Transcript Document

第9讲
成本函数
1
成本的定义
• 区分会计成本和经济成本非常重要
– 会计意义上的成本概念强调掏兜花费、历史
成本、贬值和其他簿记项
– 经济学家们则更关注经济成本
2
成本的定义
• 劳动成本
– 对于会计师而言, 劳动支出为当期花费，因
此也就是当期的生产成本
– 对经济学家来说, 劳动是一个确切的成本
• 劳动服务可依据和约获得某个确定的小时工资
(w)，这一小时工资也是在其他地方就业所能获得
的收入
3
成本的定义
• 资本成本
– 会计师使用资本的历史价格，并采用某些贬值
规则来计算当期成本
– 经济学家将资本的原始价格称为“沉淀成本”
，转而考虑资本的内在成本，即其他人为了使
用这些资本而愿意支付的价格
• 我们使用 v 来表示资本的出租率
4
成本的定义
• 企业家成本
– 会计师相信企业的拥有者也应该拥有所有利润
• 在支付所有的投入成本后剩下收益或损失
– 经济学家们则考虑企业家贡献给自己企业的时
间和资金的机会成本
• 部分会计利润会被经济学家认为是企业家成本
5
经济成本
• 任一投入的经济成本是能保持该投入在
目前使用状况下的支出
– 这一投入能在其他最佳的使用情况下得到的
补偿
6
两个简单化假设
• 有两种投入
– 同质劳动 (l), 以劳动小时衡量
– 同质资本 (k), 以机器小时衡量
• 企业家成本包含在资本成本中
• 要素市场为完全竞争市场
– 厂商在生产要素市场上为价格接受者
7
经济利润
• 厂商的总成本被给定为
总成本 = C = wl + vk
• 厂商的总收益被给定为
总收益 = pq = pf(k,l)
• 经济利润 () 等于
 = 总收益 – 总成本
 = pq - wl - vk
 = pf(k,l) - wl - vk
8
经济利润
• 经济利润是所使用的资本和劳动投入量的
函数
– 我们来检验一个厂商怎样选择k 和 l 来最大化
利润
劳动和资本投入的“引致需求”理论
– 现在, 我们假设厂商已经选择了其产出水平
(q0)，来最小化其成本
9
成本最小化投入选择
• 为了最小化某一产出水平的成本,厂商会
选择等产量线上的一点，满足 RTS 等于
w/v
– 在生产过程中用k 可换得的 l 与市场上一致
10
成本最小化投入选择
• 数学上, 我们希望在给定q = f(k,l) = q0 的前提
下最小化成本
• 我们通过建立拉格朗日函数来最小化总成本:
L = wl + vk + [q0 - f(k,l)]
• 一阶条件为
L/l = w - (f/l) = 0
L/k = v - (f/k) = 0
L/ = q0 - f(k,l) = 0
11
成本最小化投入选择
• 将前两个等式相除可得
w f / l

 RTS (l 对 k )
v f / k
• 成本最小化厂商应使其两种投入的边际
技术替代率（RTS） 等于两种投入要素
的价格之比
12
成本最小化投入选择
• 交叉相乘, 我们得到
fk fl

v w
• 在成本最小化的前提下，花费在任何要
素上的一元的边际生产率都应相等。
13
成本最小化投入选择
• 注意这一公式的倒数也是有意义的
w v
 
fl fk
• 拉格朗日乘子表示略微放松产出约束所
带来的成本增量
14
成本最小化投入选择
给定产出 q0, 我们希望在等产量线上找到成本最小
点
k 每期
成本被表示成斜率为 -w/v的平
行线
C1
C3
C2
C1 < C2 < C3
q0
l 每期
15
成本最小化投入选择
生产 q0 的最低成本是 C2
k 每期
在等产量线和总成本线的
切点获得…
C1
C3
C2
k*
最优选择是 l*, k*
q0
l 每期
l*
16
投入的条件要素需求
• 在第四章, 我们考虑了消费者的支出最小
化问题
– 我们利用这种技术获得了一种商品的补偿需
求
• 我们能否使用同一方法获得厂商的要素
需求吗？
17
投入的条件要素需求
• 在当前的问题中, 成本最小化问题所蕴含的
资本和劳动需求依赖于生产的产出水平
• 要素需求是引致需求
– 取决于厂商的产出水平
18
厂商的扩展路径
• 厂商能够决定在每一产量水平上成本最
小化的k 和 l 的组合
• 如果对于厂商需求的任意数量的k 和 l，
要素成本都保持不变，那么我们便可获
得成本最小化选择点的轨迹
– 成为厂商的扩展路径
19
厂商的扩展线
扩展线是成本最小化切点的轨迹
k 每期
该曲线表示投入如何
随着产出的增加而增
加
E
q1
q0
q00
l 每期
20
厂商的扩展线
• 扩展线并不一定是直线
– 随着产出增长，某些投入的增加可能大于其
他要素
• 取决于等产量线的形状
• 扩展线也应不必然是向上倾斜的
– 如果某种投入随着产出扩张而下降，那么这
种投入即为 劣等投入
21
成本最小化
• 假设生产函数为柯布-道格拉斯生产函数:
q = kl
• 对于产量 q0 的成本最小化拉格朗日
表达式为
L = vk + wl + (q0 - k  l )
22
成本最小化
• 最小值的一阶条件为
L/k = v - k -1l = 0
L/l = w - k l -1 = 0
L/ = q0 - k  l  = 0
23
成本最小化
• 将第一个等式除以第二个等式
w k l 1  k

   RTS
 1 
v k l
 l
• 生产函数是位似的
– RTS 仅取决于两种投入之比
– 扩展线是一条直线
24
成本最小化
• 假设生产函数为CES型生产函数:
q = (k  + l )/
• 对于产量 q0的成本最小化拉格朗日表达式
为
L = vk + wl + [q0 - (k  + l )/]
25
成本最小化
• 最小化的一阶条件为
L/k = v - (/)(k + l)(-)/()k-1 = 0
L/l = w - (/)(k + l)(-)/()l-1 = 0
L/ = q0 - (k  + l )/ = 0
26
成本最小化
• 前两式相除得到
w  1
 
v k 
 1
1
k 
 
l
1/ 
k 
 
l
• 生产函数也是位似的
27
总成本函数
• 总成本函数 表示对于任意的要素成本和
产量水平, 厂商的最小成本
C = C(v,w,q)
• 随着产出 (q) 增加, 总成本上升
28
平均成本函数
• 平均成本函数 (AC) 表示每单位产出的总
成本
C (v, w, q)
平均成本  AC (v, w, q) 
q
29
边际成本函数
• 边际成本函数 (MC) 表示一单位产出变化
带来的总成本的变化
C (v, w, q)
边际成本  MC (v, w, q) 
q
30
总成本的图形分析
• 假定生产一单位产出需要 k1 单位资本和 l1
单位劳动
C(q=1) = vk1 + wl1
• 为了生产 m 单位产出 (假定规模报酬不变)
C(q=m) = vmk1 + wml1 = m(vk1 + wl1)
C(q=m) = m  C(q=1)
31
总成本的图形分析
总成本
在规模报酬不变的时候，总成本和产出成
比例
AC = MC
C
AC 和MC
都是常数
产出
32
总成本的图形分析
• 假定总成本开始时凹的，然后随着产量
增加变成凸的
– 一种可能的解释是随着资本和劳动的增加，
还存在一种数量固定的其他生产要素
– 边际报酬递减发生后总成本快速上升
33
总成本的图形分析
总成本
C
边际报酬递减发生
后总成本随着产量
增加快速上升
产出
34
总成本的图形分析
平均和
边际成
本
MC 是 C 曲线的斜率
MC
AC
如果 AC >
MC, AC 一定
下降
如果 AC <
MC, AC 一定
上升
min AC
产出
35
一些成本函数的例子
• 假定固定比率的生产函数
q = f(k,l) = min(ak,bl)
• 生产发生在 L-形等产量线顶点 (q = ak =
bl)
C(w,v,q) = vk + wl = v(q/a) + w(q/b)
 v w
C ( w, v, q )  q   
a b 
36
一些成本函数的例子
• 假设柯布-道格拉斯生产函数
q = f(k,l) = k l 
• 成本最小化要求
w  k
 
v  l
 w
k   l
 v
37
一些成本函数的例子
• 代入生产函数，解出 l, 得到
l q
1/  

 

 /  
w  /  v  /  
• 同样方法得到
k q
1/  

 

 /  
w  /  v  /  
38
一些成本函数的例子
• 因此，总成本函数为
C(v,w, q )  vk  wl  q
1 /  
Bv
 /  
w
 /  
其中
B  (  )  /  / 
这是一个常数，仅仅包括参数 和 
39
一些成本函数的例子
• 假设 CES 生产函数
q = f(k,l) = (k  + l )/
• 为了获得总成本, 我们利用同样的方法得
到
C(v,w, q )  vk  wl  q1/  (v  / 1  w  / 1 )(1) / 
1/ 
C(v,w, q )  q (v
1
w
1 1/ 1
)
40
成本函数的性质
• 齐次性
– 成本函数是要素价格的一次齐次函数
• 成本最小化要求要素价格之比等于 RTS, 所有要
素价格增长一倍不会改变要素的购买量
• 纯粹、均匀的通货膨胀不会影响厂商的投入决策
，但会使成本曲线上移
41
成本函数的性质
• 对于 q, v, 和 w 是非减的
– 成本函数由成本最小化推出
• 来自函数自变量扩大的成本降低都是自相矛盾的
42
成本函数的性质
• 对于投入价格是凹的
– 当厂商面临的投入价格围绕一个给定水平波
动的时候，厂商的成本低于面临这一固定价
格的时候
• 厂商可以改变投入组合利用这种波动
43
成本函数的凹性
在 w1, 厂商成本是 C(v,w1,q1)
成本
当 w 变化时，厂商继续购
买相同的投入组合，其成
本函数是 Cpseudo
Cpseudo
C(v,w,q1)
因为厂商的投入组合会发
生变化, 实际成本会小于
Cpseudo ，例如 C(v,w,q1)
C(v,w1,q1)
w1
w
44
成本函数的性质
• 某些性质可推广至平均成本和边际成本
– 齐次性
– v, w, 和 q 的作用是模糊的
45
投入替代
• 某种投入价格的改变会使得厂商改变投入
组合
• 我们希望分析在保持 q 不变的情况下，k/l
如何对于 w/v 的变化作出反应
k 
 
l
w 
 
v 
46
成本线的移动
• 画出成本线的假设是要素价格和技术水
平不变
– 这些因素的改变会引起成本线移动
47
投入替代
• 把这个写成比例的形式
(k / l ) w / v
 ln( k / l )
s


(w / v ) k / l  ln( w / v )
这是替代弹性的另一种定义
– 在两要素情况下 s 一定是负的
– s 值较大表示在投入价格变化的时候，厂商可
以更大幅度地改变其要素组合
48
偏替代弹性
• 在价格为wi 和 wj 的情况下，两种要素(xi
和 xj) 的偏替代弹性是
( x i / x j ) w j / w i
 ln( xi / x j )
sij 


(w j / w i ) xi / x j
 ln( w j / w i )
• 与 相比，Sij 是一个更加灵活的概念，
因为它允许当投入价格变化的时候，厂
商改变xi 和 xj 以外的要素使用量
49
成本曲线移动幅度
• 成本的上升在很大程度上由生产过程中
投入的相对重要程度决定
• 如果厂商能够很容易地用另外一种投入
替代价格上升的投入, 成本上升就会较少
50
技术进步
• 技术进步会降低成本曲线
• 假定总成本 (规模报酬不变) 是
C0 = C0(q,v,w) = qC0(v,w,1)
51
技术进步
• 因为在零期生产一单位产出的投入在 t 期可
以生产 A(t) 单位产出
Ct(v,w,A(t)) = A(t)Ct(v,w,1)= C0(v,w,1)
• 总成本为
Ct(v,w,q) = qCt(v,w,1) = qC0(v,w,1)/A(t)
= C0(v,w,q)/A(t)
52
柯布-道格拉斯成本函数的移动
• 柯布-道格拉斯成本函数是
C(v,w, q )  vk  wl  q
1 /  
Bv
 /  
w
 /  
其中
B  (  )
  /     /  

• 如果我们假定  =  = 0.5, 可以很大简化
总成本曲线:
C(v,w, q )  vk  wl  2qv 0.5w 0.5
53
柯布-道格拉斯成本函数的移动
• 如果v = 3，w = 12, 成本
C(3,12, q )  2q 36  12q
– C = 480 来生产 q =40
– AC = C/q = 12
– MC = C/q = 12
54
柯布-道格拉斯成本函数的移动
• 如果v = 3，w = 27, 成本
C(3,27, q )  2q 81  18q
– C = 720 来生产 q =40
– AC = C/q = 18
– MC = C/q = 18
55
条件要素需求
• 可以从成本函数中获得厂商各种投入的
条件需求
– 谢泼德引理
• 任何投入的条件需求函数为总成本函数对这种投
入价格的偏微分
56
条件要素需求
• 假定我们的技术是固定比例的
• 成本函数是
v w 
C(w ,v , q )  a  
a b 
57
条件要素需求
• 对于这个成本函数, 条件需求函数相当简
单:
C(v ,w , q ) q
k (v ,w , q ) 

v
a
c
C(v ,w , q ) q
l (v ,w , q ) 

w
b
c
58
条件要素需求
• 如果是柯布-道格拉斯技术
• 成本函数是
C(v,w, q )  vk  wl  q
1 /  
Bv
 /  
w
 /  
59
条件要素需求
• 对于这个成本函数，求导有些繁琐:
C

1/  
 /     /   
k (v ,w , q ) 

q
Bv
w
v   
c

1/    w 

q
B 

v 
 /  
60
条件要素需求
C

l (v ,w , q ) 

 q 1/  Bv  /  w  /  
w   
c

1/    w 

q
B 

v 
  /  
• 要素的条件需求依赖于所有要素的价格
61
短期和长期的区别
• 在短期, 经济参与者行动的灵活度有限
• 假设资本投入保持在 k1，厂商自有改变
劳动投入
• 生产函数变为
q = f(k1,l)
62
短期总成本
• 厂商的短期总成本
SC = vk1 + wl
• 存在两种短期成本:
– 短期固定成本是使用量固定的要素的成本
(vk1)
– 短期可变成本是使用量可变的要素的成本
(wl)
63
短期总成本
• 短期成本不是生产各种产量的最小成本
– 厂商无法改变投入组合
– 为了在短期内改变产出, 厂商必须使用非最
优的投入组合
– RTS 不一定等于要素价格之比
64
短期总成本
k 每期
因为资本量固定在 k1,
厂商不能使得 RTS
等于投入价格之比
k1
q2
q1
q0
l 每期
l1
l2
l3
65
短期边际和平均成本
• 短期平均总成本 (SAC) 函数是
SAC = 总成本/总产出 = SC/q
• 短期边际成本 (SMC) 函数是
SMC = SC改变量/产出改变量 = SC/q
66
短期和长期成本的关系
SC (k2)
总成
本
SC (k1)
C
SC (k0)
长期 C 可以
通过改变 k
的水平获得
q0
q1
q2
产量
67
短期和长期成本的关系
成本
SMC (k0)
SAC (k0)
MC
AC
SMC (k1)
q0
q1
SAC (k1)
短期和长期的
AC 和 MC 如图
产出
68
短期和长期成本的关系
• 在 AC 曲线的最低点:
– MC 与 AC 曲线相交
• 在这点MC = AC
– SAC 曲线和 AC 曲线相切
• (对于某个水平的 k) SAC 也在AC的这个产出水平上
最小
• 在这点SMC 与 SAC 相交
AC = MC = SAC = SMC
69
要点回顾:
• 希望在生产某个产出的时候最小化成本
的厂商应该选择使得技术替代率 (RTS)
等于投入租赁价格之比的要素投入组合
70
要点回顾:
• 重复应用最小化程序得到厂商的扩展线
– 扩展线表示了随着产出增加要素投入的增
加
• 也表示了产出水平和总成本的关系
• 这个关系可以用总成本函数C(v,w,q)概括
71
要点回顾:
• 厂商的平均成本 (AC = C/q) 和边际成
本 (MC = C/q) 可以从总成本函数中
获得
– 如果总成本曲线是广义的立方形状, AC
和 MC 曲线是 u 形
72
要点回顾:
• 画出各种成本曲线的假设是要素价格不
变
– 当某种投入价格变化的时候, 成本曲线移向
新的位置
• 移动的幅度决定于投入的重要性和厂商的要素
替代能力
– 技术进步也会移动成本曲线
73
要点回顾:
• 投入需求函数可以通过偏微分从厂商的
总成本函数中得到
– 这些投入需求依赖于厂商选择的生产数量
• 称为 “条件” 需求函数
74
要点回顾:
• 在短期, 厂商不能改变某些投入
– 仅仅能通过改变可变要素使用量来改变产
出
– 相对于可以改变所有投入的情况，此时厂
商可能采用非最优的、导致更高成本的投
入组合
75