Transcript 圆轴扭转

汽车机械基础第三章
第三章 构件承载能力分析
第四节
圆轴扭转
汽车机械基础第三章
引子:工程中发生扭转变形的构件
汽车机械基础第三章
工程中发生扭转变形的构件
汽车机械基础第三章
扭转变形实例:汽车传动轴
传动轴
其它例子还有:汽车方向盘轴、电动机轴、搅拌器
轴、车床主轴等等，都是受扭的实例。
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P
P
T
T
汽车机械基础第三章
第四节 圆轴扭转
主要内容:
1.圆轴扭转的概念
2.扭转内力:扭矩和扭矩图
3.扭转切应力分析与计算
4.圆轴扭转时的强度和刚度计算
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一.圆轴扭转的概念
1.工程中发生扭转变形的构件
2.扭转变形的特点：
受力特点：在垂直于杆件轴线的平面内， 作用
了一对大小相等，转向相反，作用平 面平行的
外力偶矩.
变形特点：杆件任意两横截面都发生了绕杆件
轴线的相对转动。
3.研究对象：轴(以扭转变形为主的杆件）
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一.圆轴扭转的概念
4.扭转变形
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角
位移。
剪应变（）：直角的改变量。
A
m

O

B
m
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二、外力偶矩、扭矩、扭矩图
输入功率：P(kW)
1、外力偶矩（T）
转速：n (转/分)
T
T
1分钟输入功：W
 60  P  1000  60000 P
1分钟T 作功：W   T
W W'
 T  2n  1  2nT
P
T  9550
n
N  m 
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单位
2、扭矩
扭矩——扭转轴的内力是作用面与横截面重合
的一个力偶，称为扭矩Mn。
 扭矩计算：利用截面法，并建立平衡方程得到
T
T
m
X
T
m
Mn
M
X
 0 Mn T  0
Mn  T
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上图中，以右段为研究对象，则结果一样：
T
m
T
X
m
T
Mn ´

M

0
 X Mn  T  0

Mn  T
扭矩Ｍn、Ｍn′大小相等、方向相反，是作用力与
反作用力关系。
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 扭矩正负号的规定
用右手螺旋定则判断：右手四指绕向表示扭矩绕
轴线方向，则大拇指指向与截面外法线方向一致
时扭矩为正，反之扭矩为负。同一截面的扭矩符
号是一致的。
T
Mn（-）
外力偶矩正负号的规定
X
外法线方向
和所有外力的规定一样，
与坐标轴同向为正，
反向为负
T
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Mn´(+)
X
外法线方向
用右手螺旋定则判断扭矩正负号：
Ｍn(+)
Ｍn(+)
左截面
右截面
Ｍn(-)
Ｍn(-)
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2、扭矩图
 当轴上作用有两个以上外力偶时，则轴上各段的
扭矩Mn的大小和方向有所不同。可用扭矩图来形
象地表达出轴上各截面的扭矩大小和符号的变化情
况；
 扭矩图画法：以横轴表示轴上截面的位置，纵轴表
示扭矩大小，正扭矩画在纵轴正向，负扭矩画在负
向。
 根据扭矩图可清楚地看出轴上扭矩随截面的变化规
律，便于分析轴上的危险截面，以便进行强度计算。
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例1 .传动轴如图所示，转速 n = 500转/分钟，主动轮
B输入功率PB= 10KW，A、C为从动轮，输出功率为
PA= 4KW ， PC= 6KW，试计算该轴的扭矩。
解：
TA
A
TB
B
1、计算外力偶矩
PA
4
TA  9550  9550
 76.4 N  m
n
500
PB
10
TB  9550  9550
 191N  m
n
500
PC
6
TC  9550  9550
 114.6 N  m
n
500
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TC
C x
TA
2、计算扭矩：
AB段：Mn1设为正的
M
X
A
TB
B
TA
 0 M n1  TA  0
M n1  TA  76.4 N  m
TC

x
Mn1
C x
Tc
Mn2
BC段： Mn2设为正的
M
X
0
Mn2  114.6 N  m
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3、画扭矩图
将扭转轴的扭矩沿截面的分布规律用图形表示
TA
TB
B
A
TC
C x
Mn
76.4Nm
+
x

-114.6Nm
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例２ 已知A轮输入功率为65kW，B、C、D轮输出功
率分别为15、30、20kW，轴的转速为300r/min，画
出该轴扭矩图。
1、计算
外力偶矩
TB
TA
TC
B
1
C
2
A
PA
TA  9550
 1592N  m
n
PB
TB  TC  9550
 477.5 N  m
n
PD
TD  9550
 637N  m
n
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TD
3
D
2、计算各截面的扭矩
TB
TC
1-1截面
Mn1=TB
1 C
=477.5N.m
B
T
B
2- 2截面
Mn2-TB-TC=0
Mn1
Mn2=TB+TC
TB
TC
=955N.m
3-3截面
Mn3=-TD
=-637N.m Mn 477.5
3、画扭矩图：
Mnmax=955N·m
TA
TD
X
2
A
3
D
TD
Mn3
Mn2
955
X
-637
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例３：主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、
C、D输出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，
轴的转速n=300r/min.试求传动轴指定截面的扭矩，
并做出扭矩图。
解：1)由外力偶矩
的计算公式求个轮
的力偶矩：
M A = 9550 PA/n =9550x36/300 =1146 N.m
M B =M C = 9550 PB/n = 350 N.m
M D = 9550 PD/n = 446 N.m
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2)分别求1-1、2-2、3-3截面上的扭矩，即为
BC,CA,AD段轴的扭矩。
M1+ MB= 0
M 1 = -M B =-350N.m
M B + M C + M 2 =0
M 2 =-M B -M C =-700N.m
M D -M 3 = 0
M 3 = M D = 446N.m
M3
M1
MT
M2
446N.m
x
3)画扭矩图：
350N.m
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700N.m
对于同一根轴来说，
若把主动轮A安置在
Ｍｎ M
轴的一端，例如放
B
在右端，则该轴的 (Nm)
扭矩图为：
350
M
A
M
M
C
D
x
700
1146
结论：传动轴上主动轮和从动轮的安放位置不
同，轴所承受的最大扭矩(内力)也就不同。显
然，这种布局是不合理的。
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例４ 已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入
P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，
P4=200kW，试绘制扭矩图。
解：①计算外力偶矩
m2
P1
500
m1  9.55  9.55 
n
300
A
 15.9(kN  m)
m3
m1
m4
n
B
P2
150
m2  m3  9.55  9.55 
 4.78 (kN  m)
n
300
P4
200
m4  9.55  9.55 
 6.37 (kN  m)
n
300
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C
D
m2
②求扭矩（扭矩按正方向设）
 mC  0 , T1  m2  0
T1  m2  4.78kN  m A
1
1
m3
B
2
2
m1
3
C
n
3 D
T2  m2  m3  0 ,
T2  m2  m3  (4.78  4.78 )  9.56kN  m
T3  m4  0 ,
T2  m4  6.37kN  m
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m4
m2
③绘制扭矩图
m3
m1
T max  9.56 kN m
m4
n
BC段为危险截面。 A
B
C
T
D

–
4.78
6.37
x
–
9.56
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课堂练习
３-39(a)
作业
３-39(b)
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三、圆轴扭转时的应力和变形
（一）圆轴扭转时横截面上的应力
 1．扭转试验
 等直圆轴试件，在圆轴表面画上若干平行于轴线的
纵向线和垂直于轴线的圆周线，然后在圆轴两端分
别作用一外力偶Ｔ，使圆轴发生扭转变形：
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扭转变形特点：
 各圆周线形状、大
小以及圆周线间距
离未改变，只绕轴
线转过了一定的角
度；
 各纵向线都倾斜了
同一角度γ，使圆轴
表面的小方格变成
了菱形。
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平面假设：
 圆轴扭转变形后各个横截面仍为平面，而且其大小、
形状以及相邻两截面之间的距离保持不变，横截面
半径仍为直线。
推断：
 横截面上各点无轴向变形，故横截面上没
有正应力σ。
 横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动，
故横截面上有切应力τ存在。
 各横截面半径不变，所以切应力方向与截
面半径方向垂直。
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结论：
 圆轴扭转时横截面上只有垂直于半径方向的切应力
τ，而无正应力σ。
各截面上只有切应力没有正应力的情况称为纯剪切
A
C
A

C
t
B
D
B
t´
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D
2．切应力分布规律
τmax
 可推导出切应力分
布规律：
圆轴扭转时横
截面上任一点的切
应力大小与该点到
圆心的距离成正比，
并垂直于半径方向
呈线性分布.
Mn
τ
τ
τmax
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切应力分布
表达式：
规律
t




t max  max R
M
n
R

 为截面最大半
 式中： 为截面上任一点的半径， max
 τ为半径为

径， max=R，
处的切应力，
τmax为最

大半径处的切应力。
 因此有：圆心处（即 =0）τ=0，圆轴表面处（ =
max
）切应力为最大。

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扭矩和切应力的关系：
 微面积dA上内力对o
点的矩:
dM =ρτρdA
Mn
 整个截面上的微内力
矩的合力矩应该等于
扭矩
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M T—横截面上的扭
矩（N.mm）
切应力计算公式
t
Mn

Ip
—欲求应力的点
到圆心的距离（mm）
M Pa
I p—截面对圆心的
4
极惯性（mm ）。
当  ＝  max 时，t ＝ t max，计算公式如下：
Mn
Mn
R
t max
 
Ip = W p M
Pa
3
W p为抗扭截面系数( mm
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)
（二）截面极惯性矩抗扭截面系数的计算
截面
形状
实心
圆截
面
截面极惯性矩
d
抗扭截面系数
4
Ip＝ 32
Ip~0.1d4
Wp=
d 3
16
Wp~0.2d3
D 3
空心
D ( 1- 4 ) W =
4)
(
1-
p
圆截 Ip＝ 32
16
面
 =d / D
 =d / D
4
其中d为圆截面直径，d、D为空心圆截面内外径。
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例６：如图所示,已知M1=5kNm;M2=3.2kNm;M3=1.8kNm;
AB=200mm;BC=250mm,AB=80mm,BC=50mm,G=80G
Pa。求此轴的最大切应力。
解： 求AB、BC段扭矩
MAB= -5kN.m
MBC= -1.8kN.m
根据切应力计算公式:
t AB max
t BC max
T
 5 10
ＭAB
AB


 48.83MPa
3
WAB 0.2  80
6
6
MBC
T

1
.
8

10
BC


 72MPa
3
WBC
0.2  50
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（三）圆轴扭转时的变形
 扭转角ψ——变形时圆轴上任意两截面相对转过的角
度.
Mn L
 
GI p
•Ｇ为轴材料的切变模量（ＭPa）；而ＧＩP称为抗扭刚度，
反映了圆轴的材料和横截面尺寸两个方面因素抵抗扭转变
形的能力；ψ单位弧度（rad）。
•当两截面之间的扭矩、直径有变化时，需分段计算各段的
扭转角，然后求其代数和。扭转角的正负号与扭矩相同。
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两个相距dx的横截面绕轴
线的相对角位移，即相对扭
转角d:
Mn
d 
dx
GI p
rad
相距L的两个横截面间相
对扭转角可用积分求得：
Mn
   d  
dx
l
0 GI
P
rad
长度为L的等截面圆轴，
扭矩为 Ｍn，该两截面的
相对扭转角为:
Mn L
 
GI p
单位长度扭转角θ:
l

rad
Mn
rad/m
  
L GI p
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ψ大小与Ｌ有关，为消除Ｌ的
影响，工程上用“单位长度扭转
角θ”来表示其变形。
180  Mn

GIP
剪切虎克定律：
 在剪应力的作用下，单元体的直角将
发生微小的改变，这个改变量 称为剪应
变。

当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应力
与剪应变之间成正比关系，这个关系称为剪切虎克
定律。

t  G
剪切弹性模量
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例７：
T1=5kNm;T2=3.2kNm;T3=1.8kNm;AB=200mm;BC=250mm,
dAB=80mm,dBC=50mm,G=80GPa
T1
T2
T3
1、求此轴的最大切应力
2、C截面相对于A截面的扭转角CA；
3、相对扭转角AB、 BC；
解：1、各截面扭矩：
MnAB=T1=-5kN.m;
MnBC=T3=-1.8kN.m
2、计算最大切应力
Mn
t AB max
M n AB
 5  106


 48.83MPa
3
W AB
0.2  80
t BC max
M n BC
 1.8  106


 72MPa
3
WBC
0.2  50
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2、求C截面相对A截面的扭转角
M n AB LAB
 5  103  200 103
 BA 

GI pAB
80 109  0.1  80 103

CB

M n BC LBC
 1.8  103  250 103


GI PBC
80 109  0.1  50 10 3

 3.05 10 3 (rad )
4

4
 5  10 3 (rad )
CA   BA  CB  (3.05  5)  103  8.05 103 (rad)
3、单位长度扭转角为：
 BA
3.05  103
2
 AB 



1
.
525

10
(rad / m)
3
L AB
 CB 
 BC
LBC
200 10
5  103
2



2
.
0

10
(rad / m)
3
250汽车机械基础第三章
 10
四、扭转强度、刚度条件
（一）强度条件
扭转轴内最
大切应力:
t max 
扭转强度条件：
t max
Wp
扭矩
Mn
(
)max  t 
Wp
最大切应力
Mn
许用切应力
抗扭截面系数
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•
危险截面——对于等截面轴是指扭矩最大的截
面，而对于阶梯轴应该是扭矩大而抗扭截面系
数小的截面，需综合考虑Ｍn和Ｗp两个因素来
定。
 许用切应力[τ]，可通过[σ] 来近似确定：
 塑性材料：
[τ]=（0.5～0.6）[σ]
 脆性材料：
[τ]=（0.8～1.0）[σ]
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强度条件的应用
（1）校核强度
t max
Mn
(
)max  t 
Wp
M n max
（2）设计截面
Wp 
（3）确定载荷
Mnmax  W p t 
t 
汽车机械基础第三章
 例８某传动轴所传递的功率P=80kW，其转速
n=580rpm，直径d=55mm，材料的许可切应力
[τ]=50MPa，试校核轴的强度。
解：1、计算传动轴的外力偶矩为：
P
80
T  9550  9550
 1317.1N.m
n
580
2、计算工作切应力的最大值：
t max
Mn
T
1317.1  103



 39.58MPa [t ]  50MPa
3
3
Wp 0.2d
0.2  55
3、结论:传动轴的强度足够！
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例7 已知A轮输入功率为65kW，B、C、D轮输出功率
分别为15、30、20kW，轴的转速为300r/min，试设计
TA
该轴直径d。
T
TB
TC
D
C
B
D
A
Mn
955
477.5
-637
解:1、计算各外力偶矩及各截面扭矩并画扭矩图:
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由扭矩图可知：
Mnmax=955N·m
2、由强度条件设计轴直径：
t max
M n max 16M n max


 [t ]
3
Wp
d
3
d
16 M n max
 49.5mm
 [t ]
3、结论：选轴径d = 50 mm
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 例8 汽车传动轴由45＃无缝钢管制成。已知：
[τ]=60MPa，若钢管的外径D＝90mm，管壁厚
t=2.5mm，轴所传动的外力偶矩Ｔ=1.5kN.m.试：1、校
核传动轴的强度；2、与同性能实心轴的重量比。
解：1、校核强度（Ｍn＝Ｔ）
t max
Mn
T
1.5  10



3
4
3
D 2t 4
WP 0.2 D (1   ) 0.2 D [1  ( D ) ]
6
代入数据后得：
τmax＝50.33MPa<[τ]＝60MPa;
结论:强度足够
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2、设计实心轴直径D1（两轴Mn相等)
t max 1
Mn1
Mn


 t max  50.3即
3
WP1
0.2 D1
Mn
1.5  10
3
D1  3

 53.03mm
0.2t max
0.2  50.3
轴径取：D1 = 53 mm
6
G实 心 轴
A1 L
D12
3、两轴重量比：


2
2
G空 心 轴
AL
D d
532

 3.21
2
2
90  85
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例9 汽车主传动轴，传递最大扭矩Mn=1930N·m,传动轴用外径
D=89mm、壁厚=2.5mm的钢管做成。材料为20号钢，
[t]=70MPa.校核此轴的强度。
传动轴
（1）计算抗扭截面系数
d
   0.945
D
W p  0.2 D 3 (1   4 )  0.2  8.9 3 (1  0.945 4 )  29cm3
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（2） 强度校核
Mn
t max 
Wp
1930

29 10 66
 66.7  10 Pa
 66.7MPa [t ]  70MPa
结论：满足强度要求
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（二）扭转刚度条件
1、扭转变形
扭转角：
Mn L

GI p
抗扭刚度
单位长度扭转角：

或：
Mn
 

L
GI p
rad / m
180  M n

GIP

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/m
2、扭转刚度条件
以每米度为单位时：
180  M n

  
GIP
许用单位长度扭转角
[θ]根据轴的工作条件和机器运转的精度要求等
因素确定，一般规定如下：
精密机械的轴： [θ]=（0.25～0.5）°/ｍ 一般
传动轴: [θ]=（0.1～1.0）°/ｍ
精度要求不高
的轴:θ]=（1.0～2.5）°/ｍ
具体数值可参考有关设计手册。
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注：对于阶梯轴，因为极惯性矩不是常量，
所以最大单位长度扭角不一定发生在最大扭
矩所在的轴段上。要综合考虑扭矩和极惯性
矩来确定最大单位长度扭角。
根据扭转刚度条件，可以解决刚度计算
的三类问题，即校核刚度、设计截面和
确定许可载荷。
汽车机械基础第三章
例11 一传动轴，已知d=45cm,n=300r/min。主动轮输入功率
PA=367kW,从动轮B、C、D输出的功率
PB=147kw,PC=PD=11kW。轴的材料为45号钢，
G=80103MPa，t=40MPa,=2/m，试校核轴的强度和刚度
。
解：(1)计算外力
偶矩
PA
36.7
TA  9550
 9550
 1170N  m
n
300
PB
14.7
TB  9550
 9550
 468N  m
n
300
PC
11
TC  TD  9550
 9550
 351N  m
n
300
汽车机械基础第三章
(2)用截面法求AB.AC.CD各段的扭矩，画扭矩图：
M n1  TB  468N  m
M n 2  TA  TB  1170 468  702N  m
M n 3  TA  TB  TC  1170 468 351  351N  m
Mnmax  702N  m
Mn
汽车机械基础第三章
(3) 强度校核
M n max
702
t max 

3
Wp
0.2  0.045
 38.8  106 Pa
 38.8MPa  [t ]  40MPa
满足强度条件.
(4) 刚度校核:
o
M n max 180o
702
180
 max 



9
4
GI p

80 10  0.1  0.045 3.14
 1.23 m  2 m  [ ]
故满足刚度条件
汽车机械基础第三章
例12 阶梯轴已知：d1=40mm，d2=55mm，TC=1432.5N.m，
TA=620.8N.m。许用单位长度扭转角[θ]=20/m，许用切应力
[τ]=60MPa，切变模量G=80GPa，校核轴的强度和刚度。
解： 1.由轴的计算简图画轴的
扭矩图得AB、BC段的扭矩：
TA
TB
TC
M n AB  TA  620.8 N .m；
M n BC  TC  1432.5 N .m
Mn
2.在AB段上AD段各截面是
危险截面，其最大切应力为：
t AD max
M n AB 620.8  103


 48.5 MPa
3
W pAD
0.2  40
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3.BC段的最大切应力为：
t BC max
M n BC 1432.5  103


 43.05MPa
3
W pBC
0.2  55
4.整个轴的最大切应力为:
t max  t AD max  48.5MPa  [t ]  60MPa
5.结论:轴的强度足够
TA
TB
Mn
汽车机械基础第三章
TC
6、刚度校核
AD段的单位长度扭转角：
Mn AB 180
620.8  180

 AD 



1
.
737
m
9
4
GI pAD 
80 10  0.1  0.04  3.14
BC段的单位长度扭转角：
Mn BC 180
1432.5  180

 BC 



1
.
121
m
9
4
GI PBC 
80 10  0.1  0.055  3.14
因此，轴的最大单位长度扭转角
 max   AD  1.737  m  [ ]  2  m
所以，轴的刚度足够
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小结与作业
 本节重点:圆轴扭转的强度和刚度计算
 作业:
汽车机械基础第三章
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