Transcript 第四章积分
函 数 与 极 限 上页 下页 返回 积分 一、不定积分 学习要点：求不定积分和原函数 解含有原函数的应用问题 二、定积分 学习要点：在已知闭区间上求曲线下面积 掌握定积分思想 利用软件求定积分 一、不定积分 函 数 与 极 限 上页 下页 返回 函数 导数 函数 导数 距离 收入 速度 边际收入 成本 人口 边际成本 人口的增长率 任何两个导数是8 的函数相差一个常 问题：假设y 是x的函数，且其导数是常 数，将它们称为8 数8，能求出y吗？ 的原函数。 8x 3 一般表达式 8x 10 8x c 8x 7.5 8x 3 8的所有原函数 一般地，任何两个具有相同导数的原 函数都只相差一个常数。 函 数 与 极 限 定理1：如果在一个区间上两个函数F和G具有 相同的导数，则F(x)=G(x)+C,其中C为一个常数 1 3 d 1 3 求 x 的所有原函数？ x c x c x2 3 dx 3 2 上页 下页 返回 dx 求 e x的所有原函数？ e x c d e x c e x e 1 3 x dx x c 3 2 x dx e x c 定义：若函数F(x)为f(x)的一个原函数，则函数 函 数 与 极 限 上页 f(x)的所有原函数的一般表达式F(x)+C（C为任 意常数）称为函数f(x)的不定积分，也称为函数 f(x)对变量x的不定积分，记作 f ( x)dx F ( x) C 其中 x称为积分变量 f ( x)称为被积函数 下页 f ( x)dx称为被积表达式 返回 C称为积分常数 称为被积分符号 MATLAB求不定积分格式 函 数 与 极 限 上页 下页 返回 格式一： syms x %定义变量 f= %函数表达式 例：求x^2的所有原函数。 int(f) x %对f求不定积分 syms 注意：运行结果 f=x^2 少了C，一定不 int(f) 能忘记补上。 f = x^2 ans = 1/3*x^3 x 2 dx 1 x 3 c 3 syms x int(5*exp(4*x)) 5 4x 4x 解： 5e dx e c ans = 5/4*exp(4*x) 4 syms x 1 int(1/(x*(x-5))) 求 dx x( x 5) ans = 1/5*log(x-5)1 1 x 5 1/5*log(x) 求 5e 4 x dx 函 数 与 极 限 上页 下页 返回 x( x 5 解： 格式二： syms a x f= dx 5 ln x c %定义变量 %函数表达式 求 ax sin(x)dx , ax sin(x)da 函 数 与 极 限 上页 编程： syms a x f=a*x*sin(x) int(f,x) 运行结果： yms a x f=a*x*sin(x) int(f,x)int(f,a) f = a*x*sin(x) ans = a*(sin(x)-x*cos(x)) ans = 1/2*a^2*x*sin(x) 下页 int(f,a) 返回 1 ax sin( x ) da a 2 解：ax sin(x)dx a (sin(x) x cos(x)) c 2 x sin(x) c 上机练习： 函 数 与 极 限 上页 下页 返回 1 2、 1 e x2 1、 xe dx dx x 1 3、 (5 x x 2)dx x 4、 4 4 x 3 dx x 1 例1 某公司测定出生产q件某种产品的边际成本C’ 为 C ' (q) q 3 2q 函 数 与 极 限 求总成本函数，假定固定成本是45元。 解：总成本函数为 C (q) 上页 下页 返回 C ' (q )dq (q 3 2q ) dq 1 4 q q2 c 4 又固定成本为45元，即C（0）＝45。 04 2 即 0 c 45 c 45 4 1 4 2 总成本函数为C(q) q q 45. 4 二、定积分 函 数 与 极 限 A、面积与积分 y 问题1 求阴影部分的面积。 面积为 f ( x) m A(x)=mx 0 x 上页 下页 y x f ( x) mx 问题2 求画线部分的面积。 返回 面积为 A(x)=0.5mx＾2 0 x x f ( x) mx b 二、定积分 函 数 与 极 限 上页 下页 返回 y 问题3 求画线部分的面积。 面积为 mx b A(x)=bx+0.5mx^2 b 0 函数 f(x)=3 f(x)=m f(x)=3x f(X)=mx f(x)=mx+b 面积 A(x)=? A(x)=? A(x)=? A(x)=? A(x)=? x x 函数 函 数 与 极 限 f(x)=3 f(x)=m f(x)=3x f(X)=mx f(x)=mx+b 面积 A(x)=3x A(x)=mx A(x)=3/2*x A(x)=m/2*x^2 A(x)=m/2*x^2+bx 上页 下页 问题：f(x)与A(x)有何关系？ 返回 面积函数A(x)是f(x)的一个原函数 函 数 与 极 限 定理2 假设f 是区间［a,b］上的非负连续函数， A(x)是区间［a,b］上f的图形与x轴之间区域的 面积，其中x<=b。则A(x)是x的一个可导函数且 y A ( x) f ( x) ' f (x) 根据导数的定义，A(x)的导数是 上页 下页 返回 A( x h) A( x) ' A ( x) lim h0 h f ( x) h lim lim f ( x) f ( x) h0 h0 h A( x) f ( x)dx F ( x) C 其中F( x)是f的任意一个原函数。 A(x) x xh h x 由上所述，我们知道面积函数A(x)是f(x)一个原函数，设 F(x)是f(x)的任意一个其它的原函数。则 函 数 与 极 限 A( x) A(a) F ( x) F (a) 因为A、F都是f的原函数，有 A(x)=F(x)+C, 上页 A(a)=F(a)+C 所以：A(x)-A(a)=[F(x)+C]-[F(a)+C]=F(x)-F(a) 下页 返回 于是，对于f的任何原函数差A(x)-A(a)都有相同 的值。 求区间［a,b］上非负连续连续 函数f图形下的面积。 函 数 与 极 限 y 面积＝F (b) F (a) y f (x) 1、求f(x)的任意一个原函 数F（x） 2、代入a,b,求差F(b)-F(a) a 上页 例2 b x 求区间［-1,2］上y=x^2+1的图形下面的面积。 下页 解：因为F(x)=1/3*x^3+x 返回 面积F（2）-F（-1）＝2＾3/3+2-（-1）＾3/3-（-1） ＝6 函 数 与 极 限 定义 假设f是区间[a,b]上的任意连续函数， F是f的一个任意原函数。由a到b的f的定积分 (definite integral)是 b f ( x)dx F (b) F (a) a a为积分下限，b为积分上限 上页 下页 返回 牛顿－莱不尼兹公式 MATLAB求定积分格式 函 数 与 极 限 上页 syms x y= %定义变量 %函数表达式 int(y,a,b) %求函数f关于变量x从a到b的 定积分 syms x v %定义变量 下页 y= %函数表达式 返回 int(y,v,a,b) 的定积分 %求函数f关于变量v从a到b 例求区间［-1,2］上y=x^2+1的图形下面的面积 syms x 函 数 与 极 限 y=x^2+1 1 int(y,-1,2) 上页 1 练习： 3 2 下页 返回 y 1 1) ( sin x)dx =x^2+12 0 e ans =6 3) ln x dx x 1 5) x 2 1 3 dx ex 1 e 2) x dx 0 4 4) 0 1 dx x 1 2 应用 1、求平面图形的面积 函 数 与 极 限 求由x=a、x=b、y=f(x)、g (x) 所围成图形的面积 y f (x) b 上页 下页 返回 A [ f g ]dx a 被积函数为 上边曲线减下边曲线 g (x) xa xb 例：求由曲线y e x 与直线y x 1, x 0, x 1 所围成的图形面积。 函 数 与 极 限 上页 下页 返回 syms x x0 y1=exp(x); y2=x-1; 编程 a=0; x 1 b=1; A=int((y1-y2),a,b) A = exp(1)-1/2 运行结果 y ex y x 1 2、求旋转体体积 b 函 数 与 极 限 上页 下页 返回 V 2 f (x)dx a 例：求圆y r 2 x 2 绕x轴旋转而成的球的体积。 syms x r y1=pi*(r^2-x^2); a=-r;b=r; v=int(y1,a,b) v = 4/3*pi*r^3 编程 运行结果 3、求已知截面面积的立体体积 b 函 数 与 极 限 上页 V A( x)dx a 例：求已知截面面积为A(x)=3x^4+6x-5,x 属于[0,5] 的立体体积。 syms x 下页 返回 编程 A=3*x^4+6*x-5 v=int(A,0,5) 运行结果 函 数 与 极 限 例3 假定生产x个单位的某种产品的边际 成本函数为f(x)=350-60x+3x^2,生产该产 品的固定成本C0＝300，求生产5个单位此 种产品的总成本，若产量从5个单位增加 到10个单位时，总成本增加多少？ 解： 生产5个单位产品的总成本为 上页 5 下页 返回 C(5) (350 60x 3x 2 )dx 300 0 [350x 30x 2 x 3 ]50 300 1425 生产量从5个增加到10个时，总成本增加为C 函 数 与 极 限 10 C＝C（10） C（5） (350 60x 3x 2 )dx [350x 30x 2 375 上页 下页 返回 5 x 3 ]10 5 函 数 与 极 限 上页 下页 返回 例4 某加工公司已经购置一台机器， 它的产出表示为时间t的附加赢利函数 E(t)=225-0.25t^2,在时间t的附加维修成 本为c(t)=2t^2,其中时间t以年计，E(t)、 C(t)以十万元计。假定这台机器可以在 任何时间加以拆除而没有任何残留价值， 其次，当附加赢利等于附加维修成本时， 这台机器应该拆除。问：这台机器几年 后应该拆除？到拆除时的部赢利是多少？ 函 数 与 极 限 上页 下页 返回 1 2 解： 225 t 2t 2 t 100, t 10(舍去) 4 所以这台机器十年后应该拆除。十年的赢利 10 10 0 0 1 2 9 2 2 为 （225 t 2t ）dt （225 t ）dt 4 4 3 3 10 [225t t ]0 1500(十万元) 4