Transcript 轴向拉压

第三章
第二节 轴向拉伸与压缩
本章主要内容





轴向拉伸与压缩的概念
拉(压)杆的轴力和轴力图
拉(压)杆横截面的应力和变形计算
材料拉伸和压缩时的力学性能
拉(压)杆的强度计算
第三章
引子
 工程实例:受拉(压)结构及其失效分
析
曲柄连杆机构
连杆
ω
P
第三章
一.轴向拉伸与压缩的概念及特点
受力特点：
外力(或外力的合力)沿
杆件的轴线作用，且作
用线与轴线重合。
F
F
F
F
变形特点：
杆沿轴线方向伸长
(或缩短)，沿横向缩
短(或伸长)。
定义:
发生轴向拉伸与压缩的杆件一般简称为拉(压)杆。
第三章
二、截面法 · 轴力
内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的
基础。求内力的一般方法是截面法。
1.
截面法的基本步骤：
① 截开：假想地用截面将杆件一分为二。
② 代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用
在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。
③ 平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来
计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力
对所留部分而言是外力）。
第三章
例如： 截面法求N 。
A
P
截开：
P
A
P
P
简图
代替：
P
N
A
平衡：
X 0
PN 0
PN
2. 轴力——轴向拉压杆的内力，用N 表示。
第三章
3. 轴力的正负规定:
N
N
N
N
N 与外法线同向,为正轴力(拉力)
N与外法线反向,为负轴力(压力)
N>0
N<0
4.轴力图—— N (x) 的图象表示。
意
义 ①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；
②确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，
即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。
x
第三章
轴力图
轴力图的画法：
用平行于杆件轴线的坐标表示杆件截面位置，
用垂直于杆件轴线的另一坐标表示轴力数值大小，
正轴力画在坐标轴正向，反之画在负向。
A
P
N
P
简图
P
+
作法
第三章
x
[例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P
、4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
C
D
PC
PD
C
D
PA
PB
PC
解： 求OA段内力N1：设置截面如图
PD
O
A
PA
N1
X 0
A
B
PB
B
N1  PA  PB  PC  PD  0
N1  5P  8P  4P  P  0
第三章
N1  2P
O
A
同理，求得AB、BC
、CD段内力分别为
：
B
PA
N2
PB
B
N2= –3P
C
D
PC
PD
D
C
PB
PC
PD
N3
C
D
PC
PD
D
N3= 5P
N4= P
N4
轴力图如右图
PD
5P
N
2P
+
+
–
3P
第三章
P
x
轴力图
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷
轴力(图)的简便求法： 自左向右:
遇到向左的P ，轴力N 增量为正；
例: 5kN
遇到向右的P ，轴力N 增量为负。
8kN
3kN
N
5kN
+
8kN
–
第三章
x
3kN
例2： 已知F1=20KN，F2=8KN，F3=10KN，试用截面法求图
示杆件指定截面1－1、2－2、3－3的轴力,并画出轴力图。
1
F2
2
F1
B
A
1
3
F3
C
2
D
3
解:1)外力FR，F1，F2， F3将杆件分为AB、BC和CD
段，取每段左边为研究对象.求得各段轴力为：
第三章
FR
1
2) 截面法求得各
段轴力为：
FN1=F2=8KN
FN2=F2 - F1
= -12KN
FN3=F2 + F3 - F1
= -2KN
3) 轴力图如图:
F2
2
F1
B
A
F2
1
FN1
3
F3
C
2
D
3
F2
F1
FN2
F2
F1
F3
FN3
FN
B
A
第三章
FR
C
D
x
三. 截面上的应力及强度条件
1.问题提出： P
P
P
P
1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。
2. 强度：①内力在截面分布集度应力；
②材料承受荷载的能力。
复习:
应力的定义：由外力引起的内力集度。
第三章
2、拉压杆横截面上的应力
•拉伸实验
a
c
FP 变形前
FP
b
FP
d
a´
c´
b´
d´
第三章
FP 变形后
拉伸实验
•拉伸实验现象
杆件拉伸变形后，表面的各横向线分别
向外平移了一定距离，但仍保持为直线，且
仍垂直于轴线。
•平面截面假设
变形前是平面的横截面，变形后仍为平面，
变形时横截面只是沿轴线产生相对平移。
第三章
拉(压)杆横截面上的应力
根据杆件变形的平面假设和材料均匀连续性假
设可推断：轴力在横截面上的分布是均匀的，且方
向垂直于横截面。所以，横截面的正应力σ计算公
m
n
式为：
F
FN
MPa
σ=
A
F
m
FN 表示横截面轴力（N）
A 表示横截面面积（mm2）
F
第三章
n
FN
一中段开槽的直杆如图，受轴向力F作用；已知：F=20kN，
h=25mm，h0=10mm，b=20mm；试求杆内的最大正应力
解：
1、求轴力FN;
FN=-F=-20kN=-20x103N
2、求横截面面积：
A1=bh=20x25=500mm2
A2=b(h-h0)=20x(25-10)
=300mm2
3、求应力
1-1，2-2截面轴力相同，
最大应力在面积小的2-2截面上
FN
-20X103
σ= A = 300
=-66.7MPa （为压应力）
第三章
例2-4）
汽车上铆接件接
头 ， 已 知 Ｆ =7 Ｋ
Ｎ ，=1.5 ｍ ｍ ，
b1=4 ｍ ｍ ,b2=5 ｍ
ｍ ,b3=6 ｍ ｍ , 计
算板内最大拉应
力。


F
F
3
2
1
1
b3
b2
F/3
b1
F/3
2
F/3
F
3
解：取其中一个铆接件为研究对象，由受力图可知：以各铆
钉孔中心为分界点，各段的内力有所不同，分别取截面1-1、
2-2、3-3，各段内力为：FN1=F/3、 FN2=2F/3、 ＦN3=Ｆ
铆钉孔中心所在截面是最大应力出现的截面分别计算如下：
第三章
1-1截面应力：
F
F /3
1  N1 
A1
2b1
7  103

 194Mpa
3  2  4  1.5
1
1
2
FN1/2
FN 2 2 F / 3
2 

A2
2b2
F/3
FN1/2
2  7  10

 311Mpa
3  2  5  1.5
3
FN 3
F
3 

A3
2b3
b3
b2
F/3
b1
F/3
2-2截面应力：
3-3截面应力:
3
2
F/3
F
3
FN3/2
F
FN3/2
FN2/2
F/3
F/3
FN2/2
7  103
   3  388.9Mpa

 388.9 Mpa 最大应力： max
2  6  1.5
第三章
四.拉(压)杆的变形
FP
1、变形与应变
杆件受拉会变长变细，受压
会变短变粗
长短的变化沿轴线方向，
称为纵向变形
b-Db
b
L+DL L
粗细的变化与轴线垂直，
称为横向变形
FP
第三章
1、变形与应变
纵向变形:
Dl  l1  l
FP
FP
l
FP
FP
l1
第三章
1.变形与应变
横向变形:
Dd  d1  d
FP
d
FP
l
FP
d1
FP
l1
Dl 和 D d 称为杆件的绝对变形
第三章
应变：
实验表明：杆的绝对变形量与杆的原尺寸l和b有关。为了
度量杆的变形程度，用单位尺寸内的变形即线应变来衡量：
l1  l
Dl

纵向线应变：  
l
l
横向线应变：    Db  b1  b
b
b
线应变表
示杆件的
相对变形，
是一个无
量纲的量。
纵向线应变：伸长为正号，缩短为负号横向线
应变：伸长为负号，缩短为正号
第三章
1.变形与应变
1).绝对变形 : 纵向变形和横向变形统称为绝对变形。
规定：L—等直杆的原长
d—横向尺寸
L1—拉(压)后纵向长度
d1—拉(压)后横向尺寸
纵向变形 ： DL
 L1  L
横向变形： Dd  d1  d
拉伸时纵向变形为正，横向变形为负；
压缩时纵向变形为负，横向变形为正。
第三章
 四.拉(压)杆的变形
2).相对变形： 单位长度的变形量。


和
′都是无量纲量，
又称为线应变，其中 称
为轴向线应变，
′称为
横向线应变。

3).横向变形系数： 泊松比

′＝
-
第三章

DL

L
 ′＝
Dd
d
泊松比
无论受拉或受压，纵向应变与横向应变符号总是
相反，它们两者的比值的绝对值用符号  表示，
称为泊松比。即：






对于同一种材料，当应力不超过某一限度时，泊
松比  是个是一个材料常数，也称为横向系数。
第三章
 四.拉(压)杆的变形
2.虎克定律
FN L
DL 
EA
或
  E
E 为材料的拉(压)弹性模量，单位是Gpa
FN、E、A均为常量，否则，应分段计算。
E 材料刚度的指标。 EA为杆件抗拉压刚度.
第三章
例2：如图所示杆件，求各段内截面的轴力和应力，并画出
2
A1  200mm ，较粗
轴力图。若杆件较细段横截面面积
2
A

300mm
段 2
，材料的弹性模量 E  200GPa， L  100 mm
求杆件的总变形。
10KN
A
40KN
B
L
第三章
C
L
30KN
解：分别在AB、
BC段任取截面，
如图示，则：
FN1= 10KN
10KN
A
B
L
C
30KN
L
10KN
FN1
σ1 = FN1 / A1
= 50 MPa
FN2= -30KN
40KN
30KN
FN2
FN
10KN
x
σ2 = FN2 / A2
= 100 MPa
轴力图如图：
30KN
第三章
由于AB、BC两段面积不同，变形
量应分别计算。由虎克律
FN L
DL 
EA
可得：
D LAB =
D LBC =
10KN X 100mm
200GPa X 200 mm
2
= 0.025mm
2
= -0.050mm
-30KN X 100mm
200GPa X 300 mm
D L = D LAB + D L = - 0.025mm
BC
第三章
四.材料拉伸和压缩时的力学性能
 材料的力学性能：材料在外力作用下所表现出来
的规律性和特征。如弹性、塑性、强度、韧性、硬
度等。它是通过试验的方法测定的，是进行强度、
刚度计算和选择材料的重要依据。
 工程材料的种类：根据其性能可分为塑性材
料和脆性材料两大类。低碳钢和铸铁是这两
类材料的典型代表，它们在拉伸和压缩时表
现出来的力学性能具有广泛的代表性。
第三章
四.材料拉伸和压缩时的力学性能
一、试验条件及试验仪器
1、试验条件：常温(20℃)；静载（及其缓慢地加载）；
标准试件。
h
d
第三章
2、试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）。
第三章
（一）材料在拉伸时的力学性能
标准试件
•典型试验材料类型：
低碳钢：塑性材料的典型代表；
灰铸铁：脆性材料的典型代表；
•标准试件：
标距
d0
L0
尺寸符合国标GB228-72002的试件；
标点 标距：
用于测试的等截面部分长度；
圆截面试件标距：L0=10d0或5d0
第三章
标准试件
第三章
1、低碳钢拉伸时的力学性能
•
低碳钢是工程上广泛使用的材料。汽车40%左右的零部
件都是由其制成。低碳钢的力学性质非常具有代表性。
•在拉伸过程中，试验机上的绘图仪能自动绘出所加载荷
F和标距内伸长变形量Δl之间的关系曲线，称拉伸图或FΔL曲线。
•拉伸图与试件几何尺寸有关，为消除试件几何尺寸的影
响，将拉伸图纵坐标除以试件横截面面积A，横坐标除以
标距l，得到能反映材料力学性能的应力与应变关系曲线，
称为应力-应变图或σ-ε图。
第三章
低碳钢拉伸时的F-ΔL曲线
F
Fb
颈缩阶段
FP F
强化阶段
s
Fe 屈服阶段
线弹性阶段
ΔＬ
O
延伸率：
断面收缩率：
弹性极限
FP
P 
A
比例极限
Fe
e 
A
屈服极限：
Fs
s 
A
强度极限：
A  A1
L1  L
 100%   Fb

 100%  
b
A
L
A
第三章
低碳钢拉伸试验现象：
屈服：
颈缩：
颈缩：
断裂：
第三章
低碳钢拉伸时的应力-应变曲线
 (MPa)
400
D(b)
B(s上)
F
低碳钢拉伸
应力应变曲线
C(s下)
(P) A´
200 A(E)
E
a
O
O1
H

0.1
第三章
0.2
上图中:
 直线ＯＡ的倾角α，其正切为：tgα=

=Ｅ，Ｅ即为

材料的弹性模量。
 由于σp和 σe很接近，应用时可认为σe=σp，Ａ和Ａ
′可以认为是同一点。
 工程中绝大多数构件出现塑性变形后已不能正常工作，
因此，屈服强度常作为衡量材料是否破坏的强度指标。
 强度极限是材料能承受的最大应力值，它是衡量材料力
学性能的另一个重要指标。
 强化阶段如卸载后再加载，则出现材料的弹性极限提高
而塑性降低的现象，称为冷作硬化。
第三章
低碳钢拉伸时力学性能指标
•
•
•
低碳钢的整个拉伸过程大致可分为四个阶段：
1、弹性阶段 2、屈服阶段 3、强化阶段
4、缩颈断裂阶段
拉伸过程有四个强度指标:  p ,  e ,  s ,  b
和两个塑性指标:  ,
。
:
工程上通常将δ≥5%的材料称为塑性材料，如钢材、
铝、铜等； 把δ＜5%的材料称为脆性材料，如铸铁、
砖石、混凝土等。低碳钢的δ=20%～30%，是典型的
塑性材料。
第三章
2、铸铁拉伸时的力学性能

 bL
灰铸铁的
拉伸曲线

O
铸铁拉伸应力-应变曲线
第三章
2.铸铁拉伸时的力学性能
•
图中无明显直线部分，说明不符合胡克定律，工程
中通常近似地用直线代替；
•
铸铁在拉伸过程的变形不明显，没有屈服阶段和缩
颈现象，断裂是突然出现的，直至拉断，塑性变形
都很小。
•
•
•
铸铁的延伸率δ<1%，铸铁是典型的脆性材料；
强度极限σb是铸铁唯一衡量其强度的指标。
铸铁的抗拉强度极限很低，不宜用作受拉构件。
第三章
3.其它塑性材料拉伸应力应变曲线
(MPa)

900
800
A
锰钢
0.2
S
700
600
硬铝
500
球铁
400
45钢
300
200
O
100
0
10
20
(%)
30
第三章
0.2%

其它塑性材料拉伸时的力学性能
 工程中常用的塑性材料除低碳钢外，还有中碳钢、
合金钢、铜合金、铝合金等，其中有些材料的力学
性能与低碳钢类似，如16Ｍn，拉伸过程有明显的阶
段性和相应特征。
 其它大部分材料则无明显的屈服阶段，如黄铜、铝
合金等，因此无屈服极限σs ；
 对于这类材料，工程上规定以产生0.2%的塑性变形
时所对应的应力值作为材料的屈服强度指标，，称
为名义屈服强度，以σ0.2表示。
第三章
（二）材料在压缩时的力学性能
•
•
压缩试验也是常温下在万能材料试验机上进行的。
•
•
以低碳钢、铸铁为典型材料
压缩试验材料一般做成粗短圆柱状标准试件，圆
柱高度与直径之比在1-３范围内选取。也有采用
方形试件的，如混凝土。
材料压缩时的力学性能也是用应力-应变曲线来表
示。
第三章
1、低碳钢压缩时的力学性能
 (MPa)
低碳钢压缩
应力应变曲线
400
D(b)
F
B(s上)
低碳钢拉伸
应力应变曲线
C(s下)
(e) A´
200
A(p)
E
E=tga
a
O
O1
H
0.1
低碳钢拉压缩应力-应变曲线
第三章

0.2
第三章
低碳钢压缩时力学性能:
 图中:屈服阶段以前两曲线重合，低碳钢
压缩时的比例极限、屈服极限、强弹性
模量等与拉伸时是相同的。
 过了屈服阶段后，曲线一直显上升趋势，
这是因为低碳钢塑料性好，可以发生很
大塑性变形使试件愈压愈扁而不断裂，
因此低碳钢不存在强度极限σｂ。
第三章
第三章
铸铁压缩时的力学性能
•
与拉伸时一样，铸铁在压缩时没有
直线部分，不存在屈服点；
•
压缩时随压力的增加，试件略成鼓
形，最后在很小变形下断裂；
•
灰铸铁的压缩强度比拉伸强度高得
多，大约是拉伸时的３～５倍；
•
脆性材料拉伸时强度极限低，塑性
差，但抗压强度高；
•
脆性材料的压缩试验，更具有实用
意义，脆性材料是很好的耐压、减
震件的材料。
第三章
5、塑性材料和脆性材料力学性能比较
塑性材料
延伸率
脆性材料
δ > 5%
延伸率
断裂前有很大塑性变形
δ < 5%
断裂前变形很小
抗压能力与抗拉能力相近 抗压能力远大于抗拉能力
可承受冲击载荷，适
合于锻压和冷加工
适合于做基础构件或箱体
类零件
材料的塑性和脆性会因为制造方法工艺
条件的改变而改变
第三章
六、轴向拉伸压缩时的强度计算
1、材料的极限应力 
0
材料的极限应力是指保证正常工作条件下，该材
料所能承受的最大应力值。


s
0
 
 b
塑性材料为屈服极限  S
脆性材料为强度极限  b
第三章
典型材料的极限应力
材料种类
Q235 钢：
屈服极限  s
（ MPa ）
235
强度极限  b
（ MPa ）
372-392
35 钢：
314
529
45 钢：
353
598
65Mn：
343
510
第三章
2、工作应力
FN
 
A
•工作应力——杆件轴向拉压时截面
的应力即构件的工作时的实际应力：

工作应力仅取决于外力大小和构件的几何尺寸。
只要外力和构件几何尺寸相同，不同材料做成的
构件的工作应力也是相同的。
 对于同样的工作应力，为什么有的构件破坏、有
的不破坏？显然这与材料的性质有关。
•工程实际中
是否允许：
 s
   
 b
0
第三章
？
答案是：
不允许！
工作应力不能等于极限应力的原因：
# 实际材料与理想不相符（材质的不完全均匀、 连续
和各向同性）
# 生产过程、工艺不可能完全符合要求
# 对外部条件估计不足、某些不可预测的因素
# 数学模型经过简化使构件工作应力计算有近似性
# 考虑构件磨损和各个构件的重要程度差异等因素
#构件必须适应工作条件的变化安全工作
因此，构件必须要有一定的强度储备。
许用应力
第三章
 
3、许用应力
•构件工作应力的最大允许值等于材料极限应力的若干分之
一，这个允许值称为许用应力，用符号［σ］表示。
  
0
n

塑 性 材 料 ：  



脆 性 材 料 ：  


s
ns
b
nb
•上式中n是一个大于1的系数，称为安全系数
因为断裂破坏比屈服破坏
•一般说：
nb  ns 更危险。
•一般ｎs=1.4～1.8，ｎb=2.0～3.5。特殊情况下可查阅手
册正确选用安全系数，可以设计出安全经济尺寸合理的构
件
第三章
4、拉压杆的强度条件
轴力
工作应力
   max
FN

  
A
横截面积
第三章
材料的
许用应力
5、强度条件的工程应用
 max
有三个方面的应用：
# 已知 FN 和 A、 [σ] 可校核强度，
即考察构件是否安全工作；
# 已知 FN 和 [σ]，可以设计构
件的截面A（几何形状）；
# 已知A和[σ]，可以确定许可
载荷[FN]。
第三章
FN max

  
Amin
 max   
Amin 
FN max
 
FN max  Amin  
例2：图示钢拉杆受轴向载荷F=40kN，材料的许用应力
[
]=100MPa，横截面为矩形，其中h=2b，试设计拉杆
的截面尺寸h、b。

F
解： 求拉杆的轴力。
F
h
FN = F = 40kN
则：拉杆的工作应力为：

b
= FN / A = 40 / b h = 40000/2b
= 20000/b 2 <= [  ] = 100
b= 14mm
所以：
h= 28mm
第三章
2
例1、铣床工作台进给液压缸，
缸内压强p=2MPa，缸内径
D=75mm，活塞杆直径d=18mm，
活塞杆材料[σ]=50MPa，校核
活塞杆强度。
解：1、求活塞杆的轴力：
 2 2
3
FN  p  A  p ( D  d )  8.33 10 N
4
2、活塞杆横截面上的应力为：
FN
8.33 103
 

 32.7 MPa  [ ]
  182
A1
4
3、结论：活塞杆强度足够
注：在工程中允许工作应力大于许用应力但不可超出5％。
第三章
例3：
一起重吊环，有两个侧臂AC和AB为矩形截面锻钢杆，
h=120mm, b=36mm,[σ]=80MPa。求吊环的最大起重量。
解：1、要求确定许可载荷，
可根据以下公式求解：
FP
FN max  Amin  
2、先求出侧臂所能承受的
最大内力，再通过静力平衡
条件确定吊环的载荷；
FP
第三章
FP
FN max  Amin  
FP
FP
 2  120 36 80
 691200N
3、由静力平衡条件：
F
Y
FN
0
FP  2  FN  cosa  0
FP
FP
cosa 
960
FP  2FN cosa  2  691200 0.92
 1271808N
第三章
FN
960  420
2
2
 0.92
FP  1271kN
例4：已知：
木杆面积A1=104mm2， [σ]1=7MPa
钢杆面积A2=600mm2，[σ]2=160MPa,
确定许用载荷[G]。
解：1、求各杆的轴力：
∑Fx=0 －FN1－FN2cos300=0
∑Fy=0 FN2sin300－G=0
FN1= －1.73G, FN2=2G
2、由强度准则确定[G]：
σ1 =FN1/A1≤ [σ]1
得：G≤ [σ]1 A1 /1.73=40.4kN
-
σ2 =FN2/A2=2G/A2
=80.8×103/600
3、校核钢杆强度：
=134.67MPa<[σ]2
4、强度足够，故许可载荷[G]=40.4kN
第三章
课后小结
 重点概念:
强度.刚度.稳定性.变形.内力.应力
重点理论:
胡克定律
拉压强度条件
第三章
 jx
  
n
1、许可应力：
2、极限应力：
3、安全系数：
第三章

jx

 s , 0.2 , b 
n
强度条件：最大工作应力不超过材
料的许用应力。
 max
FN max
≤ []

A
其中：[]--许用应力， max--危险点的最大工作应
力。
第三章
强度计算：
强度计算可以解决以下三类问题：
①校核强度：
②设计截面尺寸：
③许可载荷：

 
max

N max
Amin 
[ ]
Nmax  A
第三章

;
P 
f ( Ni )