Transcript 第六章
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本章要点
(1)纯弯曲时横截面上的正应力
(2)横力弯曲时的正应力 正应力强度条件
(3)弯曲剪应力
(4)弯曲剪应力的强度校核
(5)提高梁弯曲强度的措施
重要概念
纯弯曲、非对称梁、横力弯曲、弯曲剪应力、开口薄壁
杆件、弯曲中心
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目录
§6-1 概 述
§6-2 纯弯曲时横截面上的正应力
§6-3 非对称梁的纯弯曲
§6-4 横力弯曲时的正应力 正应力强度条件
§6-5 弯曲剪应力
§6-6 弯曲剪应力的强度校核
§6-7 开口薄壁杆件的弯曲应力 弯曲中心
§6-8 提高弯曲强度的一些措施
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§6-1 概述
一、回顾
在上一章第二节中，我们曾经讲过，横截面上的剪力Q是
与横截面相切的内力系的合力，而弯矩M是与横截面垂直的内
力系的合力偶矩，因此，梁横截面上有剪力Q时，就必然有剪
应力 ，有弯矩M时，就必然有正应力 ,如下图所示。
M
Q
M
Q
图6—1
本章要点：研究等直梁在平面弯曲时，梁横截面上这两种应力
的计算。
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二、概念：
1、横力弯曲——在梁的各个横截面上既有弯矩，又有剪力，
因而既有剪应力又有正应力的情况，我们就称之为横力弯曲。
如图6—2中的AC和DB段。 F
F
图6—2
A
B
a
Q图
(+)
a
a
F
F
Fa
M图
(+)
(-)
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2、纯弯曲——横截面上只有正应力而无剪应力的情况，称为纯
弯曲。
特点：横截面上只有为常量的弯矩而无剪力。
目录
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§6-2 纯弯曲时横截面上的正应力
一、回顾
推导圆轴扭转时横截面上剪应力计算公式时，综合考虑了
几何，物理和静力学三个方面的关系。因为圆轴扭转时横截面
上剪应力计算问题属静不定问题。
本节要点：纯弯曲时横截面上的正应力计算同样属静不定问题，
求解时同样需综合考虑几何、物理和静力学三方面的关系。
（一）几何关系：
1．纯弯曲实验：
用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验:
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M
o
o
y
m
M
n
a
o
b
a
o
b
m
n
图6—3
实验前，在变形前的杆件上作纵向线aa和bb, 并作垂直于
纵向线的横向线mm和nn，如图6—3所示。
变形后，我们发现:
aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长；
mm和nn仍为直线，并且仍然与已经成为弧线的aa和bb垂
直，只是相对的转过了一个角度。
矩形截面的宽度变形后上宽下窄
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对上面的实验结果进行判断和推理，我们就可以得出如下
的结论：
2.平面假设：
梁在变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面，并仍
然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内的某一轴线旋转了一
个角度，这就是弯曲变形的平面假设。
3.单向受力假设：
假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单
向受拉或受压的状态。
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4.纯弯曲的特点：
靠近凹入的一侧，纤维缩短，靠近凸出的一侧，纤维伸长；
由于纤维从凹入一侧的伸长或缩短到突出一侧的缩短或伸长
是连续变化的，故中间一定有一层，其纤维的长度不变，这
层纤维称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴；
弯曲变形时，梁的横截面绕中性轴旋转。
中性层
中性轴
对称轴
z
o
中性轴
中性层
图6—4
y
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如图6—3所示：
z轴——截面的中性轴
y轴——截面的对称轴
b b ——距中性层为y处的纤维变形后的长度
o o ——中性层的曲率半径
——中性层的曲率半径
d ——相距为dx的两横截面的相对转角
纤维bb’的线应变：
y d
d
d
y
即：纵向纤维的线应变与它到中性层的距离成正比
（6—1）
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（二） 物理关系
假设纵向纤维之间不存在相互挤压，那么当应力小于比
例极限时，可用单向拉伸时的虎克定律：
E E
y
（6—2）
物理意义：任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正
比，即：在横截面上的正应力沿截面高度按直线
曲率中心O
规律变化。
M
d
m1
y
m2
m2
x
M e2
y
y
n1
O1
O2
a1
dx
d
a2' a2
n
dl 2
e1
L
n2
图6—5
E y
由上式还可看出：
当y=0时， 0 ，即：
在中性层上各点处的
应力值为零。
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（三）静力关系：
y
可知：我们虽然知道了正应力的分布规律，
从式 E
但因曲率半径 和中性轴的位置尚未确定，所以仍不能求出
正应力，因此我们还有必要考虑静力平衡关系。如图所示：横
截面上的微内力可组成一个与横截面垂直的空间平行力系，这
样的平行力系可简化成三个内力的分量：
N ——平行于x轴的轴力N
MZ——对Z轴的力偶矩
z(中性轴)
My——对y轴的力偶矩
其中：
N dA
A
M y Az dA
M z y dA
A
dA
图6—6
y
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由左半部分平衡可得：
N dA 0
A
M y Az dA 0
M z y dA
A
A dA
Az dA
A y dA
E
A
E
E
y dA 0 S z 0
A
yz dA 0 I yz 0
y dA M
2
A
E
A dA A y dA 0 S z 0
z dA E
yz dA 0 I yz 0
A
A
1
M
EI
z
中性层通过截面形心。
由于y轴是横截面的
对称轴，故自然满足。
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由
M
1
EI
M y
z
Iz
E y
其中：
1
(6—3)
是梁轴线变形后的曲率，EIz是梁的抗弯刚度。
上式即是纯弯曲时，梁横截面上正应力的计算公式。
（四）讨论：
1.梁的上下边缘处，弯曲正应力达到最大值，分别为：
L max
My 1
Iz
，
y max
My 2
Iz
，| | max
M
( I z / y max )
M
Wz
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式中：Wz——抗弯截面模量
对矩形和圆形截面的抗弯截面模量。
bh
矩形：
Wz
Iz
12
h
h
2
圆形：
Wz
3
Iz
bh
2
(6—4)
6
24
d
d
3
64
d
d
32
2
2
(6—5)
[注：各种型钢的抗弯截面模量可从型钢表中查到]
若梁的横截面对中性轴不对称，其最大拉压应力并不相等，
这时应分别进行计算。
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2.横截面上正应力的分布规律：
min
3.公式适用范围：
min M
M
max
max
①适用于线弹性范围——正应力小于比例极限p；
②适用于平面弯曲下的纯弯曲梁；
③横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h>5)，上述公式的
误差不大，但此时公式中的M应为所研究截面上的弯矩，即：
M ( x) y
Iz
目录
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§6-3 非对称梁的纯弯曲
前面讨论的是梁上的弯曲力偶作用于纵向对称面内的情况；
下面讨论，当梁没有这样的纵向对称面时，或着虽然有纵向对称
面，但弯曲力偶并不作用于这一平面时的情况。
图6—7
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如图（a）所示：
Y、Z轴——横截面的形心主惯性轴
X轴——梁的轴线
My、Mz——对y轴、z轴的力偶矩
一.公式推导：
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假设中性轴 n-n的位置尚未确定，可据上节中的同样方法可得：
E
（当中性轴与Z轴重合时， y ）
——变形后，中性层的曲率半径
现取m-m截面的左半部分为研究对象。
由平衡条件可得：
N dA 0
A
M y Az dA 0
M z y dA
A
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E
dA 0
N A dA
A
E
My
z
dA
cos yzdA sin
A
A
E
I y sin 0
z dA
2
A
E
I
yz
cos I y sin 0
中性轴必然通过截面形心。
E
1
M
EI z
sin 0 0
（由于y 和z是形心主惯性轴，故Iyz=0）
0 中性轴与Z轴重合，亦即中性轴垂直于M 的作用平面。
e
My
——平面弯曲的正应力公式
(6—6)
Iz
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二、结论：
对于非对称的实体梁，只要弯曲力偶作用于形心主惯性平面
内，则中性轴与这个平面垂直，弯曲变形也发生在这个平面内，
平面弯曲的结论仍然成立，用于上面完全相同的方法还可证明，
当外力偶矩的作用平面，平行于实体梁的形心主惯性平面时(xy)平
面弯曲的结论仍然成立。
目录
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§6-4 横力弯曲时的正应力 正应力强度条件
一、横力弯曲时的正应力计算公式：
工程上常见的弯曲问题多为横力弯曲，此时梁横截面上除
有正应力外还有剪应力，按弹性力学的分析结果，在有些情况
下，横力弯曲的正应力分布规律与公式（6—2）完全相同。在
有些情况下虽有差异，但当跨度L与截面高度之比大于4时，公
式（6—2）的误差也非常微小，故用纯弯曲的正应力计算公式
用于横力弯曲正应力的计算，也有足够的精度，可以满足工程
上的要求。
M
Iz
y
（6—7）
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二、强度条件：
max
M max y max
Iz
M max
Wz
注： 有时 max 并不发生在弯矩最大的截面上，而根截面的
形状有关。
拉压强度相等材料：
max
拉压强度不等材料： l , max
M
Wz
[ ]
max
[ ] l ，
强度条件的作用：
a、强度校核:
max [ ]
b、截面设计:
Wz
M max
[ ]
c、确定梁的许可荷载:
M max [ ]W z
y , max
[ ] y
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例6—1：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但
放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷
之比 P1／P2＝？
F2
F1
F
h
z
l
b
z
h
b
(a )
(b )
解： 分析：该题的关键：两种梁的最大弯曲正应力相等且
等于许用应力。
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由弯曲正应力计算公式
M max 1
P1l
max 1
2
bh
W z1
6
M max 2
P2 l
max 2
2
hb
W z2
6
再根据 max 1 max 2 [ ]
得:
P1
P2
h
b
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例6—2：主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方法提高承载能
力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长
度a为多少？
F
a/2
a/2
C
D
A
B
l/2
l/2
解：
分析：关键在于何为最佳，对于该题最佳就是两梁最大弯曲
应力同时达到最大。
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主梁AB的最大弯矩
副梁CD的最大弯矩
由
即
M m ax
F
4
AB
(l a )
M max
M
AB
max CD
F
(l a )
4
Fa
4
M m ax CD
Fa
4
得
a
l
2
例 6—3 ： 已 知 16 号 工 字 钢 Wz=141cm3 ， l=1.5m ， a=1m ，
[]=160MPa，E=210GPa，在梁的下边缘C点沿轴向贴一应
6
变片，测得C点轴向线应变 c 400 10 ,求F并校核梁正应力
强度。
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F
l/2
A
C
a
z
B
NO.16
l
解：（1） C
E C 210 10 400 10
9
M C F B ( l a ) 0 . 25 F
MC
0 . 25 F
0 . 25 F
6
C
Wz
Wz
141 10
（2） M max
max
1
6
84 10 Pa 84 MPa
6
F 47 . 4 10 N 47 . 4 kN
3
FL 17 . 8 kN m
4
M
max
Wz
17 . 8 10
141 10
3
6
126 10 Pa 126 MPa [ ]
6
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例6—4：图示梁的截面为T形，材料的许用拉应力和许用压应
力分别为［σt］和［σc］，则 y1 和 y2 的最佳比值为多少？（Ｃ
为截面形心）
F
y1
C
z
y2
解：
分析：关键在于何为最佳，对于该题最佳就是梁危险截面上最
大弯曲拉压应力同时达到许用应力。
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t
c
(1)
(2)
M m ax y 1
Iz
M m ax y 2
Iz
得：
y1
y2
[ t ]
(1)
[ c ]
(2)
[ t ]
[ c ]
例6—4：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力[σ]
=160MPa，校核该梁的强度。
10 KN / m
2m
200
B
A
4m
100
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10 KN / m
2m
4m
45 kN
Q( kN )
200
B
A
100
15 kN
25
解：由弯矩图可见
M m ax 20 kN m
20
M ( kN m)
15
1125
.
t
M m ax
Wz
20 10
3
0 .1 0 .2
2
6
30M Pa < [ ]
该梁满足强度条件，安全
20
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思6—1：图示三种截面梁，材质、截面内Ｍmax、σmax全相同，
求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。
2b
a
A1
A2
d
A3
a
b
思6—2、简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面的下边缘贴一应变片，
已知材料的E=200GPa，试问该应变片所测得的应变值应为多大？
q 40 kN / m
A
B
200
C
15
. m
300
15
. m
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思6—3.图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为 10 mm，E=10GPa ，
求载荷F的大小。
F
A
B
C
2m
300
200
2m
思6—4、我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是
h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截
面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。
目录
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§6-5 弯曲剪应力
从上节的分析知道：横力弯曲时，梁截面上既有弯矩又
有剪力，因而截面上既有剪应力，又有正应力。在弯曲问题
中，通常情况下，正应力是强度计算的主要因素。但在某些
情况下，例如跨度短而截面高的梁，腹板较薄的工字梁等，
有时也需要计算弯曲剪应力，下面就分别按截面的形状来讨
论。
一、矩形截面梁
b
q(x)
F2
z
F1
m
h
x
d(x)
(a)
m1
x
n
dx
P
n1
Q
y
x
y
(b)
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1、如图所示：关于横截面上剪应力的分布规律，我们作以下
两个基本假设：
横截面上各点剪应力的方向都平行于剪力Q
剪应力沿截面宽度均匀分布，即离中性轴等距的各点的剪
应力相等。
如图所示：根据上述假设，在距中性轴为y的横线pq上，各一
点的剪应力 相等，且都平行于Q。再由剪应力互等定理可知，
在沿pq 切出的平行于中性层的pr平面上，也必然有与互等定理可
知，在沿pq 切出的平行于中性层的pr平面上，也必然有与 相等
的 ' 。
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2.公式推导：
现以横截面mn和m1n1从上图中取出长度为dx的微段。如
图所示：
m
m m1
M
m1
M+dM
P
x n dxn1
x
y
N1
p
n
dx
q
n1
b
y
N2
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N1
N2
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设截面mn和m1n1上的弯矩分别为M和M+dM 再
以平行于中性层且距中性层为y的pr平面，从这一段梁中截
出一部分prnn1,则在这截出部分的左侧面rn上作用着因弯矩
M引起的正应力，而在右侧面pn1上，作用着因弯矩M+dM
引起的正应力。在顶面pr上，作用着剪应力， =且沿宽
度b均匀分布，从图中可看出：以上三种应力的方向都平行
于 x轴 ，假设三种应力的合力分别为N1、N2、Q。
则：
N 2 dA
A1
*
式中：S
z
M
A1
A1
dM y1
Iz
dA
M dM
Iz
A1
y1 dA
M
dM
Iz
*
Sz
y 1 dA
——距中性轴为y的横线pq以下的面积对中性轴的静矩。
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同理：
由：
N1
M
Iz
x0
M
dM
Iz
， d Q bdx
*
Sz
N 2 N 1 dQ 0
Sz
*
dM
dx
QS
M
Iz
S
S Z bdx 0
*
*
z
I zb
*
z
I zb
'
QS
*
z
I zb
（6—8）
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式中：
Ｑ——横截面上的剪力Ｑ
b ——截面宽度
Iz ——整个截面对中性轴的惯性矩
*
S ——截面上距中性轴为y的横线以外部分面积对
中性轴的静矩。
z
公式（6-8）即为矩形截面梁弯曲剪应力的计算公式。
3.讨论：
h
①矩形截面：S *
z
（ dA b dy ）
A1
y 1 dA
2
y
2
Q h
2
y
2Iz 4
by 1 dy 1
2
b h
2
y
2
4
(6-9)
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从上式可看出：沿截面高度剪应力按抛物线规律变化。
y
h
2
时，
0 表明在截面上下边缘各点，剪应力为零。
y=0时， max 即最大剪应力发生在中性轴上。
max
Qh
2
8I z
3 Q
2 bh
(因为 I z
bh
3
12
可见矩形截面梁的最大剪应力为平均剪应力
根据剪切虎克定律
1
G
）
Q
bh
的1.5倍。
得：
h2
2
y
2 GI z 4
Q
表明：沿截面高度剪应变也是按抛物线规律变化的，且
Slide 51
y
h
2
y0
时， 0
max
时，
工字形截面梁
（1）
（2）
腹板上的剪应力
腹板截面是个狭长矩形，上面介绍过的关于矩形截面上
剪应力分布的两个假设仍然适用。腹板上的剪应力仍然可用
公式（6-8）来计算，即：
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QS
*
z
I zb
如图所示：当我们要计算腹板上距中性轴为y处的剪应力时，
*
Sz
为图中画阴影部分的面积对中性轴的静矩。
h h 1 H
h
1h
H
h
S z B
b y y y
2 2 2 2
2
22
2
2
*
B
8
∴
H
2
h
Q B
H
I zb 8
2
2
2
bh
2
y
2 4
h
2
2
bh
2
y
2 4
(6-10)
上式表明沿腹板高度，剪应力也是按抛物线规律变化的。
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max
y=0时，
y
h
2
时,
min
Q BH
I zb 8
Q BH
I zb 8
2
2
B b
8
h
2
2
h
8
讨论：从上两式可看出：由于b<
min
(6-11)
即：可以认为在腹板上剪应力大致是均匀分布的。
根据图b可计算出腹板上总的剪力值为：
Q 0 . 95 ~ 0 . 97 Q
(6-12)
可见：横截面上的剪力Q的绝大部分为腹板所负担（承担）。
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腹板上剪应力的近似计算公式：
由于腹板几乎负担了截面上的全部剪力，而且腹板上的剪应力
又接近于均匀分布，故我们可用腹板的截面面积除剪力Q，近似地
得出腹板内的剪切应力为：
Q
bh
翌缘上的剪应力
在翌缘上也有平行于Q的剪应力分量，由于分布情况比较复
杂，且数量不大，因而并无实际意义，所以我们通常不能进行计
算。另外，翌缘上还有平行于翌缘宽度B的剪应力分量，与腹板
内剪应力比较一般,它是次要的。一般也不进行计算，如果计算,
其计算方法第七节中讲到。由于工字形截面梁翌缘的全部面积都
在离中性轴最远处，每一点的正应力都比较大，所以翌缘担负了
截面上的大部分弯矩。
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圆形截面梁
当梁的横截面为圆形时，已经不能再假设截面上各点剪应力都
平行于Q了，而应该假设为图a中所示的情况，即AB弦上各点的剪
应力作用线都通过P点，如再假设AB弦上各点剪应力的垂直分量 y,
是相等的，于是对y来说，就与对矩形截面所作的假设完全相同了
。
基本假设：
AB弦上各点的剪应力作用线都通过P点。
AB弦上各点剪应力的垂直分量y相等。
剪应力计算公式：
由于上面我们所作的两个基本假设对y来说同矩形截面梁完
全相同，剪应力计算公式，我们仍然可应用(6-8)来计算。
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y
Q
QS
*
z
Izb
R
Q
R
x
C
A
B
A
C
By
P
(a)
y
(b)
y
x
y1
dy1
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式中：
b2 R y
2
*
Sz
Sz
*
A1
——AB弦的长度
2
(a)
——AB弦以外部分面积对中性轴的静矩
y 1 dA
将(a)、(b)式代入
y
R
y
R y dy 1
2
2 y1
y
中得：
由上式可见在中性轴上，
max
y
QR
2
R
2
3
2
Q R y
2
y
2
32 I z
可见圆截面上的最大剪应力 max
4
y
（6-14）
2
是平均剪应力的
(b)
（6-13）
Q
3 R
2
32 I z
达到最大值，且
2
2
3
1
1
3
倍。
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注：对圆截面梁所采取的假设，还可用于截面是对称于y轴
的其他形状的梁，例如截面形状为椭圆或梯形的梁。
目录
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§6-6 弯曲剪应力的强度校核
一、强度条件：
一般情况下，在剪力最大的截面的中性轴上，出现最
大弯曲剪应力，即：
*
max
Q max S z max
（6-15）
I zb
故弯曲剪应力的强度条件应该是：
*
max
式中：
*
S z max
Q max S z max
Izb
（6-16）
——中性轴一边的截面面积对中性轴的静矩
——材料的许用剪切应力
Slide 60
二、需用弯曲剪应力强度条件进行强度校核的梁的类型：
一般情况下，细长梁的强度控制因素，通常是弯曲正应力，根
据正应力强度条件确定的梁截面，一般都能满足剪应力的强度条件，
无需再进行剪应力的强度计算，只有在下述一些情况下，要注意梁
的剪应力校核：
1、梁的跨度短，或者在支座附近作用着较大的载荷，在这种情况
下，梁的弯矩较小，而剪力都可能很大。
2、铆接或焊接的工字形截面钢梁，腹板截面的厚度一般较薄而高
度却颇大，厚度与高度之比往往小于型钢的相应比值，这时需对腹
板的剪应力进行校核。
3、对由几部分经焊接，胶合或铆接而成的梁，对焊缝，胶合面或
铆钉等一般也要进行剪切强度校核。
Slide 61
三、计算：
一般利用强度条件可进行三个方面的计算，载荷的确定，
截面的选择和强度校核。
例6—5：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应力［σ］
=160MPa，［τ］=100MPa，试求最小直径dmin。
q 20 kN / m
A
B
d
4m
解：
Q m ax 40 kN ,
由正应力强度条件：
M m ax
ql
8
2
40 kN m
Slide 62
max
M max
[ ]，
即
40 10
d
Wz
3
160 10
3
6
32
得
d 137 m m
由剪应力强度条件：
max
得
所以
4 Q max
3
[ ]，
A
d 2 6 .1 m m
d m in 1 3 7 m m
即
4
3
40 10
d
4
2
3
100 10
6
Slide 63
例66 T形梁尺寸及所受荷载如图所示, 已知[]y=100MPa，[]L=50MPa，
[]=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2×104mm4。求：（1）C左侧截面E点的正
应力、切应力；（2）校核梁的正应力、切应力强度条件。
40
1kN
1kN/m
A
C
yc
E
z
40
1m
FC
FA
Q图
B
1m
1m
10
10
1
0.25
+
解： （1）求支座反力
F A 0 . 25 kN ， FC 1 . 75 kN
_
单位：kN
0.75
0.5
_
M图
单位： kN.m
+
0.25
（2）作梁的 Q 、 M 图如右
Q C 左 0 . 75 kN ， Q C 右 1kN
M C 0 . 5 kN m ， M B 0 . 25 kN m
Slide 64
（3） E
M C yE
E
QC左 S z
0 . 5 10 7 . 5 10
3
Iz
*
18 . 2 10 10
4
3
20 . 6 MPa ( 拉 )
12
0 . 75 10 ( 400 12 . 5 10
3
18 . 2 10 10 10
4
I zb
9
15
)
2 . 1MPa
（4）正应力强度校核：
M B ( 0 . 05 y c )
M C yc
44
.
6
MPa
[
]
48 . 0 MPa [ ] L
L
CL
BL
Iz
Iz
，
M
y
B c
M C ( 0 . 05 y c ) 89 . 2 MPa [ ]
24
.
0
MPa
[
]
By
y
Cy
y
Iz
Iz
（5） 切 应力强度校核：
*
max
Q max S z max
I zb
10 [10 ( 50 y c ) / 2 ] 10
3
2
18 . 2 10 10 10
该梁满足强度要求
4
15
9
2 . 9 MPa [ ]
Slide 65
例6-7 悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可
切应力为0.34MPa，木材的[σ]=10MPa，[τ]=1MPa，求
许可载荷。
解：
F
50
z50
50
l
2.按正应力强度条件计算
许可载荷
100
FS
M
F
1.作梁的内力图如图所示
max
Fl
F1
bh2
6l
Wz
10 100 150 10
7
M max
2
6
6 F1 l
bh
2
9
3750N 3.75kN
Slide 66
3.按切应力强度条件计算许可载荷
max 3FS / 2 A 3F2 / 2bh
F2 2 bh / 3 2 10 100 150 10
6
6
/ 3 10000N 10kN
4.按胶合面强度条件计算许可载荷
2
胶
h
F
b
3
*
FS S Z
4 F3
3
胶
3
bh
IZb
3bh
b
12
F3
3bh 胶
3 100 150 10
4
6
0.34 10
6
4
3825N 3.825kN
5.梁的许可载荷为 F Fi min3.75kN
10kN
3.825kNmin 3.75kN
目录
Slide 67
§6-7 开口薄壁杆件的弯曲应力 弯曲中心
一、开口薄壁杆件的弯曲应力
a
N2
b
d
c
N1
F
F
如图所示：为一开口薄壁杆件，y和z为横截面的形心主
惯性轴。载荷F平行于y轴，并且通过弯曲中心，这时杆件只有
弯曲而无扭转，z轴为弯曲变形的中性轴。
Slide 68
（一）公式推导：
1、假设：
（1）由于壁厚t远小于横截面的其他尺寸，故可假设沿壁厚t剪
应力的大小无变化。
（2）因杆件的内侧和外侧表面皆为自由面，并没作用任何与表
面相切的载荷，所以横截面上的剪应力与截面同周相切。
2、推导公式：
从杆件中取出一部分abcd。在这一部分的ad和bc面上作
用弯曲正应力，在截面dc上作用着剪应力，这些应力的方向
都平行于x轴，现假设这三个面上应力的合力分别为 N1、N2
和Q。
则：
N1
MS
IZ
*
Z
，
N2
M
dM S Z
*
IZ
， Q tdx
'
Slide 69
由
x 0
N 2 N 1 tdx 0
'
M
dM S Z
*
MS
IZ
'
dM S Z
QS
dx I Z t
根据：
得：
tdx 0
'
IZ
*
*
Z
*
Z
IZt
'
QS
*
Z
IZt
（6-17）
——开口薄壁杆件的剪应力的计算公式
Slide 70
二、弯曲中心位置的确定：
以槽钢为例：
e
Q2
（a）
（b）
槽钢的截面尺寸如图所示，外力F平行于y轴
（c）
Slide 71
(一)翌缘上的剪力
图中上翌缘距右端处的剪应力：
1
QS
*
Z
IZt
*
SZ
th
1
2
Q h
2IZ
1 沿翌缘宽度按直线规律变化，见图a。
从上式可看出：
令：Q 1 ——翌缘上切向内力系的合力
则：
Q1
A
1
dA
b
Q h
0
2I Z
2
td
Qb ht
4I Z
Slide 72
'
若令： Q 1
——下翌缘上切向内力系的合力
'
则：由对称关系可知： Q 1 Q 1
（但方向相反）见图b
（二）腹板上的剪力
设腹板上距中性轴为y处的剪应力为 2
2
则：
其中：
从而：
*
SZ
2
QS
*
Z
IZd
2
1h
2
y d
2
2 4
bth
2
Q bth
1h
2
y d
IZd 2
2 4
Slide 73
从上式可看出：腹板上剪应力 2 沿高度按抛物线规律变化
令：Q2——代表腹板上切向内力系的合力
则：
h
Q2
2
h
2
2
Q bth
1h
Q bth
2
y d d dy
IZd 2
2 4
I Z 2
又因槽形截面对中性轴z的惯性矩等于
IZ
故：
bth
2
2
Q2 Q
dh
12
3
2
3
dh
12
Slide 74
（三）求弯曲中心的位置
见图b，至此我们已经求得了截面上的三个切向内力Q1、Q2、
和Q1 。其中：Q1、 Q1组成力偶矩 Q1h。如若把它与Q2 合并，
就得到了内力系的最终合力，这一合力，其数值仍等于Q2，只是
作用线向左平移了一个距离e，见图C。
由： M O
'
0
Q e Q1 h
2
Qb ht
e
Q1 h
Q
（四）讨论：
4Iz
Q
h
2
b h
4Iz
2
（6-18）
1、由于截面上切向内力系的合力Q（即横截面上的剪力）在距
腹板中线为e 的纵向平面内，若这时外力F也在同一平面内，则
因F及Q同在一纵向平面内，杆件就只有弯曲而无扭转。
Slide 75
2、若外力沿Z轴作用，因Z轴为对称轴，故属于平面弯曲。此时横
截面上剪应力Qz与Z轴重合。在上述的这两种平面弯曲中，截面上
剪力Q与Q Z的作用线的交点A即为弯曲中心（剪切中心）与z轴重合。
3、由公式(6-18)可看出：弯曲中心的位置只与截面的形状和尺寸
有关，而与外力的大小和材料的性质无关，属于截面图形的几何
性质之一。
4、若外力不通过弯曲中心，这时我们把外力向弯曲中心简化，将
得到一个通过弯曲中心的F力和一个扭转力偶矩。通过弯曲中心的
横向力F仍引起上述平面弯曲变形，而扭转力偶矩却将引起杆件的
约束扭转。这时杆件既有弯曲又有扭转。
5、开口薄壁杆件的抗扭刚度较小，若横向力不通过弯曲中心将引
起较大的扭转变形。
Slide 76
（五）薄壁截面的弯曲中心位置，符合下列规则:
(1)具有两个对称轴或反对称轴的截面，其弯曲中心与形心重合。
(2)具有一个对称轴的截面，其弯曲中心一定在这个对称轴上。
(3)若截面的中线是由若干相交于一点的直线段所组成，则此交点
就是截面的弯曲中心。
思考题：试画出下列各薄壁截面弯曲中心的大致位置。若剪力Ｑ
的方向垂直向下，试画出剪应力流的方向。
Slide 77
目录
Slide 78
§6-8 提高弯曲强度的一些措施
我们在前面曾经讲过，弯曲正应力是控制弯曲强度的主要因素，
故弯曲正应力的强度条件：
max
M
max
W
往往是设计梁的主要依据。从上面这个式子可看出：要提高梁的承
载承力，应从两方面考虑：一方面是合理安排梁的受力情况，以降
低 M max 的值；另一方面是采用合理的截面形状，以提高W的数值，
充分利用材料的性能。
一、合理安排梁的受力情况：
Slide 79
q
q
B
A
l
B
A
3l/5
l/5
ql2/50
ql2/50
-
M图
+
l/5
-
+
M图
ql2/40
ql2/8
左边梁的最大弯矩值是右边梁的最大弯矩值的5
倍
。因此，右边梁上的载荷还要提高四倍，才能使得其最
大弯矩值同左边的相同。因而，右边梁的承载能力要比
左边高四倍，因此说来，合理的布置梁的支座，对提高
梁的弯曲强度是十分必要的。
Slide 80
二、合理的布置载荷。 比较下列两种布置方法：
P
P
D
C
l/2
M图
l/4
l/2
+
Pl/4
B
A
B
A
M图
l/4
l/4
l/4
+
Pl/8
Pl/8
Slide 81
三、合理选取截面形状
从弯曲强度考虑，比较合理的截面形状，是使用较小的
截面面积，却能获得较大抗弯能力的截面。在一般截面中，
抗弯能力与截面高度的平方成正比。因此，当截面面积一定
时，宜将较多材料放置在远离中性轴的部位。因此，面积相
同时：
工字形优于矩形，矩形优于正方形； 环形优于圆形。
同时应尽量使拉、压应力同时达到最大值。
min
z
z
max
Slide 82
四、合理放置截面
WZ 左
bh
6
2
WZ 右
hb
6
2
Slide 83
五、合理设计梁的外形（等强度梁）
1、等强度梁的概念：
我们前面所讨论的梁都是等截面梁，对于这种梁，只有
在弯矩为最大值的截面上，最大应力才可能接近许用应力。
其余截面上弯矩较小，应力也较低，材料没有充分利用。为
了节约材料，减轻自重，可改变截面的尺寸，使抗弯截面模
量随弯矩而变化。在弯矩较大处采用较大截面。在弯矩较小
处采用较小截面。这种截面沿轴线变化的梁，称为变截面梁。
对于变截面梁，其正应力计算仍可近似的利用等截面梁的公
式，下面我们就来看看什么叫等强度梁。
等强度梁：如变截面梁各横截面上的最大正应力相等，且都
等于许可应力，我们就称之为等强度梁。
设：
M x
——梁在任一截面上的弯矩
W x
——为抗弯截面模量
Slide 84
根据等强度梁的概念，则有：
max
M x
W x
W x
M x
——（6-19）
例题6—8：
F
h x
h
B
A
l/2
M图
l/2
+
Pl/4
b(x )
b
Slide 85
谢谢大家!
目录
Slide 2
Slide 3
Slide 4
Slide 5
Slide 6
Slide 7
Slide 8
Slide 9
Slide 10
本章要点
(1)纯弯曲时横截面上的正应力
(2)横力弯曲时的正应力 正应力强度条件
(3)弯曲剪应力
(4)弯曲剪应力的强度校核
(5)提高梁弯曲强度的措施
重要概念
纯弯曲、非对称梁、横力弯曲、弯曲剪应力、开口薄壁
杆件、弯曲中心
Slide 11
目录
§6-1 概 述
§6-2 纯弯曲时横截面上的正应力
§6-3 非对称梁的纯弯曲
§6-4 横力弯曲时的正应力 正应力强度条件
§6-5 弯曲剪应力
§6-6 弯曲剪应力的强度校核
§6-7 开口薄壁杆件的弯曲应力 弯曲中心
§6-8 提高弯曲强度的一些措施
Slide 12
§6-1 概述
一、回顾
在上一章第二节中，我们曾经讲过，横截面上的剪力Q是
与横截面相切的内力系的合力，而弯矩M是与横截面垂直的内
力系的合力偶矩，因此，梁横截面上有剪力Q时，就必然有剪
应力 ，有弯矩M时，就必然有正应力 ,如下图所示。
M
Q
M
Q
图6—1
本章要点：研究等直梁在平面弯曲时，梁横截面上这两种应力
的计算。
Slide 13
二、概念：
1、横力弯曲——在梁的各个横截面上既有弯矩，又有剪力，
因而既有剪应力又有正应力的情况，我们就称之为横力弯曲。
如图6—2中的AC和DB段。 F
F
图6—2
A
B
a
Q图
(+)
a
a
F
F
Fa
M图
(+)
(-)
Slide 14
2、纯弯曲——横截面上只有正应力而无剪应力的情况，称为纯
弯曲。
特点：横截面上只有为常量的弯矩而无剪力。
目录
Slide 15
§6-2 纯弯曲时横截面上的正应力
一、回顾
推导圆轴扭转时横截面上剪应力计算公式时，综合考虑了
几何，物理和静力学三个方面的关系。因为圆轴扭转时横截面
上剪应力计算问题属静不定问题。
本节要点：纯弯曲时横截面上的正应力计算同样属静不定问题，
求解时同样需综合考虑几何、物理和静力学三方面的关系。
（一）几何关系：
1．纯弯曲实验：
用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验:
Slide 16
M
o
o
y
m
M
n
a
o
b
a
o
b
m
n
图6—3
实验前，在变形前的杆件上作纵向线aa和bb, 并作垂直于
纵向线的横向线mm和nn，如图6—3所示。
变形后，我们发现:
aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长；
mm和nn仍为直线，并且仍然与已经成为弧线的aa和bb垂
直，只是相对的转过了一个角度。
矩形截面的宽度变形后上宽下窄
Slide 17
对上面的实验结果进行判断和推理，我们就可以得出如下
的结论：
2.平面假设：
梁在变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面，并仍
然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内的某一轴线旋转了一
个角度，这就是弯曲变形的平面假设。
3.单向受力假设：
假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单
向受拉或受压的状态。
Slide 18
4.纯弯曲的特点：
靠近凹入的一侧，纤维缩短，靠近凸出的一侧，纤维伸长；
由于纤维从凹入一侧的伸长或缩短到突出一侧的缩短或伸长
是连续变化的，故中间一定有一层，其纤维的长度不变，这
层纤维称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴；
弯曲变形时，梁的横截面绕中性轴旋转。
中性层
中性轴
对称轴
z
o
中性轴
中性层
图6—4
y
Slide 19
如图6—3所示：
z轴——截面的中性轴
y轴——截面的对称轴
b b ——距中性层为y处的纤维变形后的长度
o o ——中性层的曲率半径
——中性层的曲率半径
d ——相距为dx的两横截面的相对转角
纤维bb’的线应变：
y d
d
d
y
即：纵向纤维的线应变与它到中性层的距离成正比
（6—1）
Slide 20
（二） 物理关系
假设纵向纤维之间不存在相互挤压，那么当应力小于比
例极限时，可用单向拉伸时的虎克定律：
E E
y
（6—2）
物理意义：任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正
比，即：在横截面上的正应力沿截面高度按直线
曲率中心O
规律变化。
M
d
m1
y
m2
m2
x
M e2
y
y
n1
O1
O2
a1
dx
d
a2' a2
n
dl 2
e1
L
n2
图6—5
E y
由上式还可看出：
当y=0时， 0 ，即：
在中性层上各点处的
应力值为零。
Slide 21
（三）静力关系：
y
可知：我们虽然知道了正应力的分布规律，
从式 E
但因曲率半径 和中性轴的位置尚未确定，所以仍不能求出
正应力，因此我们还有必要考虑静力平衡关系。如图所示：横
截面上的微内力可组成一个与横截面垂直的空间平行力系，这
样的平行力系可简化成三个内力的分量：
N ——平行于x轴的轴力N
MZ——对Z轴的力偶矩
z(中性轴)
My——对y轴的力偶矩
其中：
N dA
A
M y Az dA
M z y dA
A
dA
图6—6
y
Slide 22
由左半部分平衡可得：
N dA 0
A
M y Az dA 0
M z y dA
A
A dA
Az dA
A y dA
E
A
E
E
y dA 0 S z 0
A
yz dA 0 I yz 0
y dA M
2
A
E
A dA A y dA 0 S z 0
z dA E
yz dA 0 I yz 0
A
A
1
M
EI
z
中性层通过截面形心。
由于y轴是横截面的
对称轴，故自然满足。
Slide 23
由
M
1
EI
M y
z
Iz
E y
其中：
1
(6—3)
是梁轴线变形后的曲率，EIz是梁的抗弯刚度。
上式即是纯弯曲时，梁横截面上正应力的计算公式。
（四）讨论：
1.梁的上下边缘处，弯曲正应力达到最大值，分别为：
L max
My 1
Iz
，
y max
My 2
Iz
，| | max
M
( I z / y max )
M
Wz
Slide 24
式中：Wz——抗弯截面模量
对矩形和圆形截面的抗弯截面模量。
bh
矩形：
Wz
Iz
12
h
h
2
圆形：
Wz
3
Iz
bh
2
(6—4)
6
24
d
d
3
64
d
d
32
2
2
(6—5)
[注：各种型钢的抗弯截面模量可从型钢表中查到]
若梁的横截面对中性轴不对称，其最大拉压应力并不相等，
这时应分别进行计算。
Slide 25
2.横截面上正应力的分布规律：
min
3.公式适用范围：
min M
M
max
max
①适用于线弹性范围——正应力小于比例极限p；
②适用于平面弯曲下的纯弯曲梁；
③横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h>5)，上述公式的
误差不大，但此时公式中的M应为所研究截面上的弯矩，即：
M ( x) y
Iz
目录
Slide 26
§6-3 非对称梁的纯弯曲
前面讨论的是梁上的弯曲力偶作用于纵向对称面内的情况；
下面讨论，当梁没有这样的纵向对称面时，或着虽然有纵向对称
面，但弯曲力偶并不作用于这一平面时的情况。
图6—7
Slide 27
如图（a）所示：
Y、Z轴——横截面的形心主惯性轴
X轴——梁的轴线
My、Mz——对y轴、z轴的力偶矩
一.公式推导：
Slide 28
假设中性轴 n-n的位置尚未确定，可据上节中的同样方法可得：
E
（当中性轴与Z轴重合时， y ）
——变形后，中性层的曲率半径
现取m-m截面的左半部分为研究对象。
由平衡条件可得：
N dA 0
A
M y Az dA 0
M z y dA
A
Slide 29
E
dA 0
N A dA
A
E
My
z
dA
cos yzdA sin
A
A
E
I y sin 0
z dA
2
A
E
I
yz
cos I y sin 0
中性轴必然通过截面形心。
E
1
M
EI z
sin 0 0
（由于y 和z是形心主惯性轴，故Iyz=0）
0 中性轴与Z轴重合，亦即中性轴垂直于M 的作用平面。
e
My
——平面弯曲的正应力公式
(6—6)
Iz
Slide 30
二、结论：
对于非对称的实体梁，只要弯曲力偶作用于形心主惯性平面
内，则中性轴与这个平面垂直，弯曲变形也发生在这个平面内，
平面弯曲的结论仍然成立，用于上面完全相同的方法还可证明，
当外力偶矩的作用平面，平行于实体梁的形心主惯性平面时(xy)平
面弯曲的结论仍然成立。
目录
Slide 31
§6-4 横力弯曲时的正应力 正应力强度条件
一、横力弯曲时的正应力计算公式：
工程上常见的弯曲问题多为横力弯曲，此时梁横截面上除
有正应力外还有剪应力，按弹性力学的分析结果，在有些情况
下，横力弯曲的正应力分布规律与公式（6—2）完全相同。在
有些情况下虽有差异，但当跨度L与截面高度之比大于4时，公
式（6—2）的误差也非常微小，故用纯弯曲的正应力计算公式
用于横力弯曲正应力的计算，也有足够的精度，可以满足工程
上的要求。
M
Iz
y
（6—7）
Slide 32
二、强度条件：
max
M max y max
Iz
M max
Wz
注： 有时 max 并不发生在弯矩最大的截面上，而根截面的
形状有关。
拉压强度相等材料：
max
拉压强度不等材料： l , max
M
Wz
[ ]
max
[ ] l ，
强度条件的作用：
a、强度校核:
max [ ]
b、截面设计:
Wz
M max
[ ]
c、确定梁的许可荷载:
M max [ ]W z
y , max
[ ] y
Slide 33
例6—1：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但
放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷
之比 P1／P2＝？
F2
F1
F
h
z
l
b
z
h
b
(a )
(b )
解： 分析：该题的关键：两种梁的最大弯曲正应力相等且
等于许用应力。
Slide 34
由弯曲正应力计算公式
M max 1
P1l
max 1
2
bh
W z1
6
M max 2
P2 l
max 2
2
hb
W z2
6
再根据 max 1 max 2 [ ]
得:
P1
P2
h
b
Slide 35
例6—2：主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方法提高承载能
力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长
度a为多少？
F
a/2
a/2
C
D
A
B
l/2
l/2
解：
分析：关键在于何为最佳，对于该题最佳就是两梁最大弯曲
应力同时达到最大。
Slide 36
主梁AB的最大弯矩
副梁CD的最大弯矩
由
即
M m ax
F
4
AB
(l a )
M max
M
AB
max CD
F
(l a )
4
Fa
4
M m ax CD
Fa
4
得
a
l
2
例 6—3 ： 已 知 16 号 工 字 钢 Wz=141cm3 ， l=1.5m ， a=1m ，
[]=160MPa，E=210GPa，在梁的下边缘C点沿轴向贴一应
6
变片，测得C点轴向线应变 c 400 10 ,求F并校核梁正应力
强度。
Slide 37
F
l/2
A
C
a
z
B
NO.16
l
解：（1） C
E C 210 10 400 10
9
M C F B ( l a ) 0 . 25 F
MC
0 . 25 F
0 . 25 F
6
C
Wz
Wz
141 10
（2） M max
max
1
6
84 10 Pa 84 MPa
6
F 47 . 4 10 N 47 . 4 kN
3
FL 17 . 8 kN m
4
M
max
Wz
17 . 8 10
141 10
3
6
126 10 Pa 126 MPa [ ]
6
Slide 38
例6—4：图示梁的截面为T形，材料的许用拉应力和许用压应
力分别为［σt］和［σc］，则 y1 和 y2 的最佳比值为多少？（Ｃ
为截面形心）
F
y1
C
z
y2
解：
分析：关键在于何为最佳，对于该题最佳就是梁危险截面上最
大弯曲拉压应力同时达到许用应力。
Slide 39
t
c
(1)
(2)
M m ax y 1
Iz
M m ax y 2
Iz
得：
y1
y2
[ t ]
(1)
[ c ]
(2)
[ t ]
[ c ]
例6—4：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力[σ]
=160MPa，校核该梁的强度。
10 KN / m
2m
200
B
A
4m
100
Slide 40
10 KN / m
2m
4m
45 kN
Q( kN )
200
B
A
100
15 kN
25
解：由弯矩图可见
M m ax 20 kN m
20
M ( kN m)
15
1125
.
t
M m ax
Wz
20 10
3
0 .1 0 .2
2
6
30M Pa < [ ]
该梁满足强度条件，安全
20
Slide 41
思6—1：图示三种截面梁，材质、截面内Ｍmax、σmax全相同，
求三梁的重量比。并指出哪种截面最经济。
2b
a
A1
A2
d
A3
a
b
思6—2、简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面的下边缘贴一应变片，
已知材料的E=200GPa，试问该应变片所测得的应变值应为多大？
q 40 kN / m
A
B
200
C
15
. m
300
15
. m
Slide 42
思6—3.图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为 10 mm，E=10GPa ，
求载荷F的大小。
F
A
B
C
2m
300
200
2m
思6—4、我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是
h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截
面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。
目录
Slide 43
§6-5 弯曲剪应力
从上节的分析知道：横力弯曲时，梁截面上既有弯矩又
有剪力，因而截面上既有剪应力，又有正应力。在弯曲问题
中，通常情况下，正应力是强度计算的主要因素。但在某些
情况下，例如跨度短而截面高的梁，腹板较薄的工字梁等，
有时也需要计算弯曲剪应力，下面就分别按截面的形状来讨
论。
一、矩形截面梁
b
q(x)
F2
z
F1
m
h
x
d(x)
(a)
m1
x
n
dx
P
n1
Q
y
x
y
(b)
Slide 44
1、如图所示：关于横截面上剪应力的分布规律，我们作以下
两个基本假设：
横截面上各点剪应力的方向都平行于剪力Q
剪应力沿截面宽度均匀分布，即离中性轴等距的各点的剪
应力相等。
如图所示：根据上述假设，在距中性轴为y的横线pq上，各一
点的剪应力 相等，且都平行于Q。再由剪应力互等定理可知，
在沿pq 切出的平行于中性层的pr平面上，也必然有与互等定理可
知，在沿pq 切出的平行于中性层的pr平面上，也必然有与 相等
的 ' 。
Slide 45
2.公式推导：
现以横截面mn和m1n1从上图中取出长度为dx的微段。如
图所示：
m
m m1
M
m1
M+dM
P
x n dxn1
x
y
N1
p
n
dx
q
n1
b
y
N2
Slide 46
N1
N2
Slide 47
设截面mn和m1n1上的弯矩分别为M和M+dM 再
以平行于中性层且距中性层为y的pr平面，从这一段梁中截
出一部分prnn1,则在这截出部分的左侧面rn上作用着因弯矩
M引起的正应力，而在右侧面pn1上，作用着因弯矩M+dM
引起的正应力。在顶面pr上，作用着剪应力， =且沿宽
度b均匀分布，从图中可看出：以上三种应力的方向都平行
于 x轴 ，假设三种应力的合力分别为N1、N2、Q。
则：
N 2 dA
A1
*
式中：S
z
M
A1
A1
dM y1
Iz
dA
M dM
Iz
A1
y1 dA
M
dM
Iz
*
Sz
y 1 dA
——距中性轴为y的横线pq以下的面积对中性轴的静矩。
Slide 48
同理：
由：
N1
M
Iz
x0
M
dM
Iz
， d Q bdx
*
Sz
N 2 N 1 dQ 0
Sz
*
dM
dx
QS
M
Iz
S
S Z bdx 0
*
*
z
I zb
*
z
I zb
'
QS
*
z
I zb
（6—8）
Slide 49
式中：
Ｑ——横截面上的剪力Ｑ
b ——截面宽度
Iz ——整个截面对中性轴的惯性矩
*
S ——截面上距中性轴为y的横线以外部分面积对
中性轴的静矩。
z
公式（6-8）即为矩形截面梁弯曲剪应力的计算公式。
3.讨论：
h
①矩形截面：S *
z
（ dA b dy ）
A1
y 1 dA
2
y
2
Q h
2
y
2Iz 4
by 1 dy 1
2
b h
2
y
2
4
(6-9)
Slide 50
从上式可看出：沿截面高度剪应力按抛物线规律变化。
y
h
2
时，
0 表明在截面上下边缘各点，剪应力为零。
y=0时， max 即最大剪应力发生在中性轴上。
max
Qh
2
8I z
3 Q
2 bh
(因为 I z
bh
3
12
可见矩形截面梁的最大剪应力为平均剪应力
根据剪切虎克定律
1
G
）
Q
bh
的1.5倍。
得：
h2
2
y
2 GI z 4
Q
表明：沿截面高度剪应变也是按抛物线规律变化的，且
Slide 51
y
h
2
y0
时， 0
max
时，
工字形截面梁
（1）
（2）
腹板上的剪应力
腹板截面是个狭长矩形，上面介绍过的关于矩形截面上
剪应力分布的两个假设仍然适用。腹板上的剪应力仍然可用
公式（6-8）来计算，即：
Slide 52
QS
*
z
I zb
如图所示：当我们要计算腹板上距中性轴为y处的剪应力时，
*
Sz
为图中画阴影部分的面积对中性轴的静矩。
h h 1 H
h
1h
H
h
S z B
b y y y
2 2 2 2
2
22
2
2
*
B
8
∴
H
2
h
Q B
H
I zb 8
2
2
2
bh
2
y
2 4
h
2
2
bh
2
y
2 4
(6-10)
上式表明沿腹板高度，剪应力也是按抛物线规律变化的。
Slide 53
max
y=0时，
y
h
2
时,
min
Q BH
I zb 8
Q BH
I zb 8
2
2
B b
8
h
2
2
h
8
讨论：从上两式可看出：由于b<
min
(6-11)
即：可以认为在腹板上剪应力大致是均匀分布的。
根据图b可计算出腹板上总的剪力值为：
Q 0 . 95 ~ 0 . 97 Q
(6-12)
可见：横截面上的剪力Q的绝大部分为腹板所负担（承担）。
Slide 54
腹板上剪应力的近似计算公式：
由于腹板几乎负担了截面上的全部剪力，而且腹板上的剪应力
又接近于均匀分布，故我们可用腹板的截面面积除剪力Q，近似地
得出腹板内的剪切应力为：
Q
bh
翌缘上的剪应力
在翌缘上也有平行于Q的剪应力分量，由于分布情况比较复
杂，且数量不大，因而并无实际意义，所以我们通常不能进行计
算。另外，翌缘上还有平行于翌缘宽度B的剪应力分量，与腹板
内剪应力比较一般,它是次要的。一般也不进行计算，如果计算,
其计算方法第七节中讲到。由于工字形截面梁翌缘的全部面积都
在离中性轴最远处，每一点的正应力都比较大，所以翌缘担负了
截面上的大部分弯矩。
Slide 55
圆形截面梁
当梁的横截面为圆形时，已经不能再假设截面上各点剪应力都
平行于Q了，而应该假设为图a中所示的情况，即AB弦上各点的剪
应力作用线都通过P点，如再假设AB弦上各点剪应力的垂直分量 y,
是相等的，于是对y来说，就与对矩形截面所作的假设完全相同了
。
基本假设：
AB弦上各点的剪应力作用线都通过P点。
AB弦上各点剪应力的垂直分量y相等。
剪应力计算公式：
由于上面我们所作的两个基本假设对y来说同矩形截面梁完
全相同，剪应力计算公式，我们仍然可应用(6-8)来计算。
Slide 56
y
Q
QS
*
z
Izb
R
Q
R
x
C
A
B
A
C
By
P
(a)
y
(b)
y
x
y1
dy1
Slide 57
式中：
b2 R y
2
*
Sz
Sz
*
A1
——AB弦的长度
2
(a)
——AB弦以外部分面积对中性轴的静矩
y 1 dA
将(a)、(b)式代入
y
R
y
R y dy 1
2
2 y1
y
中得：
由上式可见在中性轴上，
max
y
QR
2
R
2
3
2
Q R y
2
y
2
32 I z
可见圆截面上的最大剪应力 max
4
y
（6-14）
2
是平均剪应力的
(b)
（6-13）
Q
3 R
2
32 I z
达到最大值，且
2
2
3
1
1
3
倍。
Slide 58
注：对圆截面梁所采取的假设，还可用于截面是对称于y轴
的其他形状的梁，例如截面形状为椭圆或梯形的梁。
目录
Slide 59
§6-6 弯曲剪应力的强度校核
一、强度条件：
一般情况下，在剪力最大的截面的中性轴上，出现最
大弯曲剪应力，即：
*
max
Q max S z max
（6-15）
I zb
故弯曲剪应力的强度条件应该是：
*
max
式中：
*
S z max
Q max S z max
Izb
（6-16）
——中性轴一边的截面面积对中性轴的静矩
——材料的许用剪切应力
Slide 60
二、需用弯曲剪应力强度条件进行强度校核的梁的类型：
一般情况下，细长梁的强度控制因素，通常是弯曲正应力，根
据正应力强度条件确定的梁截面，一般都能满足剪应力的强度条件，
无需再进行剪应力的强度计算，只有在下述一些情况下，要注意梁
的剪应力校核：
1、梁的跨度短，或者在支座附近作用着较大的载荷，在这种情况
下，梁的弯矩较小，而剪力都可能很大。
2、铆接或焊接的工字形截面钢梁，腹板截面的厚度一般较薄而高
度却颇大，厚度与高度之比往往小于型钢的相应比值，这时需对腹
板的剪应力进行校核。
3、对由几部分经焊接，胶合或铆接而成的梁，对焊缝，胶合面或
铆钉等一般也要进行剪切强度校核。
Slide 61
三、计算：
一般利用强度条件可进行三个方面的计算，载荷的确定，
截面的选择和强度校核。
例6—5：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应力［σ］
=160MPa，［τ］=100MPa，试求最小直径dmin。
q 20 kN / m
A
B
d
4m
解：
Q m ax 40 kN ,
由正应力强度条件：
M m ax
ql
8
2
40 kN m
Slide 62
max
M max
[ ]，
即
40 10
d
Wz
3
160 10
3
6
32
得
d 137 m m
由剪应力强度条件：
max
得
所以
4 Q max
3
[ ]，
A
d 2 6 .1 m m
d m in 1 3 7 m m
即
4
3
40 10
d
4
2
3
100 10
6
Slide 63
例66 T形梁尺寸及所受荷载如图所示, 已知[]y=100MPa，[]L=50MPa，
[]=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2×104mm4。求：（1）C左侧截面E点的正
应力、切应力；（2）校核梁的正应力、切应力强度条件。
40
1kN
1kN/m
A
C
yc
E
z
40
1m
FC
FA
Q图
B
1m
1m
10
10
1
0.25
+
解： （1）求支座反力
F A 0 . 25 kN ， FC 1 . 75 kN
_
单位：kN
0.75
0.5
_
M图
单位： kN.m
+
0.25
（2）作梁的 Q 、 M 图如右
Q C 左 0 . 75 kN ， Q C 右 1kN
M C 0 . 5 kN m ， M B 0 . 25 kN m
Slide 64
（3） E
M C yE
E
QC左 S z
0 . 5 10 7 . 5 10
3
Iz
*
18 . 2 10 10
4
3
20 . 6 MPa ( 拉 )
12
0 . 75 10 ( 400 12 . 5 10
3
18 . 2 10 10 10
4
I zb
9
15
)
2 . 1MPa
（4）正应力强度校核：
M B ( 0 . 05 y c )
M C yc
44
.
6
MPa
[
]
48 . 0 MPa [ ] L
L
CL
BL
Iz
Iz
，
M
y
B c
M C ( 0 . 05 y c ) 89 . 2 MPa [ ]
24
.
0
MPa
[
]
By
y
Cy
y
Iz
Iz
（5） 切 应力强度校核：
*
max
Q max S z max
I zb
10 [10 ( 50 y c ) / 2 ] 10
3
2
18 . 2 10 10 10
该梁满足强度要求
4
15
9
2 . 9 MPa [ ]
Slide 65
例6-7 悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可
切应力为0.34MPa，木材的[σ]=10MPa，[τ]=1MPa，求
许可载荷。
解：
F
50
z50
50
l
2.按正应力强度条件计算
许可载荷
100
FS
M
F
1.作梁的内力图如图所示
max
Fl
F1
bh2
6l
Wz
10 100 150 10
7
M max
2
6
6 F1 l
bh
2
9
3750N 3.75kN
Slide 66
3.按切应力强度条件计算许可载荷
max 3FS / 2 A 3F2 / 2bh
F2 2 bh / 3 2 10 100 150 10
6
6
/ 3 10000N 10kN
4.按胶合面强度条件计算许可载荷
2
胶
h
F
b
3
*
FS S Z
4 F3
3
胶
3
bh
IZb
3bh
b
12
F3
3bh 胶
3 100 150 10
4
6
0.34 10
6
4
3825N 3.825kN
5.梁的许可载荷为 F Fi min3.75kN
10kN
3.825kNmin 3.75kN
目录
Slide 67
§6-7 开口薄壁杆件的弯曲应力 弯曲中心
一、开口薄壁杆件的弯曲应力
a
N2
b
d
c
N1
F
F
如图所示：为一开口薄壁杆件，y和z为横截面的形心主
惯性轴。载荷F平行于y轴，并且通过弯曲中心，这时杆件只有
弯曲而无扭转，z轴为弯曲变形的中性轴。
Slide 68
（一）公式推导：
1、假设：
（1）由于壁厚t远小于横截面的其他尺寸，故可假设沿壁厚t剪
应力的大小无变化。
（2）因杆件的内侧和外侧表面皆为自由面，并没作用任何与表
面相切的载荷，所以横截面上的剪应力与截面同周相切。
2、推导公式：
从杆件中取出一部分abcd。在这一部分的ad和bc面上作
用弯曲正应力，在截面dc上作用着剪应力，这些应力的方向
都平行于x轴，现假设这三个面上应力的合力分别为 N1、N2
和Q。
则：
N1
MS
IZ
*
Z
，
N2
M
dM S Z
*
IZ
， Q tdx
'
Slide 69
由
x 0
N 2 N 1 tdx 0
'
M
dM S Z
*
MS
IZ
'
dM S Z
QS
dx I Z t
根据：
得：
tdx 0
'
IZ
*
*
Z
*
Z
IZt
'
QS
*
Z
IZt
（6-17）
——开口薄壁杆件的剪应力的计算公式
Slide 70
二、弯曲中心位置的确定：
以槽钢为例：
e
Q2
（a）
（b）
槽钢的截面尺寸如图所示，外力F平行于y轴
（c）
Slide 71
(一)翌缘上的剪力
图中上翌缘距右端处的剪应力：
1
QS
*
Z
IZt
*
SZ
th
1
2
Q h
2IZ
1 沿翌缘宽度按直线规律变化，见图a。
从上式可看出：
令：Q 1 ——翌缘上切向内力系的合力
则：
Q1
A
1
dA
b
Q h
0
2I Z
2
td
Qb ht
4I Z
Slide 72
'
若令： Q 1
——下翌缘上切向内力系的合力
'
则：由对称关系可知： Q 1 Q 1
（但方向相反）见图b
（二）腹板上的剪力
设腹板上距中性轴为y处的剪应力为 2
2
则：
其中：
从而：
*
SZ
2
QS
*
Z
IZd
2
1h
2
y d
2
2 4
bth
2
Q bth
1h
2
y d
IZd 2
2 4
Slide 73
从上式可看出：腹板上剪应力 2 沿高度按抛物线规律变化
令：Q2——代表腹板上切向内力系的合力
则：
h
Q2
2
h
2
2
Q bth
1h
Q bth
2
y d d dy
IZd 2
2 4
I Z 2
又因槽形截面对中性轴z的惯性矩等于
IZ
故：
bth
2
2
Q2 Q
dh
12
3
2
3
dh
12
Slide 74
（三）求弯曲中心的位置
见图b，至此我们已经求得了截面上的三个切向内力Q1、Q2、
和Q1 。其中：Q1、 Q1组成力偶矩 Q1h。如若把它与Q2 合并，
就得到了内力系的最终合力，这一合力，其数值仍等于Q2，只是
作用线向左平移了一个距离e，见图C。
由： M O
'
0
Q e Q1 h
2
Qb ht
e
Q1 h
Q
（四）讨论：
4Iz
Q
h
2
b h
4Iz
2
（6-18）
1、由于截面上切向内力系的合力Q（即横截面上的剪力）在距
腹板中线为e 的纵向平面内，若这时外力F也在同一平面内，则
因F及Q同在一纵向平面内，杆件就只有弯曲而无扭转。
Slide 75
2、若外力沿Z轴作用，因Z轴为对称轴，故属于平面弯曲。此时横
截面上剪应力Qz与Z轴重合。在上述的这两种平面弯曲中，截面上
剪力Q与Q Z的作用线的交点A即为弯曲中心（剪切中心）与z轴重合。
3、由公式(6-18)可看出：弯曲中心的位置只与截面的形状和尺寸
有关，而与外力的大小和材料的性质无关，属于截面图形的几何
性质之一。
4、若外力不通过弯曲中心，这时我们把外力向弯曲中心简化，将
得到一个通过弯曲中心的F力和一个扭转力偶矩。通过弯曲中心的
横向力F仍引起上述平面弯曲变形，而扭转力偶矩却将引起杆件的
约束扭转。这时杆件既有弯曲又有扭转。
5、开口薄壁杆件的抗扭刚度较小，若横向力不通过弯曲中心将引
起较大的扭转变形。
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（五）薄壁截面的弯曲中心位置，符合下列规则:
(1)具有两个对称轴或反对称轴的截面，其弯曲中心与形心重合。
(2)具有一个对称轴的截面，其弯曲中心一定在这个对称轴上。
(3)若截面的中线是由若干相交于一点的直线段所组成，则此交点
就是截面的弯曲中心。
思考题：试画出下列各薄壁截面弯曲中心的大致位置。若剪力Ｑ
的方向垂直向下，试画出剪应力流的方向。
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目录
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§6-8 提高弯曲强度的一些措施
我们在前面曾经讲过，弯曲正应力是控制弯曲强度的主要因素，
故弯曲正应力的强度条件：
max
M
max
W
往往是设计梁的主要依据。从上面这个式子可看出：要提高梁的承
载承力，应从两方面考虑：一方面是合理安排梁的受力情况，以降
低 M max 的值；另一方面是采用合理的截面形状，以提高W的数值，
充分利用材料的性能。
一、合理安排梁的受力情况：
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q
q
B
A
l
B
A
3l/5
l/5
ql2/50
ql2/50
-
M图
+
l/5
-
+
M图
ql2/40
ql2/8
左边梁的最大弯矩值是右边梁的最大弯矩值的5
倍
。因此，右边梁上的载荷还要提高四倍，才能使得其最
大弯矩值同左边的相同。因而，右边梁的承载能力要比
左边高四倍，因此说来，合理的布置梁的支座，对提高
梁的弯曲强度是十分必要的。
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二、合理的布置载荷。 比较下列两种布置方法：
P
P
D
C
l/2
M图
l/4
l/2
+
Pl/4
B
A
B
A
M图
l/4
l/4
l/4
+
Pl/8
Pl/8
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三、合理选取截面形状
从弯曲强度考虑，比较合理的截面形状，是使用较小的
截面面积，却能获得较大抗弯能力的截面。在一般截面中，
抗弯能力与截面高度的平方成正比。因此，当截面面积一定
时，宜将较多材料放置在远离中性轴的部位。因此，面积相
同时：
工字形优于矩形，矩形优于正方形； 环形优于圆形。
同时应尽量使拉、压应力同时达到最大值。
min
z
z
max
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四、合理放置截面
WZ 左
bh
6
2
WZ 右
hb
6
2
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五、合理设计梁的外形（等强度梁）
1、等强度梁的概念：
我们前面所讨论的梁都是等截面梁，对于这种梁，只有
在弯矩为最大值的截面上，最大应力才可能接近许用应力。
其余截面上弯矩较小，应力也较低，材料没有充分利用。为
了节约材料，减轻自重，可改变截面的尺寸，使抗弯截面模
量随弯矩而变化。在弯矩较大处采用较大截面。在弯矩较小
处采用较小截面。这种截面沿轴线变化的梁，称为变截面梁。
对于变截面梁，其正应力计算仍可近似的利用等截面梁的公
式，下面我们就来看看什么叫等强度梁。
等强度梁：如变截面梁各横截面上的最大正应力相等，且都
等于许可应力，我们就称之为等强度梁。
设：
M x
——梁在任一截面上的弯矩
W x
——为抗弯截面模量
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根据等强度梁的概念，则有：
max
M x
W x
W x
M x
——（6-19）
例题6—8：
F
h x
h
B
A
l/2
M图
l/2
+
Pl/4
b(x )
b
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谢谢大家!
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