Transcript 什么是数学模型
什么是数学模型
对于现实中的原型，为了某个特定目的，
作出一些必要的简化和假设，运用适当的数学
工具得到一个数学结构。也可以说，数学建模
是利用数学语言（符号、式子与图象）模拟现
实的模型。把现实模型抽象、简化为某种数学
结构是数学模型的基本特征。它或者能解释特
定现象的现实状态，或者能预测到对象的未来
状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制。
什么是数学建模
把现实世界中的实际问题加以提炼，抽
象为数学模型，求出模型的解，验证模型的
合理性，并用该数学模型所提供的解答来解
释现实问题，我们把数学知识的这一应用过
程称为数学建模。
本章重点：
数学模型、数学建模、数学模型的作用和特点、
建模基本过程、问题分析、合理假设常用建模方
法、机理分析法、类比建模法、图示法、微元法、
平衡原理、数据分析法、人口增长模型结论、分
支定界法、均衡价格结论、存储模型（确定型）
结论、货币的时间价值—终值与现值公式、年金
的终值与现值公式
数学建模的几个过程
第一步：问题分析；
第二步：合理的简化假设；
第三步：建立数学模型；
第四步：模型求解；
第五步：模型分析（包括检验、修改、
应用和评价等）
数学模型的作用和特点：
（1）数学建模不一定有唯一正确的答案.
（2）数学建模没有统一的方法.
（3）模型的逼真性与可行性.
（4）模型的渐进性.
（5）模型的可转移性.
常用的建模方法
(1) 机理分析法
(2) 类比法
(3) 平衡原理
(4) 微元法
(5) 图示法
(6 ) 数据分析法
人口增长模型
问题提出
人口问题给我们这个赖以生存的地球
造成的麻烦是越来越大了，资源、环境、
疾病以至于温饱都成了问题，所以人们对
这个问题给予了充分关注。那么人口增长
的规律是什么？如何在数学上描述着一个
规律成了各界人士关注的一个热点。
人口增长模型
模型假设
（1）时刻t的人口函数是连续可微的；
（2）人口的增长率（=出生率-死亡率）
是常数；
（3）人口数量的变化是封闭的，即人
口数量的增减只取决于人口中个体的生
育和死亡。
人口增长模型
模型建立
{人口增长数}={出生人口数}-{死亡人口数}
时间间隔 t内人口的增量为
x(t t ) x(t ) (k1 k2 ) x(t ) t
其中k1，k2分别为出生率和死亡率
k1 k2为常数r，再设开始时的人口数为 x0 ，便
构成一个初值问题
dx
rx, x (0) x0
dt
人口增长模型
模型求解
此为一阶可分离变量方程的初值问题，很
容易求得其解为
x(t ) x0 e
rt
人口增长模型
模型分析、评价与检验
1961年世界人口总数为人，在1961~1970年这
段时间内，每年平均的人口增长率为2% 即
x(t ) 3.06 109 e0.02(t 1961)
但利用上式对1961年后的世界人口进行预测，
则会得出令人不能理解的结论：当2670年时达到
4400万亿人，这相当于地球上每平方米要容纳至
少20人。
人口增长模型
模型分析、评价与检验
那么用这种指数模型估计的结果与实际结
果的误差如此之大的原因是什么呢？其一是
假设人口增长率为常数不合理；其二是假设
3显然也不合理。所以也就导致了比较适合
人口发展规律的新数学模型的产生。
人口增长模型
模型的修改与重建
1. 将增长率r表示为人口x(t)的函数r(x),按
前面的分析，r(x)应为x的减函数。为简单，
我们假定其为x的线性函数（线性化）
r ( x) r sx
其中r，s>0，这里r相当于x=0时的增长率，
成为故有增长率。显然对任意的x>0，r(x)<r。
人口增长模型
模型的修改与重建
2.设定自然资源和环境条件等因素所能容纳
的最大人口数量为 x（也称最大人口容量）
m
因为 x xm时增长率应为零，由此确
r
定s
，便得到增长率函数的表达式为
xm
x
r ( x) r (1 )
xm
xm
其中常数r，
要根据人口统计数据确定。
人口增长模型
模型的修改与重建
3.将指数模型中r换为上式便得到新模型
x
dx
r
(1
)x
xm
dt
x(0) x
0
称为阻滞增长模型或罗捷斯蒂克（Logistic）
模型仍然使用可分离变量方程解法可得其解
xm
为
x(t )
xm
1 ( 1)e rt
x0
人口增长模型
模型的修改与重建
4.模型解的再分析与检验
对上式求二阶导数可得
2
d x
x
2x
2
r (1 )(1 ) x
2
xm
xm
dt
由此我们来分析人口总数x(t)的变化规律
人口增长模型
模型的修改与重建
x (t ) xm ，即无论人口初值如何，
（1） lim
t
人口总数均以 xm为极限，并且
x xm 是x(t)图形的水平渐近线。
人口增长模型
模型的修改与重建
dx
x
r
(1
)x
当 0 x xm时， dt
>0，这说明x(t)是
x
d x
xm
单调增加的；当x< 2 时，dt >0，
x
xm
d x
当x> 2 时，dt <0，即 x 2 是x(t)图形的拐
点。这就是说，人口变化率函数 dx
在处
dt
xm
x
取到最大值。
m
2
2
2
m
2
2
人口增长模型
模型的修改与重建
根据以上分析可知，人口总数尽管一直是增长
的，但有极限值 xm 限制而不会无限增长下去，到了
自然资源与环境条件等因素所能容纳的最大人口数是便
会停止增长，这是合乎人类发展常识的。另外，人口总
数达到极限值一般以前是加速增长时期，此后的增长率
会逐渐变小，最终达到零增长。
最后，xm 的确定要根据人口统计资料以及自然环境等
因素确定，因而当条件改变时，xm 也将随着改变
分支定界法
分支定界法的一般思路
① 先求问题的解，若恰为整数解则停，否则
转下一步；
② 以上述解为出发点，将原问题分解为两个
支问题——所谓“分支”，且每一支问题各
增加一个新条件——所谓“定界”.
③ 求解支问题，并对新的非整数解问题再分
支、定界，直到求得整数解.
均衡价格
设p是商品价格，Q表示商品需求量且
仅与价格p有关，即Q = Q (p)， 一般设为p
的线性函数（线性化）
Q(t ) ap(t ) b
式中a，b均为正常数，b——该商品的社会
最大需求量. 同理，设G=G(p)表示供给函
数，并且
G(t ) cp(t 1) d
式中c，d均为正数，d/c为厂方可能接受的最低价
格.p(t)写成p(t-1)是因为商品的生产需一定的时间
(一个生产周期)，价格对商品的供给量的影响有
一定的滞后作用.
均衡价格
则均衡价格为：
c
bd
p (t ) p (t 1)
a
a
设 p0 p(0) 是该商品的初始价格，通过递推
过程得到
bd
c t bd
( p0 a c )( a ) a c , a c 0时
p(t )
bd
p0
t,
a c 0时
a
存储模型
设商品每天销售量为常数R，商品的进货时间间隔为常数
T ，且进货量为常数Q，进货一次手续费也是常数cb ，单
位商品存储费 c s元/天. 又设开始时的库存量为Q，到第T天
时库存量降为零.且销售是连续均匀的，故在周期内平均存
量为/2.于是平均每天的支出为
Q
cb
c(T ) cs
2
T
因为Q=RT，于是
cs
cb
c(T ) RT
2
T
模型的解（最优进货量）为：
Q Q*
2cb R
2cb
, T*
cs
cs R
上式为存储论中著名的经济订购批量公式，简称
EOQ(Economic Ordering Quantity)公式.
货币的时间价值——终值与现值
公式
货币用于存银行，会随着时间的推移产生效益，从而
使货币增值，这就是货币的时间价值.衡量货币时间价值
的两个常用概念是货币的终值与现值.在复利计息情形，
若本金为P，利率为R，期数为n，则到n期末，本利和为
S P(1 R)n
其中的S即为货币P的终值.
反之，现在手中的多少钱存银行n期就可以变成S元呢?
S
显然有
Q
(1 R ) n
这里的Q称为货币S的现值，亦即n期末的S元相当于现在的
Q元.
年金的终值与现值公式
年金的终值
Sn 表
设每期发生在期初的年金数为A，每期利率为R，
示n期的本利和，那么第一期投入A到n期末成为 A(1 R)n .
第二期年金仍为A，但只存了n-1期，到n期末成
为 A(1 R)n 1 ，依此类推，到第n期的年金A便只存一期，
到期末本利和为A(1+R). 上述各期本利和的总和即为发生在
期初的年金A的终值，利用等比数列前n项和公式即得为
S ns A(
1 R
)[(1 R ) n 1]
R
同理可推导发生在期末的年金的终值(每一期年金都比发生
在期初的少存一期)应为
S ne
(1 R) n 1
A
R
年金的终值与现值公式
年金的现值
设发生在期初的年金数为A，则第一期的现值就是
A
A，第二期的现值为 1 R , ，最后一期的现值
A
为 (1 R)n 1 ，于是年金A的现值总和
1 R
1
Q A(
)(1
)
n
R
(1 R)
同理有发生在期末的年金A的现值总和
A
1
Q' (1
)
n
R
(1 R)