Transcript 复杂网络上的传播动力学

复杂网络上的传播动力学
——阈值与全局稳定性分析
傅新楚
上海大学数学系，[email protected]
Based on collaborative works with:
Guanrong Chen and Meng Yang
随机图与复杂网络研讨会
2012年5月25-28日，华东师范大学
目
录
一．
引言
二．
标准SIS模型及免疫策略
三．
复杂网络上带媒介的SIS模型及其地方病平衡点和
无病平衡点的全局稳定性
四．
复杂网络上一类修正的带媒介的SIS模型及其地方
病平衡点和无病平衡点的全局稳定性
五．
注记
摘要：复杂网络是由具有一定特征和功能的、相互关联及相互影响的基本单
元所构成的复杂集合体。在现实生活中，许多复杂问题都可用复杂网络来刻
画和建模。例如，流行病的传播与控制、计算机病毒在网络中的扩散、谣言
的流传、交通疏导等，都可以看作复杂网络上服从某种规律的传播行为。
目前，关于复杂网络上流行病的传播与控制已有很多研究成果。在具有齐次
性质的复杂网络上，传染病的流行与否取决于流行病阈值。当传染率大于流
行病阈值时，随着时间的推移传染病会在总人口中占有一定的比例，反之，
传染病最终会消失。而对于具有非齐次性质的网络系统，人们一度认为，只
要在初始时刻存在感染者，传染病会始终存在；但随后的研究表明，在一定
更贴近现实的条件限制下，对于非齐次网络也存在正的流行病阈值（一般较
小）。
本报告首先简单介绍研究的背景、进展及我们的主要工作；接着介绍标准
SIS模型的动力学行为及免疫策略；然后讨论非齐次复杂网络上带传播媒介
的SIS模型及其地方病平衡点和无病平衡点的全局稳定性；最后谈谈非齐次
复杂网络上一类修正的带传播媒介的SIS模型，求出该模型的流行病阈值，
并证明当感染率大于该阈值时，只要模型存在初始感染节点，模型就总存在
唯一的正不动点，从而证明了该模型的传染过程的地方病平衡点和无病平衡
点的全局稳定性。
一、引言

近年来，复杂网络上的传染病动力学研究，已取得
了丰硕成果

当传染率大于流行病阈值时，随着时间的推移传染
病会在总人口中占有一定的比例；反之，传染病最
终会消失

阈值与全局稳定性……
主要工作

1.
本报告拟在我们近期研究结果的基础上，汇报：
复杂网络上带传播媒介的SIS模型的地方病和无病平
衡点的全局稳定性分析；
2.
一类修正后的带传播媒介的SIS模型的地方病和无病
平衡点的全局稳定性问题。
二、标准SIS模型及免疫策略
传染概率
易感者（S）
感染者（I）
恢复概率
S k( t ) +I k( t )  1

那么可知：

根据平均场理论，可得模型如下：
d I k (t )
  k [1  I k (t )](t )  I k (t )
dt
其中：
(t ) 
1
 kp(k ) I k (t )
k

根据动力学稳定性理论，考虑如下平衡：
d I k (t )
0
dt
那么可得：
I k (t ) 
k
1 k 
于是可得自洽方程：

2 p(k )
k


 f ()
k
1 k
那么当且仅当：
df (  )
1
|
d  0
计算可得阈值为：
c 
k
k
2
几类免疫策略

随机免疫：随机免疫就是完全随机地选取网络中的
一部分节点机型免疫，那么可建立下列模型：
d I k (t )
  k (1   )[1  I k (t )](t )  I k (t )
dt
其中:  表示免疫率， 0    1
易知：
c

k
(1 ) k 2
 c
 c 1

目标免疫：选取少量度大的节点进行免疫，也就是对那些
与周围联系较为紧密的节点进行免疫。那么可以建立下列
模型：
其中：
那么可得：
d I k (t )
  k (1   k )[1  I k (t )](t )  I k (t )
dt
k
1, k  ,

  c, k  ,
0, k  ,




c
k
2
2
k  k k

易证得：

 
c
c

熟人免疫：从网络中选取一定比例的节点，再从每个被选中
的节点中随机选择一个邻居节点进行免疫，可以建立下列模
型：
d I k (t )
  k (1   k )[1  I k (t )](t )  I k (t )
dt
其中，令：
k 
易得：

c
kp(k )
p
pN 
kp(k )
N k
k

k
p 3
2
k 
k p(k )
k

c


c

主动免疫：选择一定比例的感染节点，再对这些节点的度大于
指定值的邻居节点进行免疫，可建立下列模型：
d I k (t )
  k[1  I k (t )](t )  (1   ) I k (t )
k
dt
其中，令：

k

k k
kp(k )

k
k
k

k  k k
易得：
c

c

k
 c 
2
k k
k
2
三、复杂网络上带传播媒介的SIS模型的全
局稳定性分析
非齐次网络上带媒介的SIS模型包括三种状态：易
感者、感染者、传播媒介。

根据平均场理论可得模型如下：
 d I k (t )
  I k (t )   k[1  I k (t )](t )   1[1  I k (t )] (t )

 dt

 d (t )   (t )   [1  (t )](t )
2

 dt

类似可知其自洽方程为：
1
(t ) 
k
 k  1 2  k  2 2
k
 f ()
2
1 2  k  1 2  k  2
易知其阈值为：
c 
(1 1 2) k
k
2
地方病平衡点的稳定性
定理：设0  I k (0)  1满足 kp(k ) I k (0)  0, 那么当   c时，
有 lim I k (t )  I k , 其中I 1, I 2, I 3,
t 
引理
命题一
命题二
, I n是模型的非零不动点。
l k liminf I k (t )limsup I k (t )u k
t 
t 
引理一：假设初始时刻，度为 k 的感染者所占的密度满足
0 I k (0)1 且  kp( k ) I k (0) 0，传播媒介在全体媒介中所
占比例满足0V (0)1，那么对于任意的t >0, 模型的解 I k (t)
满足0(t ) 1， 0 I k (t ) 1， 0V (t ) 1.
命题一：设模型的解I（
k t）满足 limsup I k
t 
 l k , liminf I k  u k , 则
t 
1
lim sup I k (t ) 
1
t 
(
k
 k  1 2   k  2
k
1
1
kuk )
  k  1 2   k  2
k
1
lim inf I k (t ) 
t 
 k  1 2   k  2
k
1
(
k
kuk
kuk
klk
1
1
kl k )
  k  1 2   k  2
k
kl k
命题二：若0  I k (0)  1满足 kp(k ) I k (0)  0, 那么当   c时，
有 inf I k (t )  0, inf (t )  0，inf V (t )  0.
t 0
t 0
t 0
无病平衡点的稳定性
定理：设若0  I k (0)  1满足 kp(k ) I k (0) 0,那么当  c时，
无病平衡点全局渐进稳定。
引理：对于系统
dy
 Ay  H ( y )
dt
其中，A是nn矩阵，且H ( y )在D  R n上是连续可微的。假设
(1)
紧的凸集C  D关于系统是正不变的，且0C，
(2)
(3)
lim H ( y ) / y  0,
y 
存在  0和 AT的特征向量，使得对于任意的yC ,有( y )  y ,
(4)
对于任意的yC, 有(  H ( y ) ) 0,
(5)
y  0是系统在G =yC| H ( y ) =0上最大的正不变集，
那么可知y  0是全局渐进稳定的，或者对于任意的 y 0C 0,系统的解
 (t , y 0)满足 lim inf  (t , y 0)  m,此处m 0且与 y 0无关。
t 
此外系统存在一个常数解y  y , y C 0.
四、一类修正的带媒介的SIS模型及其免疫策略
及其地方病平衡点和无病平衡点的全局稳定性

根据平均场理论，可得到模型：
 d I k (t )
 dt   I k (t )   k[1  I k (t )](t )   1[1  I k (t )] (t )

 d (t )   (t )   [1  (t )] (t )
2
 dt

可以计算知其阈值为：
c 
(1 1 2) k
  ( k  k ) k
2
1
2
2
2
地方病平衡点的稳定性
定理：假设在初始时刻，度为k的感染者所占比例满足
0  I k (0)  1且 kp ( k ) I k (0)  0, 传播媒介在全体媒介中
所占的比例满足0  V (0)  1, 那么当   c时，系统的解
有 lim
t 
I k (t )  I k , 其中I 1, I 2, I 3,
, I n是模型的非零不动点。
引理一：假设初始时刻，度为 k 的感染者所占的密度满足
0 I k (0)1 且  kp( k ) I k (0) 0，传播媒介在全体媒介中所
占比例满足0V (0)1，那么对于任意的t 0, 模型的解 I k (t)
满足0(t )1， 0  (t ) 1， 0 I k (t ) 1， 0V (t ) 1.
命题一：设模型的解I（
k t）满足 limsup I k  l k , liminf I k  u k , 且
t 
t 
l k  0, u k  0，那么
1
 1 2 u k   k
k
k u k  k  2
lim sup I k (t ) 
1
t 
1 2 u k  1 2 u k   k
k
1
k
kuk
k u k k 2
1
k
kuk
1
 1 2 l k   k
k
1
k l k  k 2
kl k
k
lim inf I k (t ) 
1
1
t 
1 2 l k  1 2 l k   k
k l k k 2
kl k
k
k
命题二：若0  I k (0)  1满足 kp(k ) I k (0)  0, 那么当   c时，
有 inf I k (t )  0, inf (t )  0，inf V (t )  0, inf  (t )  0.
t 0
t 0
t 0
t 0
无病平衡点的稳定性
定理：设若0  I k (0)  1满足 kp(k ) I k (0) 0,那么当  c时，
无病平衡点全局渐进稳定。
五、注记
1.
本报告在模型建立时，没考虑到人口变化的情形，
当考虑人口变化时，网络结构将随之改变，模型将
更复杂，但更贴近现实。
2.
本报告考虑的带媒介的流行病模型，主要是SIS模
型，亦可推广到SIR模型等其它流行病模型中。
3.
……
Thanks
for your
attention！