Transcript FE12 - E

金融工程
第十二章 期权定价的数值方法
厦门大学金融系
郑振龙 陈蓉
金融工程
目录

二叉树期权定价模型

蒙特卡罗模拟

有限差分方法
Copyright © 2012 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong
2
目录
二叉树期权定价模型
蒙特卡罗模拟
有限差分方法
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3
单步二叉树模型
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4
证券价格的树形结构
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5
参数的确定

在风险中性世界里：
所有可交易证券的期望收益都是无风险利率；
 未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。
参数 p 、 u 、 d 须满足

Se
rt
 pSu   1  p  Sd
S   t  pS u   1  p  S d  S  pu   1  p  d 
2
u 
2
2
2
2
2
2
2
1
d
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6
参数的确定 (cont.)

由以上条件可得：
p 
e
d
ud
u e

d e

rt

t
t
期权价格为
f e
 r t
 pf u   1  p  f d 
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二叉树图的节点


由于设定的是涨跌倍数，所以节点会自然重合，又因
1
u

为
，二叉树图中心线上的标的资产价格与中
d
心值相等。
在i  t 时刻，证券价格有i + 1 种可能，一般表达式为
j
Su d

i j
其中j = 0,1, ….i
如果假设p = 0.5 ，虽然节点仍会重合，但二叉树图中
心线上的标的资产价格不再和中心值相等。其优点是
概率始终不变。
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倒推定价法



倒推定价法：从树型结构图的末端 T 时刻开始往回倒
推，为期权定价。
欧式期权：将 T 时刻期权价值的预期值在 ∆t 时间长
度内以无风险利率 r 贴现求出每一节点上的期权价值。
美式期权：在树型结构的每一个节点上，比较在本时
刻提前执行期权和继续再持有 ∆t 时间到下一个时刻
再执行期权的价值，选择较大者作为本节点的期权价
值。
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案例 12.1 ：美式看跌期权的二叉树定价

假设标的资产为不付红利股票，其当前市场价为 50
元,波动率为每年 40% ，无风险连续复利年利率为
10% ，该股票 5 个月期的美式看跌期权协议价格为
50 元，求该期权的价值。
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10
案例 12.1 ：美式看跌期权的二叉树定价
(cont.)

为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段，每段
一个月（等于 0.0833 年）。可以算出
u e

d e
p
t
 1.1224

t
rt
d
e
ud
 0.8909
 0.5076
1  p  0.4924
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案例 12.1 ：美式看跌期权的二叉树定价
(cont.)
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二叉树定价的一般过程：以美式看跌期
权为例

把期权有效期划分为 N 个长度为 ∆t 的小区间，
j i-j
Su d
和f
分别为节点 (i, j) 处的标的资产价格与
期权价值：
ij
f N j  m ax  X  Su d
j

Nj
f ij  m ax X  Su d


j
,0
i j
,e
其中j=0,1,2,…..N
 r t
 pf i 1, j 1  1  p  f i 1, j 



当时间区间划分趋于无穷大，可以求出美式看跌期权
的准确价值。
一般将时间区间分成 30 步就可得到较为理想的结果。
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有红利资产期权的定价：支付连续红利
率q


在风险中性条件下，标的资产价格的增长率应该为
r  q ，因此式（ 12.1 ）变为：
 r  q  t
e
 pu  1  p  d
相应有
p

e
 r  q t
d
ud
式（ 12.5 ）和（ 12.6 ）仍然成立：
u e

d e

t
t
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有红利资产期权的定价：支付已知红利
率


可通过调整在各个节点上的证券价格，算出期权价格；
如果时刻 i∆t 在除权日之前，则节点处证券价格仍为：
j
Su d

i j
j  0,1......i
如果时刻 i∆t 在除权日之后，则节点处证券价格相应
调整为：
S 1    u d
j
i j
j  0,1 ......i
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有红利资产期权的定价：支付已知红利
率(cont.)

若在期权有效期内有多个已知红利率，则 i∆t 时刻节
点的相应的证券价格为：
S 1   i  u d
j
i j
（  i 为 0 时刻到 i∆t 时刻之间所有除权日的总红利支付
率）
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有红利资产期权的定价：支付已知红利
数额
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有红利资产期权的定价：支付已知红利
数额(cont.)

在已知红利额的情况下, 为了使得二叉树的节点重合
减少计算量, 我们可以将证券价格分为两个部分：一
部分是不确定的；另一部分是期权有效期内所有未来
红利的现值。
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有红利资产期权的定价：支付已知红利
数额(cont.)

假设在期权有效期内只有一次红利，除息日 τ 在 k∆t
到 (k + 1)∆t 之间，则在 i∆t 时刻不确定部分的价值为：


当 i t   时
S
当 i t   时
S


 i t   S  i t 
 i t   S  i t   D e
 r   i  t 
其中， D 表示红利。
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有红利资产期权的定价：支付已知红利
数额(cont.)

因此，我们需要先构造不含红利的价格树图，之后再
加上未来红利的现值。在i t 时刻：

当 i  t   时， 这个树上每个节点对应的证券价格为：
*
j
S0 u d

i j
j  0,1......i
当 i  t   时，这个树上每个节点对应的证券价格为：
*
j
S0 u d

i j
 De
其中, S 0 为零时刻 S

 r   i  t 
j  0,1 ......i
的值。相应地使用的

是S

的波动率。
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构造树图的其他方法和思路




p = 0.5 的二叉树图
三叉树图
控制方差技术
适应性网状模型
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p = 0.5 的二叉树图

在确定参数 u ， p ， d 时不再假设
0.5 ，可得：
u e
2


r

q



2


 t 


t
2


 rq

2


 t 


t
d e

u 
1
d
，而令 p =
该方法优点在于无论 ∆t 和 σ 如何变化，概率总是不
变的。
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三叉树图

每一个时间间隔 ∆t 内证券价格有三种运动的可能：



从开始的 S 上升到原先的 u 倍，即到达 Su ；
保持不变，仍为 S ；
下降到原先的 d 倍，即 Sd 。
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23
三叉树图 (cont.)
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三叉树图 (cont.)

相关参数：
u e

d 
3t
1
u
pd  
pu 
t
12
2
t
12
2
2

  1
r q 

2  6

2

  1
r q 

2  6

pm 
2
3
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控制方差技术


基本原理：期权 A 和期权 B 的性质相似，我们可以
得到期权 B 的解析定价公式，而只能得到期权 A 的
数值方法解，这时就可以利用期权 B 解析法与数值法
定价的误差来纠正期权 A 的数值法的定价误差。
用f B 代表期权 B 的真实价值（解析解），f 表示关于
ˆ
fˆ
期权 A 的较优估计值， 和f B 表示用同一个二叉树、
相同的蒙特卡罗模拟或是同样的有限差分过程得到的
估计值。
A
A
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控制方差技术 (cont.)

假设

fB  f

B
 fA  f
A
则期权 A 的更优估计值为


fA  f A  fB  f
B
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适应性网状模型


在使用三叉树图为美式期权定价时，在接近到期的执
行价格附近，用高密度的树图来取代原先低密度的树
图。
在树图中那些提前执行可能性较大的部分，将一个时
t
间步长 ∆t 进一步细分，如分为 4 ，每个小步长仍然
采用相同的三叉树定价过程。
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目录
二叉树期权定价模型
蒙特卡罗模拟
有限差分方法
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蒙特卡罗模拟
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随机路径

在风险中性世界中，为了模拟路径
dS   r  q  Sdt   Sdz
我们把期权的有效期分为 N 个长度为 ∆t 的时间段，
则上式的近似方程为：
2

 
ln S  t   t   ln S  t    r  q 
 t  
2 

t
或
2

 
S  t   t   S  t  exp   r  q 
  t  
2 

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
t 

31
随机路径 (cont.)



其中 S(t) 代表 t 时刻 S 的价值, ε 是从标准正态分布中
抽取的一个随机样本。
通过 N 个正态分布的随机抽样就可以组建一条资产价
格的蒙特卡罗模拟样本路径，并得到相应的回报值。
重复以上的模拟至足够大的次数，计算回报值的平均
值，贴现后就得到了期权的期望值和估计的标准差。
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随机路径 (cont.)


用 ln S 比 S 准确。
用蒙特卡罗模拟为欧式期权定价时，由于期权回报只
与期权到期时刻的股票价格有关，可以让 t + ∆t = T
并直接利用公式 ln S 的随机过程来求 T 时刻的股票价
格。
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案例 12.2 ：蒙特卡罗模拟的路径模拟

假设无红利的股票价格服从式（ 12.9 ），年预期收益
率 r = 14% ，收益波动率为 σ = 20% ，时间步长为 ∆t
= 0.01 年，则根据式（ 12.9 ）有
 S  0.14  0.01S  0.2 0.01S 

假设股票价格的初始值为 20 ， ε 的第一个样本值为
0.52 ，则第一个步长结束后，
 S  0 .0 0 1 4  2 0  0 .0 2  2 0  0 .5 2  0 .2 3 6

第二步开始时的股票价格上升为 20.236 ，这次抽到的
ε 为 1.44 ，因此
 S  0 .0 0 1 4  2 0 .2 3 6  0 .0 2  2 0 .2 3 6  1 .4 4  0 .6 1 1
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案例 12.2 ：蒙特卡罗模拟的路径模拟
（ Cont. ）

下表给出了案例 12.2 中模拟的路径：
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35
ε 的产生


ε 是服从标准正态分布的一个随机数。
如果只有一个单变量，则可以通过下式获得：
12
 
R
i
6
i 1

其中 R i  1  i  1 2  是相互独立的 0 到 1 均匀分布的
随机数
在 Excel 中， NORM.S.INV(RAND()) 可以生成标准正
态分布的随机样本
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模拟运算次数的确定

如果对估计值要求 95% 的置信度，则期权价值应满
足
1.96
1.96 

 f 
M

M
其中， M 为进行运算的次数， µ 为均值， ω 为标准
差。
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主要优点和主要缺点

主要优点：


应用简单，无需深刻理解定价模型
适用情形广泛




欧式衍生产品
回报路径依赖
回报取决于多个标的资产
主要缺点：


难以处理提前执行的情形
为了达到一定的精确度，一般需要大量的模拟运算
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二叉树期权定价模型
蒙特卡罗模拟
有限差分方法
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主要思想
f
f
 f
、
和
 用离散算子逼近
2 各项，将衍生证券所满足的
t s
S
2
偏微分方程
f
t

 rS
f
S

1
2
 f
2
 S
2
2
S
2
 rf
转化为一系列近似的差分方程，用迭代法求解，得到
期权价值。
在坐标图上，有限差分方法体现为格（ Grids ）
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划分格点


把从初始零时刻到到期日时刻之间的时间分为有限
T 

N



等间隔的小时间段，得到 N + 1 个时点。
t 

把资产价格的变化从 0 到最大值也分成 M 个等间隔
S m ax 

M



S 


的小价格段
，得到 M + 1 个资产价格。如
果划分合理，初始的资产价格会落在零时刻的一个格
点上。
这样就构造了一个共有 (M + 1)(N + 1) 个格点的图，
时间、资产价格和期权价值都仅仅在相应的格点处离
散计算。点 (i, j) 对应 i∆t 时刻和资产价格 j∆S ，f(i, j)
则表示 (i, j) 处的期权价值。
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有限差分方法的格点图
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隐性差分法下
f
 S

f
f
 f
、 和
2
t s
S
2
的差分近似
的近似
对于坐标方格内部的点 (i, j) ，期权价值对资产价格的一阶导
数可以用三种差分来表示：
f i , j 1  f i , j
S
,
f i , j  f i , j 1
S
,和
f i , j  1  f i , j 1
2S
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43
f
隐性差分法下
f
 t

f
 f
、 和
2
t s
S
2
的差分近似
的近似
f
对于(i,j)点处的  t ，我们则采取前向差分近似以使i  t 时刻
的值和 ( i  1)  t 时刻的值相关联：
f
t

f i 1, j  f i , j
t
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44
f
隐性差分法下
 f
2
 S 2
f
 f
、 和
2
t s
S
2
的差分近似
的近似
f i , j  f i , j 1 
 f i , j 1  f i , j



2
f i , j  1  f i , j 1  2 f i , j

S

S
 f




2
2
S
S
S
O  S
这个二阶差分也是中心差分，其误差为
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2

45
“隐性”差分方程

把以上三个近似代入 B-S-M 偏微分方程，整理得到
a j f i , j 1  b j f i , j  c j f i , j  1  f i  1, j

其中
aj 
1
2
r  q
jt 
1
 j t
2
2
2
b j  1   j t  rt
2
cj  
1
2
2
r  q
i  0,1...... N  1,
jt 
1
 j t
2
2
2
j  0,1....... M  1
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46
理解隐性有限差分方法


可以看出 a j  b j  c j  1  r  t ,这说明同一时刻相邻
三个格点的期权价值加权值的终值等于下一个时刻中
间格点的期权价值。
隐性有限差分方法可以理解为从格点图内部向外推知
外部格点的期权价值。如图所示：
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47
边界条件

T 时刻看跌期权的价值为
f N , j  m ax  X  S T , 0 

其中 S T  j  S j  0,1.......M
当股票价格为零时，下方边界 S = 0 上所有格点的期
权价值：
f i ,0  X

i  0,1....... N
当股票价格趋于无穷时
fi,M  0
i  0,1....... N
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48
求解期权价值

联立 M − 1 个方程
a j f N 1, j 1  b j f N 1, j  c j f N 1, j 1  f N , j

和
j  1, ......M  1
j  0时 ， f N 1,0  X
j  M 时 ， f N  1, M  0


解出每个 f N 1, j 的期权价值。
最后可以计算出 f 0 , j ，当j  S 等于初始资产价格时，
该格点对应的 f 就是我们要求的期权价值。
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显性有限差分法－方法1

f
 f
2
假设 (i, j) 点的  S 和  S
f
 f
2S
2
S
2
与 (i + 1, j) 的对应值相等，即
f i  1, j  1  f i  1, j  1

S
2

f i  1, j  1  f i  1, j  1  2 f i  1, j
S
2
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50
显性有限差分法 －方法1

相应的差分方程修改为

j

j

j
f i , j  a f i  1, j 1  b f i  1, j  c f i  1, j  1

其中
1 2 2 
 1
a 
   r  q  jt   j t 
1  rt  2
2


j

bj 
1
1
1

1  rt
2
j t 
2
1 2 2 
1
c 
  r  q  jt   j t 
1  rt  2
2


j
1
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51
理解显性有限差分法





a j  bj  cj 
1
可以看出
1  r  t ，这说明某一时刻某格
点的期权价值等于下一时刻相邻三个格点的期权价值
风险中性期望值的现值。
显性有限差分法可以理解为从格点图外部推知内部格
点期权价值的方法。
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52
显性有限差分法－方法2

如果我们采用𝜕𝑓
𝜕2 𝑓
𝜕𝑓
的另一种定义，而保留
𝜕𝑡
𝜕𝑆和
𝜕𝑆 2 的定义就可以得到另一种显性有限差分法。
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53
有限差分方法和树图方法的比较

相同之处：都用离散的模型模拟资产价格的连续运动。

不同之处



树图方法中包含了资产价格的扩散和波动率情形；有限差分
方法中的格点则是固定均匀的，只是参数进行了相应的变化，
以反映改变了的扩散情形。
有限差分方法比树图方法灵活
显性有限差分方法与三叉树图相当类似，但显性差分
方法中的隐含概率可能小于零，这也是这一方法的主
要缺陷。
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54
隐性和显性有限差分方法的比较



显性方法计算比较直接方便，无需像隐性方法那样需
要求解大量的联立方程，工作量小，易于应用。
但显性方法的三个“概率”可能小于零，导致了这种
方法的不稳定，它的解有可能不收敛于偏微分方程的
解。而隐性方法则不存在这个问题，它始终是有效的。
“跳格子方法”是显性和隐性有限差分方法的结合。
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有限差分方法的应用

变量置换：在使用有限差分方法时，人们常常把标的
变量 S 置换为 Z  ln S 。这样偏微分方程改为
2

  f
1
r 



t 
2  Z
2
f


 f
2
2
Z
2
 rf
有限差分方法还可以进一步推广到多个标的变量的情
形，但超过三个变量时蒙特卡罗模拟方法较为有效。
有限差分方法也不善于处理期权价值取决于标的变量
历史路径的情况。
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