Transcript 金融工程基本分析方法

金融工程基本分析方法
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第一节 无套利定价
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第二节 风险中性定价
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第三节 状态价格定价
套利 & 有效市场
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套利的定义
1. 无期初投入
2. 无风险的报酬
有效市场消灭套利
动态的平衡
套利机会
一家银行公布的不同存（贷）期的利率表
i 当前六个月的年息为10%
ii 第七月到第一年底的年息为 11%
iii 一年的年息是 12%
是否有套利的机会 ？？
套利机会
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年初： 借入 x 元 （按6月期10%）;
贷出 x 元 （按1年期12%）
六月（年中）：
借入 x e^(0.1*0.5) （按6月期
11%）;
归还 x e^(0.1*0.5) -- 偿还第一
个六月借入资金的本息
套利机会

年末：
收回贷款，得本息共 x e^(0.12)
需偿还后六个月借款的本息，
共 x e^(0.1*0.5)e^(0.11*0.5）
套利 x [e^(0.12) - e^(0.105)]
思考
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如果后六月利率为15%，有套利机会吗？
如果有，如何套利？
无套利机会的后六月利率 ？
无套利法定价
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两家公司A和B，每年的息税前收益都是
1000万元。
A的资本都是由股本组成，100万股，股
票收益为10%。
B的资本为股票和债券，4000万企业债券
，年利率8%，股份数60万股。
问：无套利条件下，B公司的股价？
无套利法定价
A公司价值
1000万/10% = 10000万
A股票价格 10000万/100万 = 100（元）
 B公司的价值 （根据无套利原则）
也为 10000万，则股票价格为
(10000万 – 4000万)/60万=100（元）
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无套利法定价应用
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金融工具的模仿
构建金融工具的组合，使之和被模仿的
金融工具具有相同/似的盈亏状况
金融工具的合成
构建金融工具的组合，使之和被模仿的
金融工具具有相同的价值
金融工具的模仿

买入一个单位看涨期权，同时卖出一个
单位的看跌期权，来模仿一个股票的盈
亏。
设：看涨期权价格c，看跌期权价格p，
执行价格X，到期日T，到期日价格S(T)。
金融工具的模仿
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组合价值
max(0,S(T)-X) – max(0,X-S(T))
构造模仿股票的成本
c–p
该组合到期盈亏
S(T) – X – c + p
金融工具的模仿
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相似的盈亏
盈亏的差别由 c-p 的数值决定
巨大的杠杆效应
杠杆效应的大小由该股股价和c-p的比值
决定
金融工具的模仿
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比如股价为10元，模仿股票成本c-p=0.1
元，
用10元的投资，
可以购买1股股票，
也可以购买100股模仿股票
忽略模仿股票成本，模仿股票提供了
1:100的杠杆效应
金融工具的合成
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以股票为例，合成股票的价值和被模仿
股票完全相同。
利用价格变化可以创造合成股票和标的
股票之间的无风险套利机会
金融工具的合成
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条件如前例，合成股票的构成是一个看
涨期权多头，一个看跌期权空头和一份
无风险债券。
根据合成股票的定义，可得债券的价值
是x e^(-r(T-t))， r是无风险利率
金融工具的合成
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合成股票的价值，应该等于标的股票价
值
到期日（T）：
S(T) – X + X = S(T)
任何时间 （t）：
S = c – p + Xe^(-r(T-t))
金融工具的合成
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因为期末现金流为零，所以在任何时间
内，如果 S 不等于 X。如，无风险债券
成本的变化，市场就会出现套利的可能
。
在一定时间内，合成股票和标的股票的
价格差异，引起了套利
风险中性定价法
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风险中性的投资者不需要额外的收益来
吸引他们承担风险。
所有证劵的预期收益率都等于无风险利
率。
风险中性定价原理
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一个不支付红利的股票市价是10元，我
们知道，在3个月后，该股价格为11元的
可能性为p，价格为9元的可能性为（1-p
）。 如目前无风险年利率是10%，
求： 3个月期，执行价格为10.5元的股票
的欧式看涨期权。
风险中性定价原理
e
0.10.25
[11p  9(1  p)]  10
p  0.6266
根据风险中性原理，期权价格为
e
0.10.25
[0.5 p  0  (1  p)]  0.31
风险中性定价和无套利定价
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两者定价的思路不一样，但是可以达到
相同的效果。
风险中性：未来期望值的无风险利率贴
现的现值等于目前价格
无套利：现金流无变化，有效期内价值
相等，无套利机会
风险中性定价和无套利定价
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例题：
当前一股票的价格为S，基于该股票的期
权价值为f，有效期T，在有效期内，股
价可能涨到S*u（u>1）或者跌至S*d（
d<1），期权收益分别为 fu , f d
求，期权价格
无套利定价
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设该组合由y股股票多头和一个期权空头
组成。
不管期权末期股票价格变化，组合价值
不变
Su  y  fu  Sd  y  f d
无套利定价
续
fu  f d
y 
Su  Sd
如果无风险利率是r，该组合现值是
(Su  y  fu )e
构造成本为 S  y  f
 r (T t )
无套利定价
联立方程，得解
f  er (T t ) [Pfu  (1  P) f d ]
其中
P
e
r (T  t )
d
ud
风险中性定价
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设股票增值概率为P， 该股未来期望值
的现值应等于该股目前价格。
求风险中性概率
S  er (T t ) [SuP Sd(1  P)]
e r (T  t )  d
P
ud
风险中性定价
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根据求得的风险中性的概率，得期权价
格为
f  er (T t ) [Pfu  (1  P) f d ]
P
e
r (T  t )
d
ud
状态价格定价
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状态价格：在特定状态发生时回报为{0
，1}的资产在当前的价格。
资产定价：
基本证券的回报状况
市场无风险利率水平
状态价格定价原理
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有风险证券A，目前价格是 PA ，上升状态
价格 uPA，下降状态价格是 dPA 。
构造两个基本证券1，2。基本证券1在证
券市场上升价值为1，下跌价值为0；基
本证券2在证券上升价值为0，下跌价值
为1。基本证券现价  u ,  d
证券复制过程
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购买 uPA份基本证券1和 dPA 份基本证券2
来构成复制证券A。
复制证券A和证券A有一样的现金流，根
据无套利原理，市场价格
PA   uuPA   d dPA
1   uu   d d
证券复制过程
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基本证券组合的总回报都为1元，所以该
投资组合的收益率为，
u   d  e
 r (T t )
联立方程可得
1  de r (T t )
u 
ud
ue r (T t )  1
d 
ud
证券复制过程
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上式显示，决定基本证券价格的实际因
素仅有三个：无风险利率，价格上升速
度和价格下降速度。
因此，只要这样的一对基本证券存在，
我们就可以复制金融市场上的任何有价
证券。
证券复制过程
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举例
有价证券A的市场情况：PA = 100， r =
2%, u = 1.07, d =0.98, T-t=1 可以算出
0.02
1  0.98e
u 
 0.4378
1.07  0.98
1.07e 0.02  1
d 
 0.5424
1.07  0.98
证券复制过程
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如有另外一个证券B，一年后的价格可能
为103元，或者是98.5元。我们可以为它
用刚才得到的基本证券定价
PB   u uPB   d dPB

 0.4378103 0.5424 98.5  98.52
该组合保证在一定时期后不管市场状况
如何，都产生和有价证券B相同的现金流
证券复制过程
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用证券A和无风险证券来替代基本证券复
制证券B：设用x份A证券和当前市值为y
的无风险证券构成市值为I（B的价值）
的组合
成本： I = 100x + y
状态u 107x  yer (T t )  103
状态d 98x  yer (T t )  98.5
证券复制过程
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解上页方程可得
x = 0.5, y = 48.52
证券B的现值为
100 x + y = 100*0.5+48.2 = 98.52
此结果和用基本证券定价结果相同