Transcript 自编第九章阻抗和导纳下

第九章
正弦稳态电路的分析
9-7阻抗和导纳的引入
9-8相量模型的引入
9-9正弦稳态混联电路的分析
9-10相量模型的网孔分析和节点
分析法
9-11相量模型的等效
9-12 有效值 有效值相量
9-13 两类特殊问题 相量图法
§9-7 阻抗和导纳
一、阻抗
1、定义：对任意一个不含独立电源的一端口网
络，端口电压与端口电流之比，称为一端口的驱动
点阻抗或简称为阻抗。
I
U
N
U U   u U
Z 

  u  i
I
I  i
I
 Z   Z  Z cos  Z  j Z sin  Z  R  j X
I
Z
Z
阻抗的模
阻抗角
Z 
U
I
 Z   u  i
R
等效电阻
R
U
X
等效电抗
jX
§9-7 阻抗和导纳
一、阻抗
1、
Z  Z   Z  Z co s  Z  j Z sin  Z  R  j X
I
U
Z 、
N
R
、X
Z 
阻抗的模
R  X
2
2
三者的关系可以用三角形表示称为
阻抗三角形
| Z |

R
X
§9-7 阻抗和导纳
2、单个元件的阻抗
U
Z 
I
R
L
C
I
U
U
ZR 
 R
I
U
ZL 
 j L  jX L
I
ZC
U
1
1


 j
 jX C
I
j C
C
感抗和容抗的单位：
N
感抗
X L  L
XC  
1
C
容抗
§9-7 阻抗和导纳
二、导纳
1、定义：对任意一个不含独立电源的一端口网
络，端口电流与端口电压之比，称为一端口的驱动
点导纳或简称为导纳。
I
U
N
I  i
I
I
Y 

  i  u

U U u U
 Y   y  Y cos  y  j Y sin  y  G  j B
I
Y
y
导纳的模
导纳角
Y 
I
U
 y   i  u
（请画出导纳的三角形）
G
等效电导
U
B
等效电纳
G
jB
§9-7 阻抗和导纳
2、单个元件的导纳
I
Y 
U
R
L
C
I
U
I
1
YR 
 G

U
R
I
1
1
YL 

 j
 jB L
U
j L
L
I
YC 
 j C  jBC

U
N
BL  
1
L
BC   C
感纳和容纳的单位：西门子（S）
感纳
容纳
§9-8
相量模型的引入
一. 电路的相量模型 (phasor model )
相量模型是一种运用相量能很方便对正弦稳态电路进行
分析、计算的假想模型。
它与原正弦稳态电路有相同结构、但电路中各元件要用阻抗
（或导纳）表示
I R
j

L
iR
L
+
uS
iL
iC
C
时域电路
+
R
U S
I L
I C
1/j C
频域电路—相量
模型
R
§9-8
正弦量用相量表示
相量模型的引入
i
I
u
U
阻抗、导纳
KCL、KVL
元件的伏安关系
（相量形式）
方程
I  I   i
i  I m cos(  t   i )
Z
 I  0
Y
 U  0
U  Z I
U  R I
U  j  L I
1 

U  j
I
C
相量形式的代数方程
§9-8
相量模型的引入
例9-12
i
.
R
+
u
-
I
L
+ uL C
+
+
uC
U
-
-
.
！解题分为三个步骤
例9-13
j L
R
+
.
U
L
-
1
jω C
+
.
U
-
C
§9-8
相量模型的引入
具体分析一下 R、L、C 串联电路：
Z=R+j(L-1/C)=|Z|∠
L > 1/ C ，X>0，  >0，电路为感性，电压领先电流；
L<1/ C ，X<0，  <0，电路为容性，电压落后电流；
L=1/ C ，X=0，  =0，电路为电阻性，电压与电流同相。
画相量图：选电流为参考向量(L > 1/ C )
U
L
三角形UR 、UX 、U 称为电压三
角形，它和阻抗三角形相似。即
U C
U
UX

U
R
I
U 
U
2
R
U
2
X
§9-8 相量模型的
引入
例9-14
i
.
I
+
u R
-
iL
iL
L
iC
C
+
.
U
-
R
.
.
.
IR
IL
1
IC
j L
jω C
§9-8 相量模型的引入
具体分析一下 R、L、C 并联电路：
Y=G+j(C-1/L)=|Y|∠
 C > 1/ L ，B>0，  '>0，电路为容性，i领先u；
 C<1/ L ，B<0，  '<0，电路为感性，i落后u；
C=1/ L ，B=0，   =0，电路为电阻性，i与u同相。
画相量图：选电压为参考向量(C < 1/ L，<0 )
U
'
I
.
IG
I 
.
IC
.
IL
IG  I B 
2
2
IG  (I L  IC )
2
2
§9-9 正弦稳态混联电路的分析
一、做出正弦稳态混联电路的相量模型后，就可
以仿照电阻混联电路的处理方法求输入阻抗或导
纳、各支路电流相量以及电压相量。
二、在求输入阻抗或导纳时，要注意
1、同一元件的阻抗与导纳互为倒数，同一端钮间的
阻抗与导纳互为倒数。
1
1
Y  或Z 
Z
Y
2、记住基本元件的阻抗和导纳
3、串联部分：
Z eq  Z 1  Z 2  ......  Z n
Yeq  Y1  Y 2  ......  Y n
并联部分：
特别是两个阻抗并
联，则有：
Z eq 
1
Yeq

1
Y1  Y2

Z1Z 2
Z1  Z 2
§9-9 正弦稳态混联电路的分析
例、9-15
例、已知。
Z 1 =10+j6.28  , Z 2 =20-j31.9  , Z 3 =15+j15.7 
求 Z ab 和 Yab
Z ab
Z 
a
Z1Z 2
 Z3 
 Z3  Z
Z1 Z 2
Z3
Z2
( 10  j6 . 28 )( 20  j 31 . 9 )
Z1
b
10  j6 . 28  20  j 31 . 9
11 . 81  32 . 13  37 . 65   57 . 61

o
39 . 45   40 . 5
1
1
1
o
Y




0.03


35.6
ab
o
 10 . 89  j 2 . 86
Z ab 25.89  j18.56 31.9  35.6
 Z ab  Z 3  Z  15  j15 . 7  10 . 89  j 2 . 86
o
o
 25 . 89  j18 . 56  31 . 9  35 . 6 Ω
o
§9-10 相量模型的网孔分析法和节点分析法
在分析正弦稳态电路时，把电压、电流用
相量表示，元件用阻抗或导纳表示，得到的电
路模型元件用阻抗或导纳表示，得到的电路模
型称为相量模型，基尔霍夫定律和元件伏安关
系的相量形式与电阻电路相应关系形式完全相
同，因此，电阻电路的所有分析方法对正弦稳
态电路都适用，也就是说，电阻电路的各
种等效变换规则、支路法、网孔法、
节点法等一般分析方法，以及叠加定
理、戴维南定理和诺顿定理等都可以
用来分析正弦稳态电路。
§9-10 相量模型的网孔分析法和节点分析法
例9-16 网孔法
例9-17 节点法
例9-18 计算含受控源电路的输入阻
抗及导纳
例9-19 振荡器电路的振荡条件
§9-1 1
相量模型的等效
一、无源网络（一）等效阻抗与导纳
对于任意复杂的无源二端网络，当在端口加正弦
激励时，网络中各支路电压（电流）均为同频正
弦量，对端口而言既可以等效为一个阻抗或一个
导纳
I
+
I
º
R
Geq
无源
U
jX
Z
线性
jBeq
U
二端网络
-
º
Z 
U
I
 Z   Z  R  jX
Y 
I
U
 Y 
y
 G  jB
R称为输入阻抗的电阻分量，不一定只由网络中的电阻元件所确定
X称为输入阻抗的电抗分量，不一定只由网络中的动态元件所确定
§9-1 1
相量模型的等效
（二）、阻抗与导纳间的关系
I
Y 
 Y  y
U
U
Z 
 Z  Z
I
I
U
N
1
Z 
Y 
Y
I
Geq
R
U
Y 
Y
I
U
jBeq
阻抗与导纳互为倒数
Z
1
Z 
1
1
Z
 Z   y
模互为倒数
阻抗角与导纳角差一负号
jX
Y 
U
Z 
 R  jX
I
1

Z

1
R  jX
R  jX
R  X
2
2


( R  jX )
( R  j X )( R  j X )
R
R  X
2
2
 j
X
R  X
2
2
 G eq  jB eq
R
1
Z 
Y
§9-1 1
I
I
R
U
jX
相量模型的等效
阻抗与导纳互为倒数
Geq
jBeq
U
一般情况G并非是R的倒数，B则不可能是X的倒数。应利用 Z 
1
Y
来推导。
以上各式中的R、X、G、B等均为  的函数，
只有在某一指定频率时才能确定R、G的数值和X、
B的数值及其正负号。等效相量模型只能用来计
算在该频率下的正弦稳态响应。
R
1
Z 
Y
§9-1 1
例9-20
例9-21
相量模型的等效
不同  时模型不同
二、有源网络可用利用戴维南及诺顿定理
求得等效相量模型
例9-22 戴维南等效模型
§9-1 1 相量模型的等效
例2、求图示电路的戴维南等效电路。
I1
-
j10 
6
j5 I1
+
6 0

+
a
解： 开路电压
U oc  j5 I1  6 I1  ( 6  j5 ) I1
6
V
-
I1 
b
a
6
6
12  j10

3
6  j5

U oc  3  0 V
等效阻抗
I1
U oc  U ab
-
j10 
I2
j5 I1
+
I
I  I2  I1
+
6
U
b
I1 
j5 I1  U
6  j10
I1  
U
6  j5
§9-1 1 相量模型的等效
I1
-
j10 
6
j5 I1
+
6 0

a
+
I2 
6
V

-
等效阻抗

a
-
j10 
I2
j5 I1
+
+
6
U
I1  
U
U
6
I
I  I2  I1
U

j5

6
U
j5 


I1
6
6
U
6  j5
I  I2  I1

U oc  3  0 V
6
6
6
b
I1
U  j5 I1
Z eq

j5

6
U
6  j5
U

 3
I

6  j5
a
3
+
b
6  j5
U
3 0
-

V
b

U
3
§9-12
有效值 有效值相量
一、有效值
正弦交流电的有效值(effective value)定义为：让正弦交流电
流和一直流信号I分别通过同一电阻R, 在同一个周期T内所
产生的热量相等，那么这个直流电流I的数值就叫做交流电
流的有效值。
T
I RT   i R dt
2
2
0
交流电流的有效值为
1
I 
T
I 
1
T
Im 
I 
2
m
2I
T
2

Im
2

T
2
i dt
0
 0 . 707 I m
§9-12 有效值有效值相量
有效值
例如，我们日常生活中用的电压２２０V，是指有效值，其振幅
（最大值）为。
工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电
网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考
虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。
测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。
二、有效值相量



I  I  0 
I
m
2


I
k

U
 0

U  Z I

k

I  Y U
 0
§9-13两类特殊问题 相量图法
一、两类特殊问题一是有效值的问题 另一个是相位差的问题
可以利用电路的相量图计算。
二、电路的相量图：
表示电路中各电压电流相互关系的相量图，称
为电路的相量图。它是用几何图形来表示各电流电
压关系。是先定性地画出相量图，然后根据图形特
征解决问题。
(一)解析法:1、画出电路的相量模型
2、采取等效变换方法简化模型。
3、适当方法求解，列相量方程。
4、求解方程，求出所需电压、电流相量。
5、必要时，将电压、电流相量表示为时间函数式。
（二)相量图法——辅助方法
1、画出电路的相量模型
2、选择参考相量：串联电路选（ 电流 ）相量为参考相量。
并联电路选（
）相量为参考相量。
3、从参考相量出发：利用元件VCR及KCL、KVL确定有关电流
电压间的相量关系，定性画出相量图。
4、利用相量图几何关系，求得所需的电流、电压相量。
§9-13两类特殊问题 相量图法
例9-25
例9-26
P436 两种解法
P438 求表的读数，有效值计算
例9-27 P439 相量图法表明电流相量的相位关系
例9-28
P439 实验室三压法测电感线圈
§9-13两类特殊问题 相量图法
例：已知图中电压表V 、 V1 、 V2的读数分别为
100V、171V、240V，Z2=j60，求Z1。
V1
+
解： U 2
I
V
Z2
U 2
V2
U2

Z2

  90    69 . 42


240
 4
I


I  4  0 
60

U 1 171   69 . 42

Z1 


42
.
75


69
.
42

I
4 0
U 1
U
2

U 1  171   69 . 42
I 

2
  20 . 58
Z1
U
 U 1  U 2  2U 1U 2 cos 
 15 . 03  j40 . 02 
容性
§9-13两类特殊问题 相量图法
例3、为了测得电感线圈的参数R、L，串一电阻R1=32，用
伏特表测得U=115V，U1=55.4V，U2=80V，f=50Hz，求R、L。
+
I
U 1
解：U 2
R1
U
L
U 2
R
电
感
线
圈
 U 1  U 2  2U 1U 2 cos( π   2 )
2
cos  2 
U
2
2
U
U L
U 1 U R
2

I 
R1
U L  U 2 sin  2  72 . 46 V
I
L
XL


 0 . 4287
U1
U R  U 2 cos  2  33 . 9 V
U 2
2
2
2U 1U 2
 2  64 . 93
-
U1 U 2
XL
2π f

41 . 86
314

55 . 4
 1 . 731 
32
R 
XL 
UR
I
UL
I
 133 . 3 mH
 19 . 58 
 41 . 86 
正弦稳态电路的分析
选讲例4、电路如图，已知R1=10，
 =20rad/s，C=0.01F，uC (0-)=0，
R2=20，
u S ( t )  2 2 cos 20 t V
t=0时S关闭，求u
0 (t)。
R
解：1、求初值
1
C
S(t =0)
+
+
u S (t )
uC - R
2
-
+
+
uC= 0
uS (0  )
-
+
u C (0  )  u C (0  )  0
u0 (t)
画0+等效电路
-
+
R
2
u0 (0+)
-
u 0 ( 0  )  u S ( 0  )  2 2  2 . 83 V
2、求稳态解—用相量法

U S  2  0 V
§ 正弦稳态电路的分析
R1
S(t =0)
u S (t )
Z  R2 
C
+u -
+
R1 
C
R2
-
+
u0 (t)
-
R1 
1
j C
1
j C
  R eq C 

R1 R 2
R1  R 2
C 
u 0
t0
u 0  1 . 79
1
15
s
1  j R1 C

2 cos( 20 t  10 . 3 ) V
3、求时间常数
R1
 22  j4  22 . 36   10 . 3 
20
R2 




1
.
79

10
.
3
2

0
U0 
US 

22 . 36   10 . 3
Z
u 0  1 . 79
 R2 
 1 . 79
 1 . 79
V

2 cos 10 . 3  2 . 49
V 稳态初值

2 cos( 20 t  10 . 3 )  ( 2 . 83  2 . 49 ) e

2 cos( 20 t  10 . 3 )  0 . 34 e
15 t
V
15 t
§ 正弦稳态电路的分析
选讲例5、图示电路是一移相电路，设R1、 R2 、C为
已知，且有R1= R2 ，讨论当R从0→∞变化时， m n
二端电压的变化情况。
解：U 2
+
I RC
R
U 1
1
m
U 2
C
+
U 2
画相量图
U 2  U R  U R 2

I RC
n
R
-
  U C  U R 1
R

I RC
2
的大小不变 U 2

1
2
U1
随着R的增大，U 2 超前
U 1 的角度由逐渐减小。
U R 2
U R 1
(R = ∞)
U 2
U C
U C
U 2
U R
U 1 (R = 0)
U R
§ 正弦稳态电路的分析
选讲例6、电路如图，U=5V， u1=10sin t V，D为
理想二极管，试画出u2的波形。
+
+
R
u1
D
u2
U
-
解：
u1  U
u 2  u1
u
D导通
u1
u2  U
u1  U
-
U
D断开
0
t
u2
小结
一、主要是建立相量模型
二、常见的类型题：
（一)、利用KCL、KVL、节点法、网孔法等求电
压电流等。
（二）求输入阻抗或导纳。
（三）利用诺顿或戴维南定理求等效电路
（四)求有效值
（五)相量图法
（六）求R、L、C元件参数题。