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第 10 讲 利润最大化 1 厂商的性质 • 厂商是参与人构成的组织，这些参与人 组织到一起的目的是将投入转化为产出 • 不同的参与人提供不同的投入 – 投入要素提供者之间的合约关系可能相当复 杂 2 合约关系 • 一些要素提供者之间的合约可能相当清 晰 – 界定了工作时间、工作细节和收入 • 其它的合约安排在性质上更加隐晦 – 决策机构或者共同承担任务 3 厂商行为模型 • 大多数经济学家将厂商看作一个单一的 决策单位 – 决策由一个独裁的经理作出，他理性地追寻 某些目标 • 通常是利润最大化 4 利润最大化 • 利润最大化厂商 选择投入和产出，其目 标是获得最大的经济利润 – 最大化总收益和总经济成本之差 5 利润最大化 • 如果厂商是严格的利润最大化者, 他们利 用 “边际”方式作出决策 – 考察多雇用一单位劳动生产的额外产出获得 的边际利润 6 产出选择 • 厂商总收益为 R(q) = p(q)q • 为了生产 q, 引致了经济成本 [C(q)] • 经济利润 () 是总收益和总成本之差 (q) = R(q) – C(q) = p(q)q –C(q) 7 产出选择 • 选择利润最大化产出水平 q 的必要条件是 令 对 q 的导数等于零 d ' (q ) dR dq dq dR dq dC 0 dq dC dq 8 产出选择 • 为了最大化经济利润, 厂商选择边际收益 等于边际成本的产出 MR dR dq dC MC dq 9 二阶条件 • MR = MC 仅仅是利润最大化的一阶必要 条件 • 为获得充分条件, 要求 d 2 dq 2 q q * d' (q ) dq 0 q q * • “边际利润” 在最优产量 q 必须是递减的 10 利润最大化 当总收益函数的斜率等于总成本函数斜率的 时候，厂商获得最大利润 收入和成本 C R 二阶条件保证我们 不会错误地将 q0 当作最大值 q0 q* 产出 11 边际收益 • 如果厂商能在不影响市场价格的条件下 销售所有希望销售的商品, 边际收益将会 等于价格 • 如果厂商面临一条向下倾斜的需求曲线, 厂商只有在削减价格的条件下才能销售 更多的商品 边际收益 MR(q) dR dq d [ p(q) q] dq p q dp dq 12 边际收益 • 如果厂商面临向下倾斜的需求曲线, 边际 收益是产量的函数 • 如果随着厂商增加销售量价格下降, 边际 收益小于价格 13 边际收益 • 假定需求曲线为 q = 100 – 10p • 解出价格 p = -q/10 + 10 • 那么，总收益为 R = pq = -q2/10 + 10q • 边际收益将是 MR = dR/dq = -q/5 + 10 14 利润最大化 • 为了确定利润最大化产量, 我们必须知道 厂商的成本 • 如果厂商的平均成本和边际成本都是常 数￥4, 那么 MR = MC -q/5 + 10 = 4 q = 30 15 边际收益和弹性 • 边际收益这个概念直接和厂商面临的需 求曲线的弹性联系在一起 • 需求的价格弹性为价格改变一个百分点 导致的需求量改变的百分比 eq,p dq / q dq p dp / p dp q 16 边际收益和弹性 • 这意味着 MR p q dp dq q dp 1 p1 p1 p dq e q , p – 如果需求曲线向下倾斜, eq,p < 0，MR < p – 如果需求富有弹性, eq,p < -1 ，此时边际收 益为正 • 如果需求具有完全弹性, eq,p = - ，此时边际收 益等于价格 17 边际收益和弹性 eq,p < -1 MR > 0 eq,p = -1 MR = 0 eq,p > -1 MR < 0 18 逆弹性法则 • 因为当厂商利润最大化时 MR = MC，所 以 1 MC p1 e q , p p MC p 1 eq,p • 价格和边际成本的差距随着厂商面临的 需求曲线更加富有弹性而下降 19 逆弹性法则 p MC p 1 eq,p • 如果 eq,p > -1, MC < 0 • 这意味着厂商会选择在需求曲线富有弹 性的点运营 20 平均收益曲线 • 如果我们假设厂商必须在一个价格水平 上销售所有商品, 我们可以把厂商面对的 需求曲线看成它的 平均收益曲线 – 表示了不同产出选择下每单位平均收益 21 边际收益曲线 • 边际收益曲线 表示最后销售的一单位产 品带来的收益 • 如果厂商面临向下倾斜的需求曲线, 边际 收益曲线在需求曲线之下 22 边际收益曲线 价格 随着产出从 0 增加到 q1, 总收益增加， 因此 MR > 0 随着产出超过 q1, 总产出下降， 因此 MR < 0 p1 D (平均收益) 产出 q1 MR 23 边际收益曲线 • 如果需求曲线移动, 与之伴随的边际收益 曲线也会移动 – 边际收益曲线无法在不参考一条特定的需求 曲线的条件下计算 24 常弹性情况 • 我们看到过 (在第 5 章) 如下形式的需求 曲线 q = apb 需求的价格弹性为常数 b • 从这个方程中解出 p p = (1/a)1/bq1/b = kq1/b 其中 k = (1/a)1/b 25 常弹性情况 • 这意味着 R = pq = kq(1+b)/b 同时 MR = dr/dq = [(1+b)/b]kq1/b = [(1+b)/b]p • 这隐含着 MR 与价格成正比 26 价格接受厂商的短期供给曲线 价格 SMC SAC p* = MR SAVC 最大利润发生在 p = SMC 产出 q* 27 价格接受厂商的短期供给曲线 价格 SMC SAC p* = MR SAVC 由于 p > SAC, 因此 利润> 0 产出 q* 28 价格接受厂商的短期供给曲线 价格 SMC p** SAC p* = MR SAVC 如果价格上升到 p**, 厂商将会 生产 q**，同时 >0 产出 q* q** 29 价格接受厂商的短期供给曲线 价格 SMC 如果价格下降到 p***, 厂商将会生 产 q*** SAC p* = MR SAVC 利润最大化要求 p = SMC，同时SMC 是向上倾斜的 p*** 产出 q*** <0 q* 30 价格接受厂商的短期供给曲线 • 短期边际成本曲线斜率为正的部分是价 格接受厂商的短期供给曲线 – 表示了在各种可能的市场价格上厂商会生产 多少 – 在短期中，厂商仅仅在总收益超过可变成本 的条件下运营 • 如果p < SAVC， 厂商不生产 31 价格接受厂商的短期供给曲线 • 这样，价格接受厂商的短期供给曲线是 短期边际成本曲线斜率为正的部分，同 时要在最低平均可变成本之上 – 如果价格低于这个水平, 厂商利润最大化的 决策是停业，什么也不生产 32 价格接受厂商的短期供给曲线 价格 SMC SAC SAVC 厂商短期供给曲线 是 SAVC之上的 SMC 曲线 output 33 短期供给 • 假定厂商的短期总成本曲线是 SC(v,w,q,k) = vk1 + wq1/k1-/ 其中 k1 是短期内维持不变的资本水平 • 短期边际成本是 SMC(v ,w , q, k1 ) SC q w q (1 ) / / k1 34 短期供给 • 价格接受厂商在 p = SMC 获得最大利润 SMC w q (1 ) / / k1 p • 因此，供给数量是 w q /(1 ) /(1 ) k1 p /(1 ) 35 短期供给 • 为了获得厂商停业价格, 我们需要解出 SAVC SVC = wq1/k1-/ SAVC = SVC/q = wq(1-)/k1-/ • SAVC < SMC，对于所有的 < 1 – 没有足够低的价格使得厂商停业 36 利润函数 • 厂商的经济利润可以表示为投入的函数 = pq - C(q) = pf(k,l) - vk - wl • 仅仅有 k 和 l 在厂商的控制之下 – 厂商选择投入水平来最大化利润 • 在这个决策中，将 p, v和w 是固定的参数 37 利润函数 • 厂商的 利润函数 表示了最大利润，是厂 商面对的价格的函数 ( p,v,w ) Max (k, l ) Max[ pf (k, l ) vk wl ] k ,l k ,l 38 利润函数的性质 • 齐次性 – 利润函数对于所有的价格是一次齐次的 • 对于纯粹的通货膨胀, 厂商不会改变生产计划， 利润随着通货膨胀而上升 39 利润函数的性质 • 对于产出价格非减 – 厂商在面对产出价格上升的时候，总可以不 改变投入计划或者产出计划 • 利润一定上升 40 利润函数的性质 • 对于投入价格非增 – 如果厂商面对投入价格上升而不改变投入计 划, 成本将会上升 • 利润一定下降 41 利润函数的性质 • 对于产出价格是凸的 – 两种产出价格下的平均利润将至少和两个价 格的平均价格对应的利润相同 ( p1,v ,w ) ( p2 ,v ,w ) 2 p1 p2 ,v ,w 2 42 包络结果 • 我们可以利用包络定理来考察利润如何 对于产出和投入价格的变化而变化 ( p,v ,w ) p ( p,v ,w ) v ( p,v ,w ) w q( p,v ,w ) k ( p,v ,w ) l ( p,v ,w ) 43 短期内的生产者剩余 • 因为利润函数对于产出价格是非减的, 如果 p2 > p1 (p2,…) (p1,…) • 厂商从这种价格上调中获得的福利是多少 福利收益 = (p2,…) - (p1,…) 44 短期内的生产者剩余 SMC 价格 如果市场价格是 p1, 厂商将会生产 q1 p2 p1 如果市场价格上升 到 p2, 厂商将会生 产 q2 q1 q2 产出 45 短期内的生产者剩余 SMC 价格 厂商的利润上升可 以表示为阴影区域 p2 p1 q1 q2 产出 46 短期内的生产者剩余 • 从数学上看, 利用包络定理结果 福利收益 p2 p1 q ( p )dp p2 ( / p )dp p1 ( p2 ,...) ( p1 ,...) 47 短期内的生产者剩余 • 我们可以测量厂商如何估计在当前价格 生产的权力相对于厂商什么也不生产的 情形的相对价值 48 短期内的生产者剩余 SMC 价格 假设厂商的停业价 格为 p0 p1 p0 q1 产出 49 短期内的生产者剩余 • 从面对价格 p1 获得的额外利润可以定义 为生产者剩余 p1 生产者剩余 ( p1 ,...) ( p0 ,...) q( p)dp p0 50 短期内的生产者剩余 SMC 价格 在市场价格 p1 的 生产者剩余是阴影 面积 p1 p 0 q1 产出 51 短期内的生产者剩余 • 生产者剩余 生产者通过在市场价格上进 行交易比什么都不生产获得的超额回报 – 市场价格以下供给曲线以上的部分 52 短期内的生产者剩余 • 因为厂商在停业的价格上什么也不生产, (p0,…) = -vk1 – 在停业点的利润等于固定成本 • 这意味着 生产者剩余 = (p1,…) - (p0,…) (p1,…) – (-vk1) = (p1,…) + vk1 – 生产者剩余等于当前利润加上固定成本 = 53 利润最大化和要素需求 • 厂商的产量由其雇佣的生产要素决定 – 投入和产出之间的关系可以概括为生产函数 • 厂商的经济利润也可以表示为投入的函 数 (k,l) = pq –C(q) = pf(k,l) – (vk + wl) 54 利润最大化和要素需求 • 最大化的一阶条件 /k = p[f/k] – v = 0 /l = p[f/l] – w = 0 • 利润最大化的厂商会选择雇佣任何投入， 直到其对于收益的边际贡献等于雇用投入 的边际成本 55 利润最大化和要素需求 • 这些利润最大化的一阶条件也意味着成本 最小化 – 它们意味着 RTS = w/v 56 利润最大化和要素需求 • 为了保证是真正的最大化点, 二阶条件为 kk = fkk < 0 ll = fll < 0 kk ll - kl2 = fkkfll – fkl2 > 0 – 资本和劳动的边际生产率递减必须足够大， 保证随着产出的增加边际成本上升 57 要素需求函数 • 从理论上讲, 可以通过求解一阶条件获得 要素需求函数 资本需求 = k(p,v,w) 劳动需求 = l(p,v,w) • 这些需求函数是无条件的 – 它们暗含着厂商可以根据价格调整产量 58 单要素情况 • 我们期望 l/w 0 – 劳动的边际生产率递减 • 利润最大化的一阶条件 /l = p[f/l] – w = 0 • 全微分得到 dw p fl l l w dw 59 单要素情况 • 这意味着 1 p fll l w • 进一步求解 l w 1 p fll • 因为 fll 0, l/w 0 60 两要素情况 • 对于两要素 (或者更多投入) 的情况, 这个 故事会更加复杂 – 如果 w 下降, 这不仅仅会改变 l ，同时也会 改变 k ，这样才会成为新的成本最小化投入 组合 • 当 k 改变了, 整个 fl 函数移动 • 不过, 即使在这种情况中,我们也有 l/w 0 61 两要素情况 • 当 w 下降, 两种效应发生 – 替代效应 • 如果产出不变, 厂商会选择在生产过程中用 l 替 代k – 产出效应 • w 的变化会改变厂商的扩展线 • 厂商的成本线将会发生移动，厂商会选择不同的 产出水平 62 替代效应 k 每期 如果产量保持在 q0 的时候w 下降, 厂 商在生产过程中用 l 替代 k 因为沿着一条等产量线 RTS 递减, 替代效应永远 是负的 q0 l 每期 63 产出效应 w 下降会降低厂商的MC 价格 MC MC’ 因此, 厂商会选择更高的 产出水平 P 产出 q0 q1 64 产出效应 产出上升到 q1 k 每期 这样, 产出效应也意味着 l 和w 之间的负向关系 q1 q0 l 每期 65 交叉价格效应 • 资本使用量对于工资如何做出反应没有 明确的结论 – 工资下降导致厂商替换掉资本 – 产出效应使得厂商在扩张的时候需要更多的 资本 66 替代效应和产出效应 • 我们对于要素需求有两个概念 – 条件劳动需求, lc(v,w,q) – 无条件劳动需求, l(p,v,w) • 在利润最大化的产出水平 lc(v,w,q) = l(p,v,w) 67 替代和产出效应 • 对于 w 微分得到 l ( p,v ,w ) w l (v ,w , q ) c w 替代效应 l (v ,w , q ) q q w c 产出效应 总效应 68 要点回顾： • 为了最大化利润, 厂商应该选择生产边 际收益等于边际成本的产量 69 要点回顾: • 如果厂商是价格接受者，其对于产出的 决策不会影响产出的价格 – 边际收益等于价格 • 如果厂商面临向下倾斜的需求曲线, 边 际收益会小于价格 70 要点回顾: • 边际收益和需求的价格弹性有如下关系 1 MR p1 e q ,p 71 要点回顾: • 价格接受者的利润最大化厂商的供给曲 线是位于平均可变成本(AVC)最低点以 上的斜率为正的边际成本曲线部分 – 如果价格低于 AVC 的最低点, 厂商的利润 最大化选择是停业 72 要点回顾: • 厂商对于其面临的各种价格的反应可以 通过利润函数来分析 – 表示给定厂商的产品价格、要素投入价格 和生产技术条件下所能获得的最大利润 73 要点回顾: • 从利润函数可以获得很有用的包络结果 – 对于市场价格微分产生供给函数 – 对于要素价格微分产生要素需求函数 74 要点回顾: • 市场价格短期变化影响厂商短期获利能 力 – 这可以利用生产者剩余的变化来从图形上 测量 – 利润函数也可以用来计算生产者剩余的变 化 75 要点回顾: • 利润最大化提供了一个获得厂商引致要 素需求的理论 – 厂商雇佣任何要素直到其边际产品价值等 于每单位要素的市场价格 – 一种要素价格上升会引起替代效应和产出 效应，导致厂商减少这种要素的投入量 76