Transcript 弯曲变形

5
梁弯曲时的位移
5.1 梁的位移——挠度及转角
5.2 梁的挠曲线近似微分方程
5.3 积分法计算梁的变形
5.4 叠加法计算梁的变形
5.5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
5.1 梁的位移——挠度及转角

梁在平面弯曲时，其轴线弯成
w

F
x
一平面曲线，称为梁的挠曲线。
x
y
w = f (x)
梁横截面形心的竖向位移称为截面的挠度，用 w 来表示。
规定：挠度以向下为正，向上为负。
梁横截面绕中性轴转过的角度称为截面的转角，用  来表示。
规定：由变形前的横截面转到变形后，转角以顺时针为正，逆时针为负。
梁不同截面的挠度和转角不同，它们是截面坐标的函数，称为梁的
挠度方程 和 转角方程。

w

 挠度和转角的关系
F
x
x
y
w = f (x)
挠曲线为一条平坦的曲线
w = f（x）
挠曲线方程
θ =θ（x）
转角方程
dw
tan  
 f ( x)  w
dx
  tan     w
5.2 梁的挠曲线近似微分方程

曲率与弯矩的关系：
推导纯弯曲梁的正应力时
1



M
EI z
横力弯曲，忽略剪力对变形的影响
1
M ( x)

 ( x)
EI z
曲率与挠曲线的关系（数学表达式)
1

 ( x)

w
1  ( w) 
2
3
2
w  1, 
1
  w
 ( x)
挠曲线与弯矩的关系
 ( x)
  w
 z
或
 z w  Μ ( x)
在规定的坐标系中, x 轴水平向右为
x
O
正, y 轴竖直向下为正。
曲线向上凸 时 ： w > 0 , M < 0
曲线向下凸 时 ： w < 0 , M > 0
M 与 w 的正负号正好相反，所以
M
y
M
M<0
w"  0
d2w
ΕΙ z
  M ( x)
2
dx
x
O
——挠曲线近似微分方程
M
M
挠曲线近似微分方程的近似性：
忽略了“ Fs ”以及( w)2 对变形的影响
使用条件：弹性范围内工作的细长梁。
y
M>0
w"  0
5.3 积分法计算梁的变形
步骤：

根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。

根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分（EIz为常量）
d2w
EI z 2   M ( x)
dx
dw
EI z
 EI z    M ( x)dx  C1
dx
EI z w   (   M ( x )dx)dx  C1 x  C2

根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。
PF
B
C
A
边界条件：
wA  0
wB  0
连续条件：
wC左  wC右
C左  C右
D
wD  0
FP
D  0
（1）、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。
（2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。
（3）、在弯矩方程分段处：一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。

确定挠曲线方程和转角方程 。

计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。
例5-1 求图示悬臂梁自由端的挠度及转角( EIz = 常数）。
L
解：a) 建立坐标系并写出弯矩方程
F
M ( x )   F ( L  x)
写出微分方程并积分
EI z w  M ( x)  F ( L  x)
1

EI z w   F ( L  x) 2  C1
2
1
EI z w  F ( L  x)3  C1 x  C2
6
c)
应用位移边界条件求积分常数
x = 0, w = 0 ;  = 0
1
1
 C1  FL2 ; C2   FL3
2
6
d)
x
b)
确定挠曲线、转角方程
y
F
3Lx 2  x3 
w( x) 
6 EI z
  w  
F
 x 2  2Lx 
2EI z
e) 自由端的挠度及转角
FL3
w( L) 
3EI z
FL2
 ( L) 
2 EI z
x
例5-2 求分布载荷简支的最大挠度和最大转角 ( EIz = 常数 ）
q
ql/2
解：a) 建立坐标系并写出弯矩方程
ql
qx2 q
M ( x)  x 
 (lx  x 2 )
2
2
2
A
B
C
b)写出微分方程并积分
q
EI z w   (lx  x 2 )
2
q lx 2 x 3
EI z w   (
 )  C1
2 2
3
q lx 3 x 4
EI z w   (
 )  C1 x  C2
2 6 12
c)应用位移边界条件求积分常数
x=0,w=0; x=l, w=0.
3
ql
C1 
,
24
C2  0
ql/2
l
x
d)确定挠曲线和转角方程
qx
w
(l 3  2lx 2  x3 )
24 EI z
  w 
q
(l 3  6lx 2  4 x3 )
24 EI z
e)最大挠度及最大转角
wmax
x
l
2
5ql 4

384 EI z
max
A
ql 3
 
B
24 EI z
例5-3 求图示梁的跨中的挠度和转角（EIz = 常数）
解：a)建立坐标系并写出弯矩方程
Fb
M ( x1 ) 
x1
l
Fb
M ( x2 ) 
x2  F ( x2  a )
l
ab l
Fb
l
a
b
F
x1
A
Fa
l
B
C
x2
b)写出微分方程并积分
AC 段（0≤x1≤a）：
CB 段（a≤x2≤l）：
Fb
EI z w1  
x1
L
Fb 2

EI z w1  
x1  C1
2l
Fb 3
EI z w1  
x1  C1 x1  D1
6l
EI z w2  
Fb
x2  F ( x2  a )
l
Fb 2 F ( x2  a ) 2
EI z w2  
x2 
 C2
2l
2
Fb 3 F ( x2  a )3
EI z w2  
x2 
 C2 x2  D2
6l
6
c) 应用位移边界条件和连续条件求积分常数
x1 = 0 , w1 = 0 ; x2 = l , w2 = 0 .
C1  C2 
x1 = x2 = a ，w1 = w2 ；w'1 = w'2
Fb 2
(l  b 2 );
6l
D1  D2  0
d) 确定挠曲线和转角方程
Fbx1 2
l  b 2  x12 
w1 
6lEI z
1  w1 
Fb
(l 2  b 2 )  3x12 
6lEI z
l

3
3
2
2
(
x

a
)

x

(
l

b
)
x
2
2
 b 2

Fb  l
1 2 2 
2
2

 2  w2 
( x2  a)  x2  (l  b ) 

2lEI z  b
3

w2 
Fb
6lEI z
l

3
3
2
2
(
x

a
)

x

(
l

b
)
x
2
2
 b 2

Fb  l
1 2 2 
2
2
 2  w2 
( x2  a)  x2  (l  b ) 

2lEI z  b
3

Fb
w2 
6lEI z
Fbx1 2
l  b 2  x12 
w1 
6lEI z
1  w1 
Fb
(l 2  b 2 )  3x12 
6lEI z
e) 跨中点挠度及两端端截面的转角
w
x  2l
Fb

(3l 2  4b2 );
48EI z
  w
x  2l
Fb
l 2  4b2 

24lEI z
两端支座处的转角——
Fab(l  b)
A 
;
6lEI z
Fab(l  a)
B  
6lEI z
l

3
3
2
2
(
x

a
)

x

(
l

b
)
x
2
2
 b 2

Fb  l
1 2 2 
2
2
 2  w2 
( x2  a)  x2  (l  b ) 

2lEI z  b
3

Fb
w2 
6lEI z
Fbx1 2
l  b 2  x12 
w1 
6lEI z
1  w1 
Fb
(l 2  b 2 )  3x12 
6lEI z
讨论：1、此梁的最大挠度和最大转角。
1max  w1  0  x1  0
AC 段：
1max   A 
Fb
l
a
Fab(l  b)
6lEI z
b
F
x1
A
CB 段：
Fa
l
B
C
x2
 2max  w2  0  x2  l
 2max   B  
Fab(l  a)
6lEI z
当 a＞b 时——
max   B 
Fab(l  a)
6lEI z
1  w1 
Fb
l
l

3
3
2
2
(
x

a
)

x

(
l

b
)
x
2
2
 b 2

Fb  l
1 2 2 
2
2
 2  w2 
( x2  a)  x2  (l  b ) 

2lEI z  b
3

Fb
w2 
6lEI z
Fbx1 2
l  b 2  x12 
w1 
6lEI z
Fb
(l 2  b 2 )  3x12 
6lEI z
当 a＞b 时——最大挠度发生在AC段
a
b
F
x1
A
Fa
l
B
C
l 2  b2
a (a  2b)
wmax  w  0  x1 

3
3
x1  a  最大挠度一定在 AC 段
wmax  w1
x2
x  x1

Fb
9 3lEI z
2、a = b 时此梁的最大挠度和最大转角。
max
A
Fl 2
 
;
B
16EI z
wmax  wC
x  2l
Fl 3

48EI z
(l 2  b 2 )3
作业：
习题 5-3
习题 5-4
5.4 叠加法计算梁的变形
5.4.1 叠加原理
Me
梁上有分布载荷，集中力与集中力偶。
弯矩的叠加原理---梁在几个载荷共同作用下的弯矩值，
B
等于各载荷单独作用下的弯矩的代数和。
q
A
x
F
l
M  x   M i  x
若梁上只有第 i 个载荷单独作用，截面上弯矩为 Mi (x) ，转角为 i ，挠度为
wi ，则有： EI w  M ( x)
z i
i
设梁上有 n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为 M(x)，转角为  ，挠度为w，
则有：
d2w
EI z 2  EI z w   M ( x)
dx
EI z  wi  EI z ( wi )   M ( x)
w  ( wi )
由于梁的边界条件不变，因此
w   wi
   i
结论：
各荷载同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各荷载分别单独作
用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。——弯曲变形的叠加原理
前提条件：弹性、小变形。
叠加法的特征：
1. 梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查；
2. 叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。
5.4.2 简单荷载下简单梁的变形
Me
A
EIz
B
l
F
A
EIz
B
l
M el
B 
,
EI z
M el 2
wB 
2 EI z
Fl 2
B 
,
2 EI z
Fl 3
wB 
3EI z
ql 3
B 
,
6 EI z
ql 4
wB 
8EI z
q
A
EIz
l
B
Me
A
B
EIz C
l/2
M el
A 
,
3EI z
M el
B  
6 EI z
M el 2
wC 
16 EI z
l/2
F
A
B
EIz C
l/2
l/2
Fl 2
 A   B 
16EI z
Fl 3
wC 
48EI z
ql 3
 A   B 
24 EI z
5ql 4
wC 
384 EI z
q
A
B
EIz C
l/2
l/2
例5-4 叠加法求 A 截面的转角和 C 截面的挠度.
F
解、a)载荷分解如图
q
b)由梁的简单载荷变形表，
查简单载荷引起的变形。
C
A
a
a
a
=
F
+
a
Fl 3
Fa3
w FC 

48EI z 6EI z
ql 3
qa3
 qA 

24EI z 3EI z
5ql 4
5qa 4
w qC 

384EI z 24EI z
c)叠加
a
q
a
Fl 2
Fa 2
 FA 

16EI z 4EI z
a2
(3F  4qa)
 A  FA qA
12 EI z
5qa 4
Fa3
w C  wFA  wqA 

24 EI z 6 EI z
q
例5-5 求图示梁 C 截面的挠度。
解：1、载荷分解如图
2、查梁的简单载荷变形表
C
A
L/2
L/2
=
5(q ) L4
2
wCa 
; wCb  0
384EI z
q/2
3、叠加
wC  wCa  wCb  wCa  0
C
A
L/2
L/2
4
5(q ) L4
5
qL
2


384 EI z
768EI z
(a)
+
q/2
C
A
q/2
L/2
L/2
(b)
例5-6 试用叠加法求图示悬臂梁自由端 B 的挠度和转角。
F
B
C
C
a
wC
2、查梁的简单载荷变形表
wB
A
EIz  C
解：1、变形分解如图
b
B
Cb
3、叠加
Fa 2
 B  C 
2 EI z
Fa3 Fa 2b
wB  wC  C b 

3EI z 2EI z
Fa 2
C 
2 EI z
Fa3
wC 
3EI z
例5-7 试用叠加法求图示悬臂梁 C 截面的挠度和转角。
F
EIz
A
C
C
B
a
wC
b
FS = F
A
M
M=Fb
a
B
B
C
C
wB
C
F
F
b
解：1、载荷分解如图
2、查梁的简单载荷变形表
CM
Ma Fab


EI z EI z
3、叠加
wCM 
2
2
Ma
Fa b

2EI z 2EI z
C  CM  CF
wC  wCM  wCF
CF
Fa 2

2EI z
Ma Fa 2 Fab Fa 2




EI z 2EI z EI z 2EI z
Ma 2 Fa3 Fa 2b Fa3




2EI z 3EI z 2EI z 3EI z
wCF
Fa3

3EI z
例5-8 求图示外伸梁 B 截面的挠度（EIz 已知）。
解：1) 结构分解如图
q
A
B
C
2) 查梁的简单载荷变形表
qa
;
8 EI z
q
1
( qa 2 ) L
3
qa
L
wBb  Cb  a  2
a 
3EI z
6 EI z

qa (3a  4 L)
24 EI z
C
+
wB  wBa  wBb
3
B
（a）
3) 叠加
qa 4 qa 3 L


8 EI z 6 EI z
a
=
wBa 
L
4
qa
（b）
M=qa/2
A
B
C
例5-9 求图示阶梯形悬臂梁自由端的转角和挠度。
FS=F
F
A
2EIz
a
C
EIz
B
=
+
A
a
2EIz
a
C
Fs=F
F
C EIz
M
a
B
C
F
EIz
M=Fa
解：1) 结构分解图
2) 查梁的简单载荷变形表
FS a 2
Ma
Fa 2
Fa 2 3Fa 2
C 




2EI z 2(2EI z ) 2 EI z 4EI z 4EI z
Fa 2
 B1 
,
2 EI z
FS a3
Ma 2
Fa3
Fa3
5Fa3
wC 




2(2EI z ) 3(2 EI z ) 4 EI z 6 EI z 12 EI z
Fa3
wB1 
,
3EI z
3) 叠加
Fa 2 3Fa 2 5Fa 2
 B   B1  C 


2EI z 4EI z
4EI z
Fa3 5Fa3 3Fa3 3Fa3
wB  wB1  wC  C a 



3EI z 12EI z 4EI z 2EI z
B
作业：
习题 5-11
习题 5-12
5.5 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
5.5.1 梁的刚度条件
土建工程，主要要求梁的最大挠度与跨长之比要小于或等于容许值，即
wmax  w 
 
l
l 
机械工程，传动轴是装在轴承上，轴的转角过大会损坏轴承，因此要求轴
的转角必须小于或等于容许值，即
 max   
 校核刚度；
 设计截面尺寸；

确定外载荷。
例5-10 已知钢制圆轴左端受力为F＝20 kN，a＝l m，l＝2 m，E= 206 GPa。
轴承 B 处的许可转角  = 0.5°。根据刚度要求确定轴的直径 d。
解：
1）承受集中载荷的外伸梁 B 处的转角为：
B 
B
Fla
3EI
2）由刚度条件确定轴的直径：
Fla 180

  
3EI 
Fla 180
I
3E  
d 4
Fla 180

64
3E  
64 Fla 180 4 64  20 103  2 1180
d4

3E  
3  206 109   2  0.5
 111103 m  111mm
5.5.2 提高梁的刚度的措施
梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载有关外还取决于下面三个因素：
材料——梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比；
截面——梁的位移与截面的惯性矩 Iz 成反比；
跨长——梁的位移与跨长 L 的 n 次幂成正比。
1、增大梁的抗弯刚度（EIz）
采用工字形、槽形、
箱形等形状截面。
2、调整跨长和改变结构
改
变
支
座
形
式
改
变
载
荷
类
型
wC 2
 62.5%
wC1
q
q
减小梁的跨度
A
EI
l
wmax
采用超静定结构
5ql 4

384 EI
B
A
EI
2l / 9
l
wmax
0.11ql 4

384 EI
B
2l / 9
作业：
习题 5-23