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平面電磁波
(Plane Electromagnetic Wave)
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
9.1.1 沿正z方向傳播的均勻平面波 (UPW) 電磁場
計算
1.電磁波的波動方程式表示如下:
2
1 E
,其中物質波速度
2E 2 2 0
v t
v
e
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
2. 考慮線性極化波的電場,其相量齊次漢姆霍茲方程式如
下:
2 Ex k 2 Ex 0
其中 K e 稱為介質中的波數 (wave number)
2
2
2
2 2 2
y
z
x
E x k 2 E x 0
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
x y 平面”是
由於電場 E x 沿著 zˆ 方向傳播,且在“
“均勻”平面波,因此
2
Ex 0
2
x
且
2
Ex 0
2
y
故上式可簡化如下:
d 2 Ex
2
k
Ex 0
2
dz
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
沿 z 軸平面波的電場相量解如下:
jkz
jkz
Ex ( z) E0 e E0 e
上式中的 E 0 和 E0 為常數分別代表從 zˆ和 zˆ方向的振幅
強度,此數值大小,必須由邊界條件決定,沿 z 軸平面波
電場時域型式如下:
Ex ( z , t ) Re[Ex ( z)e jt ] E0 cos(t kz) E0 cos(t kz)
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
Ex ( z) E0 e jk z E0 e jk z
註:相量
沿 z 軸傳播
時間諧波場
沿 z 軸傳播
Ex ( z , t ) E0 cos(t k z) E0 cos(t k z)
沿 z 軸傳播
沿 z 軸傳播
故沿“正 zˆ 軸”傳播的電場表示如下:
jkz
相量:
E
(
z
)
E
x
0e
時域:
E
(
z
,
t
)
E
x
0 cos( t k z )
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
1.均勻平面波UPW (Uniform Plane Wave) 特性
相量場 E ( z ) E0 e jk z
振幅
相位
其中波數 k e ( 與空間位置無關 )。因此,當 z 定
值,相位k z 定值,因此無論在x - y 平面上的任意位
置,其相量電場大小 | E ( z) | 定值 E0 與 x , y 座標無關。
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
xˆ
zˆ
yˆ
E0
E0
E0
註:( 0) 衰減的均勻平面波,代表在 zˆ 軸方向存在衰減
項函數
jk z
z
相量場 E( z) E0 e
e
振幅
相位
衰減項
其中 為衰減係數, 為相位常數。
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
2. 沿 z 軸傳播的特性
時域解 E( z , t ) E0 cos ( t kz)
3. 相速度 (phase velocity) 特性
在波形的波峰位置觀察平面波電磁波向軸傳播情形,假設
電磁波是單一頻率,則“等相位面”行進的速度即稱為相速
度
E( z , t ) E0 cos(t k z)
振幅
相位
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
等相位即 cos(t k z) 常數 t k z 常數
將左右兩邊微分得 dt kdz 0
相速度定義 v p
相速度 vp
k
dz
d t t k z 常 數 ( 單位:m/s)
1
e
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
註:真空環境中,平面波的相速度是光速,
將 e 1 109 (F/m) ,
代入可得
7
0
36
0
4 10 (H/m)
真空的相速度即光速
vp
1
0 e0
c 3 108 (m/s)
4. 均勻平面波的傳播參數特性
時間諧波場 E( z , t ) E0 cos(t k z) Re [ E0 e j ( t k z ) ]
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
其中
E 0 代表振幅(amplitude)
2
代表角頻率
T
k 代表波數( waven umber )
(1)若固定 z 軸上“某一點位置”觀察,則平面波隨“時間”
為週
期性的變化 e j t e j (t T ) T 2
週期 T
2
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
(2) 若固定“某一特定時間”觀察,則平面波隨“空間”為
週期
性的變化 jk z
jk ( z )
e
e
波數 k
波長
k 2
2
2
k
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
式中
k 代表電磁波在介質中, 單位週期內「波」長的 個「數」。
代表電磁波在介質空間 的波長, 即波峰到波峰的距離。
E x (z )
2 / k
E0
4
2
0
t 0
3
4
t t
2
z
圖9.2
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
註:波數 k 和波長 與介電質折射率 n 關係式
波數
k e 0ere0 0e0
介質波數 k
波長
c
er nk0
2
2
2 c
k
nk0
n
0
c
介質波長
nf
n
er
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
5. 平面電磁波特性歸納整理
相量標準式
E aˆ x E0 e jk z
(1) 傳播方向 ( 即電磁波能量方向 ):觀察指數項上式 aˆ k
為 aˆ z 方向。
(2) 電場方向 ( 稱為極化方向 ):垂直於傳播方向,上式
E 為 aˆ x方向。
(3) 磁場方向:E , H , aˆ k 為次序循環正交,上式 H 為 aˆ y方
向。
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
(4)
(5)
振幅大小:以符號 E 0 表示。
頻率、波長、速度:
v f
1
e
c
er
c
n
0
c
v
和
會隨介質
n
的不同而改變
v
,
其中
n
n
f 不會隨介質n 的不同而改變,f 是由電磁波的波源的頻
率來決定
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
(6) 圖形
xˆ
aˆ k
E
H
yˆ
圖9.3
zˆ
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
9.1.2 沿任意方向的均勻平面波
1. 沿 z 軸的均勻平面波,其電場相量的型式如下:
jk z z
ˆ
ˆ
E ax Ex ax E0 e
方向 振幅
相位
2. 沿任意方向的均勻平面波,其電場相量型式如下:
E( x , y , z)
jk x x kj y y jk z z
E0 e
方向振幅
相位
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
其中
k k aˆ k aˆ x k x aˆ y k y aˆ z k z
R R aˆ R aˆ x x aˆ y y aˆ z z
k R kx x k y y kz z
則電場以相量球座標型式可表示如下:
E(R) Eˆ 0 e
jk R
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
其中
k 稱為波數向量 (wave number vector) 或傳播向量
R 稱為半徑向量 (radius vector) 或位置向量
Eˆ 0 稱為常數向量 (constant vector)
ˆ
x
0
等相位面
( 波前 )
R
ˆk
a
P
ˆ
y
zˆ
圖9.4
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
任意方向傳播的均勻平面波電磁場偏微分方法計算說明
2 E k 2 E 0
2
2
2
2 2 2
y
z
x
令
E( x , y , z ) E0 X ( x)Y ( y)Z ( z )
E k 2 E 0
代入上式,由變數分離法整理得
X ( x) Y ( y) Z ( z )
k2 0
X ( x) Y ( y )
Z ( z)
k x2
k y2
k z2
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
由此可得 X ( x) e jk x x , Y ( y) e jk y y , Z ( z) e jk z z
,即
X k x2 X 0
2
Y
k
yY 0
2
Z
k
z Z 0
代入上式可得 E( x , y , z) E e j ( kx xk y ykz z ) E e jkR
0
0
其中 k
k x2 k y2 k z2
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
任意方向傳播的均勻平面波運算特性
步驟1:利用相量運算特性,可將微分方程式轉換成代數方
程式,同理亦可將時域電磁場轉換成相量型式。
j ( 此運算法則適用於所有時間諧波場 )
t
步驟2:利用均勻平面波特性,可將相量運算的戴爾運算n
子,轉換成均勻平面波型式。
jk ( 此運算法則僅適用於UPW)
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
[e
jk R
j (kx xkx y kx z )
] aˆ x aˆ y
aˆ z e
y
z
x
[aˆ x ( jk x ) aˆ y ( jk y ) aˆ z ( jk z )]e
( jk )[e
jk R
jk R
]
散度運算:我們運用恆等式 ( f A) (f ) A f ( A)
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
jkR
E [ E0 e
]
jk R
jk R
[e
] E0 e
[ E0 ]
jk R
[( jk ) e
] E0 0
jkR
( jk ) [ E0 e
]
旋度運算:我們運用恆等式
jk R
E [E0 e
]
jk R
jk R
[e
] E0 e
[ E 0 ]
jk R
[ jk e
] E0 0
jk R
( jk ) [ E 0 e
]
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
對於無源區域電磁波而言,其馬克斯威爾方程式整理
如下表:
時間諧波場
H
E
t
E
H e
t
相量場
均勻平面波相量場
E j H
jk E j H
H j eE
jk H j eE
E 0
E 0
jk E 0
H 0
H 0
jk H 0
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
1. 任意方向均勻平面波UPW的“方向”判斷:
(1) k E 0 代表 k E
(2)
k H 0 代表 k H
由以上討論可知 H k E ,即電場、磁場、傳播方向彼
此互相垂直,因此可知均勻平面波是TEM波
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
H
Magneticfield
Electricfield
K
Wave field
E
圖9.5
註:所謂TEM為“橫向電磁波”(transverse electromagnetic
E
H
K
waves),代表電場 與磁場 均垂直於傳播方向 ,而均
勻平面波UPW亦是TEM電磁波。
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
2.
任意方向均勻平面波UPW的“大小”推導計算:
(1)已知UPW相量電場推導計算磁場,相量磁場
,將 jk 代入上式
言
e | E |
| H |
|E|
H
|E|
kE
,阻抗 (impedance) 以符號
或 表示
阻抗 Z
E
j
,對於磁場大小而
e
Z
H
|E|
|H|
e
( 單位: )
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
(2)已知UPW相量磁場推導計算電場,相量電場
jk 代入上式
| E |
e
|H|
e
e
E
k H
e
E
H
j e
,將
,對於電場大小而言
| H | | H |
7
註:對於真空環境, 0 4 10 (H/m) , e e0
1
109 (F/m)
36
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
此空氣阻抗稱為本質阻抗 (intrinsic impedance),本質阻抗
空氣阻抗 0 Z 0
0
e0
120 377 ()
對於非真空環境, 0 , e ere0
介質阻抗 Z
e
0
er e0
Z0
er
Z 0 120
n
n
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
以阻抗型式計算任意方向均勻平面波電磁場
1. 沿 z 軸均勻平面波電磁場計算:
電場 E( z , t ) aˆ x Ex ( z , t ) aˆ x E0 cos(t kz)
磁場 H ( z , t ) aˆ y H y ( z , t ) aˆ y E0 cos( t kz )
波數 k k z
2.
沿任意方向均勻平面波的電磁場計算:我們將電場類比
成電壓函數,而磁場類比成電流函數,則只需知道電場
函數,即可運用阻抗關係式,求出磁場函數。循環圖說
明如下:
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
相量磁場 H
1
aˆ k E
( 單位:A/m)
相量電場 E (H aˆk )
( 單位:V/m)
E
k
H
圖9.6
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
電場與磁場互相推導計算歸納整理
相量場
已知電場推導磁場
已知磁場推導電場
應用範圍
H
E
E
j
H
je
非均勻平面波、波導、天
線、共振腔
均勻平面波相量場
H
E
k E aˆk E
k H
( H aˆ k )
e
任意方向傳播均勻平面
波
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
均勻平面波的電磁能密度計算
時間諧波電場
E( z , t ) E0 cos(t kz )
時間諧波磁場 H ( z , t ) E0 cos( t kz)
1.電磁能密度計算如下:
1 2 1 2
eE eE0 cos 2 ( t kz )
2
2
1
1 E02
1
2
磁能密度 m (t ) H 2 cos 2 ( t kz ) eE02 cos 2 ( t kz )
2
2
2
電能密度 e (t )
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
2.
平均電磁能密度計算如下:
1 T
1
1 1
平均電能密度 m( ave)
m (t )d t eE02 eE02
T 0
2
2 4
T
1
1
1 1
平均磁能密度 e ( ave)
e (t ) d t eE02 eE02
T 0
2
2 4
3.
全部的平均電磁能密度計算如下:
total e ( ave) m ( ave)
1 2
e E0
2
J
單位:
m3
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
4.
平面波的平均功率密度計算:
j kz
相量電場 E E0 e
相量磁場
H
E0
e j kz
根據波恩庭定理
E0 1 E02
1
1
*
Pav Re [ E H ] E0
2
2
2
W
單位: 3
m
9.1 無損耗介質中的均勻平面波
(Uniform Plane Wave in Loss less media)
註:平均功率整理比較
電路學
電磁學
V
E
I
H
V2
交流功率
2R
1 E 02
平均功率密度
2
( 單位:W)
W
單位: 3
m
9-1-1
請由Maxwell方程式出發,試證明在自由空間 (free space) 傳播的電磁波必須為
橫波 (Transverse wave)。因此 (a) 若已知在自由空間中一電磁波電場形式為
E aˆ y E0 sin(t kz ),求此電磁波之D 、 B 及 H 的大小及方向;(b) 同理若
已知 H a x H 0 cos( t kz ) ,求此電磁波的電場 E 之大小及方向。
解
:(a) D e0 E a y E0 sin(t kz),利用均勻平面波電場與磁場關係如下:
E
E
H aˆ x
aˆ x 0 sin( t kz )
0
0
E
B 0 H aˆ x 0 0 sin( t kz )
0
(b)磁場 H aˆ x H 0 cos(t kz ),代表往 aˆ z 方向傳播。根據右手定則,
其電場、磁場、傳播方向如下:
y
E
x
z
E aˆ y 0 H aˆ y H 00 cos(t kz)
k
H
9-1-2
均勻平面波在真空中傳播的電場為
E aˆ x 5sin(3 108 t z) aˆ y 5 cos(3 108 t z)
H
試求:(a) 相速及傳播方向;(b) 磁場 。
解
: (a) 3 108 , k
相度速 v p
k
3 108 m/s
(b) 0 120 377
E aˆ x Ex aˆ y E y
E
E
y
H aˆ y x aˆ x
0
aˆ y
0
5
5
sin(3 108 t z ) aˆ x
cos(3 108 t z )
377
377
9-1-3
對於簡單介質中的均勻平面波而言, E 及 H 皆隨著 exp ( jk R) 而改變。試求
馬克斯威爾方程式,對於無源區域中的均勻平面波可簡化為:( 參考書目 [3] )
k E H
k H eE
kE 0
kH 0
解
:
相量馬克斯威爾方程式 ( 無源區域 )
E j H
H j eH
E 0
H 0
對於均勻平面波
jk
j k E j H
j k H j eH
jk E 0
jk H 0
k E H
k H e E
kE 0
kH 0
9-1-4
8
E
已知時間諧波電場 aˆ x 10sin(3 10 t 2z)
(b) 相對介電常數 er ?
H
(d) 時間諧波磁場 ?
求 (a) 波數 k ?
(c) 介質阻抗 ?
解
: (a)在 xˆ 方向極化,在 zˆ 方向傳播的電場
標準式 E aˆ x E0 sin( t kz )
波數 k 2
( 單位:1 / m)
(b) k nk0 n
c
3 10
3 108
n 2 er 4
120
60 ()
(c) 0
n
2
2 n
8
E
(d) H
ˆ y 0 sin( t kz )
a
ˆy
a
10
sin(3 108 2 z )
60
9-1-5
8
已知時間諧波電場 E (aˆ x aˆ y A) sin10 t
求(a) 波數 k ?
(d) 波長 ?
(g) 常數A ?
解
:(a)
k
(b) p
(b) 相速度 p ?
(e) 介質阻抗 ?
(h) 時間諧波磁場 H ?
k k
2
x
k
3
1
x y
2
2
6
108
(c) k nk n
0
2
y
(c) 相對介電常數 er ?
(f) 單位傳播方向aˆk ?
3 1 2
(1 / m)
2 2
108 (m/s)
c
108
er
er 9
3 108
2 2
(d)
2 (m)
k
120
40 ()
(e) 0
n
3
3
aˆ x k x aˆ y k y aˆ x
k
(f) aˆ k
k
k
2
aˆ y
2 aˆ
x
3
1
aˆ y
2
2
(g) [aˆ x aˆ y A] aˆ x 3 aˆ y
2
1
1
(h) H aˆ k E
40
aˆ z
1
e
20
1
3 A
0 A 3
0
2
2
2
3
ˆ
a
aˆ y
x
2
3x 1
2 y 6
2
1
ˆ
ˆ
[
a
a
3
]
e
x
y
2
3
2
12 y 6
9.2 平面波的極化 (Polarization)
均勻平面波的極化是描述空間上某一點的電量強度向量隨
時間變化的行為,其常見有下列幾種類型:
1. 線性極化波L.P. (linear polarized wave)
2. 橢圓極化波 (elliptical polarized wave)
(1)右手橢型極化R.H.E.P (Right Hand)
(2)左手橢圓極化L.H.E.P (Left Hand)
y
x
z
觀察點
極化平面
圖9.7
9.2 平面波的極化 (Polarization)
3.
圓型極化波 (circular polarized wave)
(1) 右手圓型極化R.H.C.P.
(2) 左手圓型極化L.H.C.P.
4.
未極化波 (unpolarized wave)
9.2 平面波的極化 (Polarization)
極化的數學意義
1. 空間中電場相量型式如下:
考慮兩個方向線性極化波合成後的平面波表示如下:
相量 E( z) [aˆ x E1 e jx aˆ y E2 e jy ] e jkz
其中 E 和
1
E 2 分別代表
x 、y 方向兩個線性極化波的振幅。
2. 時變電場型式如下:
E( z , t ) aˆ x E1 cos (t kz x ) aˆ y E2 cos (t kz y )
9.2 平面波的極化 (Polarization)
選擇觀察點為 z 0 ,且平面波沿 z 方向傳播
時間諧波場 E(0 , t ) aˆ x E1 cos (t x ) aˆ y E2 cos (t y )
其中 E1 和
E2
是“實數”。
類型I:線性極化波
x y 0
相量式 E (aˆ x E1 aˆ y E2 ) e jkz
9.2 平面波的極化 (Polarization)
假設 x 0 , y 0 以方便觀察圖形 E(0 , t ) aˆ x E1 cost aˆ y E2 cost
x E1 cos t
令
y E2 cos t
x E1
y E2
此為直線方程式,稱為線性極化波 (L.P.)。
y
E2
E1
圖9.8
x
9.2 平面波的極化 (Polarization)
t 0 時
t 時
( x , y ) ( E1 , E2 )
位置
( x , y ) (0 , 0)
位置
t 時
3
t
時
( x , y ) ( E1 , E2 )
位置
( x , y ) (0 , 0)
位置
2
2
類型II:右手極化波: x y
2
相量式 E (aˆx jE1 aˆ y E2 ) e jkz
9.2 平面波的極化 (Polarization)
假設 x
2
, y 0
以方便觀察圖形
ˆ
E (0 , t ) a x E1 cos t aˆ y E2 cos t
2
aˆ x ( E1 sin t ) aˆ y E2 sin t
令 x E1 cos t
y E2 cos t
2
2
x y
1
E1 E2
若 E1 E2 此為橢圓方程式, 稱為右手橢圓極化波 R.H.E.P
若 E1 E2 此為圓型方程式, 稱為右手圓型極化波 R.H.C.P
9.2 平面波的極化 (Polarization)
t 0 時
t 時
2
( x , y ) (0 , E 2 )
位置
( x , y ) ( E1 , 0)
位置
t 時
( x , y ) (0 , E2 ) 位置
3
t
時 ( x , y ) ( E1 , 0)
位置
2
y
E2
z
E1
E2
E1
x
圖9.9
9.2 平面波的極化 (Polarization)
類型III:左手極化波: x y
2
相量 E (aˆ x E1 aˆ y jE2 ) e jkz
假設 x 0 , y
2
以方便觀察圖形
E (0 , t ) aˆ x E1 cos t aˆ y E2 cos t
2
aˆ x E1 sin t aˆ y ( E2 sin t )
9.2 平面波的極化 (Polarization)
x E1 cos t
令
y E2 sin t
2
2
x x
1
E1 E2
若 E1 E2 此為橢圓方程式, 稱為左手橢圓極化波 L.H.E.P
若 E1 E2 此為圓型方程式, 稱為左手圓型極化波 L.H.C.P
y
E2
z
E1
x
圖9.10
9.2 平面波的極化 (Polarization)
t 0 時
t 時
2
( x , y ) ( E1 , 0)
( x , y ) (0 , E 2 ) 位置
t 時 ( x , y) ( E1 , 0)
3
t
時 ( x , y ) (0 , E 2 )
2
位置
位置
位置
9-2-1
證明一個線性極化平面波,能夠被分解成兩個振幅相等的右旋圓形極化
波及左旋圓形極化波的合成。
解
:考慮一個沿 z 方向傳播之線性極化平面波表示如下:
相量型式 E( z) aˆ x E0 e jkz
上式亦可寫成另一種相量型式 E ( z ) Erc ( z ) Ec ( z )
右旋圓形波E rc ( z )
左旋圓形波E ( z )
c
E0
(a x ja y ) e jkz
2
E0
(a x ja y ) e jkz
2
9-2-2
試證明一個圓型極化均勻平面波,在無損介質傳播時,以時域型式表示時,
其波恩庭向量是常數,即與時間和空間無關。
假設為右手圓型極化波表示如下:
解
:
E aˆ x E1 cos t kz aˆ y E2 cos ( t kz )
2
根據均勻平面波磁場與電場關係式
E
E
H aˆ y 0 cos t kz aˆ x 0 cos ( t kz )
2
波恩庭向量
P EH
E 02
aˆ z
cos t kz aˆ z
cos 2 ( t kz )
2
E 02
E 02
2
2
aˆ z
[sin ( t kz ) cos ( t kz )] aˆ z
E 02
2
9-2-3
有一橢圓極化的平面波,其電場強度之瞬時表示式為
E( z , t ) aˆ x E1 sin (t kz ) aˆ y E2 cos (t kz )
試求該極化橢圓方程式 ( 參考書目 [3] )。
解
:令 t kz ,則 E aˆ x E1 sin aˆ y E2 sin( ) aˆ x Ex aˆ y Ey
x
sin
E1
x 2
y
x
sin( ) sin cos cos sin
cos 1
E2
E1
E1
x 2
y
x
cos 1
E 2 E1
E1
1/ 2
sin
1/ 2
sin
2
x 2
x
x
cos 1 sin 2
E1
E 2 E1
y
E2
2
2
x 2
x
xy
2
cos cos 1 sin 2
整理可得橢圓方程式
E1 E 2
E1
E1
9.3 相速與群速
單一頻率電磁波的等相位面速度稱為相速度,而“多種頻率”
組合而成的電磁波,其波包傳播速度稱為群速度。
考慮兩個頻率相近電磁波合成如下:
1 d 1 d
2 d 2 d
E ( z , t ) E 0 cos[1t 1 z ] E 0 cos[ 2 t 2 z ]
E 0 [cos[( d ) t ( d ) z ] E 0 cos[( d ) t ( d ) z ]
E 0 cos[( t z ) (d t d z ) ] E 0 cos[( t z ) (d t d z )]
9.3 相速與群速
利用三角函數和差化乘積公式可得
時間諧波場 E( z , t ) 2E0 cos(dt dz) cos(t z)
群速度
相速度
註:cos ( A B) cos A cos B sin A sin B
1. 相速度:令 t z 常數
代表波包內,以角速度 ,急劇傳播變化,稱為相速度
相速度 v p
例如:下圖的高頻載波的相位速度。
9.3 相速與群速
2. 群速度:令 td zd 常數
代表波包上,以角速度 d ,緩慢傳播變化,稱為群速度
群速度 v g
d
d
例如:下圖的低頻訊號的波包速度
E ( z, t )
群速
vg
z
vp
相速
圖9.11
9.3 相速與群速
相速與群速關係式
vg
d d
d d
1
d
d
其中
vg
d
d
1
vp
dv p
v p d
2
v
p
代入上式可得群速與相速度色散關係式
vg
vp
dv p
1
v p d
( 單位:m/s)
9.3 相速與群速
依照 v p 隨 變化的色散 (dispersion) 現象,可分類如下:
1.
無色散: v p 與 無關
dvp
d
2.
0 vg v p
正常色散 (normal dispersion):
dvp
d
0 vg v p
vp 與
遞減
9.3 相速與群速
3. 不正常色散:v p 隨 遞增
dvp
d
0 vg v p
9-3-1
試在一色散介質中,證明下列群速度 v g 及相位速度 v p 的關係:
(a) v g v p
dv p
解
: (a)群速度
(b) vg
d
vg
vp
d
d d
(v p ) , 在色散介質中相速度 v p
d d
vp
dvp
dB
(b) 2 2 d d 0
群速度
dvp
vg v p
dv p
d
vp
dv p
d
d d
9-3-2
請證明在一個色散介質裡,群速度 v g 和相速度 v p 有以下的關係式
c
,其中 是真空中電磁波之波長。
dn
n
d
1
1 dn
(b)
vg
v p c d
(a) vg
(a)由倒數關係式
解
:
關係式 v p
d
1
d
v g d d v p
2
g
dvp
d 1 d v p
v p v 2p d
v 2p
v p
c
n
nv p c 利用
代入上式
n
dn d v p
1
1
c c 2
vg
n n
(b)
vp
vp
dn
n
vg
d
c
n
。
dn
d
c 2 利用
c
c
n
dn
d
1
1 dn
vg v p c d
代入上式
d d
9.4 在損耗性介質的平面波
損耗性介質 (lossy medium)
損耗性介質分類如下:
1.
2.
3.
理想導體 (perfect conductor):
理想介質 (perfect medium): 0 ( 即無損耗介質 )
損耗性介質:0
良 導 體 (good conductor) : ( 高損耗性介質)
可分為
良絕緣體 (good isolator) : ( 低損耗性介質)
9.4 在損耗性介質的平面波
複數介電常數
對於介質具導電性 (即 0 ),代表介質內有傳導
電流 ( j E )
D
H J
t
由於損耗性介質具有導電性 ( 0)寫成相量型式如下:
H E j eE ( j e) E
E j ec E
e1
j e
9.4 在損耗性介質的平面波
其中複數介電常數 ec (complex dielectric constant) 表示如下:
複數介電常數 ec e1
je
註:另一種型式表示如下:
ec e j e
e
其中 e e 而
e e
( 單位:F/m)
9.4 在損耗性介質的平面波
無源無損耗介質 H j eE
無源有損耗介質 H j ec E
複數漢姆霍茲方程式
1. 損耗介質相量型式漢姆霍茲方程式如下
2
2
E
k
cE 0
2
2
H
k
cH 0
9.4 在損耗性介質的平面波
其中 k c 為複數波數 (complex wave number),表示如下:
1/ 2
kc ec e 1
je
2. 傳播常數 (propagation constant):
1/ 2
複數傳播常數r jkc j ec j e 1
je
9.4 在損耗性介質的平面波
另一種型式表示
r j
1
單位:
m
稱為衰減常數 (attenuation constant)( 單位:NP/m )
稱為相位常數 (phase constant)( 單位:rad/m )
其中
3. 漢姆霍茲方程式以傳播常數表示如下:
2 E r 2 E 0
9.4 在損耗性介質的平面波
假設沿 z 方向傳播的衰減平面波
rz
z jz
相量
E
E
e
E
e
e
0
0
z
時域
E
E
e
cos ( t z)
0
損耗正切 (loss tangent)
損耗正切是衡量介質損耗的參數,亦代表傳導電流與位移電
流的比值。損耗正切 tan 表示如下:
Jf
D / t
E
j eE
e
9.4 在損耗性介質的平面波
e
損耗正切 tan
e e
Im
損失角 (Loss Angle) 表示如下:
損失角 tan
e
上式代表導電電流與位移電流的比值
1
e
當 e 代表良導體 (good conductor)
當 e 代表良絕緣體 (good isolator)
圖9.12
Re
9.4 在損耗性介質的平面波
損耗性介質分類
類型I:良導體介質 e ( 即 e e)
r
.
j
e
傳播常數
je
1/ 2
1
e
1 j
j 2 f
2
f [1 j ]
j cos j sin
2
2
1/ 2
其中
1
j
cos j sin
4
4
2
2
9.4 在損耗性介質的平面波
由於傳播常數 r jk j . [ f j f ]
c
良導體特性如下:
1. 相位常數 f
( 單位:1/m)
2. 衰減常數 f
( 單位:NP/m)
3.
相速度: v p
2
f
( 單位:m/s)
9.4 在損耗性介質的平面波
4. 群速度計算如下:
相速 v p
2
2
1 1
將左右兩邊微分 2 d
d
2
群速
d
vg
2 2
d
9.4 在損耗性介質的平面波
5.
良導體本質阻抗:
c
ec
j
(1 j )
f
(1 j )
註:上式相位角為 45,代表磁場強度落後電場強度(H比E
落後),或稱為E領先 H 相位角 45 。
6.
良導體波長註:
上式中 ~
1
f
較空氣中小。
2
和 ~
1
2
2
f
f
,由此可知,在良導體中波長
9.4 在損耗性介質的平面波
7.
集膚深度:電磁波穿過良導體表面的深度
1
1
f
( 單位:m)
代表頻率愈高 ( 例如微波訊號 ),良導體的集膚深度愈
小,因此電磁波功率集中在導體的表面。
空氣 良導體
E0
圖9.13
E0
e
1/
z
9.4 在損耗性介質的平面波
物 質
(S/m)
銀
6.17 107
銅
5.80 107
金
4.10 10
7
f = 60 (Hz)
1 (MHz)
1 (GHz)
8.27(mm)
0.064(mm)
0.0020 (mm)
8.53
0.066
0.0021
10.14
0.079
0.0025
鐵 (r 10 )
100 107
0.65
0.005
0.00016
海水
4
32(m)
0.25(m)
*
3
圖9.14
不同物質的集膚深度
9.4 在損耗性介質的平面波
類型II:良絕緣體
e ( 即 e e)
1/ 2
kc e 1
j
e
由二項式展開
2
1
1 2
1
1/2
(1 x) . 1 x
x k . e 1
2
8
2 je 8 je
2 1
e 1
j 2e
8 e
9.4 在損耗性介質的平面波
傳播常數
r jkc j
2
2
1
j e 1
e
8
e
低損耗性物質的特性如下:
1. 相位常數
1 2
1 e 2
e 1 e 1
8 e
8 e
低損耗性介質,相位常數
. e
9.4 在損耗性介質的平面波
2. 衰減係數
2
e
.
e
2
e
低損耗性介質,衰減常數 0,且正比於導電率 ~
3. 相速度
vp
.
4. 本質阻抗 .
c
2
1
1 e
1
e 8 e
e
1
j
e
e
1
2
.
e
1 j
e
2 e
在低損耗性介質,電場和磁場並非同相位。
9-4-1
在損耗介電質中,有一正弦形式的電場強度,其振幅為250 (V/m),頻率
為1 (GHz)。相對介電係數為2.5,損耗正切等於0.001。求在此介質中,
每立方公尺所消耗的平均功率?( 參考書目 [3] )
解
: tan 0.001
e0er
109
(2.5)
e tan 0.001(210 )
36
1.39 104 (S/m)
9
每單位體積介質所消耗的平均功率為
1
E2
2
1
(1.39 10 4 ) 2502 4.34 (W / m 3 )
2
P
9-4-2
石墨在100 (MHz) 頻率時的集膚深度等於0.16 (mm),試求
?
(a)石墨的導電係數
(b)1 (GHz) 的電磁波在石墨裏要傳送多遠,可使該電磁波 之強度降低
30 (dB)。
(a)
解
:
1
f
0.16 (mm)
1
f 2
2 105 (s/m)
(b) f 1 (GHz) 1109 (Hz)
f 2 104 (Np/m)
20 log e z 30 (dB) 傳送距離 z
1.5
1.75 10 4 (m)
log10 e
9-4-3
對導電介質推導下列之衰減常數及相位常數的一般表示式:
衰減常數
2
e
1
1
2
e
1/ 2
(Np/m)
2
e
1
相位常數
1
2
e
複數波數
解
:k
2
c
1/ 2
(1/m)
( 參考書目 [3] )
2 e1 j
2 ec 2 e1
j
e
e
kc
r 1
( j ) j k c2 2 2 2 j
j
j
2 2 Re [k c2 ] 2 e
1/ 2
2
2
2
2
2
| k c | e1
e
2
e
1
e
1
2
1/ 2
2
e
1
1
2
e
1/ 2
9-4-4
已知導介質材料 er 1 , r 20 , 3
1
-m
時間諧波電場 E aˆ y 2e
(b) 衰減常數 ?相位常數
求(a)損耗正切;
(c)阻抗 ?
(d) 時間諧波磁場 H ?
解
: (a) tan e
3
1080 3390
1
9
10
10
36
108
20 4 107 3
(b) f
2
1
20 3 61.4
m
(c) c (1 j )
(d) H aˆ x
8
61.4
2 e j 45 28.9 e j 45 (m)
3
E0 z
e sin( t z )
||
aˆ x
2 61.4 z
e
sin 108 t 61.4 z
28.9
4
z
?
sin(108 t z)
1.均勻平面波有那些極化類型。
2.推導衰減係數 1 8.69 dB
m
m
3.求下列極化狀態
(a) E (2aˆ x 3aˆ y ) e jkz
(b) E (aˆ x jaˆ y ) e jkz
4.已知相量電場 E (aˆ x 2aˆ y Aaˆ z )e
jk ( 2 x 2 y 1 z )
3
3
3
,波長 2
r 1,求 (a) A ?
,相對介電常數 er 4,相對導磁常數
。
(b) 相量 H ?
5.對於均勻平面波而言
(a)如何由電場推導磁場;
(b)如何由磁場推導電場。
6.說明群速度和相速度有何差異。