Transcript 静电场中的电介质

第三章 静电场中的电介质
§1 电介质的极化
在外电场中电介质要受到电场的影响,同时也影响
外电场。以平行板电容器有电介质与无电介质为例.
当平行板电容器有电介质与无电介质时，如果两
电容器两极板电压相同,如图,则有电介质电容器的电
量是无电介质电容器电量的 r
即 q  rQ
q
则 C   r C0
C0
C
q
如果两电容器所充电量相同,则平行板电
容器有电介质与无电介质时，电压不同, 说明
电介质对电场有影响.如图.
实验表明：插入电介质后
两极板间电压减少，说明其
间电场减弱了。
且
U 
U0
U  Ed
 E
E0
r
r
,U 0  E0 d
r  1
U0
U
§2
极化强度矢量
一.电介质的电结构
32
电介质原子的最外层电子不像金属导体外层电
子那样自由，而是被束缚在原子分子上。电介质按
分子结构可分为无极分子和有极分子两类。所谓无
极分子，就是在没有外场的情况下，分子的等效正
电荷中心与等效负电荷中心重合在一起，或者说等
效电偶极子的电矩为零，因此整个介质呈中性，如
H,N,CO等。所谓有极分子，就是在没有外场的情况
下，分子的等效正电荷中心与负电荷中心不重合，
或者说等效电偶极子的电矩不为零，但由于分子的
热运动，电矩方向杂乱无章，所以整个介质仍呈现
中性状态,像SO,HO,NH等。
有极分子：分子的正电荷
中心与负电荷中心不重合。
O


pe  ql
无极分子：分子的正电荷
中心与负电荷中心重合。
二.电介质的极化
负电荷
中心

l
+H
+
+H
正电荷中心
(1)对于无极分子，在外电场E 作用下，其正负电荷
等效中心将发生一定的相对位移而形成电偶极子，如
图所示，在均匀介质内部正负电荷相消，而在两端出
现未被抵消的正电荷或负电荷，这种在外电场作用下
介质端部出现电荷的现象就叫极化。由于这些电荷
不自由而被束缚在原子分子上，所以极化产生的电荷叫
极化电荷或束缚电荷。对于上述极化是因电荷中心位移
引起的，所以称作位移极化。演示1、演示２
(2)对于有极分子，在外电场E 的作用下，将有一
定数量的有极分子电矩转向外电场方向，如图所示。
同样在均匀介质内部正负电荷抵消而在两端出现了极
化电荷，因此，也会发生极化现象。不过这种极化是
因有极分子在外电场中的取向形成的，所以这种极化
叫取向极化。演示1、演示2
0
以上两种极化虽然微观机制不同，但宏观结果一样，
都是在外场 E 作用下极化而产生了极化电荷，极化电
荷产生附加的极化电场 E’，且与E 方向相反。由于｜
E｜＜｜E0｜，因此，总场强将减小，方向与外电场相
同，即
 

E  E0  E 
总电
场
外电
场
束缚
电荷
电场
3. 电极化强度矢量
（1）对于介质极化的程度和方向，可以用极化强度
矢量P来描述，它是某点处单位体积内因极化而产生的
分子电矩之和，即


P 
p
i
i
V
在电介质中任选一面元设P与dS的夹角为θ，在位
移极化中正负电荷相对位移为 l, 则在极化过程中穿过

dS的极化电荷
n



dq  qn dV  nql  dS cos
Ε P
 nql  dS  P dS cos
l
dS
由此可得束缚电荷面密度
dq
 P cos
 
dS
 
 P n
对于任一闭合曲面就有
－  P  dS  q'
这表明，穿出任意闭合曲面的电极化强度的通量，
等于这个闭合曲面所包围的极化(束缚)电荷。
可以证明:
1、当介质均匀极化（Ｐ等于常量）时，介质仅有极化面电
荷。
２、 P  dS  q '

３、   P en  Pn
en方向从介质内指向外部
例 半径 R 的介质球被均匀极化，极化强度为P。试
求介质球表面极化电荷的分布和在球心处的场。
n
解：1) 球面上任一点
 
   P  n  P cos
得 右半球面上

dS
P
x
0
d
P
左半球面上


2
  0

x
处，   0；  0及  处，
  最大。
2) 在球面上取环带     d
dS =2πrdl = 2πRsinθRdθ
dq    2R 2 sin   d  P2R 2 sin  cos  d
在球心处的场
dq 
P
2
dE  
cos


sin

cos
d
2
4 0 R
2 0
P
P
2
E    dE   0
sin  cos d 
2 0
3 0


E 沿x轴负方向,即

P
E  
3 0
由
又
 

E  E0  E 
P   e 0 E
P
E  E0 
得
3 0
3
E 
E0
r  3
++
E’ + 
E ++ E0
++
靠近球的外部，上下合场强减弱；左右合场强增强。
§３介质中的电场
E  E0  E 
• 实验证明，在各向同性介质中(注意以下各式都是在此
条件下)，电极化强度P与总场强E成正比，
P  e  0 E
介质的极化率
各点的  e 都相同的电介质称为均匀介质。
例题2:试求板间充满介质的极化率为 Χｅ的平行板
电容器介质中的场强E和电容C。
解：电介质内电场
 
E  E0  E   
0 0
 E0 

P
0
 E0   e E
E0
E
1  e
+
+
+
+
+
+
+
   
令  r  1  e 称为相对介电常数
+
+
+
 
 
i
E 
1
r
E0

E0  i
0

 E  E0 
i i
r
r 0

1
1 
   r 
称为绝对介电常数或介电常数
+
+
+
+
+
+
+
   
+
+
+
 
 
i
两板间电势差
U  Ed 
d
 0 (1   e )
充满电介质时的电容为
q S  0 (1   e ) S
 (1   e )C0
C 

U U
d
   r 0  (1   e ) 0
则  r  1  e
电介质内部场强减弱为外场的1/r 这一结论并不
普遍成立，但是场强减弱却是比较普遍的。

1
E  i , E  (   )i

0
1
 
 (   )  
0
  r 0
1
   (1  )
r
1
或      (1  )
r
4.有电介质时的高斯定理
电位移
同时考虑自由电荷和束缚电荷

S
  1
E  dS 
0
 (q
0
 q)
S内
总电场
自由电荷
束缚电荷
由电荷守恒定律和面上束缚
电荷，得面内束缚电荷
高斯
 
 q      dS   P cosdS   P  dS
S内
S
S
S

 
q0
代入得
S ( 0 E  P )  dS  

  S内
定义：电位移矢量 D   E  P
0
 
 D  dS   q0
S
S内
有介质时的
高斯定理
通过电介质中任一闭合曲面的电位移通量等
于该面包围的自由电荷的代数和。
电位移矢量
同时描述电场和电介质极化的复合矢量。
电位移线与电场线 性质不同。

+
+
+
+
+
+
+
 
 
+
+
+
电场线


+
+
+
+
+
+
+
 
 
+
+
+
电位移线

  
2. D、E、P 三矢量之间关系

 
D    E  E
D  0 E  P
P   (  1)E


1
P   0 ( r  1) E
P  (1  )D
0
0
r
r
r
有电介质存在时的高斯定理的应用
（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面，
求出电位移矢量。
（2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。
（3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。
（4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。
有电介质时的静电场方程
第一章真空情况 ，有
  q
 E  dS 
s
0
 
 Edl  0
l
有电介质存在时，理解为总电荷仍成立。引入

 
电位移矢量 D   0 E  P
两式子变为
 
 D  dS  q0
S
 
 Edl  0
l
对各向同性线性电介质
D E
例1. 一无限长同轴金属圆筒，内筒半径为R1，外筒半
径为R2，内外筒间充满相对介电常数为r的油，在内外筒
间加上电压U(外筒为正极），求电场及束缚电荷分布。
解：根据自由电荷和电介质分布的对称性，电场强度
和电位移矢量均应有柱对称性。
设内圆筒单位长度带电为，以r为底半径、l为高作
一与圆筒同轴的圆柱面为高斯面，则
 
R2
1
R1
D

q
D

d
S

D

2

rl

q


0
0
S
2rl S内
S内
D
0

2 r
r  R1
0
r  R2
R1  r  R2
由电位移与电场的关系，知
0
r  R1

2 0 r r
E
0
R2
R1  r  R2
r  R2
内外筒电势差
U 
R1
R2
  R2
E  dl  
R1


R2
dr 
ln
20 r r
20 r
R1
代入得到电场的分布为：
0
E
r  R1
U
r ln( R2 / R1 )
0
r  R2
R1  r  R2
方向沿半径向里
R1


由 P   0 ( r  1) E 得电极化强度矢量的分布
r  R1
0
P
 0 ( r  1)U
r ln( R2 / R1 )
0
R1  r  R2
r  R2
 
由    P  n 得束缚电荷的分布
 0 ( r  1)U
 
R1 ln( R2 / R1 )

方向沿半径向里
 0 ( r  1)U
R2 ln( R2 / R1 )
R2
r  R1
r  R2
束缚电荷在介质内表面为正，外表面为负。
R1
例2 一平板电容器板间为真空时，两极板上所带
电荷的面密度分别为+和-，，电压U0=200V。撤去充
电电源，在板间按图示充以三种介质，介质1充满一半
空间，介质2和3的厚度相同。求介质表面的束缚电荷
。（忽略边缘效应）
忽略边缘效应，板间各
解：
 
处E 、
D 均垂直于板面
,且在同一介质中相同。
 1

 r1
 1

2
r2
 r3
 2
以1、2分别表示极板左半部及右半部分的面电荷密
     
度，E1、D1、E 2、D2、E3、D3表示各介质中的电场和电位移
在各电介质中作圆
柱形高斯面 ，两底面平行
于极板，上底在上极板内
。
侧面、上底面电场电位移通
量均为零。

下底
D1   1
 r1
 1
2
r2
 r3
 2
 
       
D  dS   D  dS   D  dS   D  dS   D  dS
电介质中高斯定理 
S
上底
分别考虑三种介质：
 
 
D  dS  D1  S  1  S
SD  dS  下底
 
D  dS  D2  S   2  S
SD  dS  下底
 
 D  dS   D  dS  D3  S   2  S
S
 1
D2  D3   2
下底
侧面
介质1
介质2
介质3
下底
由电场与电位移关系得：
D1
1
D2
2
E1 

E2 

 0 r 1  0 r 1
 0 r 2  0  r 2
平衡时导体是等势体
电荷守恒
E3 
D3
 0 r 3
2

 0 r 3
E1d  E2  d / 2  E3  d / 2
 1  S / 2   2  S / 2  S
可解得
 r 2   r3
2
 1
E1 
 0  r1 r 2   r1 r 3  2 r 2 r 3   
1
 r3
4
 r1
E2 
 0  r1 r 2   r1 r 3  2 r 2 r 3   
1
4
r2
 1
E3 
 0  r1 r 2   r1 r 3  2 r 2 r 3
2
r2
 r3
 2
  2
  2   3
  3
 
 
由    P  n   0 ( r  1) E  n 得束缚电荷的分布
2( r 2   r 3 )( r1  1)

 1   0 ( r1  1) E1 
 r1 r 2   r1 r 3  2 r 2 r 3
上负下正
4 r（
3  r 2  1)

 r1 r 2   r1 r 3  2 r 2 r 3
上负下正
4 r（
2  r 3  1)

 3   0 ( r 3  1) E3 
 r1 r 2   r1 r 3  2 r 2 r 3
上负下正
 2   0 ( r 2  1) E2 
例题3 一半径为R的金属球，带有电荷q0,浸埋在均
匀“无限大”电介质（电容率为ε），求球外任一点P
的场强及极化电荷分布。
解:根据金属球是等势体，
而且介质又以球体球心为中心
对称分布，可知电场分布必仍
具球对称性，用有电介质时的
高斯定理来。
如图所示，过P点作一半径
为r并与金属球同心的闭合球
面S，由高斯定理知
P

r
R
Q0
S
 
2
 D  dS D 4r  q0
q0
D
所以
2
4r

q0 
写成矢量式为 D 
r
3
4r


因 D  E , 所以离球心r 处P点的场强为


 D
q0 
q0
 E
E 
r
r
3
3
 4r
4 0 r r
r
结果表明：带电金属球周围充满均匀无限大电介
质后，其场强减弱到真空时的1/εr倍, 可求出电极化
强度为

q0 
q0
q0   r  1 

P
r  0
r

r
3
3
3
4r
4 0 r r
4r   r 
 
电极化强度 P 与 r 有关，是非均匀极化。在电介质
内部极化电荷体密度等于零，极化面电荷分布在与金
属交界处的电介质变面上（另一电介质表面在无限远
处），其电荷面密度为
 
   P  en
q0   r  1 


  
2 
4R   r 
因为εr >1，上式说明σ’恒与q0反号，
在交界面处只有电荷和极化电荷的总电荷量为
  r 1
q0
q0 
q0  
r
 r 
总电荷量减小到自由电荷量的1/εr倍，这是
离球心r处P点的场强减小到真空时的1/εr倍的原因。
+
例题4 平行板电容器两板极
S1
的面积为S，如图所示，两板极
1
2
之间充有两层电介质，电容率分
S2
别为ε1 和ε2 ，厚度分别为d1
E1
E2
和d2 ，电容器两板极上自由电
D1
D2
荷面密度为±σ。求（1）在各
层电介质的电位移和场强，（2）
A
B
d1
d2
电容器的电容.
解:（1 ）设场强分别为E1 和E2 ，电位移分别为D1
和D2 ，E1和E2 与板极面垂直，都属均匀场。先在两层
电介质交界面处作一高斯闭合面S1，在此高斯面内的
自由电荷为零。由电介质时的高斯定理得


 D  dS   D1S＋D2 S＝0
S1
所以
D＝
D2
1


即在两电介质内，电位移 D1和 D2 的量值相等。由于

 

D1＝1 E1 , D2＝ 2 E2

E1  2  r 2

所以  
E2  1  r 1
可见在这两层电介质中场强并不相等，而是和
电容率（或相对电容率）成反比。
为了求出电介质中电位移和场强的大小，我们
可另作一个高斯闭合面S2 ，如图中左边虚线所示，
这一闭合面内的自由电荷等于正极板上的电荷，按
有电介质时的高斯定理，得
 D  S  D
1
S＝S
S1

 

再利用 D1＝1 E1 , D2＝ 2 E2 可求得


E1 

1  r1 0


E2 

 2  r 2 0
方向都是由左指向右。
（2）正、负两极板A、B间的电势差为
 d1 d 2  q  d1 d 2 
VA－VB＝E1d1  E2 d 2         
 1  2  S  1  2 
q=σS是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为
q
S
C

d1 d 2
V A－VB

1
2
可见电容电介质的放置次序无关。上述结
果可以推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每
一层的厚度可以不同，但其相互叠合的两表面必须都
和电容器两极板的表面相平行）。
静电场的能量
§5
我们已知静电能的概念属于带电体系，与同物体的势能应
是物体与地球这个系统的。静电能本身的数值是相对的，要讨
论一个带电体系所包含的全部静电能有多少，必须说明相对与
何种状态而言。我们设想，
带电体系中的电荷可以无限分割为许多小部分，这些部分最初
都分散在彼此相距很远（无限远）的位置上。通常规定，处于
这种状态下的静电能为0。与同重力势能的值通常是相对地面为
零势面而言的。
设带电体系由若干个带电体组成，带电体系总的静电能由
若各个带电体之间的相互作用能和每个带电体的自能组成。
即：
W  W W
e
互
自
一、 点电荷间的相互作用能
如图所示,两个点电荷q1、q2相距无穷远,电势为零。先将q1从
无限远移至A点，因q2与A点相距仍然为无限，外力做功等于零。
A
q2
q1
q1
再把q2从无限远移至B点，外力要克服q1的电场力做
功，其大小等于系统电势能的增量。
A  q2 (V2  V )
V2是q1在B点产生的电势，V∞是q1在无限远处的电势。
1
q1
V1 
4 0 r
V  0
所以
1
q1q2
A  q2V2 
4 0 r
A
q1
B
r
q2
q1
q2
同理，先把q2从无限远移B点，再把q1移到点，外力
做功为
1
q1q2
A  q1V1 
4 0 r
两种迁移过程虽不同，但外力做功相等。
根据功能原理，外力做功等于系统的相互作用能 W。
可改写为
1 q1q2
W  A
4 0 r
1
1 q2 1
1 q1
1
1
W  q1
 q2
 q1V1  q2V2
2 4 0 r
2 4 0 r
2
2
1 2
  qiVi
2 i 1
两个点电荷组成的系统的相互作用能（电势能）等
于每个电荷在另外的电荷所产生的电场中的电势能的代
数和的一半。
三个点电荷间的相互作用能
把q1移至A点,外力做功
A1  0
再把q2移至B点,外力做功
A2  q2
C
q3
r13
q1
q1
4 0 r12
最后把q3移至C点,外力做功 A3  q3 (
r23
A r12
q1
4 0 r13

B
q2
q2
4 0 r23
)
1
q2
q3
q1
q3
W  [ q1 (

)  q2 (

)
2
4 0 r12 4 0 r13
4 0 r12 4 0 r23
 q3 (
q1
4 0 r13

q2
4 0r23
1
1 3
 (q1V1  q2V2  q3V3 )   qiVi
2 i 1
2
)]
多个点电荷间的相互作用能
1 n
W   qiVi
2 i 1
式中Vi是除qi外的其它所有电荷在qi
电荷连续分布时的静电能
1
W    dV
2 V
1
W   dS
2S
所在处产生的电势。
二、电容器的储能
电场对于置于场中的电荷有力的作用，电荷在静
电力的作用下移动要作功，说明电场具有作功的本领，
具有电场能。相反，要使物体不断带电而形成电场，
外力也必须克服电荷间的相互作用而作功。电场的能
量在数值上就等于外力克服电场力所作的功，即
W  A   Udq
Q
0
我们以电容器为例来求这个能量的大小。电容器
的带电过程是不断地从原中性的某一极板B将正电荷不
断移向另一极板A的过程，设电容器的电容是C，某时
刻两极板分别带＋q和－q的电荷，板间的电势差为ΔU
＝q／C，则这时将dq电荷由B板移到A板外力作的功为
 
 
 
dA   F  dl   dqE  dl  dq  E  dl  Udq

q
dA  Udq  dq
C
如果继续迁移电荷，直到迁移的总电量达到Q为
止。所作的总功为：
2
q
1 Q
A   dA 0 dq  
C
2 C
Q
注意：
这个功是外力克服电场力所作的功。
q
dA 
dq
C
在极板带电从0→Q整个过程中，外力作的功为
2
Q
Q
A  0 dq 
2C
这个功就是电容器所具有的电场能，即
Q2 1
1
W 
 CU 2  QU
2C 2
2
对于平行板电容器
代入上式得
W 
U AB  Ed , C 
S
d
1 S 2 2
1
1
E d  E 2 Sd  E 2V  D  EV
2 d
2
2
式中V是电容器内电场空间所占的体积，它表明平行板
电容器所储存的电能与电容器内电场的强度、电介质
的介电系数以及电场空间的体积有关。
三、 能量密度
电场的能量W反映了电场空间V体积内的总能量，为
了从能量角度比较电场的强弱，可以引入能量密度的
概念。所谓能量密度,就是单位体积内的电场能量，即
W 1 2 1
w
 E 
V
2
2
D E
此式虽然是从电容器且是匀强电场中推出的，但可以
证明它是一个普遍适用的式子，不仅对所有电容器适
用，而且对所有的电场都适用。电场的能量密度正比
于场强的平方，场强越大，电场的能量密度也越大。
对于非匀强电场，其能量
1
W   wdV   D  EdV
2
例题
试求球形电容器电场中的能量。
解：设球形电容器所带电量为Q，内外半径为RA 和
RB，中间充满介电常数为ε的介质，则
1 2
1 2
dW  E dV  E 4r 2 dr
2
2
所以 W   dW   2E r dr   2
R
RB
RA
Q 2 RB 1

RA 2 dr 
8 r
2
2
A
Q2
Q2
RB
1

 1
1  2
4 /  
4
 R A RB 
4 
2
r4
r 2 dr
Q2
1 Q2

 1 1  2 C
  
 R A RB 
这个结果也可以说明上式是对任何电容器都适用的普式。
例题 空气介质平行板电容器板面积为S，间距为d，
充电使两板带电±Q，断电后将二板拉开为2d，试求最
小的外力及其作的功。
解：①解法一：将板间电场视为匀强电场，
左板产生的电场为

Q
E 

2 0 2 0 S
右板所受引力
Q2
F  QE 
2 0 S
故外力作的功
Q2d
A  Fd 
2 0 S
②解法二：两极板间距为d和2d时的电容为
C1   0
S
d
C2   0
S
2d
所以拉开极板时，电场能量的增量
1 Q2 1 Q2 1 Q2d
W  W2  W1 


2 C2 2 C1 2  0 S
由功能原理知
Q2d
A  W 
2 0 S
A 1 Q2
F 
d 2 0S
例题 平行板空气电容器
如图所示,
每极
板的面积S = 3×10-2m2 ，
板极间的距离 d=3×10-3m 。
今 以 厚 度 为 d’ = 1×10-3m
的铜板平行地插入电容器
内。（1）计算此时电容器
的电容；（2）铜板离板极
的距离对上述结果是否有
影响？（3）使电容器充电
到两极板的电势差为300V
后与电源断开，再把铜板
从电容器中抽出，外界需
作功多少功？

+
C1
A
d1
C2
d
d
d2
B
解：（1）铜板未插入前的电容为
C 
0S
d
铜板平行
设平行板电容器两板极上带有电荷±q,
地两表面上将分别产生感应电荷，面密度也为± σ ，
如图所示，此时空气中场强不变，铜板中场强为零。两
极板A、B的电势差为
q  d  d 
U  VA－VB  E0 d1＋E0 d 2＝E0  d  d   
0S
所以铜板插入后的电容C’ 为
C 
0S
q

VA－VB
d  d
(2)由上式可见，C’ 的值与d1和d2无关（d1增大时，
d2减小。d1+ d2=d-d'不变），所以铜板离极板的距离
不影响C’ 的值
（3）铜板未抽出时，电容器被充电到 U=300V ，此
时所带电荷量Q=C’U，电容器中所储静电能为
1 Q2
W 
2 C1
当电容器与电源切断后再抽出铜板，电容器所储的静电
能增为
1 Q2
W 
2 C
能量的增量W-W’ 应等于外力所需作的功，即
Q 2  1 1  Q 2d   0 Sd U 2
A＝W＝W－W  
＝
 － ＝
2  C C   2 0 S 2d  d  2
代入已知数据，可算得
A  2.99 106 J