Transcript 消费者专题

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消费者理论专题
1
消费者理论专题




从对偶理论开始分析,并且更为完整地讨论效用,间接效用
与支出函数之间的关系.
考虑古典的“可积分问题”,并探求为了使价格与收入函
数有资格成为一些效用最大化消费者的需求函数,它们应
该满足什么条件?
提供显示偏好理论来替代效用函数.
不确定条件下的消费者行为分析.
2
2.1、对偶理论
意义：
效用最大化：
max
u x
x
s.t. px  y
支出最小化：
min
px
x
s.t.
u x  u


x*  x  p , y 
x*  x h  p , u 


当 y  e p, u 、 u  v  p, y  时，效用最大化问题的解
和支出最小化问题的解相同，即：
x  p, e  p, u    x h  p, u 
xh  p, v  p, y    x  p, y 
3
2.1.1：支出函数和偏好关系









定理2.1由支出函数构建一个效用函数：对已知的任意的函数
E(P,u):Rn++R+ R+ ，如果它满足支出函数的七个特征，则它
是支出函数。即有：
min
E  p, u  
px, s.t. u  x   u
x
准备知识：支出函数的七个特征：
1.在u取最低效用水平时，支出函数e(p,u)为零
2.在定义域e: Rn++R+ R上连续
3.对于所有p>>0的，支出函数在u上递增并且无上界
4.在价格p上递增
5.在价格p上一阶齐次性
6.在价格p上为凹函数
7.如果效用函数严格拟凹，有谢泼德引理：
（p
e 0 , u0） h 0 0
 x（p
, u ） ( i =1, . . . , n)
i
pi
4
E  p, y  


min
px,
x
x2
A  p0 , u  
x p x  E p , u 
0
A  p, u 
0
x1

u x  u
第一步：构造效用函数u(x)
第二步：证明满足支出函数特征的E(p,u)是支出函数，即有
x2

s.t.
x1
(p0.u) Rn++R+E(p0.u)
超平面: p0x=E(p0.u)
5
•
闭半空间:

A  p0 , u   x 

A  p1 , u   x 
n


Au  
n


p0x  E  p0 , u 

p1x  E  p1 , u 
A  p, u   x 
n

px  E  p, u  , p 
闭集,凸集
n


p 0
闭集,凸集
6
定理2.1：支出函数效用函数：
函数E(p.u): Rn++R+ R+满足支出函数的七个特征，

Au   x 
n

px  E  p, u  , p 

n



，则由 u  x   max u  0 x  A  u 
定义的函数
u: Rn+ R+递增、无上界、拟凹。
7

证明：u(x)max{u≥0xA(u)}，而xA(u) 意味着有px
≥E(p,u)(A(u)的定义) ，所以，有：
u(x)max{u≥0 px ≥E(p,u) p>0}，
1.证明上述定义有意义，即max{u≥0 px ≥E(p,u) p>0}，有解。
E(p,u) px ， E(p,u) 有最大值， E(p,u)max=px,
E(p,u) 在u上为增函数，所以E(p,u)在取最大值时，u
取最大值：umax=û。
8
2.证明:u(x)递增:x1≥x2， u(x1 ) ≥u(x2 )
证明:取x1≥x2，和p>0, 有px1≥px2;根据u(x)的定义,有px2
≥E(p,u(x2 )),和 px1 ≥px2 ≥E(p,u(x2 )),
x1A(u(x2))
但u(x1 ) 是满足x1A(u(x2))的最大效用u,因此,
有u(x1 ) ≥u(x2 )表明u(x)是递增的.
9
3.证明无上界：

U()在Rn+上的无界性可借助E()关于p的
递增性,凹性,齐次性与可微性等性质来证
明,并且也可以借助事实,即u的定义域是在
Rn+上的一切数.
10
4.证明拟凹：




取x1、x2，线性组合xt=tx1+(1-t)x2，t[0,1]
求证:u(xt)≥min[u(x1), u(x2)]
证明: 设u(x1)u(x2) E p, u  x1   E p, u  x2 
E(p,u)在u上递增
1
2
tE
p
,
u
x

1

t
E
p
,
u
x
   
 
有





 E  p, u  x  
 



 tE p, u  x1   1  t  E p, u  x1 


1
11
•根据u(x1)和u(x2)的定义


px  E  p, u  x  
 tE  p, u  x    1  t  E  p, u  x  
px1  E p, u  x1 
2
tpx1  1  t  px 2
2
1
2
  
pxt
 E p ,u x1

pxt  E p, u  x1 



u  xt   max u  x1  pxt  E p, u  x1 
 u  x1 
 min u  x1  , u  x 2  

12
定理2.2：引致效用函数支出函数

函数E(p,u):Rn++  R+ R+满足支出函数的七个
特征，u(x)为定理2.1中由函数得到的递增、无
上界和拟凹函数。对于所有的非负价格和效用，
如果有
min
E  p, u  
px, s.t. u  x   u
x
则，函数E为引致效用函数u(x)导致的支出函数。
13
证明：

关键证明对于所有的u(x)≥u，有：
E  p, u   min px 

  E  p, u   min px
E  p, u   min px 

①证明： E
 p, u   min px
固定p0>0, u0≥0,并设u(x)≥u0,根据u(x)的定义，
有px≥E(p,u(x)).函数Ｅ满足支出函数七特征，
在u上递增，所以有px≥E(p,u0),这适用于所有的p0>0 ，
因此，对于任意给定的价格向量p0，对于任意的x，有：
E  p0 , u 0   p0 x
E p , u
0
其中 ,x满足 u(x)≥u0
0

min
x
p0x
其中 ,x满足 u(x)≥u0
14
②证明： E  p, u   min px
E(P,u)在价格上一次齐次性，满足欧拉定理（A2.7)
E ( p, u ) 
E ( p, u )
p
p
p
（p. 5)
0
E(P,u)在价格上为凹函数，有：
f(x)
g  x  f
x 
0
f   x 0  x  x 0 
f(x)
f(x0)
x0
x0
x
15
我们利用E ( p, u ) p  (E ( p, u ) p1 ,..., E ( p, u ) pn ) 来表示
E的价格偏导数向量，而且由于 E ( p, u )关于p是凹的，
定理A2. 4( p443) 蕴涵着，对于所有p  0，有
E ( p 0 , u 0 )
E ( p, u )  E ( p , u ) 
( p  p0 )
p
0
即
0
0
( p.6)
E ( p 0 , u 0 )
E ( p 0 , u 0 ) 0
E ( p, u )  E ( p , u ) 
p
p
p
p
0
0
0
E ( p 0 ,u 0 )
得到
0
0

E
(
p
,
u
)
E ( p, u 0 ) 
p
p
p
0
( p.7)
16
E ( p 0 , u 0 )
函数E满足谢泼德引理，有：
 xi ( p 0 , u 0 )
pi
令
E ( p 0 , u 0 )
x 
, 我们将（p.7）改写成
p
0
px0  E ( p, u 0 )
p
0
（p.8）
依据u ( )的定义  u ( x 0 )  u 0
此外在（p 0 , u 0）处给（p. 5) 取值，从而得到
0
0

E
(
p
,
u
) 0
E( p0 , u 0 ) 
p 
0
0
0 0
pi
  E( p , u )  x p

 x0 p 0

当x0最小化px0时，E ( p 0 , u 0 )  x0 p 0  min xp 0
当x0没有最小化px0时，E ( p 0 , u 0 )  x0 p 0  min xp 0
17
2.1.3 间接效用与消费者偏好




对偶性允许我们如何由支出函数分析走向直接效用函数分析.
定理2.1是从支出函数构造效用函数;定理2.2是引致效用函数构造支出
函数.支出函数与间接效用函数是如此密切联系，彼此互逆.
由间接效用函数开始分析并可以最终返回到潜在的直接效用函数.
这一节将概括直接与间接效用函数之间的对偶性.
设直接效用函数u ( x )  间接效用函数v ( p, y ), 那么，依据定义
( p25) 对于每个x  R+n ,以及每个p  0，v ( p, y )  u ( x )成立。此外，
典型地存在一些价格向量，它可使不等式变成等式。
实际上，我们可以写成
u ( x )  min
v ( p, px)
n
p
(2.2)
+
因此，
(2.2)给出由间接效用函数所生成的知识恢复直接效用
函数u ( x )提供了一个工具。定理2.3给出一个规范解释。
18
定理2.3：间接效用函数和直接效用函数的对
偶性
u ( x )
u ( x )在Rn  上拟凹，可导，
 0。对所有x  Rn ,
xi
v ( p, p  x ), 即由u ( x )生成的间接效用函数在Rn  上获得
了关于p的一个最小值，并且有：
u ( x )  min
v ( p, px )
n
p
(T .1)

证明：间接效用函数v ( p, y )  max u ( x ),
x
s.t
px  y
v ( p, y )  v ( p, px )  u ( x )
对任何价格水平，有
u ( x )  min
v ( p, px )
n
pR
( P.1)
要证明 u ( x )  min
v ( p, px ) ，只要证明
n
pR
u ( x )  min
v ( p, px )
n
pR
或者说，找到一个价格向量 p0，有
u ( x )  v (p0 , p0 x )
构造价格向量p0：给定p0   u ( x 0 )（边际效用等于价格）
19
u ( x 0 )
  0 pi0  0
xi
i  1,..., n
p0  x0  y 0
( p.2)
( p.3)
因此，（x 0， 0）满足p 0  x  y 0 约束的消费者最大化问题
max u ( x )的一阶条件。此外，依据定义1.4
（p 22)，由于u ( x )
是拟凹的，那么，这些条件将可充分地保证在p=p0和y  y 0
时，x 0是消费者效用最大化问题的解。因此，
u( x0 )  （
v p 0，y 0）
=（
v p 0，
p 0  x 0）
结果，对于（ p 0，
x 0），
u ( x)  （
v p，
p  x）成立，由于x 0是任意数，
我们因此可以得出这样的结论，即对于每个x  0，对于一些
p  0,u ( x )  （
v p，
p  x）成立.
20
正如在支出函数的情况下那样，人们可以利用（T .1)表明：
如果一些函数V( p, y) 具有由定理1. 6给出的一个间接效用函数
，那么，V( p, y) 实际是一个间接的效用函数。
最后，我们注意到（T .1)可以写成另一种形式，可能更方便。
注意，由于v( p, y) 关于( p, y) 是零次齐次性的，每当p  x>0时，
我们便有v( p, p  x) =v( p p  x, 1) 。
n
因此，如果对于p  R++
, x  0与p*  0最小化了v( p, p  x) ，那么，
n
对于p  R++
, pˆ  p* ( p* , x )  0最小化了v ( p,1), 使得p  x  1。
此外，v( p* , p*  x) =v( pˆ , 1) 。因此，我们可以将（T. 1) 重写成：
u( x) =mi n
v( p,1)
n
pR++
受约束于p  x=1
( T. 1 )
21


例题2.1设v( p, y )  y ( p1  p2 )
 1
推出直接 效用函数。
根据用
（T .1（P71）去求u(
)
x)
设y  1，便得到v ( p,1)  ( p1  p2 )
 1
。因而，间接效用
函数将因此是最小化函数
u( x1, x2 ) = min( p1  p2 )
 1
p1 , p2
,
受约束于 p1 x1  p2 x2  1
首先，求解最小化问题，然后在解点给目标函数取值，以便
形成最小值函数。对于拉格朗日函数，一阶条件要求最优的
p1*与p*2满足
（1 ）
1


 1
（（p1*）
（p*2）
）  （p1*）
  * x1  0
1
*  （1 ）
2
 1
（（p ） （p ）） （p*2）
  * x2  0
* 
1
1  p1* x1  p*2 x2  0
（E.1)
（E.2)
（E.3)
22
由（E.1)与（E.2)消除 *，有
x1 （1  1）
）
x2
*
p1* p（
2
（E.4)
把（E.4)代入（E.3)并再次用
（E.4)
1
有p 
*
1

x1（ 1）
（ 1）
x1
（E.5)

 x2
（ 1）
1
p 
*
2

x2（ 1）
（ 1）
x1
（E.6)

 x2
（ 1）
将这些函数代入目标函数




x1（ 1）  x2（ 1） 1
u ( x1 , x2 )  [ 
]

（ 1）
（ 1）
x1
 x2
有：
 [ x1
（ 1）
定义 

 x2
（ 1）
 1
]

，则有
（ 1）
u ( x1 , x2 ) （x1  x2 ]
1

（E.7)
23
NOTES:




我们刚获得的最后的对偶性结论与消费者的反需求函数相
关.
在整个第二章里,我们集中考察普通的马歇尔需求函数-这里需求量可被表达成价格与收入的函数.
我们可以将商品i的需求价格视为商品i的一切其他商品的
数量地方函数,并可以写成pi= pi(x).
对偶性理论为推导消费者反需求函数方程组提供了一个简
单方法--定理2.4(对偶性与反需求方程组.
24
定理2.4：Hotelling定理
u(x)为消费者的直接效用函数，在收入为y=1时,
对商品i的反需求函数为pi(x)为,
u  x 
xi
pi  x   n
 u  x 

x

j


x
j
j 1


25
P(x)x=1
证明：
min
u  x   v  p  x  ,1 
v  p,1 , s.t. px  1
p
对最小化问题求解，构造拉格朗日函数：L
(P.1)
 p,    v  p,1   1  px 
应用包络定理，
u ( x)  ( p* ,  * )

  * pi*
xi
xi
i  1, 2,..., n
( P.2)
这里p*  p ( x), 并且 *是拉格朗日乘数的最优值，
设 u ( x) xi  0, 我们便会有 *  0
给( P.2)两边乘xi，并将i个式子相加有：
n
n
u ( x)
*
*
*
xi
   pi xi    pi ( x) xi   * ( P.3)

xi
i 1
i 1
i 1
n
由于p ( x)  x  1，将 ( P.2)与 ( P.3) 联立并注意pi*  pi ( x)就得到结论。
26
例题2.2 如果
u ( x1 , x2 ) （x1  x2 )  ，那么，
1
1
 u ( x)
（x1  x2 )  x j 1
x j
给这个式子乘以x j , 并加总j  1, 2个等式，形成要求的比率，
并借助定理2. 4给出了收入y=1时的反需求函数的方程组：
1
p1  x1 （
x1  x2 ) 1
1
p2  x2 （
x1  x2 ) 1
将  （   1）代入后，正好是例题2.1
（p 71)中一阶条件（E.5)
与（E.6)的解。这不是巧合。一般言之，消费者效用最大化问题
的解给出了作为价格函数的马歇尔需求，而其对偶问题，即（规
范化）的间接效用函数最大化问题的解，产生出作为数量函数的
反需求函数。
27
2.2 可积分性







需求函数的特征：
预算平衡性
零阶齐次性(可借助预算平衡性与对称性推出)
对称的的替代矩阵
负半定的替代矩阵
Cournot加总
Engel加总
28
定理2.6:可积分定理
预算平衡性
对称的替代
矩阵
定理2.5
负半定的替
代矩阵
零阶齐次性
Cournot加总
Engel加总
29
定理2.5：预算平衡性与对称性蕴涵齐次性
如果x( p, y )满足预算平衡性并且其斯拉茨基矩阵是对称的，那么，它关于p与y也是
零次齐次的。
证明：由定理1.17的证明可知，当预算平衡性成立时，我们将会对预算方程求关于求
价格与收入的导数，并获得如下的式子（i =1, . . . , n) :
n
x j ( p, y )
j 1
pi
 pj
  xi ( p, y )
( P.1)( p53)
并且
n
 pl
x j ( p, y )
y
j 1
1
( P.2)( p53)
对于所有t  0，固定p与y，那么，设f i (t )  xi (tp, ty ), 我们必定会表明f i (t )关于t
是不变的或者对于所有的t >0，f i(t )  0。
给f i 求关于t的微分从而给出：
xi (tp, ty )
x (tp, ty )
pj  i
y (借助P.1)

p

y
j 1
j
n
f i(t )  xi(tp, ty )  
( P.3)
n
tp  x(tp, ty )  ty , y   p j x j (tp, ty ) ( P.4)
j i
30
方括号中的项是斯拉茨基矩阵的第ij项，依定理，该项是对称的。因此，在这些括号
内，我们可以交换i 与j ，并使得等式保持不变，从而得到：
xi (tp, ty )
xi (tp, ty ) n
f i(t )  xi(tp, ty )  
pj 
p j x j (tp, ty ) (借助P.1)

p j
y
j 1
j i
n
f i(t ) 
n
 pj[
j 1
x j (tp, ty )
xi

x j (tp, ty )
y
]
n
x j (tp, ty )
j 1
xi
 [ p j
( P.3)
n
]  xi (tp, ty )[ p j
j 1
x j (tp, ty )
y
]
x j (tp, ty )
x j (tp, ty )
1 n
1 n
 [ tp j
]  xi (tp, ty ) [ tp j
]
t j 1
xi
t j 1
y
1
1
 [ xi (tp, ty ) ]  xi (tp, ty ) [1]
t
t
0
这里的导数第二个方程由 ( P.1)与( P.2)推出，并在(tp, ty）处取值。
31
定理2.6 可积分定理
n
一个连续可微的函数x, R
 Rn当（并且仅当效用是连续的，严格递增的且严
格拟凹的），并且该连续函数满足预算平衡性，对称性与半负定性，它便是由一些递
增且拟凹的效用函数生成的需求函数（即所谓的一体性定理）
证明：（我们只证明函数x满足预算平衡性，对称性与半负定性，那么，x是由递增
的，拟凹的效用函数导出的需求函数）
证明的要点是找效用函数
考虑一个任意的支出，e( p, u) - - 它由一些递增的拟凹效用函数u( x) 生成，并假设
u( x) 生成了马歇尔需求函数xm ( p, y )。在此阶段，设x()与e()，x()与u()或者x()与xm ()
之间但正是出于讨论的目的，设x()与e()正好存在如下关系：
e( p, u )
 xi ( p, e( p, u )),
( p, u ), i  1,...n.
pi
( p.1)不必存在联系。
32
那么，我们对x( p, y )与引出了e( p, u )的效用函数u ( x)之间的关系能谈些什么？
实际上，我们可得出这样一些结论：如果 ( p.1) 成立，那么，x( p, y) 是由效用函数u( x) 生成
的需求函数，即x( p, y) =xm ( p, y )。
我们现在分析为什么会这样。注意，如果谢泼德引理是可利用的，那么，( p.1)左边将会
等于x h ( p, u ), 使得 ( p.1)将意味着：
x h ( p, u )  x( p, e( p, u )),
( p, u )
( p.2)
此外，如果定理1.9可利用，那么，希克斯与马歇尔需求函数将可以如下方式联系起来：
x h ( p, u )  x m ( p, e( p, u )),
( p, u )
( p.3)
x( p, e( p, u ))  x m ( p, e( p, u )),
( p, u )
将 ( p.2) 与( p.3) 联立获得：
( p.4)
但现在回顾，作为一个支出函数，对于每个固定的p，e( p, u )假设其每个非负的数随着u
在其定义域的变化而变化。因此，( p.4) 等价于：
x( p, y )  x m ( p, y ),
( p, y )
33
这正如所断言的（尽管事实也许既不是谢泼德引理，也不是定理1.9可被应用，前面的结论
可被成立）。
因此，如果依据 ( p.1)，函数 x( p, y )与支出函数联系，那么，x( p, y )是由一些递增的、拟凹的
效用函数生成的需求函数（例如，依据定理2. 1，效用函数生成了支出函数）。因此，我们的任务
已被简化为，表明存在一个支出函数e( p, u) - - 依据（p. 1) ，它同 x( p, y )相联系。
现在，发现一个支出函数，使得（P.1)成立是一件不太容易的任务，确实，（P.1)在数学文献
中是偏微分方程组。尽管这种方程组时常是难以实际求解的，有一个重要的结论  他精确地告诉
我们什么时候一个解保证存在。并且，对于我们的目的而言，存在性是充分的。
但在陈述这个结论前，注意如下的内容：如果（p. 1) 有一个解e( p, u) , 那么，对两边关于p j 求
微分，我们将会得到：
e( p, u )
 xi ( p, e( p, u )),
pi
( p, u ), i  1,...n.
 2 e( p, u ) xi ( p, e( p, u )) e( p, u ) xi ( p, e( p, u ))


p j pi
p j
p j
y
依据谢泼德引理，利用（p. 2) ，并设y=e( p, u) , 这个式子可以写成：
x ( p, e( p, u ))
 2 e( p, u ) xi ( p, y )

 x j ( p, y ) i
p j pi
p j
y
( p.6)
注意依据杨格定理， ( p.5)的右边关于i与j是对称的，因此，( p.5)蕴涵着右边关于i与j也是对称的。
因此，右边关于i与j对称性是( p.1)的解存在的一个必要条件。
34
例题 2.3
设存在三种物品并且设一个消费者的需求行为
由如下函数表达：
xi ( p1 ,
p2 , p3 , y ) 
i y
pi
i  1, 2, 3
这里 i  0,  1   2   3  1。
检查需求向量x ( p, y )满足预算平衡性、对称性
与负半定性是十分直观的。因此，依据定理2. 6，
x ( p, y )必须由效用函数生成的。
我们应该打算去推导出在先前证明中满足（p.1)
的一个支出函数。并且可以利用定理 2.1的构建去恢复效用函数
  它生成了我们在此获得的支出函数。恢复的效用函数因此
将生成我们开始分析的需求行为。
因此，我们的任务是发现e( p1 ,
p2 , p3 , u ), 它求解出了如下
的偏微分方程组：
y
 e( p, u )
e( p, u )
（p.1)：
 xi ( p, e( p, u ))  i  i
i  1, 2, 3
pi
pi
pi
e( p1 , p2 , p3 , u )
 e( p1 , p2 , p3 , u )
. i
i  1, 2, 3
35
p
p
首先注意，它可以被改写成：
 ln e( p1 , p2 , p3 , u )

 i
pi
pi
i  1, 2, 3.
( E.1)
现在，如果当f ( x )   x 成立时，被要求去找出f ( x )，
通过积分，我们有f ( x )   ln x  C。但 正好说明这里
f  ln e。记住唯一附加的因素是当求关于pi的偏微分时，其他所有
变量，p2 , p3与u是当常数处理。
于是有：
ln( e ( p , u ))   ln( p1 ) 
c1 ( p2 , p3 , u )
ln( e ( p , u ))   ln( p2 ) 
c1 ( p1 , p3 , u )
ln( e ( p , u ))   ln( p3 ) 
这里ci
( E.2)
c1 ( p1 , p2 , u )
( ) 函数如同在f ( x )前的常数。但我们必须选择ci ( )函数，
使得这三个等式同时成立。我们有：
ln( e ( p , u ))   1 ln( p
1
)   2 ln( p )   3 ln( p )  c (u )
2
3
此处，c ( u )是u一些函数，但这意味
e( p, u ) 
1
2
3
c (u ) p1 p 2 p 3
由于我们必须确保e ( )关于是严格递增的，我们可以选择c (u ) 成为
任何严格递增函数。这并不重要，因为隐含的需求行为独立这种严格递增的转换。例如，
我们可以选择c ( u )  u，使得我们的最终解是：
1
2
3
e ( p , u )  up1 p 2 p 3
36
2.3:显示性偏好
偏好基础上的（公理性）消费者理论：
偏好关系消费者需求
效用最大化：
max
u x
x
s.t. px  y

x*  x  p , y 
曾经做的工作
消费者需求x(p,y)的特征：
预算平衡性
负半定性
对称性
37
打算做的工作



选择基础上的消费者理论：
x  p, y 
消费者的选择行为需求函数
消费者的选择行为：
选择函数x(p,y)，在价格为p收入为y时，消费者选择的商品束为
x(p,y) 。
需求函数： x(p,y) ，定义：P.21：
“效用最大化问题的解x(p,y) 在被看作是价格p和
收入y的函数的时候，被称为需求函数”。
选择函数不是需求函数x(p,y) 。
求证：在消费者的行为即选择函数x(p,y)满足某些条件时，该
选择函数为需求函数，即该选择函数是效用最大化问题的解。
38
方法：一体性定理：


连续可导的函数x:Rn+1++ (Rn++  R+) Rn+
在满足预算平衡性、对称性和负半定性特征时，它是由某
个递增的、拟凹的效用函数产生的需求函数。
求证：选择函数x(p,y)连续可导且满足预算平衡性、对称性和负半定
性
证明步骤：
1.选择函数必须满足显示性偏好弱公理（WARP）
（只有满足WARP的选择行为才有意义——选择具有一致性）。
2.（假设）选择函数x(p,y)满足预算平衡性
3.证明选择函数x(p,y)满足零阶齐次性
4.证明选择函数x(p,y)满足负半定性
5.证明选择函数x(p,y)满足对称性
6.应用一体性定理
39
显示（性）偏好：


在某一价格p和收入水平y下，如果两个不同的消费束x0
和x1都是消费者能够支付得起的(p x0y ， p x1y),消
费者选择了x0而没有选择x1 ，则说，消费者的这一选择
行为揭示出在消费束x0和x1之间，消费者偏好x0 。
此定义存在的问题：
x1
x1
x0
x0
40
显示性偏好的弱公理（WARP）：


某消费者在价格p0下选择x0 ，在价格p1下
选择了x1 ，x0和x1是不同的消费束，如果
p0 x1 p0 x0 ，有p1 x1 p1 x0则说该消费
者的行为满足WARP。
换句话说，如果消费者的行为揭示出消费
者偏好x0甚于偏好x1 ，而x1始终没有被揭
示出优于x0 ，则说该消费者的选择行为满
足显示性偏好的弱公理（WARP）。
41
≾≺≽,≾≴ ≻



如果p0 x1 p0 x0 :在价格p0下 ，两个消费束都是可支付得起的；
在价格p0下, 消费者选择了 x0 ，根据显示性偏好的定义， x0
≻ x1 ，这意味着只要两个消费束都是可支付得起的，消费者将
始终选择x0 ；
在价格 p1下，消费者选择x1而没有选择x0 ，这意味着在这一价
格水平p1下， x0是消费者支付不起的，即p1 x1< p1 x0 。
p1
p0
在价格p0 下，消
费者选择x0。
x0
42
显示性偏好的意义：
•消费者行为具有一致性，不“朝三暮四”。
p1  x1
p1  x1
p0  x0
p0  x0
43
假设消费者行为满足显示性偏好的弱公
理。
证明步骤：
1.选择函数x(p,y)必须满足显示性偏好弱公理（WARP）（只
有满足WARP的选择行为才有意义——选择具有一致性）。
2.（假设）选择函数x(p,y)满足预算平衡性
3.证明选择函数x(p,y)满足零阶齐次性
4.证明选择函数x(p,y)满足负半定性
5.证明选择函数x(p,y)满足对称性
6.应用一体性定理
44
选择函数x(p,y) ：不是需求函数
（假设）选择函数满足预算平衡性：px(p,y)=y
消费者行为x(p,y)
①必须满足显示性偏好的弱公理
②必须满足预算平衡性
45
证明选择函数x(p,y)满足零阶齐次性
•求证：对于所有的t>0，有x(tp,ty)=x(p,y)
•证明：
•设在任意价格p0和收入y0下，消费者选择x0 ；在价格p1和
•收入y1下，消费者选择x1 。设p1 =tp0, y1 =ty0
求证： x0 =x1
假设x0和x1 是两个点，根据预算平衡性假设，有
p0 x0  y 0
(1.1)
p1x1  y1
(1.2)
46



将p1=tp0,y1=ty0,代入到（1.2）中，得到
p0x1=y0
（1.3）
也就是说，在价格p0和收入y0下，x0和x1都是消费者能
够支付得起的商品束，但是消费者选择了x0 ，因此，消
费者偏好x0 ，根据WARP，
p1x1  p1x0



（1.4）
但是，把p1=tp0,y1=ty0,代入到（1.1）中，得到
p1x0  y1  p1x1
（1.5）
（1.4）和（1.5）相矛盾，所以x1和x0是同一个点。
47
证明选择函数x(p,y)负半定
p 0 , y 0  x0
1
1 0
p ,p x
x1  p1 , p1x0   x1  p1 , y1 
x0
根据显示性偏好原理，
p 0 x0 < p 0 x1
预算平衡性，
(1)
p1 x 0 = p1x  p1 ,p1x 0  (2)
（2）－（1）
p1x0  p 0 x0  p1x  p1 ,p1x 0   p 0 x1
1
0
0
1
0
1
1 0
p

p
x

p

p
x
p
,p

 
  x
48
令
p1  p 0  tz
+ ,
T>0,zR
T>0
tzx 0  tzx  p1 ,p1x 0 

zx0  zx p0  tz,  p0  tz  x0

固定z,令t变化且其取值使p0+tzR ,有

f  t  。
zx p0  tz,  p0  tz  x0
令t=0

f  0   zx  p 0 ,p 0 x 0   zx 0


 
即，在t=0时, f  t   zx p0  tz, p0  tz x0
f  t   0
取最大值，所以有
49

f  t   zx p 0  tz,  p 0  tz  x 0

0
0
 xi  p 0 , y 0 


x
p
,
y

i
0
0
f   0    zi 
z j  x j p , y 
zj 
p j
y
i 1 j 1


0
0
n
n
 xi  p 0 , y 0 


x
p
,
y

i
0
0
z j  0
  zi 
 x j p , y 
p j
y
i 1 j 1


n
所以，由
n
 xi  p 0 , y 0 
 pj
 x j  p0 , y 0 
 xi  p 0 , y 0 
y
i, j  1,..., n
构成的矩阵负半定。
50
证明：选择函数x(p,y)满足对称性
假设选择函数x(p,y)满足对称性。根据一体性定理，该选择函数为需
求函数。存在支出函数e(p,u)，它与选择函数x(p,y)有下列关系
e  p, u 
pi
 xi  p, y 
当选择函数具有三项特征时，为需求函数。
而根据定理2.1和2.2，支出函数能够衍生出效用函数。
也就是说，选择函数是该支出函数衍生出的效用函数的
解：需求函数。需求函数肯定满足WARP.
51
证明：





选择函数为需求函数时，效用函数使所观察到的
行为合理化。
两种商品情况下：WARP和预算平衡性意味着齐次
性和负半定性，预算平衡性和齐次性意味着对称
性，所以选择函数是需求函数。
多种商品情况下：WARP和预算平衡性无法导出对
称性。
显示性偏好的强公理：定义了显示性偏好关系中
的传递性。
结论：消费者行为满足WARP、SARP和预算平衡性
时，选择函数为需求函数。
52
2.4:不确定性条件下的选择：




确定性条件下的选择：消费束
不确定性条件下的选择：概率分布——赌
局
概率分布：{Pi} ， Pi =1, Pi>0
结果的有限集： {ai} ，i=1,…,n
53


假设期末考试成绩简单分为三档：
{0,60,100},获得各个分数的概率为：{u(0), u(60),
u(100)}
A：{0.8,0.1,0.1}
B：{0.2,0.6,0.2}
选择：B
A：{0.8,0.1,0.1}
C：{0.2,0.2,0.6} 选择：C
B：{0.2,0.6,0.2}
C：{0.2,0.2,0.6} 选择：C
解释：目标：获得尽可能高的分数
选择变量：概率分布假设成绩简单分为两种
①{0,60,100}
②{60,80,100}
两种情况下获得各个分数的概率都为A:{0.8,0.1,0.1}
选择：②
54
①
0, 60, 80,100
，
②
0, 60,80,100
，概率分布为A1：
0.8,0.1,0,0.1
，概率分布为A2： 0,0.8,0.1,0.1
选择：A2
结果的有限集： A  a1 ,..., an  ,A上的概率分布：
n


Gs   p1 1 ,..., pn  n pi  0,  pi  1, i  1,..., n 
i 1


被称为简单的赌局的集合或简单的概率分布的集合。
55
复合赌局：赌局的结果为赌局




彩票：
复合彩票：
赌局集合的几何表示：
单纯形

Gs   p1 1 , p2  2 , p3  3

a3

pi  1, pi  0

i 1

3
g
p1
p2
g   p1 , p2 , p3 
p3
a1
a
56 2
复合赌局简单化：
a1
gf
a2
p1
p2 g s
g s 1  p1  p2
a1
a1
p
p1  p 1  p1  p2 
g
a2 1  p
a2 p2  1  p 1  p1  p2 
g是由复合赌局gf诱生的简单赌局
57
max
g  Gs  g 
ug
确定性条件下的选择：
不确定条件下的选择：
max
x  B x
max
g  Gs  g 
u x
ug
效用函数如何表示？
偏好关系的公理如何确定？
不确定性条件下，消费者在概率
分布集合G上
1：完备性公理
有偏好关系≿ ，满足以下定理：
2：传递性公理
3：连续性公理
4：单调性公理
5：替代性公理
6：复合赌局简单化公理
58
1：完备性公理







对于赌局集合G中的任何两个赌局g和g´，有或者g≽g´，
或者g ´≽g 。
例子
假设期末考试成绩简单分为三档：{0,60,100}
获得各个分数的概率为：
A:{0.8,0.1,0.1}
B:{0.2,0.6,0.2}
选择：A≽B或B≽A
59
2：传递性公理≾≺,≾≴
•对于赌局集合g中的任何三个赌局g 、g´和g，
•如果有g ≽ g´ ， g´ ≽ g ，则有g ≽ g 。
例子：
假设
a1
a2
...
an
在a=1时，有：

在a=0时，有：
g
a1 , 1    an 

g
a1 , 1    an 
最好的结果肯定发生
最差的结果肯定发生
60
3：连续性公理
对于G中的任何赌局g ，存在某个概率α[0,1] ，使得
g (αa1,(1- α)an)
例子：假设期末考试成绩简单分为三档(0,60,100}最好的结果
为100分，最差的结果为0分。假设在概率分布集合中存在一个
概率分布(0,1,0)根据连续性公理，存在某个概率α[0,1] ，
它使得  100分, 1    0分


与概率分布(0,1,0)即60分无差异。可能
如:(0.7,0.3)
61
4：单调性公理

对于所有的概率α,β[0,1]，当且仅当，
α,β有：

①
②

a1 , 1    an 
a1 , 1    an 


a1 , 1    an 
a1 , 1    an     
     a1 , 1    an 

a1 , 1    an 
62
例子：
假设期末考试成绩简单分为两档：


100分 , 60分 
an 
 a1

获得各个分数的概率为：
A:


0.8 ,0.2 


B:


0.7 ,0.3
 

根据单调性定理……
63
5：替代性公理
如果 g   p1 g 1 ,..., pk g k   G 和 h   p1 h1 ,..., pk h k   G
对于每一个 i  1,..., k
，有hi≻ gi ,则有hg
①：对两个赌局中相对应的结果（可能是复合赌局、简
单赌局或确定的结果）无差异
②：概率分布相同则对两个赌局无差异。
64
6：复合赌局简单化公理
对于任何赌局
g G
如果
是由g诱生的简单赌局，有
 p1
 p1
a1 ,..., pn an 
a1 ,..., pn an 
g
65
von Newmann-Morgenstern效用函
数
连续的实值效用函数反映概率分布集合上的偏好
关系
 公理1、2和3保证了连续的实值效用函数的存在
 效用函数：在实际概率上线性的效用函数
定义：期望效用函数的特征：
效用函数u:GR具有期望效用特征，如果对于每一个gG，有

n
u  g    pi u  ai 
i 1
其中，g s   p1 a1 ,..., pn an  是由g诱生的简单赌局。
66
n
u  g    pi u  ai 
：效用的期望值
i 1
区别期望效用与期望值：前者是效用函数的期望。
n
期望效用最大化： max
u  g    pi u  ai 
g G
i 1
a1  u  a1 
a1  u  a1 
p1
q1
pi
g 1s
pn
ai  u  ai 
an  u  an 
g s2
qi
qn
ai  u  ai 
an  u  an 
67
定理2.7：VNM效用函数的存在性

G上的偏好关系
满足公理1－6，则存在效用函数u:GR反映
此偏好关系，使得u具有期望效用特征。
证明： f : A  B A中每一个点，在B中有唯一一个点与其对应。
效用函数u:GR，概率分布集合（赌局集合）G中每一个点
（概率分布、赌局）g ，在实数空间有唯一一个点与其对应。
68




①概率分布集合G中任意一个点，在实数空间有点与其对
应。
②有唯一的点与其对应:①和②定义了实值函数
③证明该函数反映偏好关系
④证明该函数有期望效用特征
证明：1.概率分布集合G中任意一个点g ，在实数空间
有点与其对应。
设结果集为 A  a1 ,..., ai ,..., an  并且设
a1
a2
...
an
对任意的概率分布 g  G ，根据公理三——连续性公理，存在
u  g   0,1 ，使得
g～
  u  g  a1 ,1  u  g  an 
即，对概率分布集合G中任意一个点g，在实数空间有点与其对应。
69
2.与g相对应的点u(g)是唯一的。
假设 v  g   0,1 满足公理三，并且 v  g   0,1 的存在使得
g ～  v  g  a1 ,1  v  g  an。于是根据传递性公理，有：

 v  g  a1 ,1  v  g  an  ～u  g  a1 ,1  u  g  an 
假设
v  g   u  g  ，进一步设 v  g   u  g 
，根据公理四——单调性公理，有：
v  g 
a1 ,1  v  g  an 
u  g 
a1 ,1  u  g  an 
这显然与上面的结论矛盾，因此，
v g  ug 
70


也就是说，在实数空间里，有唯一的点与
g相对应。
由于g 是赌局集合中任意的点，因此，对
赌局集合G中每一个点，在实数空间中存
在唯一的点与其对应，这就定义了函数
u:GR
71
3.证明函数反映偏好关系
g g   u  g   u  g 
即对于 g , g   G
g g   u  g   u  g 
①证明
g ～  u  g  a1 ,1  u  g  an 
g  ～  u  g   a1 ,1  u  g   an 
g
g
u  g 
a1 ,1  u  g  an 

 u  g 
a1 ,1  u  g   an 
（传递性公理）

u  g   u  g 
（单调性公理）
72
②证明
u  g   u  g   g
g
u  g   u  g 
u  g 

a1 ,1  u  g  an 
u  g 
a1 ,1  u  g   an 
（单调性公理）
g ～  u  g  a1 ,1  u  g  an 
g  ～  u  g   a1 ,1  u  g   an 

g g
（传递性公理）
73
4.证明该函数有期望效用特征
对于任意概率分布gG ，它可能为简单赌局或复杂赌局，
其所对应的简单赌局为： g s   p1 a1 ,..., pn an 
证明上述函数有期望效用特征，即
n
u  g    pi u  ai 
i 1
根据公理六，g ～ g s
有
u  gs   u  g 
所以只需证明：
n
u  g s    pi u  ai 
i 1
u  ai  ：根据公理三，有 ai
令
 a 
～u
i
a1 ,1  u  ai  an 
i
u
a
a
,1

u
a
a

q




 i 1
i
n
74
有
定义
a1
～
q1
a2
～
q2
an
～
qn
g    p1 q1 ,..., pn q n 
根据替代公理：
g    p1 q1 ,..., pn q n 
～
 p1
a1 ,..., pn an   g s
g    p1 q1 ,..., pn q n 
75
复合赌局简单化：
a1
q1
1  u  a1 
p1
g
pi
u  ai 
an
a1
qi
1  u  ai 
pn
u  an 
an
a1
qn
1  u  an 
an
76
n
 n



g  ～ g s    pi u  ai  a1 , 1   pi u  ai   an 
i 1


 i 1

gs
有
～
g
n
 n



g s ～   pi u  ai  a1 , 1   pi u  ai   an 
i 1


 i 1

根据连续性公理，有：
gs
～
u  g 
s
a1 , u  g s  an 
根据传递性公理，有：
u  g 
s
a1 , u  g s 
n
 n



～
an    pi u  ai  a1 , 1   piu  ai   an 
i 1


 i1

n
根据替代公理，有：
u  g s    pi u  ai 
i 1
77
定理2.8
假设VNM效用函数u(•)反映偏好关系。对于所有赌
局、 VHM效用函数、标量和标量，有≿.对于所有赌
局g、 VHM效用函数、标量α和标量β，有
v  g      u  g  时 v(•)反映该偏好关系。

证明：
充分条件：效用函数u(•)反映偏好关系≿.另一效用函数
v  g      u  g  ，则 v 
反映同一偏好关系。
必要条件：效用函数 u(•)和v(•)反映同一偏好关系,
v g     u  g 
78


充分条件：效用函数u(•)反映偏好关系≿ ，另一效用函数
v(g)=α+βu(g)，则v(•)反映同一偏好关系。
证明： 设 g ≿ g
g
g ：
 u  g   u  g 
  u  g    u  g 
u(•)反映偏好关系≿
 0
    u  g      u  g 
α为标量
 v  g   v  g 
79
必要条件：效用函数 u(•)和v(•)反映同一偏好关系,
v g     u  g 
设
如果
g   p1 ,..., pn 
A  a1 ,..., an 
证明：
a1
a1
...
an
an
a1
an
为确定性事件。
效用函数u(•)反映偏好关系≿,有
u  a1   ...  u  an  , u  a1   u  an 
有唯一的 i  0,1 使得：
80
u  ai   i u  a1   1  i  u  an 
i 1,..., n
 i u  ai   1   i  u  ai    i u  a1   1   i  u  an 
u  a1   u  ai 
u  ai   u  an 

1  i
i
u(ai)为u(a1)和u(an)的加权平均。
u  a1   u  an   i  0
根据定义2.3“期望效用的特征”，有
i u  a1   1  i  u  an   u i a1 , 1  i  an 
所以，有
ai
～
 i
a1 ,1   i
an 
81
效用函数v(•)反映偏好关系≿,有
v  ai   i v  a1   1  i  v  an 
 i v  ai   1   i  v  ai    i v  a1   1   i  v  an 
v  a1   v  ai 
v  ai   v  an 

1  i
i
u  a1   u  ai 
u  ai   u  an 

1  i
i

v  a1   v  ai 
v  ai   v  an 
v  ai      u  ai 
82


u  a1  v  an   v  a1  u  an 
u  a1   u  an 
v  a1   v  an 
u  ai   u  an 
v  ai      u  ai 
g   p1 ,..., pn 
n
v  g    pi v  ai 
i 1
n
  pi    u  ai  
i 1
n
n
i 1
i 1
  pi    pi u  ai 
   u  g 
83
w1  u  w1 
风险厌恶
p1
VNM效用函数u:R+R
g
财富:w R+
赌局： g
pi
1
s
  p1 w1 ,..., pn wn 
wi  u  wi 
pn
wn  u  wn 
n
赌局（概率分布g)的期望值： E  g    pi wi
i 1
 n

期望值的效用： u  E  g    u   pi wi 
 i 1

n
期望效用： u  g    pi u  wi 
i 1
84
假设期末考试成绩简单分为三档：{0,40,100}
概率分布为g=(0.1,0.5,0.4)
期望值为：60分
在确定的60分和上述概率分布之间选择：
85
定义：
怕冒风险： u  E  g    u  g 
u(g)为凹函数
风险中型： u  E  g    u  g  u(g)为线性函数
好冒风险： u  E  g    u  g 
u(g)为凸函数
g   p1 w1 ,1  p1 w2 
E  g   p1w1  1  p1  w2
u  g   p1u  w1   1  p1  u  w2 
86
u  w
u  w2 
u  E  g 
ug
u  w1 
w1
Eg
w
w2
g   p1 ,1  p1; w1 , w2  E  g   p1w1  1  p1  w2 u  g   p1u  w1   1  p1  u  w2 
87
确定性等价：Certainty equivalence (CE)
给定赌局g，与该赌局无差异的确定的财富
u  CE   u  g 
风险报酬：risk premium (P)
承担风险的报酬：赌局的期望值与确定性等价之间的差。
P  E  g   CE
CE  E  g   P
u  g   u  CE   u  E  g   P 
88
风险厌恶程度：
好冒风险：严格凸函数，u  w  0, u  w  0
风险中性：线性函数， u  w  0, u  w  0
怕冒风险：严格凹函数，u  w  0, u  w  0
u  w
w
89
v  g    u  g 
用二阶导数衡量风险厌恶程度存在的问题。
v g     u  g 
v  g    u  g 
v  g    u  g 
用二阶导数衡量风险厌恶程度存在的问题：
v g     u  g 
v  g    u  g 
v  g    u  g 
v  g   u  g  u  g 


v  g   u   g  u   g 
90
Arrow-Pratt绝对风险厌恶系数：
u  w
Ra  w  
u  w 
Ra  w  0
厌恶风险,u(w)凹函数
Ra  w  0
风险中性,u(w)线性函数
Ra  w  0
爱好风险,u(w)凸函数
91
求证：
•消费者1和2，VNM效用函数分别为u(w)和v(w)，在 [0，∞)
上， u  w , v  w  0 Ra1  w  Ra2  w 即， Ra2  w  Ra1  w  0
，
消费者1比消费者2更厌恶风险。
证明：假设
x  v  w  0,   ，
定义函数h:[0, ∞)R 为
w  v 1  x 
h  x   u  v 1  x  
u和v二阶可导，有：
h  x  
u  v 1  x    0
v  v
1
 x   0
0
92
u   v 1  x  
h  x  
v  v 1  x  
v  v 1  x    u   v 1  x  
 v  v 1  x   


v  v 1  x  
v  v 1  x  
2
 u   v 1  x   v  v 1  x   
u   v 1  x   


1
1
u   v  x   v  v  x   




2
 v  v 1  x   


0

0
1
2

u   v 1  x   

R

R
a
a


 v  v

1
 x   
2
0
0
因此，函数h(x)为严格递增、严格凹函数。就是说，
h  x   h  v  w   上严格递增、严格凹。
93
设赌局 g   p1 ,..., pn ; w1 ,..., wn  。wˆ 1 为消费者1的确定性等价，
wˆ 2 为消费者2的确定性等价。也就有：
n
u  wˆ 1   u  g    pi u  wi 
i 1
n
u  wˆ 2   v  g    pi v  wi 
i 1
n
u  wˆ1    pi u  wi 
i 1

  pi h  v  w   
i 1

 h  x 凹
n


 h   pi v  w   
 i 1
 
n
 h  v  wˆ 2  
 u  wˆ 2 
94
有 u  w1   u  wˆ 2  ，u  w  严格递增，有 w1  wˆ 2
。
也就是说，对于给定的概率分布（赌局），消费者有更小
的确定性等价，更厌恶风险。
注意：没有假定u(w),v(w)为凹函数，或者先验假定消费
者1和2厌恶风险，而只是假定1比2更厌恶风险。
Ra  w
w
Ra  w
w
Ra  w
w
0
：绝对风险厌恶系数在财富上递增
0
：绝对风险厌恶系数在财富上递减
0
：绝对风险厌恶系数在财富上固定
95
例题2.6：投资者的初始财富为w,其中用于风险投资
的部分总额为β，投资收益率为ri,i=1,…n,相应的
概率为pi。求最优解。
解：在状态i中，投资者的财富为
w      ri   w  ri 
消费者的问题：
max

n
u  g   u  p1 ,..., pn ; r1 ,..., rn    pi u  w  ri  
i 1
s.t., 0    w
96
*

首先探讨消费者不投资的情况，即边界解  0 ，
*
*

0
所需满足的条件。当投资者选择   0 时，即意味着
使得期望效用最大，此时，
一阶条件满足 n
n
 piu  w  ri  ri  u  w  pi ri  0
i 1
i 1
在期望收益非正时，投资者不进行风险投资。
97
ug
0  *  ：
w
假设有内解
n
 p u  w  r  r  0
一阶条件：
i 1
i
i
i
n
二阶条件：
2

p
u
w

r

r


 i
i
i 0

i 1
 0
把β看作是财富的函数，一阶条件等号左右两边对w求导，得到：
 pi u  w   *ri  ri  ?????
n
d*

dw
i 1
*
2

p
u
w


r
r
 i 
i i
n
i 1
0
0
98
求证：在绝对风险厌恶系数递减（DARA）时，
风险投资随财富增长。
Ra  w   *ri  
u  w   *ri  ri
u  w   ri  ri
*
, i  1,..., n
u  w   *ri  ri  Ra  w   *ri  ri u   w   *ri  , i  1,..., n
，
绝对风险厌恶系数递减（DARA）时，
当 ri  0 有
Ra  w   Ra  w   *ri 
当 ri  0 有
Ra  w   Ra  w   *ri 
99
对上两个不等式左右两边同乘以ri ，得到：
Ra  w  ri  Ra  w   *ri  ri
i  1,..., n
u  w   *ri  ri  Ra  w  ri u   w   *ri  , i  1,..., n
对上式取数学期望，得到：
 pi u  w   *ri  ri  Ra  w  pi ri u  w   *ri   0, i  1,..., n
n
n
i 1
i 1
0
d*
0
dw
：随着财富的增长，风险投资增加。
100
a3
g
p3
p2
p1
a1
g
a2
101
财富为连续变量：
w0
概率分布表示为累积分布函数： F  w    f  w  dw
期望效用函数为： u  F    u  w dF  w 
  u  w f  w dw
u  w  ：Bernoulli效用函数
102