Transcript 第九章(导行电磁波).

第九章
导行电磁波
主 要 内 容
几种常用的导波系统，矩形波导传播特性
，圆波导传播特性，谐振腔，同轴线。
1.
2.
3.
4.
TEM波、TE波及TM波
矩形波导传播特性
矩形波导中TE10波
电磁波的群速
5.
6.
7.
8.
圆波导传播特性
波导传输功率和损耗
谐振腔
同轴线
1
沿一定的路径传播的电磁波称为导行电磁波，
传输导行波的系统称为导波系统。
常用的导波系统有双导线、同轴线、带状线、微
带、金属波导等。
本章仅介绍同轴线和金属波导。尤其是矩形金
属波导的传播特性。
2
几种常用导波系统的示意图
同轴线
双导线
带状线
矩形波导
微 带
圆波导
介质波导
光 纤
3
1. TEM 波、TE 波及TM 波
TEM波、TE波及TM波的结构。
E
E
S
H
TEM波
E
S
S
H
H
TE波
TM波
可以证明，能够建立静电场的导波系统必然
能够传输TEM波。
根据麦克斯韦方程也可说明金属波导不能传
输TEM波。
4
几种常用导波系统的主要特性
名
称
波
型
电磁屏蔽
使用波段
双导线
TEM波
差
> 3m
同轴线
TEM波
好
> 10cm
带状线
TEM波
差
厘米波
微 带
准TEM波
差
厘米波
矩形波导
TE或TM波
好
厘米波、毫米波
圆波导
TE或TM波
好
厘米波、毫米波
光 纤
TE或TM波
差
光波
5
根据导波系统横截面的形状选取直角坐标系或
者圆柱坐标系，且令其沿 z 轴放置，传播方向为正
z 方向。
示为
以直角坐标系为例，则电场与磁场可以分别表
E( x, y, z)  E0 ( x, y) e jkz z
H ( x, y, z)  H0 ( x, y) e jkz z
且满足下列矢量亥姆霍兹方程
 2 E  2 E  2 E
2



k
E 0
 2
2
2
y
z
 x
 2
2
2

H

H

H
2




k
H 0
2
2
 x 2
y
z
6
上式包含了 E x , 及
6个直角坐标分量，分
E y , Ez
Hx, Hy , Hz
别满足齐次标量亥姆霍兹方程。
可以证明， x 和 y 分量与 z 分量的关系为
Ex 
1 
Ez
H z 



j
k

j

z
2 
kc 
x
y 
Ey 
1 
Ez
H z 



j
k

j

z
2 
kc 
y
x 
1 
Ez
H z 

H x  2  j
 jk z
kc 
y
x 
1
Ez
H z 

H y  2   j
 jk z
kc 
x
y 
式中
只要求出 z 分量
，其余分量即可求
出。
z 分量为纵向
分量，因此这种方
法又称为纵向场法
。
kc2  k 2  kz2
7
对于圆波导，选择圆柱坐标系，r 和
量可用 z 纵向分量表示为
Er  
1 
Ez
 H z 


j
k

j
z
2 
kc 
r
r  
E 
1  k z Ez
H z 



j

j

2 
kc 
r 
r 
Hr 
1   Ez
H z 


j

j
k
z
2 
kc  r 
r 
H  
横向分
1 
Ez
k z H z 


j


j
2 
kc 
r
r  
8
2. 矩形波导传输特性
矩形波导如图示，宽壁的内尺寸为 a ，窄壁
的内尺寸为 b 。
y
b
 ,
x
a
已知金属波导
只能传输 TE 波及
TM 波，若仅传输
TM 波，则 Hz = 0
。
z
按照纵向场法，此时仅需求出 Ez 分量，然后
即可计算其余各个分量。
9
已知电场强度的 z 分量可以表示为
Ez  Ez 0 ( x, y)e jkz z
Ez 满足的齐次标量亥姆霍兹方程为
 2 Ez  2 Ez

 kc2 Ez  0
2
2
x
y
kc2  k 2  k z2
考虑到 Ez  Ez 0 ( x, y)e jk z ，其振辐 E z 0 也应满足
z
上述方程。
即
 2 Ez 0  2 Ez 0
2


k
c Ez 0  0
x 2
y 2
10
 2 Ez 0  2 Ez 0
2


k
Ez 0  0
c
2
2
x
y
采用分离变量法求解上述方程。
令
E z 0 ( x、y)  X ( x)Y ( y)
X  Y 

 kc2
X
Y
得
式中X 表示 X 对 x 的二阶导数，Y 表示Y 对 y
的二阶导数。
式中的第二项仅为 y 函数，而右端为常数，因
此，若对 x 求导，得知左端第一项应为常数。
若对 y 求导，获知第二项应为常数
。
11
令
X 
  k x2
X
Y 
 k y2
Y
式中k x 和 k y 称为分离常数
。
显然
kc2  kx2  k y2
两个常微分方程的通解分别为
X  C1 cos k x x  C2 sin k x x
Y  C3 cosk y y  C4 sin k y y
式中常数C1 ，C2 ， C3 ， C4 取决于导波系统的
边界条件。
已知 Ez  0 x 0,a; y 0,b ，求出
kx 
mπ
, m  1,2,3, 
a
ky 
nπ
, n  1,2,3, 
b
12
上节内容回顾
1. 纵向场法
由纵向场可以得到横向场。
2. 纵向场满足的标量亥姆霍兹方程
 2 Ez  2 Ez
2


k
Ez  0
c
2
2
x
y
kc2  k 2  k z2
特征方程，kc具有分立的解。
具体解的形式由边界条件决定。纵向场的边界条件：
E z  0 边界
H z
0
n
边界
13
14
那么矩形波导中TM 波的各个分量为
E z  E0 sin
mπ
nπ  jk z z
x sin
ye
a
b
k z E0  mπ   mπ   nπ   jk z z
Ex   j 2 
x  sin
y e
 cos
kc  a   a   b 
k E  nπ   mπ   nπ   jk z z
E y   j z 2 0   sin
x  cos
y e
kc  b   a   b 
E  nπ   mπ   nπ   jk z z
H x  j 2 0   sin
x  cos y e
kc  b   a   b 
E0  mπ   mπ   nπ   jk z z
Hy  j 2 
x  sin
y e
 cos
kc  a   a   b 
15
E z  E0 sin
mπ
nπ  jk z z
x sin
ye
a
b
k z E0  mπ   mπ   nπ   jk z z
Ex   j 2 
x  sin
y e
 cos
kc  a   a   b 
k E  nπ   mπ   nπ   jk z z
E y   j z 2 0   sin
x  cos
y e
kc  b   a   b 
E0  nπ   mπ   nπ   jk z z
H x  j 2   sin
x  cos
y e
kc  b   a   b 
E  mπ   mπ   nπ   jk z z
Hy  j 2 0 
x  sin
y e
 cos
kc  a   a   b 
4，由于
大的 m
m或
及
m及
n 为零时，上述各个分量均为零，因此
模式称为高次模，小的称为低次模。由于
n 为多值，因此场结构均具有多种模式。
3，当
n
m及n
2，z
等于常数的平面为波面。但振辐与
x,
y
有关，因此
m 及 n 的每一种组合构成一种模式，以TM
均不为零，故矩形波导中TM波的最低模式是TM
mn表示。n 例如
11
应为非零的整数。
m
为宽壁上的半个驻波的数目，
为窄壁
1，相位仅与变量
z
有关，而振幅与
x,
y 有关。因此
上述TM波为非均匀的平面波。
TM
波。11表示 m = 1, n = 1 的场结构，具有这种场结构的波称为
上半个驻波的数目。
，在z 方向上为行波，在 x 及 y 方向上形成驻波。
TM11波。
16
TE波
 mπ   nπ   jk z z
H z  H 0 cos
x  cos
y e
 a   b 
k H  mπ   mπ   nπ   jk z z
Hx  j z 2 0 
x  cos y e
 sin
kc  a   a   b 
k H  nπ   mπ   nπ   jk z z
H y  j z 2 0   cos
x  sin y e
kc  b   a   b 
H 0  nπ   mπ   nπ   jk z z
Ex  j 2   cos
x  sin y e
kc  b   a   b 
H  mπ   mπ   nπ   jk z z
Ey   j 2 0 
x  cos y e
 sin
kc  a   a   b 
式中 m, n  0, 1, 2, ，但两者不能同时为零
。 与TM波一样，TE波也具有多模特性，但是
m 及 n 不能同时为零。因此，TE波的最低模式
为TE01波或TE10波。
17
已知 kz2  k 2  kc2 和 kc2  kx2  k y2
若 k  kc ，则 k z2  0 ，意味波的传播被截止，因此
，
kc
TM称为截止传播常数。
波 k x  mπ , k y  nπ ,
TE 波
ky
m, n 均为正整数
a
b
mπ
nπ
kx 
, ky 
, m, n不同时为0
a
b
由 k  2πf  求出对应于截止
截止模 传播常数 kc 的截止频率 fc
。
3π
b
2π
b
π
b
即
π
a
2π
a
3π
a
4π
a
kx
kc
1
fc 

2π  2 
2
m n
   
 a  b
2
18
传播常数 k z  k 1   f c 
 f 
2
2

k 1   f c  ,
 f 

 


2

 fc 
 jk    1,

 f 

f  fc

f  fc
当 f  f c 时， k z 为实数，因子 e  jk z 代表向正 z 方向
传播的波。
z
2
 f 
 kz  c  1
 f 
当 f  f c 时，k z 为虚数，因子 e  jk z  e
表明电磁场没有传播，而是沿正 z 方向不断衰减
的凋落场。
z
对于一定的模式和波导尺寸来说，f c 是能够传输
该模式的最低频率，波导相当于一个高通滤波器。
19
截止波长
由 k  2 π ，求得对应于截止传播常数 kc 的截止
波长 c 为

c 
2π
2

2
2
kc
m n
   
 a  b


截止频率和截止波长均与波导尺寸 a, b 及模式
m, n 有关。
模次越高，截止频率越高，截止波长越短
。
TE
01
波导尺寸为 a  2b 时
，各种模式的截止波长分
布如图。
TE10
TE20
TM11
0
a
2a
c
20
TE01
TE20
TE10
TM11
0
a
2a
当   2a 时，全部模
式被截止。
截
止
区
c
当 a    2a 时，只有
TE10 波存在，其它模式
被截止。
当   a 时，才有其它模式出现
。
若工作波长满足 a    2a ，即可实现单模传输
，单模传输的惟一模式就是TE10波。
TE10波为矩形波导中的常用模式或称为主模
通常取
a  2b ，以便在 a    2a 波段内实现TE10波
。
单模传输。
21
为了保证仅传输TE10波，应该满足下列不等式

2
a
( a    2a )
b

2
(a  2b)
窄壁尺寸的下限取决于传输功率，容许的波导
衰减以及重量等。
将可获知，窄壁减小会使传输衰减增大。
工程上常取 a  0.7 左右， b  (0.4 ~ 0.5)a 或 (0.1 ~ 0.2)a
可见，当工作波长增加时，为保证单模传输，
。
波导的尺寸必须相应地加大。因此，实际中金属波
导适用于3000 MHz以上的微波波段。
国际上对于各波段使用的波导尺寸已有统一规定
。
GB/T11087-2001
矩形和方形铜及铜合金波导管
22
矩形波导的相速 vp为
vp 
式中v  1


kz

v
f 
1   c 
 f 
2

v
2
v

1   
 c 
。对于真空波导，v  1  c
 0 0
。
已知 f  f c ，  c ，求得真空波导中 vp  c 。
波导中的相速不能代表能速。
波导中的相速与频率有关。因此，电磁波在
波导中传播时会出现色散现象。
波导尺寸及模式不同，其相速也不同。
23
矩形波导中电磁波的波长 g 为
g 
式中
2π

kz

f 
1   c 
 f 
2



1   
 c 
2
为工作波长。g称为波导波长。
已知 f  ，
f c c，故

。g  
波导中的横向电场与磁场之比称为波导波阻抗。
对于TM波，其波阻抗为 Z TM
求得
2
Z TM
Ey
Ex


Hy
Hx

 fc 


 Z 1     Z 1   
 f 
 c 
2
Z


24
2

f 
Z TM  Z 1   c   Z 1   
 f 
 c 
2
同理可得，TE波的波阻抗为
Z TE 
Z
f 
1   c 
 f 
2

Z

1   
 c 
2
可见，当 f  f c ，  c 时，Z TM 及 Z TE 均为虚数，表明
横向电场与横向磁场相位相差 π ，因此，沿 z 方向
2
没有能量单向流动，这就表明电磁波的传播被截止
。
25
例 某一内部为真空的矩形金属波导，其截面尺寸为
25mm10mm ， 当频率 f  104 MHz 的电磁波进入波
导中以后，该波导能够传输的模式是什么？当波导中
填充介电常数  r  4 的理想介质后，能够传输的模式
有无改变？
解 当内部为真空时，工作波长为
c
 30 mm
f
2
50
c 

2
2
2
2
m

6
.
25
n
m
n
   
   
 a  b

截止波长为
26
因为 (c )TE  50mm，(c )TE  25mm ，更高次模的
10
20
截止波长更短，可见，当该波导中为真空时，仅能
传输的模式为TE10波。
若填充  r  4 的理想介质，则工作波长为


 15(mm)
r
因此，除TE10波及TE20波外，还可传输其它模式。
计算表明，TE01，TE30，TE11，TM11，TE21，
TM21等模式均可传输。
27
3. 矩形波导中TE10波
令 m  1, n  0 ，求得TE10波方程为
H 0  π 
 π   jk z z
sin
   x e
2
kc  a   a 
k H π π 
H x (r )  j z 2 0   sin  x e  jk z z
kc  a   a 
π 
H z (r )  H 0 cos x e  jk z z 其余分量为零
a 
E y (r )   j
对应的瞬时值为
E y (r , t )  
2ωμH 0  π   π 
π
sin
x
cos(
ωt

k
z

)
z
  

2
kc
2
a a 
2k z H 0  π   π 
π
sin
x
cos(
ωt

k
z

)
z
  

2
kc
2
a a 
π 
H z (r , t )  2 H 0 cos  x  cos(ωt  k z z )
a 
H x (r , t ) 
28
上式可简化为
π
π 
E y (r , t )   A sin  x  cos(ωt  k z z  )
2
a 
π
π 
H x (r , t )  B sin  x  cos(ωt  k z z  )
2
a 
π 
H z (r , t )  C cos  x  cos(ωt  k z z )
a 
式中A，B，C为正实数。
沿 x 方向为驻波，沿 z 方向为行波
t=0
y
Ey
Hz
z
Hx
y Hz
g
Hx
。
Hz 的振辐沿 x 按余弦分布， Hx
及 Ez 的振幅沿 x 按正弦分布，但是
其振幅均与 y 无关。
x
a
Ey
29








 a


g
x
y
Hz
y
a
z
Hx
Ey
x
z
x
电场线
b
磁场线
y
g
y
Hx
z
y
Hz
Ey
内壁电流
z
x
30
几种高次模的场分布
TE10
TE11
TE20
TE21
TM11
TM21
电场线
磁场线
31
令 m = 1, n = 0，求得TE10波的截止波长为
c  2a
可见，TE10波的截止波长与窄壁尺寸无关。
根据 c，求得
v
vp 
 
2
1  
 2a 
g 

 
2
1  
 2a 
为了说明TE10波的 vp 、g 及 v e 的物理意义以及
它们之间关系，将电场分量 Ey 改写为
Ey  E0 (e
π
j x
a
e
π
j x
a
)e jk z z
  π  1 j aπ x  j aπ x 
 sin x   (e  e ) 
  a  2j



32
利用三角公式，上式改写为
Ey  E0e
 jk ( x cos  z sin )
 E0e
 jk (  x cos  z sin )

 
 cos 
 
2a c 

上式可以看成是传播常数为 k ， 但传播方向不同的
两个均匀平面波。
z
a
②
①
两个均匀平面波又
可合并为在两个窄壁之
间来回反射的一个均匀
平面波。
x
当  时，
。那么，该均匀平面波在两个窄壁之
 0
 c
间垂直来回反射。因此，无法传播而被截止。
33
两个平面波的波峰相遇处形成合成波的波峰，波谷
相遇处形成合成波的波谷。
实线表示平面波①的波峰
，虚线表示平面波②的波峰。
z
B
②
A
D ①
C
a
x
线段 AB长度等于波导波长
，AC长度等于工作波长。
若波导为真空，则 AC 长度等于真空中波长。
由图得
g 

sin 


1  cos2 

 
 cos 
 
2a c 

g 


1   
 c 
2
34
平面波①由 A 至 C 的相位变化为2 ，而合成波
的空间相位变化2时经过距离为 AB。可见，合成波
的相速大于均匀平面波的相速。
z
B
a
②
A
D ①
C
由图求出
v
vp 
sin 
vp 
v

1   
 c 
2
x
再从能量传播来看，当平面波①的能量由A传播到
C时，就传播方向z而言，此能量传输的距离仅为AD
长度，可见波导中能速小于均匀平面波的能速。
由图求出 ve  v sin 

ve  v 1   
 c 
2
35
4. 电磁波的群速
相速无法描述含有多种频率分量的电磁波在色散介
质中的传播速度。本节介绍的群速，将可用来描述窄
带信号在色散介质中的传播特性。
设电磁波仅具有两个频率非常接近的频率分量为
其合成信号为
 A1 ( z, t )  A0 cos(1t  k1 z)

 A2 ( z, t )  A0 cos( 2 t  k 2 z)
A  A1  A2  2 A0 cos(Δ t  Δkz) cos(0t  k0 z)
式中
1



 0 2 (1  2 )

Δ  1 (   )

1

2
1

k

 0 2 ( k1  k 2 )

Δk  1 ( k  k )
 0 2  1
36
A  A1  A2  2 A0 cos(Δ t  Δkz) cos(0t  k0 z)
由于  1 ~  2 ， Δ  0 ，因而在一个足够小的时间
间隔内，上式中的第一个余弦项尚未发生明显变化时
，第二个余弦项已经历了几个周期的变化，所以 代
0
表载频， 代表调制频率。
Δ
这是一个幅度变化缓慢的调幅信号
若介质是非色散的，波包随载波一起运动，载波
。
及波包都保持正弦波形。
波包的移动速度称为群速，以 vg 表示。
由Δt  Δkz  常数，求得群速为
vg 
dz Δ 

d t Δk
37
对于非色散介质，k与的关系是线性的，因此
Δ d
，求得群速为

Δk
dk
vg 
d
dk
再由0t  k0 z  常数 ，求得载波相速 vp 为
vp 
0
k0
已知非色散介质中， k   ，得

1
d  dk 
vg 

 
dk  d 
1

可见，非色散介质中 vg  vp
38
对于色散介质，对于给定的频率 0，可将 k 作
为频率 的函数在 附近展开为泰勒级数，即
0
1  d 2k 
 dk 
k ( )  k 0    (   0 )   2  (  0 ) 2  
2  d  
 d 0
0
对于窄带信号，仅取前两项，即
 dk 
k ( )  k0  
 (  0 )
 d 0
且可认为 vg  Δ  d ，得
Δk dk
1
 dk 
 d 
vg  
 

 d   0  dk   0
由于色散介质的k 与 的关系是非线性的，不
同的载波频率，其群速不同。群速不再等于相速。
39
载波以相速传播
，波包以群速传播。
P
为波包等相位点，P 为
载波等相位点。当P 点
位移为d 时，由于波包
速度较慢， 点仅位
移

P。
d , (d   d )
传播一段距离后
，波包变形，导致信
号失真。
vp  2vg
40
根据上述关系，求得
vg 
vp
 dvp
1
vp d
对于窄带信号，上式应为
vg 
若
若
若
dvp
d
dvp
d
dvp
d
vp
  dv 
1   p 
v p  d  
0
，则
0
v，即无色散时相速等于群速。
g  vp
，则
0
v，这种情况称为正常色散。
g  vp
，则
0
v，这种情况称为非正常色散。
g  vp
41
金属波导有 k z2  kc2  k 2 
相速 vp 

kz
 fc 
1  
 f 
v
2
2
v2
kz 
2
v2
 kc2 
1
 2  c2
v
2
 fc 
群速 vg  v 1     ve
 f 
即金属波导中电磁波的群速等于能速，这是正常色
散介质的共性。
根据上面结果，求得金属波导中电磁波的 vp 与vg
满足下列方程
v v  v2
p g
当电磁波在导电介质中传播时，电磁波发生非正常
色散。此时， v ，上述关系不再成立。
v
p
g
42
kz/kc
43
5. 圆波导传输特性
圆波导的惟一尺寸是内半径 a。
y
a
 ,
x
与矩形波导类似，采用
纵向场法，即先求出纵向分
量 Ez 或 Hz ，然后再导出其
余分量：Er , E , Hr , H 。
z
电场和磁场的纵向分量可分别表示为
Ez (r, , z)  Ez 0 (r, )e jkz z
H z (r, , z)  H z 0 (r, )e jkz z
44
圆波导中各种模式的截止波长分布如图。
TE11
TM01
TE21
TE01
0
a
2a
根据前面公式，求得
截
止
区
3a
T E11 :
c
4a
T M01 :
c  3.41a
c  2.62a
若工作波长  满足 2.62 a    3.41a ，即可实现
TE11波的单模传输。
TE11波是圆波导的主模。
反之，若工作波长  给定，为了实现TE11波
单模传输，圆波导半径 a 必须满足

3.41
a

2.62
45
圆波导的相速、群速、波导波长及波阻抗公
式与矩形波导的相应公式完全相同。
TE11，TE01及TM01波的电场线及磁场线分布
。

 







TE11
TE01
TM01










电场线
磁场线





46
6. 波导传输功率与损耗
根据电场及磁场的横向分量，算出复能流密度
矢量，将其实部沿横截面积分，即可求得传输功
率。
为
当矩形波导传输TE10波时，求得的传输功率
abE02
P
2Z TE
若波导中填充介质的击穿场强为 Eb ，则矩形
波导的最大传输功率为
abEb2
Pb 
4Z TE
为了安全起见，通常取 P   1 ~ 1  Pb
3
5
47
波导中的损耗主要来自填充介质和波导壁。
计算填充介质产生的损耗，仅以有耗介质的
等效介电常数代替原来的介电常数即可。
即

e    j

波导壁损耗的严格计算非常复杂，通常仍然利用
理想导电壁情况下的场强公式计算波导壁的损耗。
设衰减常数为 k，则电场振幅可以表示为

传输功率可以表示为
E  E0e k z
P  P0e2kz
P  E 
2
48
P  P0e2kz
将上式对 z 求导，得单位长度内的功率衰减为

P
 2k P
z
此功率衰减就是单位长度内的功率损耗，即
Pl1  2k P
因此，衰减常数为
y
1
1
z




1
x
k  
Pl1
2P
为了计算波导壁损耗，在宽
壁上取一小块导体，其长度及宽
度均为单位长度，深度等于集肤
厚度，如图示。
49
当电流为z 方向时，该小块
导体的电阻为
y
1
1



z

l
1
πf
RS 


S 

1
式中 为波导壁的电导率，RS
称为表面电阻率。
x
表面电阻率
金 属
单位宽度且单位长度波导
壁内的损耗功率为
RS
银
2.52  10 7
铜
2.61 10
7
铝
3.26  10 7
f
f
f
PlS  J S2 RS
式中表面电流 J S  en  HS
H 为波导壁表面的磁场强度。
S
50
将 沿单位长度波导内壁进行积分，即可求得单位
PlS
长度内波导壁引起的损耗功率 。
Pl1
当矩形波导尺寸
一定时，TE10 波的
TM11
损耗最小。当宽壁
尺寸一定时，窄壁
愈窄，衰减愈大。
51
由左图可见，在高频端
， 圆波导中TE01波损耗最
小。
但是 TE01 波的截止波长
并不是最长。若要实现 TE01
波单模传输，必须设法抑制
TM01、TE21及TE11波。
当横截面的面积相等时
，矩形的周长大于圆的周长
，因此，圆波导损耗较小。
52
但是圆波导传输TE11波时，其场分布会发生
横向偏转。
椭圆波导既可避免场型偏转，又可获得较小
的损耗。
为了减少波导壁的损耗，应提高表面的光洁度，
可以镀银或金。还可在波导中充入干燥的惰性气体
以防止表面氧化。
53
7. 谐振腔
因为随着频率升高，必须减小 LC 谐振电路的电
感量和电容量，但是当 LC 很小时，分布参数的影响
不可忽略。电容器的引线电感、线圈之间以及器件之
间的分布电容必须考虑。
此外，随着频率升高，回路的电磁辐射效应显著
，电容器中的介质损耗也随之增加，这些因素导致谐
振电路的品质因素 Q 值显著下降。
微波波段必须使用相应波段的传输线形成谐振器
件，这种谐振器件称为谐振腔。
54
当矩形波导终端短路时，波导中形成驻波。若工作于主
模，TE10波的电场仅有横向分量，短路端形成电场驻波的
波节。
在离短路端半个波导波长处，又形成第二个电场驻波
的波节。若在此处放置一块横向短路片，仍然满足电场边
界条件。
根据场强公式及边界条件
，求得谐振腔中电磁场方程式
y
为
d
b
z
a
g /2
x
π 
H z  H 0 (e  jk z z  e jk z z ) cos x 
a 
k aH
π 
H x  j z 0 (e  jk z z  e jk z z ) sin x 
π
a 
aH0 jk z z  jk z z
π 
Ey   j
(e  e ) sin x 
π
a 
55
利用三角公式，上式又可写为
y
π 
H z  2 jH 0 sin(k z z ) cos x 
a 
k aH
π 
H x  2 j z 0 cos(k z z ) sin x 
π
a 
2aH0
π 
Ey  
sin(k z z ) sin x 
π
a 
d
b
z
a
g /2
x
可见，电场及磁场在 x 及 z 方向上均形成驻波，但
两者时间相位差为 π 。
2
电场能量达到最大值时，磁场能量为零；反之，磁
场能量达到最大值时，电场能量为零。
电磁能量在电场与磁场之间不断地交换，这种现象
称为谐振。因此这种金属腔称为谐振腔。
56
对于尺寸一定的谐振腔，仅对特定的频率出现谐
振现象。发生谐振的频率称为谐振频率，对应的波长
称为谐振波长。
但是，只要谐振腔的长度 d  l  g , l  1,2,3,
 2
均可发生谐振 因此，谐振腔的谐振频率具有多值性
。
。 波导波长与模式有关，因此，模式不同，谐振频率
也不同。
2
已知矩形波导中传播常数 k z为 k z2  k 2   mπ    nπ 
 a   b 
g
当 d  l 时，k z d  lπ ，k z  lπ ，得
2
d
2
2
 mπ   nπ   lπ 
k 
    
 a   b  d
2
2
57
由 k  2π  2，求得谐振波长及谐振频率分别为
πf 

 mnl 
f mnl 
2
2
2
m n  l 
     
 a  b d 
1
2 
2
2
2
m n  l 
     
 a  b d 
2
可见，谐振波长或谐振频率与谐振腔的尺寸及模式有关
，每组（mnl）对应于一种模式。
TE101模式代表矩形波导谐振腔工作于TE10波，腔
长为半个波导波长。
为了有效地设计谐振腔的耦合及调谐装置，必须了
解谐振腔中的场分布。
58
当矩形谐振腔工作模式为TE101时，则
(m  1, n  0, l  1), d 
场方程及场分布如下
：
2
, kz 
2π
g

π
d
d
z
π
π 
E y  C sin( z ) sin x 
d
a 
y
a
π
π 
H z   jA sin( z ) cos x 
d
a 
π
π 
H x  jB cos( z ) sin  x 
d
a 
g
x
x
电场线
z
b
磁场线
y
59
为了衡量谐振腔的损耗大小，通常使用品质因
素Q 值，其定义为
Q
 0W
Pl
式中0 为谐振角频率，W 为腔中总储能，也就是电
场储能的时间最大值或磁场储能的时间最大值，Pl
为腔中的损耗功率。
根据前述TE10波的场强公式，求出电场储能的
时间最大值为
W
a 3bd02  2 | H 0 |2
2π 2
60
采用波导壁的损耗计算方法，可以求出矩形
谐振腔中TE101模式的损耗功率为
2a 3b  a 3d  ad 3  2d 3b
2
Pl 
2
R
|
H
|
S
0
d2
求得矩形谐振腔工作于TE101模式时的 Q 值为
Q
03  2a 3bd 3
4π 2 RS (2a 3b  a 3d  ad 3  2d 3b)
谐振角频率为 101  2πf101 
π

2
1 1
   
a d 
2
那么，TE101模式的Q 值可表示为
Q101
πZb (a 2  d 2 ) 3

4 RS (2a 3b  a 3 d  ad 3  2d 3b)
Z


61
波导谐振腔可以获得很高的Q 值，圆柱谐振腔
的Q 值更高。
圆柱谐振腔的计算方法同前，结果如下：
f TM 
f TE 
QTE
1
2π 
1
2π 



2
 Pmn   lπ 

  
a

 d
2
   lπ 
 Pmn

  
a

 d
2
  m
1  

  Pmn



2
2
 lπa 
Pmn2  

d



QTM 

 2a 
2π1  
d 

2
 

l
π
a


2
 ) 
 ( Pmn
 
   
 
2
3
2
2



2a  lπa   2a  m lπa 
2
 )  
 
2 π ( Pmn
  1  
d 
d  d  
d  Pmn


62
TE01l 模式具有较高
的Q 值。TE011模式的最
大 Q 值发生在 d  2a 附
近。若 = 3cm，则Q 值
可达104~4104。
提高Q 值的方法与
减小波导壁损耗相同。
此外，体积应尽可能大
，以增加储能。腔壁面
积应尽可能小，以减小
损耗。
63
8. 同轴线
同轴线的主要尺寸是内导体的半径 a 和外导体
的内半径 b。内外导体之间可以填充介质或为空气
。
y
b
z
同轴线中电场线为沿
半径方向的径向线，磁场
线为沿角度方向的闭合圆
。
x
a
电场线
磁场线
同轴线是一种典型的
TEM传输线。
64
65
TEM波场的基本性质
TEM波的纵向分量全部为零, 故而不能直接利用纵向分量
来得到所有的场分量, 而需要从 Et =E 出发
  E    t  jk z e z   E t   t  E t  jk z e z  E t
上面的纵向分量 t  Et   jωμH z e z  0
再结合
  E   t  jk z e z   E t   t  Et  jk z a z  Et   t  Et  0
TEM波的电场满足的方程与二维无源区域内静电场满足的
方程完全相同.而边界条件都是电场垂直于导体边界.
66
TEM波的场满足Helmholtz方程
 2 E  k 2 E   t2  k z2  E  k 2 E
 t2 E   k 2  k z2  E
  k 2  k z2  E  0
由于场不为零,故而有
k 2  k z2  0  k z  k   
即TEM波的传播常数与均匀平面波相同,相速度也相同,
波长也相同,波阻抗也相同. TEM波的场的性质和均匀平
面波非常相似,实际上,均匀平面波为一特殊的TEM波。
67
67
同轴线传输的主模是TEM模，求解电场的方法与二维
静电场的求解方法相同，磁场可以通过电场的旋度得
到：
U0
e  jkz
E t  er
ln  D d  r
H t  e
Z TEM
U0
e  jkz
ln  D d  r
同轴线中TEM模的场结构如图
68
电压波与电流波
TEM波的场在二维横截面上旋度为零，可定义导体间的
电压为
U  z   e  jkz
out

Et  x, y   dl  U  0  e  jkz
in
它是一个沿z向传播的波，称为电压波。
在导体的表面，由于电磁场的感应会出现面电流,电流只有
z方向，即波导方向。一个导体上的总电流为
I ( z )  e  jkz  H  x, y  dl I  0  e  jkz

导体上电流也是一个z向传播的波，称为电流波。
波导的特性阻抗 Zc=U(0)/I(0)，仅与波导结构有关
69
同轴线中TEM模的特性参量
对于同轴线中的TEM模，
相移常数为
kc  0
k z  k   
相速与光速的关系为
vp 

kz

1


c
r
特性阻抗为 Z c  U  ZTEM ln D  60 ln D  1
I
2
d
r
d
Cv
C为单位长度的静电电容，v为波速。
特性阻抗与电容的关系对所有TEM波都成立
70
同轴线也可看作为一种圆波导，除了传输TEM波以
外，还可存在TE波及TM波。但是，根据工作频率适当
地设计同轴线的尺寸，即可抑制这些非TEM波成分。
同轴线中非TEM波的分析方法与圆波导类似。但是
同轴线具有内导体，在 r = 0 处为无限大的第二类贝塞耳
函数也应作为贝塞耳方程的解。
TE11
TM01
TE10
0
(b - a) (a + b) c
即
R  BJ m ( x)  CNm ( x)
利用边界条件求出传播常
数kc，然后即可计算各个模
式的截止波长。
71
TE11 波具有最长的截止
TE11
TM01
TE10
波长，其值为 π(a  b) 。
TE
M
0
波b) c
(b - a) (a +
为了抑制同轴线中的非
TEM波，工作波长  必须
满足
或者说，同轴线的尺寸应满足
  π(a  b)
ab 
 

π 3
为了消除高次模，随频率升高，尺寸必须减小。但
尺寸过小，损耗增加，且限制了传输功率。因此，同轴
线的使用频率一般低于 3GHz 。但是，同轴线的传输频
率并无下限，这也TEM波传输线的共性。
同轴线也可构成谐振腔，设计方法同前。
72
主要内容
几种常用的导波系统及其主要特性， 金属波导的
传输特性，矩形波导中的 TE10 波，波导和同轴线的尺
寸设计，波导的传输功率及损耗，谐振腔的特性。
主要概念
TEM 波、TE波和 TM波， 纵向场方法，多模特性
，截止传播常数，截止波长和截止频率，工作波长和波
导波长，波导中的相速、能速和群速，谐振腔的谐振频
率和谐振波长。
73