Transcript 第6章谐振电路

第6章 谐振电路
在含有电阻、电感和电容的交流电路中，电路两端电
压与其电流一般是不同相的，若调节电路参数或电源频率
使电流与电源电压同相，电路呈电阻性，我们称这时电路
的工作状态为谐振。
R、L、C串联电路发生的谐振现象称为串联谐振；
R 、L 、C并联电路中发生的谐振称为并联谐振。
谐振现象是正弦交流电路的一种特定现象，它在电子
和通信工程中得到广泛应用，但在电力系统中，发生谐振
有可能破坏系统的正常工作，我们应设法预防。本章讨论
最基本的 串联和并联谐振电路谐振时的特性。
6.1串联谐振电路
6.1.1串联电路谐振条件
6.1.2串联谐振电路的基本特征
6.1.3串联谐振电路的频率特性
6.1.1串联电路谐振条件
图6-1-1所示的
串联
电路,在正弦激励下,其复阻抗为
1
)
C
 R  j( X L  X C )
Z  R  j ( L 
 R  jX
图6-1-1
| Z | / 
其中
Z  R 2  (L 
1 2
)
C
X  X L  X C  L 
1
C
式中, XL、 XC都随激励的频率
变化而变化，它们的频率特性曲
线如图6-1-2所示。
图6-1-2
由图6-1-2可见，在
时，XL＜
 0 ＜
 0
XC ，X ＜ 0，电路呈容性；在
＞
时，XL
 0
＞ XC ，X ＞0,电路呈感性；在
=
时，
XL =XC ，X =0，电路呈阻性，发生谐振。因此，串联
谐振的条件为
1
L 
C
可见，调节、L 、C 三个参数中的任意一个，
都可使电路发生谐振（称为调谐）。在电路参数L 、
C 一定时，调节电源激励的频率，使电路发生谐振，
此时的角频率称为谐振角频率，用0 表示，则有
 0
1
LC
(6-1)
相应的谐振频率为
f0 
1
2 LC
(6-2)
显然，谐振频率仅与电路参数L、C有关，与电
阻值R无关。
6.1.2串联谐振电路的基本特征
1. 阻抗最小，且为纯电阻；
串联谐振时，由于复阻抗的虚部为零，电路复阻抗
就等于电路中的电阻值 ，复阻抗的模达到最小值。
当外加频率等于其谐振频率时其电路阻抗呈纯电阻性，
且有最小值，它这个特性在实际应用中叫陷波器。
2.电路中电流最大, 且与电压同相；
在一定值的电压作用下，谐振时的电流将达到最大
值，称为谐振电流。


U
I
R
(6-3)
3. 电感与电容两端的电压相等，相位相反，其大小
为总电压的Q倍。
串联谐振时，电感电压与电容电压的有效值相等，
相位相反，互相抵消，电阻电压等于电源电压。故串联
谐振也称电压谐振。
串联谐振时, 各元件上的电压为:





1 
U C  ( jX C ) I  ( j
)I
0 C

Q
UL

U


U L  jX L I  j0 L I
U R  R I U


0 L
R
6.1.3串联谐振电路的频率特性
1.特性阻抗和品质因数
串联谐振时，电路的电抗X =0，但感抗XL
和容抗X C并不为零，它们彼此相等，即
1
0 L 

0C
1
L
L

C
LC
(6-4)
式中，ρ称为串联电路的特性阻抗，常用单
位为Ω，它是一个只与电路参数 L 、C 有关而与频
率无关的常量。
。
在无线电技术中，常用谐振电路的特性阻抗  与
电路电阻值 R 的比值大小来表征谐振电路的性能，此
比值用字母 Q 表示,即
Q 

R

0 L
R

1
 0CR

1
L
R
C
(6-5)
它也是一个仅与电路参数有关的常数，称为谐振电路
的品质因数。
这样，谐振时电感和电容的电压有效值应为
U
U L  U C  Iρ  ρ  QρU
(6-6)
R
即该两元件上的电压有效值为电源电压的 Q ρ 倍。
由于 0 L 或
1
 0C
有可能远大于 R 值，即 Q ρ 有可能
很大，就使得在谐振时，电感和电容的电压有可能远
大于激励电源的电压。在无线电工程中，微弱的信号
可通过串联谐振在电感或电容上获得高于信号电压
许多的输出信号而加以利用。但在电力工程中，由于
电源电压较高，串联谐振可能产生危及设备的过电
压，故应力求避免。
2.谐振曲线与选择性
在 R 、 L 、 C 串联电路中，当电源电压幅值一定
时，电流 I 电压U L 和U C 随频率变化的曲线称为谐振
曲线，如图6-1-4所示。
图6-1-4
U
为谐振电流； f 0 为谐振频率； f1 下限截
R
止频率； f 2 上限截止频率； f  f 2  f1 通频带。
图中，I 0 
谐振曲线的讨论：
（1）0 不变， I 0 变化,如图6-1-5如示。
图6-1-5
此时，0 不变，0 =
U
1
即 LC 不变；I 0 变化，I 0 
R
LC
，即 R 变化。
结论： R 愈大， I 0 愈小，谐振曲线愈尖锐，选择性好；
反之 R 愈小，选择性差。
（2） I 0 不变，0 变化,如图6-1-6如示。
图6-1-6
U
此时， I 0 不变， I 0  ，即U、R 不变；0 变化
R
1
即 LC 变化；
， 0 =
LC
结论： LC 变小，0 变大，通频带变宽，反之，
通频带变窄。
当 为零时，因为 X C 为无限大，电路相当于开
路， I 为零，U C 等于U ，U L 为零；当 增大时，电流
I 逐渐增大，U L 逐渐增大，但由于 X C 在逐渐减小，
故U C 的值会在一段频率内有所增加。可以证明，在
1
品质因数 Q ρ ＞
的电路中 ，U L 和U C 的最大值分别
2
出现在小于0 和大于0 的某一频率处。 Q ρ 值越大，
两峰值越向谐振频率处靠近，但均不会出现在 0 处
。但在0 处的电流 I 是最大值。当 继续增大趋于无
限大时，X C 趋于零，X L 趋于无限大，U L 趋于U ，I 趋
于零。
I
U
U

|Z|

1
R  ( L 
2
C
)
2
U
R  ( L) (
2

2
0

1
 0 LC
)
2
U

1
ρ
2
R
2
(

0

0

U

)
1  Qρ (

2
2
0
所以
I
I0
1

1  Qρ (

0

0

)
2

0

)
2

若以 为横坐标，以 I / I 0 为纵坐标，对不同的
0
Q ρ 值可作一组曲线。因为对于 Q ρ 值相同的任何
R、L、C 串联电路，只有一条曲线与之相应，故该曲
线称为串联谐振通用曲线。
图 6-1-7 所示的是 Q ρ 分别为 1、10、100 时的通用曲
线。
图 6-1-7
很明显，Q ρ 值的大小影响电流 I 在谐振频率附近变

化的陡度。Q ρ 越大， I 变化陡度越大，当
值稍偏离
0
1 时（即 稍偏离0 ）
，电流就急剧下降，表明电路具
有选择最接近于谐振频率附近的电流的性能，这种性能
在无线电技术中称为选择性。 Q ρ 越大，选择性越好。
工程上还规定，在谐振通用曲线上 I / I 0 的值为
1/ 2 ，即 0.707 所对应的两个频率之间的宽度称为通
频带。它规定了谐振电路允许通过信号的频率范围。不
难看出，电路的选择性越好，通频带就越窄；反之，通
频带越宽，选择性越差。无线电技术中，往往是从不同
的角度来选择通频带宽窄的，当强调电路的选择性时，
就希望通频带窄一些；当强调电路的信号通过能力时，
则希望通频带宽一些。
例6-1 电路如图12-18所示。已知 uS (t )  10 2 cos ωt V
求: (l) 频率为何值时，电路发生谐振。
(2)电路谐振时, UL和UC为何值。
例6-1电路
解：(l)电压源的角频率应为
  0 
1
LC

1
104  108
rad/s  106 rad/s
(2)电路的品质因数为
Q
则
0 L
R
 100
U L  U C  QUS  10010V  1000V
串联谐振：
1
1
1、 条件： L 
 f  f0 
C
2 LC
1
L
2、 特性阻抗： 0 L 


0 C
C

0 L
1
1 L
3、 品质因数：Q   


R
R
0CR R C
谐振时电容与电压电压等大反相，
U
U C  U P  I    QU
R
6.2并联谐振电路
6.2.1并联电路谐振条件
6.2.2并联谐振电路的基本特征
6.2.3并联谐振电路的频率特性
6.2.1并联电路谐振条件
R 、 L 、 C 并联电路发生的谐振现象称为并联谐振。
图 6-2-1
图 6-2-1 所示并联电路的复导纳为
1
Y  G  jB  G  j ( C 
)
L
显然，该电路发生并联谐振的条件为
1
 0C 
0 L
1
1
即
或 fo 
（6-8）
0 
LC
2 LC
式中，0 为谐振角频率，与串联谐振条件是相同
的,该频率 f o 称为电路的固有频率,仅与 L、C 参数有
关,与 R 无关。
6.2.2并联谐振电路的基本特征
电路谐振的特征是对非谐振状态而言的。
1.并联谐振时输入导纳最小或者说输入阻抗
最大。
并联谐振时，由于复导纳的虚部为零，电路复导
纳就等于电路中的电阻导纳值 G ，复导纳的模达到
最小值，或者说输入阻抗最大。
1
Y  G  jX  G  j (0C 
)G
0 L
当外加频率等于其谐振频率时其电路阻抗呈纯
电阻性，且有最大值，它这个特性在实际应用中叫选
频电路。
2.谐振时，因阻抗最大，在激励电流一定时，
电压的有效值最大。
并联谐振时，复导纳最小，为Y  G ，在一定幅
值的电流源 I L 作用下，电路的端电压U 就达到最大值
为
U  I s / G （6-9）
3.电感和电容上电流相等，其电流为总电流的
Q  倍。
谐振时电阻电流与电流源电流相等 I R  I S 。电感电
流与电容电流之和为零，即 I L  I C  0。电感电流或
电容电流的幅度为电流源电流或电阻电流的 Q ρ 倍，
即 I L  IC  QIS  Q I R
此时各元件上的电流分别为
Is
I G  UG  G  I s
G
1
I L  U 0 ( j
)
L
I C  U 0 ( j C )
即电阻上电流等于电源电流；电感与电容元件的电流
有效值相等，相位相反，互相抵消。故并联谐振也称
为电流谐振。因为此时有
I B  I L  IC  0
所以，在图 6-2-1 所示中 A、B 两点的右边电路相当
于开路。
工程上广泛应用实际电感线圈和实际电容器组成的
并联谐振电路。在不考虑实际电容器的介质损耗时，该
并联装置的电路模型如图 6-2-2 所示。
图 6-2-2
电路的复导纳为
1
R
ωL
Y
 j C  2
 j (ωC  2
)
2
2
R  j L
R  (ωL)
R  (ωL)
(6-10)
电路发生谐振时，复导纳的虚部应为零，得
L
C 2
R  ( L)2
(6-11)
由上式可以看出，当电路的频率和实际电感线圈的
参数 R 、 L 一定时，改变电容总能使电路达到谐振。
如果电路的参数一定，调节电源频率使电路达到谐
振所需的角频率,可上式得
R 2
1
( )
0 
(6-12)
L
LC
L
1 R 2
 ( ) ，即 R＜
从(6-12)式可看出，只有当
LC L
C
时，0 才是实数，才有可能通过调频使电路达到谐振。
图 6-2-2 所示并联电路发生谐振时的相量图如图
6-2-3 所示。可以看出，调节电容 C 使电路达到谐振的
过程，实质上是使 I L 的无功分量与 I C 完全抵消的过程。
在一定的电压U 作用下，谐振时电流最小。整个电路可
等效为一个电阻 R0 ,它等于复导纳实部的倒数，由式
（6-10）得
R 2  ( L)2
R0 
R
(6-13)
L
又因为谐振时 C  2
，即
2
R  ( L)
L
2
2
R  ( L)  ，所以，谐振时的等效电阻为
C
L
R0 
RC
RC
等效电导为
G0 
L
图 6-2-3
6.2.3并联谐振电路的频率特性
1.特性阻抗和品质因数
与串联谐振电路一样，定义并联谐振电路的特性
阻抗为
L

C
并联谐振电路的品质因数定义为谐振时的感纳
（或容纳）与谐振时等效电导的比，即
 0C
 0C
0 L
Q 


(6-14)
G0
RC / L
R
实际电感线圈的电阻 R 较小，在(6-13)式中，一般
L
都可能有 R 远小于
，则式（6-12）可写为
C
1
(6-15)
0 
LC
将式（6-12）代入式（6-14）可得并联电路的品
质因数为
1 L 
Q 

R C R
(6-16)
例 6-2 将一个 R =15 Ω， L =0.23 mH 的电感线圈与
100μF 的电容器并联，求该并联电路的谐振频率和谐振
时的等效阻抗。
解：电路的谐振角频率为
0 

1
R 2
( )
LC
L
1
15
2

(
)
rad/s
3
12
3
0.23  10  100  10
0.23  10
3
=655710 rad/s
谐振频率为
0 6577  103
Hz=1444kHz
f0 

2π
2  3.14
谐振时的等效阻抗为
L
0.23103
Z  R0 

  153K
12
RC 1510010
或
1 R 2  (0 L) 2 152  (6577 0.23) 2
Z 

  153K
Y
R
15
从计算结果可以看出，
谐振时，
电路的等效阻抗 Z 很
大，比线圈电阻 R 大得多, Z 是 R 的 10200 倍。
必须指出，实际工程技术中遇到的谐振电路要比以
上介绍的电路复杂得多，而且可能在一个电路中，既有
串联谐振又有并联谐振。对它们的分析方法是类似的，
即谐振时，电路的等效复阻抗或复导纳的虚部为零。
6.3谐振电路的应用与防护
6.3.1谐振在电子技术中的应用
6.3.2电力系统对谐振的防护
6.3.1谐振在电子技术中的应用
在无线电技术中常应用串联谐振的选频特性来选择
信号。收音机通过接收天线，接收到各种频率的电磁波，
每一种频率的电磁波都要在天线回路中产生相应的微弱
的感应电流。为了达到选择信号的目的，通常在收音机
里采用如图 6-3-1(a)所示的谐振电路。把调谐回路中的
电容 C 调节到某一值，电路就具有一个固有的频率 f 0 。
如果这时某电台的电磁波的频率正好等于调谐电路的固
有频率，就能收听该电台的广播节目，其它频率的信号
被抑制掉，这样就实现了选择电台的目的。
在具有电感和电容元件
的电路中，电路两端的电压与
其中的电流一般是不同相的，
如果我们调节电路的参数或
电源的频率而使它们同相，这
时电路中就发生谐振现象。上
(a)
(b)
述案例即为谐振的应用。研究
图 6-3-1
谐振的目的就是要认识这种
客观现象，并在生产上充分利用谐振的特征，同时又要
预防它所产生的危害。
6.3.2电力系统对谐振的防护
含有电感线圈和电容器的无源（指不含独立电源）
线性时不变电路在某个特定频率的外加电源作用下，对
外呈纯电阻性质的现象。这一特定频率即为该电路的谐
振频率。以谐振为主要工作状态的电路称谐振电路。无
线电设备都用谐振电路完成调谐、滤波等功能。电力系
统则需防止谐振以免引起过电流、过电压。
电路中的谐振有线性谐振、非线性谐振和参量谐振。
前者是发生在线性时不变无源电路中的谐振，以串联谐
振电路中的谐振为典型。非线性谐振发生在含有非线性
元件电路内。由铁心线圈和线性电容器串联（或并联）
而成的电路（习称铁磁谐振电路 ）就能发生非线性谐
振 。在正弦激励作用下，电路内会出现基波谐振、高次
谐波谐振、分谐波谐振以及电流（或电压）的振幅和相
位跳变的现象。这些现象统称铁磁谐振。参量谐振是发
生在含时变元件电路内的谐振。一个凸极同步发电机带
有容性负载的电路内就可能发生参量谐振。
串联谐振电路 用线性时不变的电感线圈和电容器
串联成的谐振电路。这种电路产生的谐振称串联谐振，
又称电压谐振。当外加电压的频率 等于电路的谐振频率
0 时，即
1
  0 =
LC
式中 L 为电感， C 为电容，便产生谐振。除改变 可
使电路谐振外，调整 L 、C 的值也能使电路谐振。谐振时
电路内的能量过程是在电感和电容之间出现周期性的等
量能量交换。以品质因数值表示 Q 电路的性能，
1
Qρ 
R 0C
Q ρ 值越大，谐振曲线越尖，则电路的选择性越好。
考虑信号源的内阻时，Q ρ 值要下降 ，因此，串联谐振电
路不宜与高内阻信号源一起作用。
并联谐振电路 用线性时不变电感线圈和电容器并联
组成的谐振电路。其中的谐振称并联谐振，又称电流谐振。
以Q ρ 表示电路的性能，电路内的能量过程与串联谐振电路
类似。信号源内阻会降低 Q ρ 值，且内阻越小，品质因数值
越小 ，所以并联谐振电路不宜与低内阻信号源一起使用。
本章小结
R 、 L 、 C 串联网络的谐振现象是一种处于特定条
件下的频率响应。
1. 谐振条件： 0 =1/ LC 或 f 0 ＝1/(2π LC ),
即改变激励源的频率或调节电路参数均可以形成这种
条件。
2.串联谐振的特征：电路的总阻抗为最小值()，电
流达到最大值（ I  U / R ），总电压与电流同相位，电
路呈电阻性。谐振时电感和电容端电压相等，且比激励
源电压大 Q  倍，故串联谐振又称为电压谐振。
3.当改变激励源的频率，使电路的电流值下降到
谐振点电流值的 2 倍时所对应的频率范围，即上限频
率 f 2 与下限频率 f1 之差（ f 2  f1）
，称为电路的频带。Q 
值愈高，带宽就愈窄，电路对信号的选择性就愈好。
4. 串联谐振电路不宜与高内阻信号源一起使用。
R 、 L 、 C 并联网络的谐振现象也是一种处于特定
条件下的频率响应。
1.谐振条件：若电感线圈 Q ρ 的值较高，则并联谐
振与串联谐振的频率条件相同。
2.谐振特征：电路的总阻抗最大，谐振电流最小，
总电流与电压同相，电路也呈电阻性。谐振时并联支路
的电流几乎相等，且比总电流大 Q  倍，故并联谐振又
称为电流谐振。
3.频率特性：电路发生并联谐振时相当于一个高电
阻，可从电路两端得到幅值较大的输出电压，这就是并
联谐振电路的选频作用。
4.并联谐振电路不宜与低内阻信号源一起使用。
习题解答
6-1
含R、L的线圈与电容C串联，已知线圈电压URL=50V，电
容电压UC=30V，总电压与电流同相，试问总电压是多大?
解：因总电流与总电压同相，故
电路处在谐振谐振状态UC与UL等
大反相，UC、UL与UR正交，如图
所示，
U L  UC
2
U  U R  U RL
 U L2
 502  302  40V
6-2
RLC组成的串联谐振电路，已知U=10V，I=1A，UC=80V
试问电阻及多大?品质因数Q又是多大?
U 10
解: R  
 10
I
1
6  3如图所示, 若 
端口相当于开路?
解 :图(a)(C )相当于
短路, 而图(b)(d )相当
于开路,
U C U L 80
Q


8
U
U 10
1
, 哪些端口相当于短路? 哪些
LC
6-4 串联谐振电路如图所示，已知电压表V1，V2的读数分
别为150V和120V，试问电压表V的读数为多少?
解 : 因U C 与U L 等大反相,
即U L  U C  120V ,
且与U R正交, 故 :
2
U  U R  U RL
 U L2
 1502  1202  90V
电压表读数为90V
6-5
在如图所示电路中，(1)如果要收听e1台节
目，C多大?已知L=250μH，R=20Ω，f=820kHz。
(2)e1信号在电路中产生的电流有多大?在C上产
生的电压是多少?已知：e1=10μV，
L=250μH，R=20Ω，C1=150pF。
1
1
解 : (1)此时C  2 
 L (2  3.14 820103 ) 2  250106
 1.5 1010 F  150PF
(2) I 
U e1 10V

 0.5A
R
20
0.5 106
4
U C  U L  IX C 
V

6
.
473

10
V  647.3V
3
12
2  3.14 82010 15010
或U C  U L  IX L  0.5 106  2  3.14 820103  250106V
 6.473104V  647.3V
6-6
在RLC串联谐振电路能力训练中，
(1)欲提高串联谐振电路的Q值，应如何改变R、L和C?
(2)RLC串联电路发生振荡时，电阻电压达到最大值，试问电
感电压和电容电压褪否达到最大值?
6-7 参考实验八RLC串联谐振电路自行设计并联谐振电路的实
验。
6-8 查阅相关资料或调研相关企业进一步了解谐振电路在实
际中的应用。
α∞ΦωβμΩσεφπ°∠Δ