
(2)左手橢圓極化L.H.E.P (Left Hand)
y
x
z
觀察點
極化平面
圖9.7
9.2 平面波的極化 (Polarization)
3.
圓型極化波 (circular polarized wave)
(1) 右手圓型極化R.H.C.P.
(2) 左手圓型極化L.H.C.P.
4.
未極化波 (unpolarized wave)
9.2 平面波的極化 (Polarization)
極化的數學意義
1. 空間中電場相量型式如下：
考慮兩個方向線性極化波合成後的平面波表示如下：
相量 E( z)  [aˆ x E1 e jx  aˆ y E2 e jy ] e jkz
其中 E 和
1
E 2 分別代表
x 、y 方向兩個線性極化波的振幅。
2. 時變電場型式如下：

E( z , t )  aˆ x E1 cos (t  kz   x )  aˆ y E2 cos (t  kz   y )
9.2 平面波的極化 (Polarization)
選擇觀察點為 z  0 ，且平面波沿  z 方向傳播

時間諧波場 E(0 , t )  aˆ x E1 cos (t   x )  aˆ y E2 cos (t   y )
其中 E1 和
E2
是“實數”。
類型I：線性極化波
x   y  0
相量式 E  (aˆ x E1  aˆ y E2 ) e jkz
9.2 平面波的極化 (Polarization)

假設  x  0 ,  y  0 以方便觀察圖形 E(0 , t )  aˆ x E1 cost  aˆ y E2 cost
 x  E1 cos  t
令 
 y  E2 cos  t

x E1

y E2
此為直線方程式，稱為線性極化波 (L.P.)。
y
E2
E1
圖9.8
x
9.2 平面波的極化 (Polarization)









t  0 時

t  時
( x , y )  ( E1 , E2 )
位置
( x , y )  (0 , 0)
位置
t   時
3
t 
時
( x , y )  ( E1 ,  E2 )
位置
( x , y )  (0 , 0)
位置
2
2
類型II：右手極化波： x   y 

2
相量式 E  (aˆx jE1  aˆ y E2 ) e jkz
9.2 平面波的極化 (Polarization)
假設  x 

2
, y  0
以方便觀察圖形



ˆ
E (0 , t )  a x E1 cos   t    aˆ y E2 cos  t
2

 aˆ x ( E1 sin t )  aˆ y E2 sin t
令  x   E1 cos  t

 y  E2 cos  t
2

2
 x   y 
   
  1
 E1   E2 
 若 E1  E2 此為橢圓方程式， 稱為右手橢圓極化波 R.H.E.P

 若 E1  E2 此為圓型方程式， 稱為右手圓型極化波 R.H.C.P
9.2 平面波的極化 (Polarization)









t  0 時

t  時
2
( x , y )  (0 , E 2 )
位置
( x , y )  ( E1 , 0)
位置
t   時
( x , y )  (0 ,  E2 ) 位置
3
t 
時 ( x , y )  ( E1 , 0)
位置
2
y
E2
z
E1
E2
E1
x
圖9.9
9.2 平面波的極化 (Polarization)
類型III：左手極化波：  x   y   
2
相量 E  (aˆ x E1  aˆ y jE2 ) e jkz
假設  x  0 ,  y 

2
以方便觀察圖形



E (0 , t )  aˆ x E1 cos  t  aˆ y E2 cos   t  
2

 aˆ x E1 sin  t  aˆ y ( E2 sin  t )
9.2 平面波的極化 (Polarization)
 x  E1 cos  t
令 

 y   E2 sin t
2
2
 x   x 
   
  1
 E1   E2 
 若 E1  E2 此為橢圓方程式， 稱為左手橢圓極化波 L.H.E.P

 若 E1  E2 此為圓型方程式， 稱為左手圓型極化波 L.H.C.P
y
E2
z
E1
x
圖9.10
9.2 平面波的極化 (Polarization)









t  0 時

t  時
2
( x , y )  ( E1 , 0)
( x , y )  (0 ,  E 2 ) 位置
 t   時 ( x , y)  ( E1 , 0)
3
t 
時 ( x , y )  (0 , E 2 )
2
位置
位置
位置
9-2-1
證明一個線性極化平面波，能夠被分解成兩個振幅相等的右旋圓形極化
波及左旋圓形極化波的合成。
解
：考慮一個沿  z 方向傳播之線性極化平面波表示如下：
相量型式 E( z)  aˆ x E0 e jkz
上式亦可寫成另一種相量型式 E ( z )  Erc ( z )  Ec ( z )

 右旋圓形波E rc ( z ) 

 左旋圓形波E ( z ) 
c

E0
(a x  ja y ) e  jkz
2
E0
(a x  ja y ) e  jkz
2
9-2-2
試證明一個圓型極化均勻平面波，在無損介質傳播時，以時域型式表示時，
其波恩庭向量是常數，即與時間和空間無關。
假設為右手圓型極化波表示如下：
解
：



E  aˆ x E1 cos   t  kz    aˆ y E2 cos ( t  kz )
2

根據均勻平面波磁場與電場關係式

E
E


H  aˆ y 0 cos   t  kz    aˆ x 0 cos ( t  kz )

2


波恩庭向量
  
P  EH
E 02


 aˆ z
cos   t  kz    aˆ z
cos 2 ( t  kz )

2


E 02
E 02
2
2
 aˆ z
[sin ( t  kz )  cos ( t  kz )]  aˆ z
E 02

2

9-2-3
有一橢圓極化的平面波，其電場強度之瞬時表示式為
E( z , t )  aˆ x E1 sin (t  kz )  aˆ y E2 cos (t  kz  )
試求該極化橢圓方程式 ( 參考書目 [3] )。

解
：令    t  kz ，則 E  aˆ x E1 sin  aˆ y E2 sin(  )  aˆ x Ex  aˆ y Ey







x
 sin 
E1
  x 2 
y
x
 sin(   )  sin  cos   cos  sin  
cos   1    
E2
E1
  E1  
  x 2 
y
x


cos   1    
E 2 E1
  E1  
1/ 2
sin 
1/ 2
sin 
2
  x 2 
 x

x
 

cos    1     sin 2 
  E1  
 E 2 E1

 y
 
 E2
2
2
  x 2 

 x

xy
  2
cos    cos    1     sin 2 
整理可得橢圓方程式
E1 E 2
  E1  

 E1

9.3 相速與群速
單一頻率電磁波的等相位面速度稱為相速度，而“多種頻率”
組合而成的電磁波，其波包傳播速度稱為群速度。
考慮兩個頻率相近電磁波合成如下：
 1    d  1    d

  2    d  2    d

E ( z , t )  E 0 cos[1t  1 z ]  E 0 cos[ 2 t   2 z ]
 E 0 [cos[(  d ) t  (  d ) z ]  E 0 cos[(  d ) t  (  d ) z ]
 E 0 cos[( t   z )  (d t  d z ) ]  E 0 cos[( t   z )  (d t  d z )]
9.3 相速與群速
利用三角函數和差化乘積公式可得

時間諧波場 E( z , t )  2E0 cos(dt  dz) cos(t  z)

 

群速度
相速度
註：cos ( A  B)  cos A cos B  sin A sin B
1. 相速度：令  t  z  常數
代表波包內，以角速度  ，急劇傳播變化，稱為相速度

相速度 v p 

例如：下圖的高頻載波的相位速度。
9.3 相速與群速
2. 群速度：令 td  zd   常數
代表波包上，以角速度 d ，緩慢傳播變化，稱為群速度
群速度 v g 
d
d
例如：下圖的低頻訊號的波包速度
E ( z, t )
群速
vg
z
vp
相速
圖9.11
9.3 相速與群速
相速與群速關係式
vg 
d  d 


d  d 
1
d
d


其中
vg
d
d
1


 vp

dv p
 v p   d

2

v
p

代入上式可得群速與相速度色散關係式
vg 
vp
 dv p
1
v p d
( 單位：m/s)
9.3 相速與群速
依照 v p 隨  變化的色散 (dispersion) 現象，可分類如下：
1.
無色散： v p 與  無關
dvp
d
2.
 0  vg  v p
正常色散 (normal dispersion)：
dvp
d
 0  vg  v p
vp 與 
遞減
9.3 相速與群速
3. 不正常色散：v p 隨  遞增
dvp
d
 0  vg  v p
9-3-1
試在一色散介質中，證明下列群速度 v g 及相位速度 v p 的關係：
(a) v g  v p  
dv p
解
： (a)群速度
(b) vg
d
vg 
 vp  
d

d d


(v p ) ,  在色散介質中相速度 v p  
d d


 vp  
dvp
dB
(b)   2    2  d  d  0 

群速度
dvp
vg  v p  
dv p
d
 vp  
dv p
d



d  d
9-3-2
請證明在一個色散介質裡，群速度 v g 和相速度 v p 有以下的關係式
c
，其中  是真空中電磁波之波長。
 dn 
n  

 d 
1
1  dn
(b)


vg
v p c d
(a) vg 
(a)由倒數關係式
解
：
關係式 v p 
d
1
d  


v g d d  v p

2

g 

dvp
d  1   d v p
v p v 2p d
v 2p
v p
c
n
 nv p  c  利用

代入上式
n
dn d v p
1
1

 
c  c 2
vg
n  n 
(b)




vp  


vp
dn
n
 vg 
d
c
n 
。
dn
d
   c  2  利用
c
c
n
dn
d

1
1  dn


vg v p c d
 

代入上式
d d
9.4 在損耗性介質的平面波
損耗性介質 (lossy medium)
損耗性介質分類如下：
1.
2.
3.
理想導體 (perfect conductor)：   
理想介質 (perfect medium)：   0 ( 即無損耗介質 )
損耗性介質：0    
 良 導 體 (good conductor) : ( 高損耗性介質)
可分為 
 良絕緣體 (good isolator) : ( 低損耗性介質)
9.4 在損耗性介質的平面波
複數介電常數
對於介質具導電性 (即   0 )，代表介質內有傳導
電流 ( j E )


 D
 H  J 
t
由於損耗性介質具有導電性 (  0)寫成相量型式如下：
  H  E  j eE  (  j e) E

 
 E  j ec E
 e1 
j e 

9.4 在損耗性介質的平面波
其中複數介電常數 ec (complex dielectric constant) 表示如下：

 

複數介電常數 ec  e1 
je 

註：另一種型式表示如下：
ec  e  j e
 


e

其中 e e 而
 e  e
 
( 單位：F/m)
9.4 在損耗性介質的平面波
 無源無損耗介質   H  j eE

 無源有損耗介質   H  j ec E
複數漢姆霍茲方程式
1. 損耗介質相量型式漢姆霍茲方程式如下
2
2


E

k

cE 0
 2
2


H

k
cH 0

9.4 在損耗性介質的平面波
其中 k c 為複數波數 (complex wave number)，表示如下：
1/ 2

 

kc   ec   e 1 
je 

2. 傳播常數 (propagation constant)：
1/ 2

 

複數傳播常數r  jkc  j ec  j e 1 
je 

9.4 在損耗性介質的平面波
另一種型式表示
r    j
1

單位：


m

  稱為衰減常數 (attenuation constant)( 單位：NP/m )
  稱為相位常數 (phase constant)( 單位：rad/m )
其中 
3. 漢姆霍茲方程式以傳播常數表示如下：
2 E  r 2 E  0
9.4 在損耗性介質的平面波

假設沿 z 方向傳播的衰減平面波
 rz
z  jz

相量
E

E
e

E
e
e

0
0


z

時域
E

E
e
cos ( t  z)
0

損耗正切 (loss tangent)
損耗正切是衡量介質損耗的參數，亦代表傳導電流與位移電
流的比值。損耗正切 tan  表示如下：
Jf


D / t
E


j eE
e
9.4 在損耗性介質的平面波
 e
損耗正切 tan  

e e
Im

損失角 (Loss Angle) 表示如下：

損失角   tan
e
上式代表導電電流與位移電流的比值
1
e


 當   e 代表良導體 (good conductor)

 當   e 代表良絕緣體 (good isolator)
圖9.12
Re
9.4 在損耗性介質的平面波
損耗性介質分類
類型I：良導體介質   e ( 即 e  e)
  


r
.
j


e
傳播常數
 je 
1/ 2
  


 1
e
1  j 
j  2 f  

2


  f  [1  j ]



j   cos  j sin 
2
2

1/ 2
其中

 1
j

  cos  j sin  

4
4
2
2

9.4 在損耗性介質的平面波
由於傳播常數 r  jk    j . [  f  j  f ]
c
良導體特性如下：
1. 相位常數    f 
( 單位：1/m)
2. 衰減常數    f 
( 單位：NP/m)
3.
相速度： v p 


2




 f 
( 單位：m/s)
9.4 在損耗性介質的平面波
4. 群速度計算如下：
相速 v p 

2




2    
1 1
將左右兩邊微分 2 d   
d
2 
群速
d
vg 
2 2
d


9.4 在損耗性介質的平面波
5.
良導體本質阻抗：
c 

ec

j

 (1  j )
f

 (1  j )


註：上式相位角為 45，代表磁場強度落後電場強度(H比E
落後)，或稱為E領先 H 相位角 45 。
6.
良導體波長註：  
上式中  ~
1
f
較空氣中小。
2

和 ~

1

2

2
f 
 f 
，由此可知，在良導體中波長
9.4 在損耗性介質的平面波
7.
集膚深度：電磁波穿過良導體表面的深度
1
1
 

 f 
( 單位：m)
代表頻率愈高 ( 例如微波訊號 )，良導體的集膚深度愈
小，因此電磁波功率集中在導體的表面。
空氣 良導體
E0
圖9.13
E0
e
  1/ 
z
9.4 在損耗性介質的平面波
物 質
 (S/m)
銀
6.17  107
銅
5.80  107
金
4.10  10
7
f = 60 (Hz)
1 (MHz)
1 (GHz)
8.27(mm)
0.064(mm)
0.0020 (mm)
8.53
0.066
0.0021
10.14
0.079
0.0025
鐵 (r  10 )
100 107
0.65
0.005
0.00016
海水
4
32(m)
0.25(m)
*
3
圖9.14
不同物質的集膚深度
9.4 在損耗性介質的平面波
類型II：良絕緣體
  e ( 即 e  e)
1/ 2

 
kc   e 1 

j

e


由二項式展開
2






1
1 2
 
1 
1/2
  
 
(1  x) . 1  x 
x    k .  e 1  
2
8
 2  je  8  je  
     2 1   
  

  e 1  
j  2e 
 8  e 

9.4 在損耗性介質的平面波
傳播常數
r  jkc    j 

2
2


1   
 
 j e 1  
e
8

e


 
低損耗性物質的特性如下：
1. 相位常數
 1   2 
 1  e  2 
   e 1       e 1    
 8  e  
 8  e  
低損耗性介質，相位常數
 .  e
9.4 在損耗性介質的平面波
2. 衰減係數



2
e
.
e 
2
e
低損耗性介質，衰減常數   0，且正比於導電率  ~ 
3. 相速度
vp 

.

4. 本質阻抗  .
c
2



1
1 e  
1    
e  8  e  
 
e 
1

j


e 
e 
1
2
.

e 
1  j

e 
2 e 
在低損耗性介質，電場和磁場並非同相位。
9-4-1
在損耗介電質中，有一正弦形式的電場強度，其振幅為250 (V/m)，頻率
為1 (GHz)。相對介電係數為2.5，損耗正切等於0.001。求在此介質中，
每立方公尺所消耗的平均功率？( 參考書目 [3] )
解
： tan   0.001  
 e0er
 109 
(2.5)
   e tan   0.001(210 )
36



 1.39  104 (S/m)
9
每單位體積介質所消耗的平均功率為
1
E2
2
1
  (1.39  10  4 )  2502  4.34 (W / m 3 )
2
P 
9-4-2
石墨在100 (MHz) 頻率時的集膚深度等於0.16 (mm)，試求
 ？
(a)石墨的導電係數
(b)1 (GHz) 的電磁波在石墨裏要傳送多遠，可使該電磁波 之強度降低
30 (dB)。
(a)  
解
：
1
 f 
 0.16 (mm)   
1
 f  2
 2  105 (s/m)
(b) f  1 (GHz)  1109 (Hz)
   f  2 104 (Np/m)
20 log e z  30 (dB)  傳送距離 z 
1.5
 1.75  10  4 (m)
 log10 e
9-4-3
對導電介質推導下列之衰減常數及相位常數的一般表示式：
衰減常數
2


 
e 
  1
 
1  

2 

e




1/ 2
(Np/m)
2


 
e 
  1
相位常數   
1  

2 
 e 
複數波數


解
：k
2
c
1/ 2
(1/m)
( 參考書目 [3] )


 
 
   2 e1  j

  2 ec   2 e1 
j

e

e




kc 
r 1
 (  j )    j  k c2   2   2  2 j
j
j
  2   2  Re [k c2 ]   2 e

1/ 2

   2 
  2
2
2
2
 
     | k c |   e1  

e

 

 



 




  



2


  
e 

1 
 e 
  1
2 




1/ 2
2


  
e 



1 
  1
2 

e




1/ 2
9-4-4

已知導介質材料 er  1 , r  20 ,   3 
1 

-m

時間諧波電場 E  aˆ y 2e
(b) 衰減常數  ？相位常數
求(a)損耗正切；
(c)阻抗  ？

(d) 時間諧波磁場 H  ?

解
： (a) tan   e 
3
 1080  3390
1
9
10
 10
36
108
 20  4 107  3
(b)      f    
2
1
 20 3  61.4  
m
(c) c  (1  j )

(d) H  aˆ x
8
 61.4

 2 e j 45  28.9 e j 45 (m)

3
E0 z
e sin( t  z   )
||
 aˆ x 
2 61.4 z


e
sin 108 t  61.4 z  
28.9
4

z
？
sin(108 t  z)
1.均勻平面波有那些極化類型。
2.推導衰減係數   1   8.69  dB 
m
m
3.求下列極化狀態
(a) E  (2aˆ x  3aˆ y ) e jkz
(b) E  (aˆ x  jaˆ y ) e  jkz
4.已知相量電場 E  (aˆ x  2aˆ y  Aaˆ z )e
 jk ( 2 x  2 y  1 z )
3
3
3

，波長   2
 r  1，求 (a) A  ？
，相對介電常數 er  4，相對導磁常數
。
(b) 相量 H  ？
5.對於均勻平面波而言
(a)如何由電場推導磁場；
(b)如何由磁場推導電場。
6.說明群速度和相速度有何差異。