Transcript 电场强度

第2章 静电场与恒定电场
2.1 库仑定律 电场强度
2.2 电位
2.3 静电场中的导体与电介质
2.4 高斯定理
2.5 静电场的边界条件
2.6泊松方程和拉普拉斯方程
2.7电容
2.8静电场能量与静电力
2.1 库仑定律 电场强度
一、库仑定律
注意下
标！！
q1q2
q1q2
F21 
e 
R
2 R
3
4 0 R
4 0 R
  0是表征真空电性质的物理量，称为真空的
介电常数（电容率）
1
0 
 10 9  8.854  10 12 ( F / m)
36






适用范围：
点电荷，指当带电体的尺度远远小于它们之间的距
离时，将其电荷集中于一点的理想化模型。实际带
电体分布在一定的区域内，称为分布电荷。
定律的意义
真空中两个静止点电荷之间的相互作用力F的大小
与它们的电量和的乘积成正比；
与它们之间的距离的平方成反比；
力的方向沿着它们的连线，同号电荷之间是斥力，
异号电荷之间是引力。

库仑定律为实验定律。同时电荷之间的作用力满足
线性叠加原理。
电荷所受到的作用力是空间其余电荷单独存
在时作用力的矢量代数和，即
Fi  
j i
qi q j
40 R
3
ij
Rij
二、电场强度
（一）引入背景
 库仑定律表明了两个点电荷之间相互作用力
的大小和方向，但没有表明这种作用力是如
何传递的。

电场对处在其中的任何电荷都有作用力，称
为电场力。电荷间的相互作用力就是通过电
场传递的。
（二）定义

电场强度：单位正实验电荷所受到的作用力。
F(r)
E(r)  lim
q0 0 q
0

实验电荷是指带电量很小，引入到电场内不影响电
场分布的电荷。

点电荷产生的电场强度
q
qR
E(r) 
e 
2 R
4 0 R
4 0 R3
源点：电荷所在点
r '  ( x ', y ', z ')
场点：观察点
r  ( x, y, z )
R  r  r '  ( x  x' )  ( y  y ' )  ( z  z ' )
2
R  r  r'
E(r ) 
q (r  r ')
4 0 r  r '
3
2
2

叠加性
如果真空中有n个点电荷，则r点处的电场强度可由
叠加原理计算。即真空中n个点电荷在r点处的电场
强度，等于各个点电荷单独在该点产生电场强度的
叠加。即
n
n
E (r )   E i (r )  
i 1
i 1
qi
40 Ri
2
e Ri
（三）电荷密度
电子是自然界中最小的带电粒子之一，任何带电体的
电荷量都是以电子电荷量的整数倍数值量出现的。
从微观上看，电荷是以离散的方式出现在空间的。
从工程或宏观电磁学的观点上看，大量的带电粒子密
集地出现在某空间体积内时，可以假定电荷以连续分
布的形式充满于该体积中。
基于这种假设，我们用电荷体密度（即体电荷
密度）来描述电荷在空间的分布.

体电荷密度的定义为
q
 (r)  lim
V 0 V
C / m3
电荷面密度为
q
S (r)  lim
S 0 S
C/m
2
电荷线密度为
q
l (r)  lim
l 0 l
C/m
分布式电荷产生电场的计算方法
 (ri ')V ' e R

体： E(r )  
i
4 0 Ri 2
i 1

面： E(r )  
 s (ri ')S ' e R
i 1

线：
 (r ')e R

dV '
2
V ' 4 R
0
E(r )  
i 1
 s (r ')e R

dS '
2
S ' 4 R
0
i
4 0 Ri 2
l (ri ')l ' e R
i
4 0 Ri 2
l (r ')e R

dl '
2
l ' 4 R
0
【例】 已知一个半径为a的均匀带电圆环，求轴线上
任意一点的电场强度。
【解】选择圆柱坐标系，如图2-3，圆环位于xoy平
面，圆环中心与坐标原点重合，设电荷线密度为  l 。
则
r  ze z
r '  ae r  a cos  ' e x  a sin  ' e y
R  r  r'  (z  a )
2
R r  r'
eR  
R
R
2 1/ 2
dl '  ad '
所以轴线上任意一点的电场强度为
 l ( r ' )e R
l
E (r )  
dl ' 
l ' 4 R 2
40
0

2
0
ze z  a cos  ' e x  a sin  ' e y
(z  a )
2
2 3/ 2
z
a l
z

e
2
2 3/ 2 z
2 0 (a  z )
P
z
R
o
a
x
y
dq
图2-3 带均匀线电荷的圆环
ad '
2.2 电位
一、静电场的无旋性
根据体电荷的场强表达式来推导静电场的旋
度。
 (r ')eR
E(r)  
V'
4 0 R
2
dV '
1
1

 (r ' )( )dV '

40 V '
R
 1
 
 40

V'

dV '
R

 (r ' )
  (r)
由     0 矢量恒等式
  E    ( )
 E  0
静电场的无旋性
Stokes定理
 E  dl     E·dS  0
c
s
 E  dl  0
c
结论：静电场是无旋场（保守场），电场强度E
沿任一闭合曲线的线积分均恒为零，静电场中
不存在旋涡源。
二、电位
Q
dl
 由于静电场的无旋性电场
强度可用标量函数完整的描
述静电场的特性，即
E (r )   (r )
 该标量函数称为电位（电势），
图2-4 静电场中的电
单位：伏特（V）。式中的负号也表示电场是指向电
位
位下降的方向。
 电位并不是唯一的。把任意一个常数C加到  上，
并不会影响E。因此要确定某一给定点的电位，必
须任意设定空间某一点的电位为零，该点称为参考
点。
E
C
P
电场可由电位的
负梯度来计算，
那么电位是如何
由电场计算呢？
 E  dl  0
c
E从场中一点延任
意路径到另一点的
线积分与路径无关

c E  dl  P E  dl  P   el dl  P l dl
Q
   d   P  Q
Q
Q
P

Q
P
E  d l  P  Q  U PQ
Q
若选择Q点为电位参考点，即  Q  0 ，则场域
内任一点P的电位为
Q
p   E  dl
P
当电荷分布在有限区域时，通常取无穷远为
参考点，即

p   E  dl
P
 点电荷

q
4 0 R
N
qi
 点电荷系   
i 1 4 0 Ri
 体电荷
 (r ' )

dV '
V ' 4 R
0
 面电荷
 s (r ' )

dS '
S ' 4 R
0
 线电荷
 l (r ' )

dl '
l ' 4 R
0
【例】 一个半径为a的均匀带电圆环，其电荷
线密度为  l ，求轴线上任一点的电位和电场
强度。
2
2 1/ 2
【解】选择圆柱坐标系如图
R  (z  a )
l
l

dl ' 
l ' 4 R
40
0

2a
0
a l
dl '

R 2 0 ( z 2  a 2 )1 / 2
z
P
a l

z
E(r)   (r)   e z 
e
2
2 3/ 2 z
z
2 0 (a  z )
z
R
o
a
x
图2-5 带均匀线电荷的圆环
y
dq
2.3 静电场中的导体与电介质
一、静电场中的导体
 导体是一种拥有大量自由电子的物质，如金属。在
静电场中，导体内的自由电子会在静电力的作用下，
做反电场方向的运动，直至积累在导体表面的电荷
产生的附加电场在导体内处处与外加电场相抵消，
此时导体内净电场为零（即静电平衡状态）。
 静电平衡
 由 E    0 知，导体中的电位为常数，导体为等位
体，导体表面是等位面。
 导体内净电荷密度为0，任何净电荷只能分布在导
体表面上（包括空腔导体的内表面）。
 体表面上场强的切向分量为0：Et  0 ；导体表面只
可能有电场的法向分量 E n ；即电场E必垂直于导
体表面
  s
En  

n  0
 s (r ' )

dS '
S ' 4 R
0
二、静电场中的电介质
1. 电介质
电介质与导体不同，它的原子核与周围的电子之间
相互作用力很大，所有的电子均被束缚在原子核周
围，没有可自由运动的自由电荷。因此在电场的作
用下，唯一可能存在的运动，就是正负电荷向相反
方向产生微小位移，从而形成极化电荷。这些极化
电荷构成了新的附加场源，使原电场的分布发生变
化。因而有必要单独加以讨论。
按照介质分子内部结构的不同，可将其分为
两类：一类是非极性分子，它的正负电荷的
电中心重合，偶极矩为零。另一类是极性分
子，其正负电荷的电中心不重合而，具有固
有偶极矩。但由于分子的热运动，它们的排
列是随机的。在没有外加电场时，从整体上
看呈电中性，即总的偶极矩为零。此外，还
有部分介质是由离子组成的。我们主要讨论
由分子组成的介质。
2. 电介质的极化
 电介质在外电场的作用下，极性分子中的正负电荷
要产生相反方向的微小位移，形成电偶极子；而对
于极性分子会向外电场方向偏转，排列有序，总的
电偶极矩不再为零。这两种现象均称为电介质的极
化。极化的结果在电介质的内部和表面都产生了极
化电荷，极化电荷产生的极化电场叠加在原来的电
场上，使电场发生变化。
3. 电偶极子
 在极化了的电介质中，每个分子都起着电偶极子的
作用。因此从微观上讨论电偶极子的场是很有必要
的。电偶极子是指由间距很小的两个等量异号点电
荷组成的系统，如图2-6所示。
 电偶极子的远区场
取电偶极子的轴与z轴重合，
电偶极子的中心在坐标原点。
则电偶极子在空间任意点P的
电位为
q 1 1

(  )
40 r1 r2
r1
P
+q
2
其中： r  (r 2  l  rl cos  )1 / 2
1
4
r
θ
l
r2
O
-q
图2-6 电偶极子
2
l
r2  (r 2   rl cos  )1 / 2
4
由于r  l ，所以将
r1 , r2 展开并略去高阶项，得
l
r1  r (1  cos  )
r
l
r2  r (1  cos  )
r
ql cos 
故 
40 r 2
 通常用电偶极矩表示电偶极子的大小和取向，它定
义为电荷乘以有向距离，即
p  ql
p  er
p cos 


2
2
40 r
40 r
 电偶极子的远区场为
E   
p
40 r
3
(2 cos  e r  sin  e )
 电偶极子的场图如图2-7所示。
图2-7电偶极子的场图
4．极化强度
dV 
 (r )
为定量地计算介质极化的
R
影响，引入极化强度矢量
P
r
P，以及极化电荷密度的
概念。
图2-10 切向边界条件
 极化强度P定义为：在介
质极化后，给定点上单位体积内总的电偶极矩，即
z
r
0
y
x
P  lim
V 0
p
i
V
 若p是体积中的平均偶极矩，是分子密度，则极化
强度也可表示为
PNp
5. 极化介质产生的电位
 当介质极化后，可等效为真空中一系列电偶极子。
极化介质产生的附加电场，实质上就是这些电偶极
子产生的电场，如图2-8所示。
 在极化强度为P的电介质中取一体积元 dV ' ,则 dV '
中的电偶极矩为 PdV ' ，dV ' 中的电偶极子在介质
外r处产生的电位是 P (r ' )dV 'e R
d (r ) 
40 R 2
 整个极化介质产生的电位是
P (r ' )dV 'e R
P (r ' )
1



'
(
)dV '
2

V'
V
'
40
R
40 R
 (r )  
 利用矢量恒等式：
'( A)   ' A  A  '
变换为
1
P (r ' )
1
 (r ) 
'
dV '

V
'
40
R
40


P (r ' )  dS '
1

40 S '
R
40
1
1
40

S'
 SP dS '
R

1
40

V'
P
R
' P (r ' )
V ' R dV '
 ' P (r ' )
V ' R dV '
dV '
将上式与自由电荷和 和等效面分布电荷在真空中
共同产生的。等效体电荷密度和等效面电荷密度分
别为
 P (r ' )  'P(r ' )
 SP (r ' )  P (r ' )  n
 这个等效电荷也称为极化电荷或束缚电荷。
2.4 高斯定理
一、真空中的高斯定理
 立体角的概念
定义：①球面面元：在一个半径为R的球面上任取
一个面元dS，则此面元可构成一个以球心为顶点的
锥体，如图所示，dS对球心所张成的立体角定义为
dS与R2的比值。用dΩ表示。
②非球面面元：取投影dS٠er与R2的比值
dSCos dS  e R
d 

2
R
R2
故曲面S对O所张的立体角为
eR
   2  dS
S R
若S为封闭曲面，则

S
4
eR
 dS  
2
R
0
(o在S内）
(o在S外）
 高斯定理描述通过一个闭合面电场强度的通量与闭
合面内电荷之间的关系。先考虑点电荷的电场穿过
任意封闭曲面S的通量：
q  0 (q在S内)
eR
SE  dS  40 S R 2  dS   0 (q在S外)
对点电荷系或分布电荷，由叠加原理得出高
斯定理为
q

S
q

E  dS 
0
上式称为真空中的高斯定理。
 如果闭合面内的电荷是密度为的体电荷
 E  dS 
S
1
0

V
dV
积分形式
散度定理
1
   EdV   
V
0

E 
0
V
dV
微分形式

高斯定理的积分形式：可直接用来计算某些对称分
布电荷所产生的场强值。

高斯定理的微分形式：用来从电场分布计算电荷分
布。
r2
【例】 已知电荷按体密度    0 (1  2 ) 分布于一
a
个半径为a的球形区域内，试计算球内、外的电场强
度及其电位。
【解】显然电场具有球对称性
（1）r  a 时
E
S
E 2 r 4 r 
2
 dS 
1
2
0
E2r

a
0
1
0

V
dV
2
r
 0 (1  2 )4 r 2 dr
a
2 0 a 3

15 0 r 2
所以球外电场为
2 0 a
E2 
e
2 r
15 0 r
3
(r  a)



P
r
r
2 (r )   E2  dl   E2 r dr  
（2）r
2 0 a 3
2 0 a 3
dr 
2
15 0 r
15 0 r
 a时
E
S
1
1
 dS 
E1r 4 r 2 
1
0

0
r
0

V
dV
r2
 0 (1  2 )4 r 2 dr
a
0 r r 3
E1r 
(  2)
 0 3 5a
所以球内电场为
0 r r 3
E1 
(  2 )e r
 0 3 5a

a

P
r
a
1 (r )   E  dl   E1r dr  
ra
0 a 2 r 2
r4
E2 r dr 
(  
)
2
2 0 2 3 10a
【例】 已知半径为a的球内、外的电场强度为

a2
E0 2 e r

r
E
3
5
r
3
r
E0 ( 
)e r
3

2a 2a
(r  a)
(r  a)
求电荷分布。
【解】
1  (r E r ) 
15 E 0
   0  E   0 2

2
2
0 0
(
a

r
)
r
r
3

 2a
2
(r  a)
(r  a)
二、介质中的高斯定理
 在有介质存在的情况下，总电场（也称宏观电场）
是外加电场和极化介质产生的电场之和，即

S
q  q

E  dS 
P
0
 q 为闭合面内的总的净束缚电荷。且
P
q
P
   P dV   'PdV   P  dS
V
V
所以

S
q   P  dS

E  dS 
S
S
0
 (
S
0
E  P )  dS   q
令
D  0E  P
D称为电位移矢量（电感应强度、电通量密度），
单位：库仑每平方米（C/m2）
 D  dS   q
S
介质中的高斯定
理的积分形式
 D  dS     DdV  q   dV
S
V
 D  
V
介质中的高斯定
理的微分形式
 实验表明，对于各向同性的、线性的均匀介质，其
极化强度P与宏观电场强度成正比，即
P   e 0 E
 e 是介质的极化率
当介质的极化强度P与宏观电场强度E的方向一致，
且比值相等时，称为各向同性介质。
若介质的极化率与E无关，称为线性介质。
若介质的极化率与坐标变量无关，则称为均匀介质。
D  0E  P
P   e 0 E

D   0 E   e  0 E  (1   e ) 0 E   r  0 E  E
电介质的本构关系
D  E
 为介质的介电常数；
r   
0
为介质的相对介电常数。
【例】 一个半径为a的导体球，带电量为q，在导体球
外套有半径为b的同心介质球壳，壳外是空气。试计
算空间任一点的电场强度。
【解】由于导体球和球外介质都是球对称的，故场分
布也应该是球对称的，可以用高斯定理求解。
当 (r  a) 时，显然，导体内场强为零，即
E1  0
当
时，应用介质中的高斯定理，得
 D  dS  Q
( a  r  b)
S
D
E2 
1

Q
er
4 r 2
D
Q
er
4 r 2
当 (r  b)时，应用真空中的高斯定理，得
Q
 E  dS  
S
E3 
0
Q
40 r
2
er
三、静电场的基本方程
根据前面所学的静电场的特性，我们可以总结出静电
场的基本方程为：
1.积分形式
 E  dl  0
 D  dS   q
c
S
2.微分形式
 E  0
 D  
理论上求解一组基本方程可唯一地确定静电场
的场强，但由于它们是矢量方程组，除了某些
特例，直接求解相当困难。
2.5 静电场的边界条件
在电磁场中，空间常常存在着两种或两种以上的
不同媒质。由于电介质的极化特性不同，在两种不
同媒质的分界面上一般存在着面束缚电荷，它将使
电场强度和电位移产生跃变。
电场强度和电位移在不同媒质的分界面上的跃变
规律，称为边界条件（或衔接条件）。
由于分界面上的场量产生跃变，静电场方程的微
分形式不成立，故只能从静电场方程的积分形式出
发来讨论场的边界条件。
一、法向边界条件
 在分界面上任取一点，包含该点做一闭合小圆柱，
其上下底面与分界面平行，底面积非常小；侧面与
分界面垂直，且侧高趋于零，如图2-9。对此闭合面
应用介质中的高斯定理得
 D  dS  q
en
S
D1n S  D2 n S   S S
D1n  D2n   S
或
D1
1
h
2
S
D2
n  ( D1  D2 )   S
称为：静电场法向分量的边界条件
图2-10 切向边界条件
当介质分界面不存在自由电荷时，法向边界条件变为
D1n  D2 n
n  ( D1  D2 )  0
该边界条件也可用电位来表示
1
2
1
2
 S
n
n
二、切向边界条件
 在分界面上任取一点，包含该点做一小矩形闭合回
路。长边（足够短）分居界面两侧，并与界面平行，
短边趋于零，且与界面垂直，如图2-10。由静电场
的保守性得
E1
 E·dl  0
l
1 2
h
c
E1t l  E2t l  0
2 1
E1t  E2t
n  E1  n  E2
E2
图2-10 切向边界条件
电场强度E的切向分量在分界面上是连续的
两式称为电场切向分量的边界条件
et
切向边界条件也可用电位来表示
1  2
在介质分界面不存在自由电荷时
tan  2 E2t E2 n E1n  2



tan 1
E1t E1n
E2n  1
边界条件实质上是静电场基本方程在媒质分界面
上的一种表现形式。只有同时满足基本方程和边
界条件的场矢量D、E才是静电场问题的解。
【例】 设平面y=0是两种介质的分界面，在y>0的区
域内， 1  5 0 ，而在y<0的区域内， 2  3 0 。如已
知 E 2  10e x  20e y ，求 D1 、D 2 和E1 。
【解】
E1t  E2t
E1x  E 2 x  10
D1n  D2 n
 1 E1n   2 E2 n
3
5 0 E1 y  3 0 E 2 y
E1 y  E 2 y  12
5
E1  10e x  12e y
D1   1 E1   0 (50e x  60e y )
D2   2 E 2   0 (30e x  60e y )
2.6泊松方程和拉普拉斯方程
求出空间的所有电荷分布，要求完成不规则的
积分运算，通常是很困难的。促使寻求解决问题
的其它途径，即求解电位所满足的微分方程。
可根据静电场基本方程的微分形式，推导出电位
与场源之间满足的泊松方程和拉普拉斯方程。
在   D   中，代入 D  E 和E   关系式，得
  E    ( )   2  

2
 

电位的
泊松方
程
对于无电荷分布区域
  0
2
电位的拉普
拉斯方程
泊松方程和拉普拉斯方程是二阶偏微分方程，在一般
情况下不易求解。但是如果场源电荷和边界形状具有某
种对称性，那么电位也将具有某种对称性。这将使电位
的偏微分方程简化为常微分方程，可以用直接积分法求
解。
常涉及场域限定在一个有限的范围内。在有限空间区
域内，可以有电荷，也可以没有电荷，但在有限区域的
分界面上都具有一定的边界条件。
这些给定边界条件下求解场的问题，称为边值问题。
所有这些问题的解决，都归结为求解满足给定边值的泊
松方程和拉普拉斯方程。
【例】 两无限大平行板电极，板间距离为d，电压
为 U 0 ，并充满密度为的体电荷  0 x d 。求极板间
电场强度。
【解】由于极板面无限大，故板间电场为均匀场，且
场源电荷仅与x有关，所以板间电场和电位也只是的
函数。设 x  0 处电位为0，x  d 处电位为 U 0 。
根据题意有
0 x
 
 0d
2
0 xd
0 x
 2

2
 0d
x
当x
 0 时，
0 x3
 ( x)  
 C1 x  C 2
6 0 d
 (0)  C2  0
当 x  d 时，
0d 3
 (d )  
 C1 d  U 0
6 0 d
C1 
U 0 0d

d
6 0
所以板间任意一点电位为
0 x3 U 0 0d
 ( x)  
(

)x
6 0 d
d
6 0
故板间任意一点电场为
0 x 2 U 0 0d

E     e x  (


)e x
x
2 0 d
d
6 0
2.7电容
一、电容
 若两个导体上的电量分别为-q和q，它们之间的电压
为u时，双导体电容定义为
q
C
U
 电容量是一个与两个导体形状、相对位置及周围介
质有关的常数，单位为：法（F）。孤立导体的电
容可以看成是孤立导体与无穷远之间的电容，即
C
q

 一个导体系统，如果它的形状、相对位置及周围介
质确定，则其电容量也随之确定。因此在计算系统
电容时，计算思路为
q  求E  计算U  得C  q U
【例】如图所示的球形电容器是由半径分别为a、b
的同心导体球面组成，两导体之间充以介电常数为
的电介质。求其电容量。
【解】设球形电容器的内外导体上分别带有+q和-q
的电荷，由于电荷分布具有球
面对称，由高斯定理可得两导
体之间的电场强度为
a
q
E
e
2 r
4r
b

图2-11 球形电容器
则内外导体之间的电压为
U ab   E  dl  
C
b
a
q ba
dr 
2
4 ab
4 r
q
故球形电容器的电容量为
4 ab
q
C

U ab
ba
二、部分电容
 多导体系统：有两个以上导体的系统。
在多导体系统中，每个导体所带的电量都会影响其
它导体的电位。在线性媒质中，应用叠加原理，可
得到每个导体的电位和各导体所带电量的关系如下：
pij为电位系数
pij  p ji
 1  p11q1  p12 q 2    p1n q n
  p q  p q    p q
 2
21 1
22 2
2n n



 n  p n1 q1  p n 2 q 2    p nn q n
电位系数只与导体的几何形状、尺寸、相对位置
及介质特性有关，而与导体所带电量无关。
 1  p11q1  p12 q 2    p1n q n
  p q  p q    p q
 2
21 1
22 2
2n n



 n  p n1 q1  p n 2 q 2    p nn q n
i n1   pij  nn q j  n1
1
 q1   111   12 2     1n n
q           
 2
21 1
22 2
2n n



q n   n11   n 2 2     nn n
电容系数也只与导体的几何参
数及系统中介质的特性有关
q j    pij  i n1
n1
nn
ij为电容系数
ij   ji
 q1  C11U 10  C12U 12  C13U 13   C1nU 1n
q  C U  C U  C U   C U
 2
21 21
22 20
23 23
2n 2n



q n  C n1U n1  C n 2U n 2  C n 3U n 3   C nnU n 0
  i1   i 2     in ，称为自部分电容；
C ij    ij (i  j ) ，称为互部分电容。
互部分电容也具有互易性，
 Cii


2.8静电场能量与静电力
一、静电能
 电场的最基本特征是对场域中的电荷有力的作用，
说明静电场中储存有能量，称为静电能。它是电场
在建立过程中由外力做功转化而来的。静电能是势
能，其总能量只与静电系统最终的电荷分布有关，
与形成这种分布的过程无关。可假设在电场的建立
过程中，各带电体的电荷密度均按同一比例因子 
增加，则各带电体的电位也按同一比例因子增加。
 则当  从0增加到1的过程中，对于某一体积元，
新增加的微分电荷
(d )dV 
对于固定的 ，其电位为 ，所以整个空间增加的
能量为
dWe   ()(d)dV 
V
1
We   d  dV    dV ' 系统总能量
0
V
2 V'
1
点电荷系和带电导体的静电能
1 N
We   qii
2 i 1
将     D 代入得：
1
We   (  D)dV
2 V
  ( A)    A  A
1
    (D)    D dV
2 V
1
1
  D  dS   E  DdV
2 S
2 V
积分区域可无限扩大
lim
R 
从而

S
 D  dS  0
1
We   E  DdV   we dV
V
2 V
1
we  E  D 称为电能密度
2
对于各向同性的、线性的均匀介质有
D  E
1 2
we  E
2
1
We   E 2 dV
2 V
【例】 若真空中电荷均匀分布在半径为a的球体内，
计算电场能量。
【解法1】：由高斯定理可得球内外的电场为
E
E
所以
We 
qr
4 0 a
3
er
(r  a)
2
er
(r  a)
q
40 r
1
2

E
dV
0
2 V
1 a qr 2
1 
q
2
2
2
0  (
)
4

r
dr


(
)
4

r
dr
0
3
2

0
a
2
2
40 a
40 r
3q 2

200 a
【解法2】球内任一点的电位为

   E  dl  
P
a
r
qr
40 a
3
dr  

a
r2
dr 
(3  2 )
2
80 a
40 r
a
q
q
1
1 a q
q
r2
We    'dV '  
(3  2 ) 4r 2 dr
2 V'
2 0 4 3 8 0 a
a
a
3
3q 2

200 a
二、静电力
 根据库仑定律或电场强度的定义可以计算电荷所受
的电场力。在简单问题中，这种方法是有效的，但
在复杂系统中，这种计算是很困难的。这时就需要
用虚位移法来计算电场力。
 在一个与电源相连接的带电体系统中，假设某个带
电体在电场力的作用下产生了一个小位移，那么电
场力就要对它做功。根据能量守恒原理应有：电场
力所做的功+电场储能的增量=外电源所提供的能量，
即
F  dr  dWe  dW
 由于各带电体与电源相连，所以它们的电位是不变
的，即有
N
dW 
  dq
i 1
i
i
而电场储能的增量为
1 N
dWe   i dq i
2 i 1
 说明外电源所提供的能量一半使得电场储能增加，
另一半提供给电场力做功，亦即
或
F  dr  dWe
We
F
r
 const
 如果带电体系统是与外电源断开的隔离系统，则外
电源对系统不提供能量，此时各带电体上的电量不
变，式（2-73）变为
F  dr  dWe  0
即
或
F  dr  dWe
We
F 
r
q const
 由于计算的是没有位移（虚位移）时的力，故不论
是那一种情况，其计算结果是一致的。
2.9恒定电场
一、电流密度
 电荷在电场作用下作定向运动就形成电流，等速运
动的电荷称为恒定电流，维持恒定电流分布的电场
称为恒定电场。
 电流（强度）是指单位时间内通过某导体截面的电
流量，即
q dq
I  lim

t 0 t
dt
电流可分为传导电流和运流电流
传导电流：导电媒质中的恒定电流
运流电流：真空中电子或离子运动形成的电流
 恒定电场的两个基本变量为电流密度和电场强度
 电流密度是一个矢量，它的方向与导体中该点正电
荷运动的方向相同，大小等于与正电荷运动方向垂
直的单位面积上的电流强度，即
I
dI
J  lim
n
n
S 0 S
dS
n为该点正电荷运动的方向
 从电流密度可以求出流过任意面积的电流，即
I   J  dS
S
 如果电流仅仅分布在导体表面的一个薄层内，则称
为面电流。任意一点面电流密度的方向是该点正电
荷运动的方向，大小等于通过垂直与电流方向的单
位长度上的电流，即
I
dI
J S  lim
n
n
l 0 l
dl 

I   J  e  dl
S
 如果电荷沿着细导线或空间一线形区域流动，则可
近似看成是线电流。若运动电荷的密度和速度分别
为  vl 和 v ，则线电流为
I   vl v
二、欧姆定律与焦耳定律
1. 欧姆定律
 对于各向同性的、线性的均匀导电媒质，其中任意
一点的电流密度与该点的电场强度成正比，即
J E
 是导电媒质的电导率，
单位为西门子/米 S/ m
通常的欧姆定律，称为欧姆定律的积分形式。积分
形式的欧姆定律是描述一段导线上的导电规律，而
微分形式的欧姆定律是描述导体内任一点电流密度
与电场强度的关系，它比积分形式更能细致地描述
导体的导电规律。
2. 焦耳定律
导体内的电子在运动过程中，不断与原子核碰
撞，把自身的能量传递给质子，使得导体的温度
升高。这就是电流的热效应，这种由电能转换来
的热能称为焦耳热。
在单位时间内，电场力对体积元中的元电荷dq 所做的
功为
dA  dqE  l   v dVE  vdt  E  JdVdt
此功转换为焦耳热，故电场在导电媒质单位体积中消
耗的功率为
dP dA / dt
P0 

 EJ
dV
dV
上式称为焦耳定律的微分形式。
对于整个导体消耗的总功率为
P   P0 dV   E  J dV
V
V
焦耳定律不适用于运流电流。因为对于运流电流，电
场力对电荷所做的功转变为电荷的动能，而非热能。
三、电荷守恒定律
电荷守恒定律表明，任一封闭系统内的电荷总量
不变。从任一封闭曲面流出的电流，应等于曲面所
包围的体积内，单位时间内电荷的减少量，即
dq
SJ  d S   dt
d

电流连续性方
SJ  d S   dt V dV  V t dV 程的积分形式
d

SJ  d S   dt V dV  V t dV
散度
定理

V  JdV  V t dV

V (  J  t )dV  0

J  
t
电流连
续性方
程的微
分形式
对于恒定电场

0
t
 J  dS  0
S
 J  0
恒定电流必定是连续的，
电流线总是闭合曲线，
恒定电场是无散场 。
四、恒定电场的基本方程与边界条件
1. 恒定电场的基本方程
在恒定电场中，电荷的分布不随时间变化。故由
该分布电荷产生的电场（电源外）必定与静电场的
性质相同，也是保守场，即
 E  dl  0
c
 E  0
电源外部的恒定电场的基本方程可归纳如下：
  E  0
微分形式 
J  0
 E  dl  0
积分形式  c
SJ  dS  0
E  
 E  0
E  
E  0
J  0
J E
  0
2
   
2
2. 恒定电场的边界条件
 将恒定电场基本方程的积分形式应用到两种不同导
体的界面上，如图所示，可得出恒定电场的边界条
件为
法向边界条件
切向边界条件
tan 1  1

tan  2  2
法向边界条件
n  J1  n  J 2 或 J1n  J 2 n
切向边界条件 n  E  n  E
1
2
或
E1t  E2t
结论：在不同导体的分界面上，电流密度的
法向分量连续，电场强度的切向分量连续 。
两个边界条件也可用电位表示
法向边界条件
切向边界条件
1
2
1
 2
n
n
1  2
五、恒定电场与静电场的比拟
 把电源以外的恒定电场与不存在电荷区域的静电场
加以比较。
N
P

N
P
静电场
恒定电场
图2-15恒定电场与静电场的比拟
 恒定电场中的场量和分别与静电场中的场量和是相
互对应的，它们在方程中的地位相同，是对偶量。
且两者都满足拉普拉斯方程，若处在相同的边界条
件下，根据唯一性定理，这两个场的电位函数必有
相同的解。因此，可以把一种场的计算和实验所得
的结果，通过对偶量的代换，应用于另一种场。这
种方法称为静电比拟法。
 可以用静电比拟法根据电容求电导。一个球形电容
器的电容为
q  SE  dS 4ab
C  2

U
ba
E  dl

1
其中：a是内球半径，b是外球壳半径。

只要将 换为 ，就可由电容求得电导，而不必去
求解电场，即
4 ab
G
ba
【例】 试计算半径为a的半球形接地电阻。
【解】先求半径为a的球形电容
q  SE  dS  4r 2 E r
C  

 4 a
2
U
Er r / a
E  dl

a
根据对偶关系知，对应的球形电导为
G  4 a
故半球电阻为
R
2
1

G 2 a