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第18章 期权的风险管理与复制 郑振龙 厦门大学金融系 厦门大学金融工程研究中心 http:// efinance.org.cn [email protected] Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 目录 一个例子 Delta 与期权的套期保值 Theta 与期权的套期保值 Gamma 与期权的套期保值 Vega 、rho 与期权的套期保值 交易费用与套期保值 期权复制 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 2 Example A bank has sold for $300,000 a European call option on 100,000 shares of a non-dividend paying stock S0 = 49, K = 50, r = 5%, s = 20%, T = 20 weeks, m = 13% The Black-Scholes-Merton value of the option is $240,000 How does the bank hedge its risk to lock in a $60,000 profit? Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 3 Naked & Covered Positions Naked position Take no action Covered position Buy 100,000 shares today What are the risks associated with these strategies? Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 4 Stop-Loss Strategy This involves: Buying 100,000 shares as soon as price reaches $50 Selling 100,000 shares as soon as price falls below $50 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 5 Stop-Loss Strategy continued Ignoring discounting, the cost of writing and hedging the option appears to be max(S0−K, 0). What are we overlooking? Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 6 期权价值的影响因素 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 7 18.2 Delta 与期权的套期保值 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 8 期权的Delta（Δ） 证券的Delta（ Δ ）是证券价格对标的资产价 格的一阶偏导数 ∆= 𝜕𝑓 𝜕𝑆 几何上来看，期权Δ 是期权价格与标的资产价 格关系曲线的切线的斜率。 期权Δ 表示在其他条件不变的情况下，标的资 产价格的微小变动所导致的期权价格的变动， 它衡量了证券价格对标的资产价格变动的敏感 度。 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 9 期权的Delta（Δ） 看涨期权价格 斜率 = D B A Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 股价 10 期权Δ的计算 无收益资产欧式看涨期权的Δ 值为 Δ = N(d1) 无收益资产欧式看跌期权的Δ 值为 Δ = -N(-d1)=N(d1)-1 支付已知红利率q 的欧式看涨期权的Δ 值为 Δ = e−q(T−t)N(d1) Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 11 期权Δ的性质 概率分布的性质： 0 ≤ 𝑁(𝑑1 ) ≤ 1 无收益资产看涨期权的Δ 值在0 和1 之间，无收 益资产看跌期权的Δ 值在-1和0 之间。 无收益资产看涨期权空头的Δ 值在-1和0 之间， 无收益资产看跌期权空头的Δ 值在0 和1 之间。 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 12 无收益资产看涨期权和看跌期权 D 值与 标的资产价格的关系 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 13 无收益资产看涨期权和欧式看跌期权 D 值与到期期限之间的关系 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 14 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 15 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 16 无收益资产看涨期权和欧式看跌期权 Delta值与r之间的关系 看涨期权Delta与利率的关系 1,20 看跌期权Delta与利率的关系 0,00 0% 1,00 50% 100% -0,10 -0,20 0,80 -0,30 虚值 Delta0,60 -0,40 实值 平价 实值 0,40 Delta-0,50 平价 虚值 -0,60 -0,70 0,20 -0,80 -0,90 0,00 0% 20% 40% 60% 利率 80% 100% -1,00 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 利率 17 期权Δ值与𝝈 之间的关系 标的资产价格波动率对期权Δ 值的影响较难确 定，它取决于无风险利率水平、S 与X 的差距 、期权有效期等因素。 对于较深度虚值的看涨期权和较深度实值的看 跌期权来说， Δ 是𝝈的递增函数。 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 18 期权Δ值与𝝈之间的关系(cont.) Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 19 其他证券的Δ值 期权标的现货资产的Δ 值为1 。 远期合约的Δ 值同样为1 。 无收益资产和支付已知现金收益资产的期货合 约的Δ 值为 Δ =er(T−t) 支付已知连续收益率q 资产的期货合约的Δ 值 为 Δ = e(r−q)(T−t) 上述Δ 都是针对多头而言的，空头符号相反。 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 20 证券组合的Δ值 证券组合的Δ 值等于组合中单个资产Δ 值的总 和（标的资产相同） Δ = 𝑛1 𝜔𝑖 ∆𝑖 其中，𝜔𝑖 表示第i 种证券的数量， ∆𝑖 表示第i 种证券的Δ 值。 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 21 Δ中性状态 Δ 值为0 的证券组合被称为处于Δ 中性状态。 当证券组合处于Δ 中性状态时，组合的价值不 受标的资产价格波动的影响，从而实现相对标 的资产价格的套期保值。 除了标的资产本身和远期合约的Δ 值恒等于1 ，其他衍生产品的Δ 值可能随时不断变化。因 此证券组合处于Δ 中性状态只能维持一个很短 的时间。 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 22 Δ中性套期保值 Δ 中性保值的实现：运用同一标的资产的现货 、期权和期货等进行相互套期保值，使证券组 合的Δ 值等于0 。 Δ 中性保值的特点：动态套期保值，需要不断 调整保值头寸以使保值组合重新处于Δ 中性状 态，这种调整称为再均衡（ Rebalancing ）。 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 23 案例1 ：期权的Delta 中性保值 某金融机构在OTC 市场出售了基于100000 股 不付红利股票的欧式看涨期权，收入300 000 元。该股票的市场价格为49 元，执行价格为 50 元，无风险利率为连续复利年利率5% ，股 票价格年波动率为20% ，距离到期时间为20 周。由于该金融机构无法在市场上找到相应的 看涨期权多头对冲，这样就面临着风险管理的 问题。 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 24 案例1 ：期权的Delta 中性保值(cont.) 用标的资产（股票）多头为此期权进行套期保 值操作。 应进行动态套期保值，以维持资产组合的Δ 中 性。但在实际中，过于频繁的动态调整需要相 当的交易费用，因此我们假设保值调整每周进 行一次。 相关参数为 S = 49; X = 50; r = 0:05;𝝈= 0:20; T-t = 0.3846 Delta 对冲模拟过程参看表14.1 。 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 25 案例1 ：期权的Delta 中性保值 (cont.) 周次 股价 Delta 购买的股 数 成本 (千 累计成本 (千 元) 元) 利息（千 元） 0 49.00 0.522 52,200 2,557.8 2,557.8 2.5 1 48.12 0.458 (6,400) (308.0) 2,252.3 2.2 2 47.37 0.400 (5,800) (274.7) 1,979.8 1.9 ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... 19 55.87 1.000 1,000 55.9 5,258.2 5.1 20 57.25 1.000 0 0 5263.3 Copyright@2013 Zheng Zhenlong Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 26 案例1 ：期权的Delta 中性保值 (cont.) 周次 股价 Delta 购买的股 数 0 49.00 0.522 52,200 1 49.75 0.568 2 52.00 ....... 成本 (千 累计成本 (千 元) 元) 利息（千 元） 2,557.8 2,557.8 2.5 4,600 228.9 2,789.2 2.7 0.705 13,700 712.4 3,504.3 3.4 ....... ....... ....... ....... ....... ....... 19 46.63 0.007 (17,600) (820.7) 290.0 0.3 20 48.12 0.000 (700) (33.7) 256.6 Copyright@2013 Zheng Zhenlong Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 27 理解期权的Delta 中性保值 期权Δ 中性套期保值的结果是：通过标的资产 构成了一个“合成的期权头寸”。 套期保值的成本主要来源于“买高卖低”的过程 ，其总成本等于期权价格。 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 28 理解期权的Delta 中性保值(cont.) 在实际操作中， Δ 中性保值方法更常见的是利 用同种标的资产的期货头寸来进行保值，可以 获得杠杆作用。 以无收益资产期货合约为例，由于其Δ = er(T−t) ，这意味着e−r(T−t) 个期货单位对标的资产价格 变动的敏感性与一个标的资产对其自身价格变 化的敏感性是相同的， 因此 QF = e−r(T−t)HA/N Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 29 理解期权的Delta 中性保值(cont.) Δ 套期保值的意义： 专业的金融运营和风险运营机构的价格优势。 机构内部的风险对冲以及外部市场上的净Δ套期保 值。 高度灵活性：金融机构可以结合自身的资产状况、 市场预期和风险目标来管理Δ 指标，不同目标Δ 值 的设定可以实现不同的风险管理策略。 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 30 18.3 Theta与期权的套期保值 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 31 Θ 值的定义 证券的Theta（ Θ ）是证券价格对时间t 的偏导 数 Θ= 𝜕𝑓 𝜕𝑡 期权Θ 是在其它条件不变情况下期权价格变化 与时间变化的比率，用于衡量期权价格对时间 变化的敏感度， 衡量期权的价值随着时间推移而逐渐衰减的程 度。 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 32 Θ 值的性质 期权的Θ 常常是负的：一般来说，随着到期日 的临近，期权价值逐渐衰减。 对于处于实值状态的无收益资产欧式看跌期权 和处于实值状态的很高利率的外汇的欧式看涨 期权， Θ 可能为正。 期权的Θ 值同时受S 、T-t 、r 和𝝈的影响。 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 33 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 34 无收益资产看涨期权Theta值与S的关系 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 35 无收益资产看涨期权Theta值与有效期之 间的关系 Copyright@2013 Zheng Zhenlong Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 36 Copyright@2013 Zheng Zhenlong Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 37 Copyright@2013 Zheng Zhenlong Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 38 Theta与套期保值 由于时间的推移是确定的，没有风险可言。因 此无需对时间进行套期保值。 Theta值与Delta及下文的Gamma值有较大关系 。 在期权交易中，尤其是在差期交易中，由于 Theta值的大小反映了期权购买者随时间推移 所损失的价值，因而无论对于避险者、套利者 还是投资者而言, Theta值都是一个重要的敏感 性指标。 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 39 18.4 Gamma与期权的套期保值 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 40 期权Γ 定义 期权的Gamma(Γ) 是期权价格对标的资产价格的二阶 偏导数，或期权Δ 对标的资产价格的一阶偏导数 𝜕 2 𝑓 𝜕∆ Γ＝ 2 = 𝜕 𝑆 𝜕𝑆 从几何上看， Γ 反映了期权价格与标的资产价格关系 曲线的凸度。 Γ 衡量了期权Δ 值对标的资产价格变化的敏感度，是 Δ 的敏感性指标。 计算证券组合的Γ 值对于套期保值的重要意义在于， 它衡量了Δ 中性保值法的误差，误差大小取决于期权 价格与标的资产价格关系曲线的曲度。 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 41 期权Γ 定义(cont.) 期权 价格 C'' C' C 股价 S S' Copyright@2013 Zheng Copyright © 2013 Zhenlong Zheng Zhenlong 42 Γ 值的计算 根据BSM 无收益资产欧式期权定价公式，无收益资 产看涨期权和欧式看跌期权的Γ 值为： Γ＝ 𝑒 −0.5𝑑1 2 𝑆𝜎 2𝜋(𝑇−𝑡) 其他条件相同的看涨期权与看跌期权的Δ 值之间只相 差一个常数，因此两者的Γ 值总是相等的。 无收益资产期权多头的Γ 值总为正值，期权空头的Γ 值则总为负值。 期权的Γ 值也随S 、r 、𝝈和T-t 变化。 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 43 −(𝑟+1.5𝜎 2 )(𝑇−𝑡) 当S 在＝𝑋𝑒 对于S 最敏感。 点时， Γ 值最大， Δ 值 Copyright@2013 Zheng Zhenlong Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 44 无收益资产看涨期权和欧式看跌期权Gamma 值与T-t的关系 Copyright@2013 Zheng Zhenlong Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 45 Copyright@2013 Zheng Zhenlong Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 46 证券组合的Γ 值 只有期权有Γ 值。 证券组合的Γ 值等于组合内各种期权Γ 值与其 数量乘积的总和： Γ = 𝑛1 𝜔𝑖 Γ𝑖 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 47 Γ 中性 证券组合Γ 值为零时称为处于Γ 中性状态。 Γ 中性是为了消除Δ 中性保值的误差，同样也 是动态的概念。 由于保持Γ 中性只能通过期权头寸的调整获得 ，实现Γ中性的结果往往是Δ非中性，因而常 常还需要运用标的资产或期货头寸进行调整， 才能使得证券组合 同时实现Γ中性和Δ中性。 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 48 案例2 ：Gamma 中性 假设某Delta 中性的保值组合的Γ 值等于-5000 ，该组合中标的资产的某个看涨期权多头的Δ 和Γ 值分别等于0.80 和2.0 。为使保值组合Γ 中 性，并保持Δ 中性，该组合应购买多少份该期 权，同时卖出多少份标的资产？ Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 49 案例2 ：Gamma 中性(cont.) 该组合应购入的看涨期权数量等于： 5000 2.0 = 2500 购入2500 份看涨期权后，新组合的Δ 值将由0 增加到2500 ×0.80 = 2000 。因此为保持Δ 中性 ，应出售2000 份标的资产。 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 50 Δ、Θ 和Γ 之间的关系(cont.) 如果Δ 中性， 1 2 2 s S r 2 对于一个Δ 中性组合，若Γ 正值并且也很大时 ，Θ 将为负值并且也很大 。 如果Δ 和Γ 同时中性， Θ = rf Δ 中性和Γ 中性组合的价值将随时间以无风险 连续复利率的速度增长。 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 51 Δ、Θ 和Γ 之间的关系(cont.) 对于一个Δ 中性组合，, D Dt + ½DS 2 D D DS DS 正Gamma Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 负Gamma 52 Δ、Θ 和Γ 的符号 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 53 18.5 Vega 、Rho与期权的套期保值 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 54 n的定义 期权的Vega（ n ）是期权价格对标的资产价 格波动率𝜎的偏导数 n＝ 𝜕𝑓 𝜕𝜎 n衡量的是期权价格对标的资产价格波动率的 敏感度。 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 55 Vega Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 56 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 57 台指期 & 波动率 一分钟走势图 （ 2011/8/1~10） 台指期在短短五个交易日内（8/4~10）高低差达1397 点，选择权波动率瞬间拉高，卖权卖方风险急遽扩大。 58 Copyright@2013 Zheng Zhenlong Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 7700卖权 7800卖权 结算价为例 7700卖权从最低点0.6点（8/1日）冲到历史高665点（8/9 日），涨幅达1108倍。 7800卖权从最低点1.1点（8/1日）冲到历史高750点（8/9 日），涨幅达 681倍。 59 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 平价期权 c/S与波动率和期限的关系 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 60 n的计算 证券组合的n值等于该组合中各证券的数量 与各证券的n值乘积的总和 n= 𝑛 1 𝜔𝑖 n𝑖 只有期权有n值，且期权多头的n值总是正 的。 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 61 n的计算 值得注意的是，由于B-S-M公式假定𝜎是常 数，因此我们不能再通过B-S-M公式对𝜎求 偏导来求n 。因为当𝜎是随机变量时，B-S-M 公式不再成立。遗憾的是，目前大多数教 科书(如Chance(1998) , Rebonato(2002) ,Kolb(2003) , Whaley(2006) ,Hull(2012) 等)以 及业界大多犯了这个错误。 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 62 n中性 组合的n值等于零时，证券组合处于n中性 状态。 当我们调整期权头寸使证券组合处于n中性 状态时，新期权头寸会同时改变证券组合 的Γ值，因此，若套期保值者要使证券组合 同时达到n中性和Γ中性，至少要使用同一 标的资产的两种期权。 Γ𝑝 + Γ1 𝜔1 + Γ2 𝜔2 =0 n𝑝 + n1 𝜔1 + n2 𝜔2 =0 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 63 rho 与套期保值 证券的rho 等于证券价格对利率的偏导数: 𝜕𝑓 rho＝ 𝜕𝑟 rho 衡量的是证券价格对利率变化的敏感度。 标的资产的rho 值为0 。 同样道理，由于B-S-M公式假定利率为常数， 所以我们也不能直接用该公式对利率求偏导来 求rho。 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 64 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 65 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 66 18.6 期权复制 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 67 期权复制 若市场上不存在期权，期权复制只能使用Delta 中性复制法。在利率变动频繁时可以加上Rho 中性。复制工具既可以是现货，也可以是期货 。 若市场上已有其他期权，则可以使用Delta、 Gamma、Vega中性复制法。 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 68 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 69 交易费用与期权复制 为了保持证券组合处于Δ 、Γ 、 中性状态，必须不断 调整组合。然而频繁的调整需要大量的交易费用。 在实际运用中，复制者更倾向于使用Δ 、Γ 、n 、Θ 和 rho 等参数来评估其证券组合的风险，然后根据他们对 S 、r 、𝜎 未来运动情况的估计，考虑是否有必要对证 券组合进行调整。 如果风险是可接受的，或对自己有利，就不调整；若 风险对自己不利且是不可接受的，则进行相应调整。 Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 70 本讲参考资料 郑振龙和陈蓉，《金融工程》（第三版），高等教育出 版社，2012：第14章 John C. Hull, Options, Futures and other derivatives, 8th ed., Pearson, 2012: Ch18 Dan Passarelli, Trading Option Greeks: How Time, Volatility and other Pricing Factors Drive Profit,2008 http://efinance.org.cn/本科课程金融工程 http://efinance.org.cn/硕士生课程金融工程 http://reference.wolfram.com/applications/finance/Option s.html Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 71 请提问 Any Questions？ Copyright@2013 Zheng Copyright © 2013 Zhenlong Zheng Zhenlong 72 The End. Copyright © 2013 Zhenlong Zheng 73