Transcript 2.收入函数

应
用
题
一.基础知识：
1.成本函数：C (q) 可变成本+固定成本(q表示产量，以下同）
2.收入函数(收益函数): R(q)  pq (P为价格,q为产量)
3.利润函数: L(q)  R(q)  C (q)
4.边际成本：成本函数的导数，用 C (q )表示
5.边际收益（入）：收入函数的导数，用 R(q)表示
6.边际利润：利润函数的导数，也可以是边际收益－
边际成本，用 L(q)表示
例题:
1．已知生产某种产品的成本函数为C(q) = 80 + 2q，
则当产量q = 50时，该产品的平均成本为 3.6 ．
2．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p，其中p为
该商品的价格，则该商品的收入函数R(q) = 45q  0.25q2.
3．设生产某种产品X个单位时的成本函数为
C ( x)  100  0.25x 2  6 x 万元
（
）,
求:(1)当 x  10时的总成本、平均成本和边际成本；
(2)当产量x为多少时，平均成本最小？
2
C
(
x
)

100

0
.
25
x
 6x
1．解（1）因为总成本为
C ( x) 
100
 0.25 x  6
x
所以平均成本为
边际成本为 C ( x)  0.5 x  6
所以，x=10时
成本为 C (10)  100  0.25  10 2  6  10  185
平均成本为 C (10)  100  0.25  10  6  18.5
10
边际成本为 C (10)  0.5  10  6  11

100
(2)令 C ( x)   2  0.25  0 得
x
x  20 x  20 (舍去）
因为x=20是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实
存在最小值，所以当x=20时平均成本最小
2．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生
产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规
律为 q  1000  10 p(其中q需求量,p价格)
试求:(1)成本函数，收入函数；
（2）产量为多少吨时利润最大？
解 : (1)成本函数C ( q )  60q  2000
1
因为q  1000  10q, 所以p=100- q,
10
1
1 2
所以收入函数R( q) =pq=( 100- q)q  100q- q
10
10
1 2
( 2) 利润函数L( q) =R( q) - C( q) =100q- q  60q  2000
10
1 2
 - q  40q  2000
10
1 2
1
L( q)  - q  40, 令L( q)  0即- q  40  0得q=200
5
5
q=200是定义域内唯一驻点, 所以q=200时利润最大
即当产量q=200吨时利润最大.
练习:某厂每天生产某种产品
q
件的成本函数为
C (q)  0.5q2  36q  9800(元) ,为使平均成本最低，
每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？
二.由边际函数求原经济函数
即已知 F' (x), 求 F(x), 则
其中积分常数 C 由具体条件确定。
如: 1.已知边际成本求总成本函数 C (q)   C ' (q)dq
其中积分常数C可由条件C(0)=C0确定。
（C0为固定成本）
q
或C (q)   C '(q)dq  C 0
0
2.已知边际收益求收益函数 R(q) 

q
0
R '(q)dq
例1. 已知生产某产品的边际成本为 C ' (q)  2e 0.2q，
固定成本C0=90，求总成本函数。
 0 2e
q
 10e
0.2 q
0.2 q q
 10e
0
0.2 q
dq  90
 90
 80
例2.投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为
C (x) =2x + 40(万元/百台). 试求(1)产量由4百台增至
6百台时总成本的增量;(2)产量为多少时，平均成本最低.
解: 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为
C   (2 x  40)dx  ( x  40 x)
6
4

(2)C ( x ) 
2
x
0
C ( x )dx  c0
x

36
令C ( x )  1  2  0
x


x
0
4
= 100（万元）
(2x+40)dx  36
x
解得
6
36
 x  40 
x
x  6 x  6( 舍去)
x = 6是惟一驻点，而该问题确实存在使平均成本达
到最小的值. 所以产量为6百台时可使平均成本最小.
.
例3．生产某产品的边际成本为 C ( x )  8 x (万元 / 百台),
边际收入为R( x )  100  2 x (万元 / 百台), 其中x为产量，
问(1)产量为多少时，利润最大？
(2)从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？
解 : L( x )  R( x )  C ( x )  (100  2 x )  8 x  100  10 x
令L( x)  0即100  10 x  0得x=10,
又x= 10是L(x)的唯一驻点,且该问题确实存在最大值,
故x= 10时L(x)取最大值即当产量为10(百台)时利润最大
12
12
10
10
(2)L   L( x)dx   (100  10 x)dx  (100 x  5 x )
2
12
10
 20
练习:已知某产品的边际成本 C ( x )  2(元 / 件),
固定成本为0，边际收益 R( x )  12  0.02 x,
问(1)产量为多少时利润最大？
(2)在最大利润产量的基础上再生产50件，
利润将会发生什么变化？
其它：需求弹性
q
定义 3.2 设需求函数 q  q( p) 可导，则称需求量
的弹性为需求弹性，记作 E p
q'( p)
即 Ep 
p
q( p)
例1．需求量q对价格 p 的函数为
则需求弹性为 E p 
例2.已知需求函数为
则需求弹性Ep =
q

q ( p)  100  e ,
p

2
20 2
 p, 其中p 是价格,
3 3
p
p  10
.
p
2
p
对价格