Transcript 第5讲正弦交流电路（2）0914

第五讲
本次课教学要求
• 1、熟练掌握单一参数正弦电路的分析方法；
• 2、掌握RLC电路的相量分析法。
重点
• 正弦电路的相量分析法。
难点
容抗和感抗及其复数形式。
2.3 电阻、电感和电容的正弦交流电路
一、电阻电路
1. 电压与电流的关系
i
+
u
_
根据欧姆定律: u  iR
设 u  Umsin ω t
u U m sin ω t
i 

R
R
2U
sin ω t
R
 I msin ω t  2 I sin ω t
① 频率相同
U
②大小关系：I 
R
③相位关系 ： u、i 相位相同
相位差：  u  i  0
相量图
相量式：
R
I
U
I  I 0


U  U 0  IR
2. 功率关系
(1) 瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积
i  2 I sin ω t
u  2 U sin ω t
小写
p  ui
 U m I m sin2 ω t
1
 U m I m (1  cos 2 ω t )
2
结论:
u i
i u
ωt
O
p
p
O
p  0 （耗能元件）,且随时间变化。
ωt
(2) 平均功率(有功功率)P
瞬时功率在一个周期内的平均值
i
+
u
_
1
1
P   p dt   u  i dt
T 0
T 0
p
p
大写
T
1 1
  U m I m (1  cos 2 ω t ) dt
T 0 2
1 T
  UI (1  cos2 ω t )dt  UI
O
T 0
2
U
2
单位:瓦（W）
P UI  I R 
R
T
T
R
P
ωt
注意：通常铭牌数据或测量的功率均指有功功率。
2.3电阻、电感和电容的正弦交流电路
二、电感电路
1. 电压与电流的关系
di
基本关系式：u  e L  L
dt
设：i  2 I sin ω t
i
+
u
d( I m sin ω t )
uL
dt
 2 Iω L sin (ω t  90 )
-
L
eL
+
 2 U sin ( ω t  90 )
u i
O
90
u
i
ωt
① 频率相同
② U =I L
③ 电压超前电流90
相位差   u  i  90 
i  2 I sin ω t
u  2 I ω L  sin ( ω t  90 )
有效值: U  I  ω L
U
或 I
L
定义： X L   L  2 f L
则:
感抗(Ω)
U  I XL
X L  2 π fL
直流：f = 0, XL =0，电感L视为短路
XL
交流：f
 电感L具有通直阻交的作用—
可构成“扼流圈”。
XL  ω L  2 π f L
感抗XL是频率的函数
根据：
I , XL
I
U
2fL X
L
f
O
i  2 I sin ω t
u  2 I ω L  sin ( ω t  90 )
相量表达式 I  I 0
U  U 90  Iω L 90
U 超前 I90 
U
U
U
则：

90  jL
I
I
U  I ( jω L)  I  (jX L )
电感电路复数形式的欧姆定律
相量图
I
2. 功率关系
i  2 I sin ω t
u  2 I ω L  sin ( ω t  90 )
(1) 瞬时功率
p  i  u  Um Im sin ω t sin ( ω t  90)
Um Im
 U m I m sin ω t cos ω t 
sin 2 ω t
2
 UI sin 2 ω t
角频率是电流电
压角频率的2倍
分析：瞬时功率 ：p  i  u  UI sin 2 ω t
u
i
ωt
o
i
+
u
可逆的能量
转换过程
u
+
i
u
i
+
i
+
u
-
p
+ p <0 + p <0
o
p >0
p >0
储能 放能 储能 放能
结论：
纯电感不消
耗能量，只和
电源进行能量
交换（能量的
吞吐)。
 电感L是储
ωt
能元件。
(2) 平均功率
1 T
P   p dt
T o
1 T
  UI sin (2ω t ) dt  0
T o
L是非耗
能元件
(3) 无功功率 Q
用以衡量电感电路中能量交换的规模。用瞬时功率
达到的最大值表征，即
瞬时功率 ：p  i  u  UI sin 2 ω t
2
U
Q  U I  I XL 
2
XL
单位：var 乏
例1: 把一个0.1H的电感接到 f=50Hz, U=10V的正弦
电源上，求I，如保持U不变，而电源
f = 5000Hz, 这时I为多少？
解： (1) 当 f = 50Hz 时
X L  2fL  2  3.14  50  0.1  31.4Ω
U
10
I 

 318mA
XL
31.4
（2）当 f = 5000Hz 时
X L  2fL  2  3.14  5000  0.1  3140Ω
U
10
I 

 3.18mA
XL
3140
所以电感元件具有通低频阻高频的特性
2.3电阻、电感和电容的正弦交流电路
三、电容电路
i
1. 电压与电流的关系
du
+
基本关系式： i  C
u
C
dt
_
设：
u  2 U sin ω t
du
则：
i C
 2 UC ω cos ω t 电流与电压
dt
的变化率成
 2 U ω C sin( ω t  90)
u i
90 
u
i
ωt
正比。
① 频率相同
② I =UC
③电流超前电压90
相位差   u  i  90
u  2Usin ω t
i  2Uω C  sin ( ω t  90)
1
U
I
ωC
有效值
I  U ω C 或
1
1
定义：
XC 

容抗（Ω）
ωC 2 π f C
U  I XC
则:
1
XC 
2π f C
直流：XC
交流：f
 ，电容C视为开路
XC
所以电容C具有隔直通交的作用
1
XC 
2π fC
I , XC
XC 
1
ωC
容抗XC是频率的函数
由： u 
i
O
2Usin ω t
2Uω C  sin ( ω t  90)
可得相量式 U  U 0 
I  I 90   jUω C
I  U (2 π f C )
f
I
I 超前 U 90 
则：
1


U   jI
  jI X C
ωC
电容电路中复数形式的欧姆定律
相量图
U
i
2.功率关系
由
u  2Usin ω t
i  2Uω C  sin ( ω t  90)
+
u
_
(1) 瞬时功率
p  i  u  Um Im sin ω t sin ( ω t  90)
Um Im

sin 2 ω t  UI sin 2 ω t
2
角频率是电流电
压角频率的2倍
C
瞬时功率 ：p  i  u  UI sin 2 ω t
i
u,i
u
o
i
+
u
-
i
+
u
-
u
i
+
u
i
+
结论：
纯电容不消
ωt
耗能量，只和
电源进行能量
交换（能量的
吞吐)。
p
+ p <0
+ p <0
o
p >0
p >0
充电 放电 充电 放电
ωt
所以电容C是储
能元件。
i
2.功率关系
由
u  2Usin ω t
i  2Uω C  sin ( ω t  90)
+
u
_
C
(1) 瞬时功率
p  i  u  Um Im sin ω t sin ( ω t  90)
Um Im

sin 2 ω t  UI sin 2 ω t
2
(2) 平均功率 Ｐ
1
P
T
1

T

T

T
0
0
p dt
UI sin (2 ω t ) dt  0
C是非耗
能元件
(3) 无功功率 Q
为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设
i  2 I sin ω t
则：u  2Usin ( ω t  90 )
电容性无
功取负值
所以p  UI sin2 ω t
同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。
Q  UI   I 2 X C
单位：var 乏
U2

XC
讨论： 单一参数电路中复数形式的欧姆定律
在正弦交流电路中，若正弦量用相量 U、I 表示，
电路参数用复数阻抗（ R  R、L  jX L、C   jX C )
表示，则复数形式的欧姆定律和直流电路中的形式相
似。
复数形式的欧姆定律
U  IR
U  I( j X L )
电阻电路
电感电路
U  I( j X C )
电容电路
单一参数正弦交流电路的分析计算小结
电压、电流关系
瞬时值
有效值
电路 电路图 基本
阻抗
参数 (参考方向) 关系
R
相量图
I
i  2 Isinωt
u  iR R
则
+
i  2 Isinωt
di
uL
dt
-
C
jX L
则
u  2 Iω L
sin(t  90)
设
i
+
u
-
有功功率 无功功率
i C
du
dt
i  2 Isinωt
UI
U  IR I 2 R
0
u、 i 同相
设
i
U
U  IR
u  2Usinωt
L u
相量式
率
设
i
+
u
-
功
U
U  IX L
X L  L
 
I U  jIX L
UI
0
I2XL
u领先 i 90°
I
 jX C 则
U   jIX C
U  IX C
U
u  2 I/ω C X  1 / c
C
u落后 i 90°
sin(t  90)
GO
 UI
0
- I 2 XC
【练习】
指出下列各式中哪些是对的，哪些是错的？
在电阻电路中： 在电感电路中：
在电容电路中：
U
I 
R
U
i
R
u
i
R

U
I 
R
u
i
XL
U
I 
ωL
U
 j ωL
I
U
 jX L
I
di
U
 XL u  L
dt
I
u
i
ωL
U  I ω C
u  i  XC
I  U  jω C
U
1

I
jω C
2.4 RLC串联的交流电路
1、电流、电压的关系
i
+
R
u
直流电路两电阻串联时
+
u
_R
+
L
u
_L
+
_
C
uC
_
U  IR1  IR2
RLC串联交流电路中
i
设：
2 I sinω t
U ?=IR + IL + I 1/  C
交流电路、U I与参数R、L、C、
 间的关系如何？
2.4 RLC串联的交流电路
1. 电流、电压的关系
i
(1) 瞬时值表达式
+
+
根据KVL可得：
R
u
u
_R
+
L
u
_L
+
_
C
为同频率
正弦量
uC
_
u  uR  uL  uC
di
1
 iR  L

dt C
设：i 
2 I sin ω t
则u
2 IR sin ω t
 id t
 2 I ( ω L) sin ( ω t  90)
1
 2I (
) sin (ω t  90)
ωC
相量表达式
(2)相量法
I
+
R
U
_
jXL
-jXC
U  U R  U L  U C
设 I  I0 （参考相量）
则 U
  IR
R
U  I(jX )
+
U R
_
+
U L
_
+
L

U
_ C
L
U C  I(  jX C )
U  IR  I(jX L )  I(  jX C ) 总电压与总电流
的相量关系式
 IR  j X  X 
L
C
2、阻抗表达式
阻抗三角
形
根据 U  IR  j  X L  X C 
令 Z  R  j X L  X C 
阻抗
U  IZ
复数形式的
欧姆定律
则
U U u
U
Z 
Z 

 i
u
I I i
I
Z 的模表示 u、i 的大小关系，辐角（阻抗角）
为 u、i 的相位差。
注意
Z 是一个复数，不是相量，上面不能加点。
Z  Z   R  j  X L  X C 
U
2
2
 R  ( X L  XC )
阻抗模： Z 
I
X L  XC
ω L  1 / C
 arctan
   u   i  arctan
阻抗角：
R
R
 由电路参数决定。
电路参数与电路性质的关系：
当 XL >XC 时，  > 0 ，u 超前 i
呈感性
当 XL < XC 时 ， < 0 ， u 滞后 i
呈容性
当 XL = XC 时 ， = 0 ， u. i 同相
呈电阻性
3、相量图
I
+
R
U
_
jXL
-jXC
U L
+
U R  
_
U L  UC
+
X >X
U L L C
_
+


U
_ C

UC
U
参考相量
U
L
U

XL < XC
U R
I
(  > 0 感性)

U R
U L  U C
U C
U
(  < 0 容性)
U L  U C  U X 由电压三角形可得:
U R
电压
三角形
I
U R  Ucos
U x  Usin
电压三角形和阻抗三角形
U

Z

由相量图可求得:
U L  U C  U X
U R
U  U R  (U L  U C )
2
电压
三角形
 I R 2  ( X L  X C )2
 I R2  X 2
X  X L  XC
R
由阻抗三角形：
R  Z cos
X  Z sin
2
I Z
阻抗
三角形
Z 
R 2  ( X L  X C )2
X L  XC
  arctan
R
注意：阻抗三角形是标量三角形
阻抗角
例1： 在RLC串联交流电路中，
已知: R  30Ω, L  127mH, C  40μ F
u  220 2 sin ( 314 t  20 )V

求:(1)电流的有效值I与瞬时值 i ;(2) 各部分电压的
有效值与瞬时值；(3) 作相量图。
解：X L  ω L  314  127  103   40 Ω ,
1
1
XC 

  80 Ω ,
-6
ω C 314  40  10
Z  R2  ( X L  XC )2  302  (40  80)2   50 Ω ,
GO
方法1：
U
220
(1) I 

A  4.4A
Z
50
X L  XC
40 - 80
  arctan
 arctan
 -53 
R
30
因为   u   i  -53 , 所以  i  73
i  4.4 2 sin ( 314 t  73 )A
(2)
UR  IR  4.4  30V  132V
uR  132 2 sin ( 314 t  73  )V
UL  IX L  4.4  40 V  176V
uL  176 2 sin ( 314 t  163  )V
方法1：
U C  IX C  4.4  80  352V
uC  352 2 sin ( 314 t  17  )V
通过计算可看出：
U  U R  U L  UC
  U  U  U
而是 U
R
L
C
U L
(3)相量图
I
U R
53
U
U L  U C
U C
方法2：复数运算—向量法
解： U  220 20 V
Z  R  j ( X L  X C )  (30  j40)   50  53Ω
 220 20
U
I  
A  4.4 73A
Z 50 - 53
U R  IR  4.4 73  30V  132 73V
U L  jIX L  j4.4  40 73V  176 163V
U C   jIX C   j4.4  80 73V  352 - 17V
例2： 在RC串联交流电路中，
I
+ C
+
已知: R  2kΩ , C  0.1μ F
R U 2
U 1
_
输入电压 U1  1V, f  500Hz _
(1)求输出电压U2，并讨论输入和输出电压之间
的大小和相位关系 (2)当将电容C改为 20μ F 时,
求(1)中各项；(3)当将频率改为4000Hz时,再求
(1)中各项。
解：方法1：
1
(1) X C 

ωC
1
Ω  3.2k Ω
-6
2  3.14  500  0.1  10
Z  R  X C  22  3.22 kΩ  3.77 kΩ ,
2
2
U1
1
I

mA  0.27mA
Z 3.77
U2  IR  0.27  2V  0.54V
 XC
- 3.2
  arctan
 arctan
 -58 
R
2
大小和相位关系 U 2  54% U 2 比 U 1超前 58
U1
方法2：复数运算
U 1  1 0V
R 
2
2

U 2  U1 
 1 0V 
V  0.54 58V
Z
2  j 3.2
3.77  58
解：设
方法3：相量图
解：设 U 1  1 0V
 XC
- 3.2
  arctan
 arctan
 -58 
R
2
U 2 I
58
U2  U1cos  1 cos58V  0.54V
(2)
U 1
U C
1
1
XC 

  16 Ω  R
-6
ω C 2  3.14  500  20  10
Z  R  X C  2 kΩ ,
 XC
  arctan
 0
R
2
2
U2  U1 cos  U1  1V
U 2  U 1
I
1
（3）
XC 

ωC
Z  R  XC
2
1
  400 Ω
-6
2  3.14  4000  0.1  10
2
 XC
 -11.3 
 2.04 kΩ ,   arctan
11.3  R I
U2
U2  U1cos  0.98V
U 1
U C
大小和相位关系 U 2  98% U 2 比 U 1超前 11.3
U1
从本例中可了解两个实际问题：
(1)串联电容C可起到隔直通交的作用(只要选择
合适的C，使 X C  R)
(2)RC串联电路也是一种移相电路，改变C、R
或 f 都可达到移相的目的。
4、R、L、C 串联电路中的功率计算
1) 瞬时功率
i
p  u  i  p R  p L  pC
R
uR
L
1 T
P   pdt
T 0
C
1 T
  ( p R  p L  pC )dt
T 0
电阻消耗
2
 PR  U R I  I R
的电能
uL
2) 平均功率 P （有功功率）
u
uC
平均功率P与总电压U、总电流 I 间的关系：
P  URI
其中： U

R
U L  U C

U
cos 称为功率

因数，用来衡
 U cos 
P  UI cos 
总电压
总电流
COS
量对电源的利
U R
用程度。
u 与 i 的夹角
----- 功率因数
3) 无功功率 Q：
在 R、L、C 串联的电路中，储能元件 L、C 虽
然不消耗能量，但存在能量吞吐， 吞吐的规模用无
功功率来表示。其大小为：
Q  QL  QC
 U L I （  U C I）
（U L  U C）
I
 IU sin 
U L  U C
U

U R
4) 视在功率 S： 电路中总电压与总电流有效值的乘积
S  UI
单位：伏安、千伏安
注： S＝U I 可用来衡量发电机可能提供的最大
功率（额定电压×额定电流）
5) 功率三角形
有功功率
P  UI cos 
S
无功功率
Q  UI sin 

视在功率
S  UI
Q
P
（有助记忆）
I
只适用于串联电路中
阻抗三角形
电压三角形
功率三角形
S
U
R
U R
L
U L
C
U
Q
Z

X L  XC
R
U L  U C
U R
P
U C
正误判断
在RLC串联电路中，
设 I  I 0
U
I
Z
？

U
I 

Z
？

U L  UC

arctan U ？
R
U
I
R  X L  XC
？
U  U R  U L  UC？
X L  XC
 arctan
U 
？
I 
R
？
u
 uR  uL  uC ？
Z
ωLω C
  arctan
u
？
i
Z  R  X L  XC ？
R
？
Z
U U

U

I 
Z
  arctan
？
L
C
U
？ Z  R  j( X  X ) ？
L
C
课外作业
P.61～62
2-7， 2-9，2-11
END