Transcript 自由振动

第十四章 结构动力学
§14－1 概述
一、结构动力计算的内容与目的
静力荷载——施力过程缓慢，忽略惯性力 的影响。
静力荷载作用——大小、方向、作用点确定
——结构处于平衡状态
——内力、变形、位移确定（不随时间变化）
动力荷载的特征：
荷载的大小、方向（作用位置*）随时间而变化
荷载变化较快，使结构产生不容忽视的加速度
动力计算：
考虑惯性力－达朗贝尔原理（动力－静力平衡）
内力、位移、荷载均为时间的函数 （瞬间(t)的平衡）
按动力荷载变化规律分类：
①周期荷载
简谐荷载
例：偏心质量产生的离心力
非简谐荷载
②冲击荷载——急剧增大，
作用时间很短即行消失：桩锤作用；车轮撞击轨道接头
——急剧减少——爆炸荷载，
③突加荷载——加载：
重物落在结构上（突然加载和突然卸载）
④快速移动荷载——高速通过桥梁的火车、汽车
⑤随机荷载——地震的激振、风力脉动作用
荷载变化极不规律，只能用概率方法求其统计规律
周期荷载（简谐）
周期荷载（非简谐）
冲击荷载（急剧增大、急剧减少）
随机荷载
内容：自由振动
无阻尼
单、多自由度
强迫振动
有阻尼
无限多自由度
自由振动——结构受外部因素干扰发生振动，
而在以后的振动过程中不再受外部干扰力作用。
强迫振动（受迫振动）——结构在动荷载作用下的振动
（在振动过程中不断受到外部干扰力作用）
目的：
①结构的动力特性（周期T，频率f(ω)、振型、阻尼）
—— 避免共振；地震的主要周期
例：步兵过桥——齐步走
美国悬索大桥——风振作用，突然垮塌
②动力反应 动内力/位移随时间变化的规律
——最大值——设计依据
§14－2 结构振动的自由度
振动自由度
——为了确定全部质量位置所需的独立几何参数的数目
集中质量法：突出主要质量——静力等效
单自由度结构
多自由度结构
确定结构振动的自由度：（图14 – 2）
注意： ①自由度数n随计算简图而异
（a、b、f-无限多自由度）
②自由度数与质量数目可能不同
（c、d-e几何构造分析方法确定）
③自由度数与静定或超静定及超静定次数无关
实际结构的简化（图14 – 3）
（a）块式基础——垂直振动
（b）水塔——顶部水池较重，水平振动
（c）楼房——楼板较重，水平振动
§14－3 单自由度体系的自由振动
单自由度——实际的问题或简化的模型（图14 – 4）
多自由度体系动力分析的基础
自由振动——结构受外部因素干扰发生振动，
而在以后的振动过程中不再受外部干扰力作用。
初始干扰：初始位移——强迫偏离，突然放松；
初始速度——瞬时冲击
1、不考虑阻尼时的自由振动
（图14 –5）质量——弹簧模型
——静平衡位置为坐标原点，向下为正
弹簧的刚度k11 ：弹簧发生单位位移所需加的力
弹簧的柔度δ11 ：单位力作用下产生的位移
1
k11 
11
振动微分方程
——位移及各量随时间变化的规律
两个基本方法：
刚度法——列动力平衡方程
柔度法——列位移方程
（一）建立自由振动微分方程
（1）刚度法－动力平衡方程（达朗贝尔原理）
质点m —— 任一时刻t有位移y(t)，
（图16 – 5b）
S  ky ——弹性恢复力，与位移y方向相反
I  my ——惯性力，与加速度方向相反
my  ky  0 达朗伯尔原理 隔离体平衡方程
微分方程
y  y  0
2
k
1


m
m
（2）柔度法——列位移方程
——弹性体系（非隔离体）（图14 – 5c）
运动过程，质量只受惯性力——按静力荷载考虑，
I  my
m在时刻 t 的位移等于惯性力作用下的静力位移
即 y  my
单自由度体系 m y 
即， my  ky
与刚度法相同
0
y0
1
 
k
（二）自由振动微分方程的解
常系数线性齐次微分方程
通解 y = C1 cosωt + C2 sinωt
速度（对时间取一阶导数）
ỳ = -ωC1 sinωt + ωC2cosωt
初始条件：t = 0， y  y
y(0)  y0
（0）
0
C1  y0
C2 
y(t )  y0 cost 
y0

y0

sint
——正弦规律
 初速度：ỳ0 ——余弦规律
 叠加——
 初位移：y0
令
 y0  asin

 y0
 acos


则 y(t)= a sin(ωt+φ)
ỳ(t) = aωcos(ωt+φ)

2
a  y0 

2
0
2
y0
tg 
y0
a —— 振幅：质点最大位移；φ——初相角
（三）结构自振同期
周期运动 y( t + T ) = y( t )
y(t )  asin t  2   
  2
 asin   t 

 
自振周期
T＝
2


     y(t T )


每隔一段时间就重复原来运动
单位：秒（S）

1  单位时间内的振动次数 ，
f  
单位： 1／秒（1/S）
T 2
频率
2
＝ ＝2f
T
园频率（频率）
2π秒内完成的
振动次数
k
1
g
g
＝



m
m
W
 st
（14－8）
W  mg — —重力
 st  W — —重力静位移
 st
m
W
T  2
 2 m  2

k
g
g
周期Ｔ的重要性质：
（1）Ｔ只与结构本身的性质 m、k有关
——结构固有的动力特性，与外界干扰无关
——外界干扰只能影响振幅和初相角；
1
（2）Ｔ∝
m．
k
（3）T－结构动力性能的一个重要数量标志
形状相似，周期相差很大－动力性能相差很大
结构 
形状不同，周期相近－动力性能相近
（4）ω ∝ 1/Δst ，
质点放在结构上产生最大位移处，
可以得到最小频率和最大周期
[例14－1]三种支承情况的梁，忽略梁本身质量，
求自振频率与周期（图14 - 7）
[解]（1）柔度法
3
l
 1＝
48EI
3
l
7l
 3＝
 2＝
192EI
768EI
1
48EI
1 

2 
3
m 1
ml
计算
δ
3
192EI
768EI
3 
3
m l3
7m l
1
1
2

2
1.51

3
2
3
1   2   3
（  ）k   
3
3
ml
7m l
ml
T1 
 2
T2  2
T3  2
1
48EI
768EI
192EI
（2）刚度法
a. 加链杆约束——约束动力自由度；
b. 给单位位移；
c. 求约束力——刚度k。
[例2] 刚架，梁质量m，刚度∞；
柱(忽略质量)刚度EI，高h。
试求自振频率ω和周期
12i 24 EI
k  2 2 
3
h
h
k
24EI


3
m
mh
3
mh
T  2
24EI
计算 k
* （计算δ）
[例3] 例2中，若初始位移△，初始速度ν0
试求振幅值及 t=1s时的位移值
解：上例已计算

24EI
m h3
2
y(t )  a sin(t   ) a 
y(t )  y0 cost 
y( t 1)
y0

2
y
v


y02   0    2  02

 
sint
0
 Cos  Sin

 作业：
√ （振动自由度）
 14－2a*、b（振动微分方程）
 14－3 a √、b、c √、d ；

4、5、6 √ （频率）
 14－7 √ （振幅、位移）
 14－1
2、考虑阻尼作用时的自由振动
阻尼（力）：振动过程中各种阻力的作用
使自由振动逐渐衰减而不能无限延续
共振时振幅并非无限大
（外部介质）空气和液体的阻力、支承的摩擦
（内部作用）材料分子之间的摩擦和粘着性
阻尼的种类：
（1）粘滞阻尼力 R = -βỳ （线性阻尼）
两个物体的相对滑动面之间有一层连续油膜存在时
或物体以低速在粘性液体内运动
（2）流体阻尼 R = - cv2
固体以较大速度在流体介质内运动
（例3m/s以上）
（3）摩擦力
R ＝ kN
两个干燥的平滑接触面之间的摩擦力
（4）结构阻尼
材料之间的内摩擦
粘滞阻尼力计算简单，其余的可化为等效粘滞阻尼力
考虑阻尼的振动方程
I+R+S=0
其中：R = -βỳ
有阻尼的自由振动微分方程
my   y  k11 y  0
令

k11

即：  
  , 2  2k 
2m
m
m
2
y  2 y   y  0
2
（16－9）*
y  2 y   y  0
2
设解
y(t )  Ce
rt
Cr e  2  Cre    Ce  0
2 rt
r
2
rt
2
 2 r     Ce  0
2
rt
特征方程
r  2r    0
2
2

r1,2      1
2

rt
（1）
 1
（小阻尼） 令
有阻尼的自振频率
   1  
2
（16—10）

r1、2    i
r1,2      2 1
y(t )  b1e  b2e
r1t
r2t
  it
 b1e
  it
 b2e
b e  b e 
t
y(t )  e  B1cost  B2 sint 
e
i t
t
1
 i t
2

t
y(t )  e
 B1cost  B2sint 
设初始条件: t = 0, y = y0、ỳ = ỳ 0
y0   y0
B1  y0 , B2 

 0
y0  e
 B1cos0  B2sin0
y( t )   e t  B1cos t  B2 sin t 
  e t   B1sin t  B2 cos t 
y0   B1   B2
y(t )  e
t
y0   y0
B2 

y0   y0
( y0 cos  t 
sin t )

写成
t
y(t )  b  e
 sin(t  )
y0   y0 2
其中 b  y  (
)

2
0
 y0
tg  
y0   y0
式（14－12）的位移－
时间曲线如（图14－9）
所示：
低阻尼体系自由振动y-t
曲线——逐渐衰减的正
弦（波动）曲线
(14-12)

阻尼比——阻尼的基本参数：
k

a.阻尼对频率（周期）的影响
ξ↑→ω’↓
ξ↑→T’↑
2

   1   
T 
  0.2   
T  T
T
1 
2
T
  0.2,
    1  0.22
  0.96  0.98
b、阻尼对振幅的影响
be
t
——振幅随时间逐渐衰减
yn
bet
2
T
一周期 T 


e
后
yn1 be t T 

yn
2
取对数： ln y  T       2
n 1
n
n
y
1 
 
 ln n
2 
yn 1
相隔j个周期：
若   0.2,
ln
yn
——振幅对数递减量
yn 1
yn
1 

ln
2 j  yn j

1

yn

ln
2 j yn  j
1
（2）   1
（大阻尼），
此时特征根r1、r2为一对重根（负实数），
通解为：
ye
t
(C1ch   1t  C2 sh   1t )
2
2
这是非周期函数，故不发生振动，
且受初始干扰偏离平衡位置后
返回中心位置更慢
（3）  1 （临界阻尼）
特征方程根
  
微分方程解
y  et C1  C2t 
t 0
y  y0 C1  y0
y  C2e
 t
   C1  C2t  e
 t
 C2  C1  y0
C2   y0  y0
y(t )   y0 1  t   y0t  e
t
|t 0
y(t )   y0 1  t   y0t  e
t
y – t 曲线－仍是有衰减性质 ，
但不具有波动性质
（如图）
ỳ0
φ
y0
试题

由：  2 令  1
m
cr  2m  2 mk11
——临界阻尼系数
——使运动不再具有波动性质
所对应的阻尼系数最小值
阻尼比：
 ——反映阻尼情况的基本参数

cr
实测相隔j个周期的振幅——计算ξ：
yn , yn  j
yn
 
ln
2 j yn j
1
§14－4 单自由度结构在简谐荷载
作用下的强迫振动
强迫振动（受迫振动）－结构在动荷载作用下的振动
一、振动方程建立
刚度法：取m隔离体，由动力平衡得：
I  R  S  P(t )  0
my   y  k11 y  P(t )
1
y  2 y   y  P(t )
m
2
 微分方程的解：y

= y0 + y
其中齐次方程通解：
t
y e
0
（t）

 B1cost  B2sint 
与干扰力P(t)相应的特解,则与干扰力的形式有关
二、简谐荷载 P(t)=Fsinθt
（14—17）
F
y  2 y   y  sin t （14－18）
m
2
特解：
y  C1 sin  t  C2 cos t
y   C1 cos t   C2 sin  t
y   2C1 sin  t  2C2 cos t
代入方程：
[2 C1  (   )C2 ]cos  t
2
2
F
[(   )C1  2 C2 ]sin  t  sin  t
m
2
2
对于任意的t上式均成立，一定有相应系数相等：
 2 C1      C2  0

 2
F
2
    C1  2 C2 
m

2
2
可解：
F
 
C1 
2
2
2
m      4 2 2 2
2
2
F
2
C2 
2
2
2
m      4 2 2 2
全解：
y(t )  e
t
 B1Cos ' t  B2 Sin ' t 
C1 sin  t  C2 cos  t
自由振动：频率ω’，振幅衰减；
B1、B2由初始条件确定
强迫振动：频率θ，C1、C2与F有关
设初始条件: t = 0, y = y0、ỳ = ỳ 0
B1  y0 
B2 
F
2
 y0  C2
2
m  2   2   4 2 2 2

  2 
y0   y0
F
2  
F


'
m '  2   2 2  4 2 2 2 m '  2   2 2  4 2 2 2
y0   y0 



C2  C1
'
'
'
2
2
2
y(t )  e
t
y0   y0


sin ' t 
 y0cos ' t 
'


2     
2
e
t
yst  [2cos ' t 
 yst [  
2





2
2
2
'
2
 sin ' t ]
 sin  t  2 cos t ]
（14—19）分三部分：
自由振动——初始条件确定；
伴生自由振动——与初始条件无关而伴随干扰力的作
用发生的振动，但频率与自振频率ω’相同；
——以上二部分有e-ξωt ,随时间衰减
纯强迫振动——平稳振动（不衰减）
过渡阶段
平稳阶段
1、不考虑阻尼的纯强迫振动
2
2
F



ξ＝0 C 
1
m  2   2 2  4 2 2 2
F
2
C2 
m  2   2 2  4 2 2 2
F
1
C1 
2
2
m  
C2  0
y(t )  et  B1Cos ' t  B2 Sin ' t 
C1 sin  t  C2 cos  t
F
1
y(t ) 
sin  t
2
2
m  
 A sin  t
振幅（最大位移）
A  y(t )max
1
F

  yst
2
1 m
1 2

动力（位移）系数

1

1 2

2

y(t ) max
yst
——
最大动位移
的比值
最大静位移
（14—22）
θ<ω，μ> 0，动力位移与动力荷载同相
θ>ω，μ< 0，动力位移与动力荷载反相
单自由度，干扰力与惯性力作用点重合，
——内力动力系数＝位移动力系数
μ的特性（由图示）

（1）  0       1， P 变化非常慢
(t)

（与自振周期T相比）
动力  按静力作用

（2）
0   1，   1，


且当   


|μ|
1
2
1 2


（3）  1，  ，

y(t )  共振
由于阻尼共振时振幅不会大，但也是很大的数
实际
形成过程由小逐渐变大，不是一开始就很大

（4）  1


|  |

1
1
θ/ω
2、考虑阻尼的纯强迫振动
2
2
F



ξ≠ 0 C1 
m   
2
C2 

2 2
 4  
2
2
2
F
2
m  2   2 2  4 2 2 2
 A cos 
  A sin 
y(t )  A(cos  sin  t  sin  cos  t )
 A sin( t   )
振幅
相位差
F
A  C C 
m
2
1
2
2
1
  
2
C2
1 2
  tg
 tg ( 2
)
2
C1
 
1

2 2
 4 2 2 2
F
A
2
m

1
2
   4 2 2
1  2  
2




1
2
  yst
2
   4 2 2
1  2  
2




2
——动力系数
与θ/ω有关，与阻尼比ξ有关

～
 的关系曲线： （图14－12）
讨论：

①当ξ：0→1时，曲线渐趋平缓， ＝1 附近，峰值下降显著


② ＝1 实际共振   

若  0  
研究共振，
阻尼影响不容忽略

   ,  0，
 0

（1）
my  cy  ky  F sint
μ≈1，静力荷载
振动慢，惯性力、阻
尼力小
ky  F sint 
 
 平衡－反相
P
（( )
S
动荷载主要与弹性力平衡
F
y  sin t y与P(t)同相位
k

1
2
   4 2 2
1  2  
2




2
2
  tg ( 2
)
2
 
1
（2）    ,    ,   0，tg  0,   0, 

y很小的颤动 ky,cỳ很小,振动快，惯性力大
my  cy  ky  F sin  t
my  F sint
动荷载主要与惯性力平衡
mij
P



P与f I 反相
f I  my   2 yst  sin  t     m 2 y
与位移

y  yst  sin  t    同相位  y与P()反相位
1
2
   4 2 2
1  2  
2




2
2
  tg ( 2
)
2
 
1
（3）   ，  1，tg   ,   90 μ增加快
（共振）


荷载值为最大时，
 t  时 P(t )  F
位移、加速度最小
2
y、y  0，y最大，
my   y  ky  F sin  t
 y  F sin  t
——动荷载主要与阻尼力平衡
1
共振时，阻尼力起重要作用，不容忽略

2
  2  4 2 2
1  2  
2




2
  tg ( 2
)
2
 
1
0.75<θ/ω<1.25范围，阻尼对位移影响很大；
阻尼较小时，共振现象仍很危险；
工程设计， 自振频率ω应比 θ大25~30% 。
 干扰力不直接作用在质点上：
y  11 I  12 P( t )
 11 ( my )  12 P( t )
my11  y  12 P(t )
12
my  k11 y 
P(t )
11
P

2
12 ( t )
y  y 
11 m
（14－28）
§14－5 单自由度结构在任意荷载
作用下的强迫振动
瞬时冲量的动力反应
动量定理：质点(m)的动量(mv)在某一时间间隔内的
改变量，等于同一时间内的作用力的冲量（P·Δt）（图）
mv2  mv1  P  t
t=0, y=0, v1=0
Δt→ε, v2=v0 mv0=PΔt
→令为 Q（瞬时冲量）
Q
v0 
m
冲量作用时间很短，忽略Δt ，相当于物体：
在
Q
t  0时 y(0)  0, v(0)  v0 
m
的自由振动
v0
t Q
y(t )  e
sin t  e
sin t
（14－11）

m 
t  时刻有Q  P  t （坐标平移），则
t
y( t )  e
t
Q
sin (t   )
m 
一般动荷载的动力反应
Ｐ(t)——加载过程视为一系列瞬时冲量组成
t=τ时，P(τ)在微分时段dτ内冲量ds=P(τ)dτ
微分冲量对动力反应的贡献：
（τ时刻冲量对t时的动力反应）
P( ) d  (t  )
dy 
e
sin   t   
m 
动力反应y(t)为0→t时刻所有微分反应的叠加
1 t
 ( t  )

y(t ) 
P
e
sin

t    d

(

)

m  0
杜哈梅积分 (ξ＝0，ω’=ω)
1 t
y(t ) 
P( ) sin  t    d

m 0
若有y0、v0， 则
v0
1
y(t )  y0Cost  Sint 

m
——任意荷载P作用的动力响应
t
 P Sin(t  )d
0
（1）突加荷载
0 t 0
P(t )  
P0 t  0
1 t
y(t ) 
P0 Sin t   d
m 0
P0 t

 Sint  d  ωt=(2n-1)π

2 0
ymax=2yst
m
y max
P0
t

2

Cos t    |0
2
实例图
y st
m
P0
1  Cost 

2
m
 yst 1  Cost 


yst 
P0
 P0  
2
m
（2）短时荷载
0

P(t )  P0
0

动力反应分二段考虑
t0
0t u
t u
当0 < t < t0 时
y  yst 1  cost 
当 t > t0 时
y  yst 1  cost   yst [1  cos (t  t0 )]
 yst [cost  t  t0   cost ]
 2 yst [sin
 t0
t 

sin t  t  0 ]
2
2

以t0时的位移和速度
为初始位移和初始速度
的——自由振动
当t0 < T/2 时，最大位移发生在后一阶段（表14－1）
t
t0
t


，ymax  2 yst sin 0
2 2
2
  2 sin
 t0
2
当t0 > T/2 时，最大位移发生在前一阶段：μ＝2
§14－6多自由度结构的自由振动
多自由度体系： 多层房屋的侧向振动
不等高排架的振动
块形基础的平面振动
梁上有几个集中质量的振动
求解方法： 刚度法——建立力的平衡方程（位移法）
柔度法——建立位移协调方程（力法）
两个自由度体系——推广到n个自由度体系：
特性（与单自由度区别）：
固有频率：2个——n个；
主振型：2个——n个；
耦合：各自由度的运动相互影响；
不同坐标写方程式（刚度、柔度法）
矩阵形式及运算
1、振动微分方程建立
（1）刚度法（位移法）
a) n个质量——n个位移；
R  k y  ki 2 y2 
b) 附加链杆： i
i1 1
——反力＝惯性力；
c) 令附加链杆发生实际位移
——反力=Ri
刚度系数：
d) Yi = 1 引起的反力
——kii、kji
e) 同理有kij、kjj
 kin yn
叠加(b)、(c)，附加链杆的反力之和＝0（原结构）
mi yi  Ri  0 (i  1,2n)
Ri  ki1 y1  ki 2 y2 
且
 kin yn
即有 m y  k y  k y    k y  0 (i  1,2 n)
i i
i1 1
i2 2
in n
n个自由度体系振动方程
m1





m2
  y1   k11
  y  k
  2    21
   

  
mn   yn  k n1
MY  KY  0
 k1n   y1  0



k 22  k 2 n   y 2  0
  
    

   
k n1  k nn   y n  0
k12
(14-43)
（2）柔度法（力法）
a) n个质量——n个位移；
——只受惯性力-mÿi
（作为静力荷载）
柔度系数：
b) Pi = 1 引起的位移
——δii、δji
c) 同理有δij、δjj
思路：考虑弹性体系的某一质量mi ，在自由振动过程
中任一时刻t的位移yi ，应当等于体系中各个质量的惯性
力-mÿj (j=1,2…n)共同作用下所产生的静力位移。，
yi (t )  i1 (m1 y1 )  i 2 (m2 y2 ) 
 in (mn yn )
n个位移方程：
 i1m1 y1(t )   i 2 m2 y2(t )     in mn yn  yi (t )  0 (i  1,2 n)
矩阵形式：
 11  12   1n  m1



 21  22   2 n  





 n1  n 2   nn  
m2
  y1   y1  0
  y   y  0
  2    2    
        

     
mn   yn   y n  0
 MY  Y  0
（14－44）
[M]——质量阵， （集中质点）对角阵
[δ]——柔度阵，对称，正定，非奇异（结构）
K 
1
柔度矩阵与刚度矩阵——互为逆矩阵
刚度法与柔度法实质相同，形式不同。
根据结构的形式适当采用刚度法或柔度法求系数
2、按柔度法求解
振动微分方程： [ ][ M ]{y}  { y}  {0}
设解
{ y}  {Y } sin(t   )
  2 [ ][ M ]{Y}sin(t   )  {Y}sin(t   )  0
[ I ]   2 [ ][ M ]){Y}sin(t   )  0
对任意
t sin(t   ) ,
均成立，则
1
2
振型方程： ([([][IM
 [2 ][
[ IM
]){]){
Y }Y}{00
}
] ] 

其中：[I]为单位矩阵，{Y}={Y1 Y2 … Yn}T为振幅列向量
([ I ]   2 [ ][ M ]){Y }  0
齐次方程，若{Y}有非零解则：
频率（特征）方程
1
D  [ ][ M ]  2 [ I ]  0 （14－47）

即
D  [ ][ M ]  [ I ]  0

展开
 11 m1    12 m2 
 21 m1  22 m2   
1
2
 1n mn
 2 n mn

 n1 m1
 n 2 m2
  nn mn  
关于λ的n次方程  i (i  1,2n)
  i (i  1,2  n)
0
D  [ ][ M ]  [ I ]  0

1

2
（14－47）
——频率方程
解为n个正实根λi,即1/ωi2（i=1,2, … n）;
得到n个自振频率：ω1，ω2，…ωn ，
——按从小到大顺序排列，
称为第一、第二…第n频率
——总称为结构自振频谱
将n个自振频率中的任意一个ωk代入特解：
(k )
i
y
 Yi
(k )
sin(k t  k )
（i=1,2, … n ）
{y }  {Y }sin(k t  k )
(k )
(k )
即各质点按同一频率ωk作同步简谐振动，
则各质点的位移的比值：
y1:y2: … :yn = Y1:Y2: … :Yn——为定值（不随时间变化）
即任意时刻，结构振动保持同一形态，像单自由度振动。
将
1 代入振型方程
 
k

2
k
([ ][M ]  k [ I ]){Y ( k ) }  {0}
(k  1, 2
n)
由于D=0，n个方程中只有n-1个方程线性无关，
不能求得Y(k)1,Y(k)2,…,Y(k)n的确定值，
但可以确定相对比值——（主）振型。
任取n-1个方程，令Y(k)1 ＝1——规准化振型
 {Y ( k ) } (k  1, 2
n)
 n个自由度结构——n个自振频率：
 ——相应有n个主振动和主振型——特解；
 一般解——主振动的线性组合：
n
yi   AkYi
(k )
k 1
sin(k t   k ) (i  1, 2
(1)
(2)
 y1 
Y1 
Y1 
y 
Y 
Y 
 2
 2
 2
   A1   sin(1t  1 )  A2   sin(2t   2 ) 
 
 
 



 yn 

Yn 

Yn 

n
k 1
(n)
Y1 
Y 
 2
 An   sin(nt   n )
 

Yn 

{ y}   Ak {Y } sin(k t   k )
(k )
n)
n
yi   AkYi
k 1
(k )
sin(k t   k ) (i  1, 2
n)
一般情况，各质点的振动
——n个主振动分量叠加而成；
——各主振动的振幅Ak{Y}(k)和初相角αk
取决于初始条件：
n个质点的n个初始位移和n个初始速度
——确定n个Ak和n个αk。
自振频率和振型——结构固有动力特性；
——主要任务
振幅和初相角——由初始条件确定
（1）两个自由度
频率方程

D 
 21
11
 12  m1

1
 



 22   m2  

0

1
 11 m1    12 m2
0
 21 m1  22 m2  
  (11m1  22m2 )  (1122  1221 )m1m2  0
2
( 11m1   )( 22 m2   )   12 21m1m2  0
1
2
1  [(11m1   22 m2 )  (11m1   22 m2 )  4(11 22  12 21 )m1m2
2
2
1, 2 
1
1, 2
振型方程
取第一方程
11m1  k
  m
 21 1
(k )
Y1
(k )
2
Y
 Y1 
 

 22 m2  k  Y2 
0 
 
0 
12 m2
12 m2


1
11m1  k
11m1  2
k
(k )
写成列阵形式：
12 m2
(k )
{Y }
Y1 
 
Y2 
(k )
（k=1、2）
[例14—3] 求
 i、 {Y }(i )
[解]
1 1 l 2l 2 2l
11   22  [    
EI 2 3 9 3 9
3
1 2l 2l 2 2l
4l
     ]
2 3 9 3 9
243EI
1
1 l 2l 2 l
12   21  [2     
EI
2 3 9 3 9
1 l l 2 2l 1 l
   (    )
2 3 9 3 9 3 9
3
3
7l
1 l 2l 2 l 1 2l  l  8  5  8

   (    )
EI 2  3  9  3  9 486 EI
2 3 9 3 9 3 9
1
1，2  [2 11m  4 112 m 2  4( 112   122 )m 2 ]
2
  11 m   12 m 取较大的为λ1，对应ω1为较小的
 4l 3
7l 3 
1  (11  12 )m  

m
 243EI 486 EI 
3
15 ml


 15
486 EI
3
 4l 3
7l 
2  (11  12 )m  

m
 243EI 486 EI 
3
1 ml



486 EI
频率
1
EI
1 
 5.69
3
ml
1
1
EI
2 
 22
3
ml
2
振型
Y11
7l 3 / 486EI  m
7
1



3
3
Y21
8  15 1
4l
15 m l
m

243EI
486 EI
3
Y12
7l / 486EI  m
7
1



3
3
Y22
8 1 1
4l
1 ml
m
243EI
486 EI
[解II]
 11   22
频率方程
 11 m1 
3
4l
7l

 12   21 
243EI
486EI
1

 21 m1
令
3
 12 m2
2
 22 m2 
1
0
2
4l 3
1
m 2
243EI

7l 3
m
486
7l 3
m
486EI
0
3
4l
1
m 2
243EI

ml 3


2
486EI

8 
7
0
7
8 
1
(8   )(8   )  49  0
 2  16  15  0
1
1  [16  162  4  15]
2
2
15
1
 [16  14]  
2
1
1 486EI
  
 ml 3
2
频率
1 
2
486
486
15
EI


3
1
ml
486
2
1
5.69 EI
EI

3
3
22.05 ml
ml
振型
Y11

Y21
 12 m2
 11 m1 
Y12
Y22
7
7
1



1
8  1
8  15 1
1
7
7
1



8  2
8 1 1
正交性
(1) T
{Y } [ M ]{Y
( 2)
m1
 1 
1
}  1 1
   m m   0

 1
 m2   1
结构的刚度和质量分布
——对称
其主振型
——对称、反对称
计算自振频率：
——分别就正、反对称情况
——取半跨结构计算
——两个单自由度问题计算
显然，振型分别为：
[1 1]T、[1 -1]T
——*作业
 【例14－4】
2、按刚度法求解
[ M ]{ y}  [ K ]{ y}  {0}
[M]——质量阵， （集中质点）对角阵
[K]——刚度阵，对称，正定，非奇异（结构）
设解
Y1 
Y 
 2
{ y}  {Y }sin(t   )
{Y }   

Yn 
{y}   2 {Y }sin(t   )
( 2 [M ]  [K ]){Y}sin(t   )  {0}
对任意的t（即 sin(t   ) ）等式均成立则：
振型方程 ([ K ]   2 [M ]){Y}  {0}
齐次方程非零解——系数行列式D=0
频率（特征）方程
[ K ]   2 [M ]  0
频率方程——关于ω2的n阶代数方程（n为自由度数）
可解n个根
   i (i  1,2n)
2
i
频率向量{w}：由小到大排列  i (i  1,2 n)
其中ω1——基本频率或第一频率
([ K ]   i2 [M ]){Y}  {0}
由于 D  ([ K ]   i2 [ M ]  0
n个方程线性相关，任取n－1个方程可解（取Y1＝1）
(i )
i 阶振型： {Y}
CY  CY1i
(i )
{Y }(i )
 [Y1i
T
Y2i  Yni ]
(i  1,2n)
CY2i  CYni  无穷多组解
标准化主振型
（一）两个自由度体系
矩阵形式：k11   2 m1


即：
k 21
 Y1  0
    
2
k 22   m2  Y2  0
k12
K    M Y  0
2
齐次方程有非零解：
K    2 M   0
D
k11   2 m1
k12
k 21
k 22   m2
2
——频率方程（特征方程）
0
(k11   2 m1 )(k22   2 m2 )  k12 k21  0
k11 k22 2 k11k22  k12 k21
( )  (  ) 
0
m1 m2
m1m2
2 2
1 k11 k22
  [(  )
2 m1 m2
2
1
2
k11 k22 2
k11k22  k12 k21
(  )  4
m1 m2
m1m2
方程的两个根：ω21、2 （16-58）
ω21、2均>0，所以两个自由度体系共有二个自振频率
ω1——基本（第一）圆频率——最小圆频率
ω2——第二圆频率
振型方程，代入ωi ，
由于D=0，两个方程线性相关（两组系数成比例），
只有一个独立方程任取其一，可得：
(k11   mi )Y1i  k12Y2i  0
2
i
Y1i
k12

主振型：
Y2i
k11   i2 m1
——振幅之比
第一振型（基本振型）
第二振型
1 :
Y11
k12

Y21
k11  12 m1
2 :
Y12
k12

2
Y22
k11   2 m1
[例14－5]
【解】
1、[K]
[M]
2、频率方程
——ωi
3、振型方程
——{Y}(i),
1、K、M：
刚度矩阵
质量矩阵
 6 2 0 
24 EI 
K  3  2 3 1
l
 0 1 1 
2 0 0
M  m  0 1.5 0 
 0 0 1 
2
0 
6  2
24 EI 

2
K   M  3  2
3  1.5 1 
l
 0
1
1   
式中：
3
ml

24 EI
6  2
2、频率方程：
0
3  1.5 1  0
1
1 
2
0
试算法：
2
3  18  27  8  0
3
2
1  0.392, 2  1.774, 3  3.834
频率：
24 EI
EI
1 
1  3.067
3
ml
ml 3
24 EI
EI
2 
 2  6.525
3
3
ml
ml
24 EI
EI
3 
3  9.592
3
ml
ml 3
6  2k
 2

 0
3、振型方程
第k阶：
ωk→ηk
2
3  1.5k
1
0  Y1 
 

1  Y2 
1  k  Y3 
(k )
2
0  Y1 
5.126
0 
 
 
 2

2.412
1  Y2   0 
η1=0.392 
0 
 0
1 0.608 Y3 
 
(1)
K=1
令Y1＝1，
5.216  2Y
取前2个方程
2  2.412Y2(1)  Y3(1)  0
(1)
2
(1)
2
Y
0
 2.608
Y3(1)  2  2.412Y2(1)  4.290
0 
 
 0 
0 
 
(1)
Y 
(1)
Y 
(2)
Y1 
 1 
 

 同理，可求第二、三振型:
 Y2    2.608
Y 
4.290
 3


Y1 
 
 Y2 
Y 
 3
(2)
 1 


  1.226 
1.584 


Y 
(3)
Y1 
 
 Y2 
Y 
 3
(3)
 1 


 0.834
 0.294 


图14－25
MSSolver
4、主振型的正交性
振型方程 ([ K ]   2[M ]){Y}  {0}
设体系具有n个自由度，
两个不同的自振频率对应二个振型向量。
k {Y }  [Y1k , Y2k , Ynk ]
(k )
T
e {Y (e) }  [Y1e , Y2e , Ynl ]T
[ K ]{Y ( k ) }  k2[M ]{Y ( k ) }
[ K ]{Y }   [M ]{Y }
(e)
2
e
(e)
{Y (e) }T [ K ]{Y (k ) }  k2{Y (e) }T [M ]{Y (k ) } （1）
{Y ( k ) }T [K ]{Y (e) }  e2{Y ( k ) }T [M ]{Y (e) } （2）
{Y } [ K ]{Y }   {Y } [M ]{Y } （1）
(e) T
(k )
2
k
(e) T
(k )
第二式两侧同时取转之置：
{Y (e) }T [ K ]T {Y (k ) }  e2{Y (e) }T [M ]T {Y (k ) } （2）
[ K ]  [ K ] [M ]  [M ]
T
T
2
2
(e) T
(k )



{
Y
}
[
M
]{
Y
}0
e 
（1）－（2）  k
k  e k  e {Y } [M ]{Y }  0
( e) T
(k )
{Y } [M ]{Y }  0 （14—60）
(e) T
(k )
对于质量阵[M]，不同频率的主振型彼此正交
{Y (e) }T [ K ]{Y ( k ) }  0
（14—61）
对于刚度阵[K]，不同频率的主振型也是彼此正交
主振型的正交性：结构本身固有的特性
——简化计算；
——检验主振型是否正确
例16－5中的第一、二振型：
Y 
(1)T
[ M ]Y 
(2)
2
 1 




 1 2.608 4.290 m  1.5   1.226 

1 1.584
 1 


 m  2 3.912 4.290  1.226 
1.584


 m(2  3.912 1.226  4.290 1.584)
 0.001m  0
§14－7多自由度结构在简谐荷载下
的强迫振动
平稳阶段的纯强迫振动
结构承受简谐荷载，且各荷载的频率和相位相同
图16－26，n个集中质量，
k个简谐周期荷载Pjsinθt，
位移： y   I   I    I  y
i
i1 1
i2 2
k
in n
yiP    ij Pj sin  t   iP sin  t
j 1
k
 iP    ij Pj
j 1
iP
图14－26，
n个集中质量，
k个简谐周期荷载
Pjsinθt，
位移：
yi   i1 I1   i 2 I 2 
  in I n  yiP
k
yiP    ij Pj sin  t   iP sin  t
j 1
k
 iP    ij Pj
j 1
iP   i1  i 2
 P1 
P 
 2
 ik   
 
 Pk 
{I}=-[M]{ÿ}
{I}
1n   m1
11 12
  y1   y1  11 12
 

  y   y   

m
2n  
2
 21 22
  2    2    21 22


    


    



m
nn  
n   yn   yn   n1  n 2
 n1 n 2
  M  y   y   n*k Pk*1 sin  t
1k   P1 
 2 k   P2 
  sin  t
 

 nk   Pk 

y28
 ）
Y Sint
11纯强迫振动的解：
my  y  12 P(（
16
－
t)
1n   m1
11 12
 Y1 
Y1 
 1P 


 Y 
Y 
 


m
 2 2  2
 2P 
21
22
2n  
2


(
    ) sin  t    sin  t


 
 
 


 
 nn  
mn  Yn 
 n1  n 2
Yn 
  nP 
( 2   M Y   Y ) sin  t   P  sin  t
（14-62）
对任意的t成立：
( 2   M    E ) Y    P 
(  M  
1

2
1
 E ) Y   2  P   0

（14－64）
——振幅方程，可解振幅{Y}。
代入振动方程，可得各质点的惯性力：
0
2
I

I
sin

t


M
y


  
    M Y  sin  t （14－65）
1
1
0
I


M
Y

Y

M
I
        2      0
1
1
(   2  M  ) I 0    P   0

0
2
——惯性力幅值{I0}。位移、惯性力和干扰力同时最大。
当θ＝ωk（k＝1，2，…，n)时,
由 (   1  M 1 ) I 0      0
P
2

系数行列式＝0，
振幅、惯性力及内力均为无限大
——共振现象
实际由于阻尼的存在，不会无限大，但结构也
很危险，应避免。
 【例14－6】
(  
11
(  21
 31
0
M
)
I



   P   0
2
1

图14－27
1
12
 22
 32
 1

m1

13 
1 

 23   2 
 
 33 



其中，δij、ΔiP，
与力法中求解相同
{P}={0，P，0}T，
且P作用于质点。
1
m2


  I10   1P 
  0 

)
I


  2   2P   0
 I 0   
3
 3P 
1   

m2 
1
1 1
I   (    2  M  )  P 
 0.971


 0.764  P
0.023


0
M  I M1  I M 2  I M3  M P
0
1
0
2
0
3
惯性力幅值
——最大动力弯矩图
(p90)刚度法：
n个自由度结构，各干扰力作用于质点（图14－26）
振动方程：
M y  K y  P
简谐荷载：P  F sin t
平稳振动阶段：质点作简谐振动
 y  Y sint
振幅方程
 k     M  Y   F 
2
D0  k    M 
设
2
（与频率方程形式相同）
若D0≠0
即
Y  sin t   K     M  F  sin t
1
2
Y    K     M  F 
2
若
D0  0
即   i
1
i  1,2n
（与任一频率重合）－有几种情况
－共振
Y   
 k     M  Y   F 
2
惯性力
（14－68）
0
2
I

I
sin

t


M
y


  
    M Y  sin  t
I     M Y 
0
2
1
1
( K     M ) 2  M  Y   F 

2
( K  M    2  E ) I 0    2 F 
1
（14－69）
——可解惯性力幅值{I0}
§14－10计算频率的近似法
近似法计算结构的较低频率—— 工程实际问题
1、能量法求第一频率
动能——质量和速度
应变能——结构变形
能量守恒原理：一个无阻尼弹性体系自由度振动时，
任一时刻的总能量（动能与应变能之和）应当保持不变
V(t )  U(t )  常量
结构自由振动： 最大振幅——V=0，Umax
静力平衡位置——Vmax，U＝0
Umax  Vmax
梁的自由振动 位移 y  Y sin t   
( x.t )
( x)
速度
v  y( x.t )  Y( x)cos t   
l
1
1 2 2
2
2
V

m
y
dx


cos

t


m
Y

 0 ( x ) ( x ) dx
动能
0 2 ( x )
2
1 2 l
Vmax    m( x )Y(2x ) dx
0
2
l
结构弯曲应变能
U max
2
1 M
1 l
2

U 
dx   EI [ y( x ,t ) ] dx
2 0 EI
2 0
l
1 2
 sin t     EI [Y(x ) ]2 dx
0
2
l
1 l
2

  EI [Y( x ) ] dx
2 0
能量守恒
Umax  Vmax
1 l
1 l
2
2

   m( x )Y( x ) dx   EIY( x ) dx
2 0
2 0
2
l

2
EIY


m Y
0
l
0
"2
( x)
dx
2
( x) ( x)
dx
同时有集中质量mi 动能增加一项
l
 
 EIY
2
0
l
m
0
"2
( x)
 mi Yi
dx
Y dx   miYi
2
( x) ( x)
i
2
公式计算自振频率，必须已知振幅曲线Y（x），
故只能假设Y（x）。
若Y（x）～第一振型，→第一频率的精确值；
若Y（x）～第二振型，→第二频率的精确值；…。
但假设的曲线往往是近似的，故求得的频率为近似值。
——适于计算第一频率。
Y（x）为假设的振幅曲线——至少满足位移边界条件。
——通常可取某个静分布荷载q（x）作用下的弹性曲线
应变能U＝相应荷载作的功＝ 1 l
1 n
q

2
0
l
 
2
q
0
l
Y dx   PY
i i
( x) ( x)
m
0
n
i 1
Y dx   miYi
2
( x) ( x)
2
Y dx 
( x) ( x)
PY

2
i 1
i i
若q（x）＝mg，且有Pi＝mg（作功）
1 l
1
应变能U  重力作功   m( x ) gY( x ) dx   mi gYi
2 0
2
l
 2
m gY


 mY
( x)
0
l
0
2
( x)
dx   mi gYi
dx   miYi 2
[例14－9] 试求两端固定等截面梁
的自振第一频率。
【解】取自重q作用下的挠度曲线
作为第一振型
2
3
4

ql
x
x
x 

 2 2 3  4 
24 EI  l
l
l 
4
Y( x )
因为q＝mg
2
2
5
q
q l
2 2
3
4
0 qY( x ) dx  24EI 0  l x  2lx  x  dx  24 EI 30
2
2
9
l
l
2
mq
mq
l
2
2 2
3
4
0 mY( x ) dx  (24 EI )2 0  l x  2lx  x  dx  (24 EI )2 630
l
l
q 2 l 5 (24 EI ) 2 630 22.45 EI
1 

 2
2
9
24 EI 30 mq
l
l
m
22.37
精确值1  2
l
EI
m
【例14－10】
1、三个自由度——刚度法；
2、相对层间侧移刚度ki ；
3、各层重量P＝mg作为水平
力，产生各层位移yi;
4、其比值作为第一振型{Y}；
5、能量法公式：
dx   mi gYi
2.375
dx   miYi
1.125
l

2
m gY


 mY
( x)
0
l
0
2
( x)
3.375
2
讨论
①位移形状函数Y(x) ——未知，需要假设，
——首先满足位移边界
② Y(x)——第一主振型相似→ω1精确值，
第二主振型相似→ω2精确值，
③能量法——主要计算基频
——第一振型为最易实现的形状曲线
一般越接近——精度越高
④（近似解）ω1*> ω1 （精确解）
是真实基频的上限（仅对ω1而言－旧版下册P206）
⑤物理意义：近似形状曲线相当于增加了
人为约束，刚度提高↑,频率ω ↑
2、集中质量法
集中质量——无限自由度→有
限自由度
集中质量愈多，结果愈精确—
—工作量愈大；
实用较低频率，集中质量无须
太多——满意结果
静力等效——集中质量后，重
力与原重力的合力相同
——每段分布质量按杠杆原
理换成位于两端的集中质量
[例14－11]等截面简支梁，均
布质量m，求自振频率。
[解] a）【例14－1】单自由度
48EI
96
1 
 2
3
m1l
l
EI 9.7980 EI
ml

m
2
m
l
m
2
b)【例16－3】两个自由度
1
9.8590 1
486
EI
1  15 

3
2
38.1838
m
l
l
2
1
c)
1
1,2,3  9.865、 39.2、 84.6 2
l
EI
ml
m m 3
EI
m
精确解
n 2 2
n  2
l
EI
m
1
1,2,3  9.87、 39.48、 88.83 2
l
EI
m
 集中质量法→良好的近似结果，工程上常采用；
 适用于较复杂结构刚架等，简便计算最低频率；
 选择集中质量位置的原则：


注意结构振动形式，
质量集中在振幅较大的地方，
 ——使所得频率值较为精确。
 √14-2(b)*
√
14－8（阻尼）
 √ 14－9 （位移、内力）
 √ 14－10（ξ、动力系数）
 √ 1－11（爆炸荷载）
 14－ √ 12、 √ 13、*14、 √15
 （频率、振型）
 14－ √ 16、17、18、*19（强迫振动）
 *例14－3利用对称性