Transcript 力学课程-第十四讲

普通物理学
《力学》课程
主讲教师：王艳利博士
罗绍凯教授
第十四讲
§2 简正模
问题：对于多个自由度相互关联的系统振动情况如何？
固体物理中的分子模型
H2
CO
O2
NH3
CO2
CH4 C2H4 C2H2
现代科技中的谐振腔
对于复杂的孤立振动系统，往往存在几种可能的简谐振动模式
（称之为简正模）。
x
mx1  kx1  k ( x2  x1 )
mx2  kx2  k ( x2  x1 )
求解简正频率：
方法一：
将原式改写为
作试探解为
对每一个物体写出
运动微分方程
k
m
k
x1
k
x2
2k
k
2k
k
x1  
x1  x2 x2  
x2  x1
m
m
m
m
x1  A cos t x2  B cos t
将试探解代入上式得
2k
k
  A cos t  
A cos t  B cos t
m
m
2k
k
2
  B cos t  
B cos t  A cos t
m
m
2
m
2k
k
A  B) cos t  0
m
m
2k
k
2
( B 
B  A) cos t  0
m
m
2k
k
k
2k
2
2
(  ) A  B  0
A  (  ) B  0
m
m
m
m
整理上式得 ( 2 A 
即：
上面这两个式子可以写成一个方
矩阵和一个列矩阵的乘积，这里
方矩阵的矩阵元就是A，B变量
前面的系数
方程有解的条件为
2k
k
 
m
m
0
k
2k
2
 
m
m
2
行列式的值为
( 2 
2k 2
k
)  ( )2  0
m
m
1 
k
m
2 
3k
m
方法二：
mx1  kx1  k ( x2  x1 )
mx2  kx2  k ( x2  x1 )
2
d
两式相加： m
( x1  x2 )   k ( x1  x2 )
2
q1, q2都可以看做是一个
dt
变量，它们是彼此独立的
2
d
两式相减：m
( x1  x2 )  3k ( x1  x2 )
2
dt
简正坐标变换并不改变系
令：q1  x1  x2 q2  x1  x2
则：
mq1   kq1
mq2  3kq2
统的自由度，这里系统仍
有两个自由度
3k
k
2 
1 
∴
m
m
可见，q1 、 q2分别以角频率1 、 2作简谐振动。
∴
q1  Q1 cos(1t  10 )
q2  Q2 cos(2t  20 )
q1  x1  x2
q2  x1  x2
∴
1
x1  (q1  q2 )
2
1
x2  (q1  q2 )
2
1
1
x1  Q1 cos(1t  10 )  Q2 cos( 2 t   20 )
2
2
1
1
x2  Q1 cos(1t  10 )  Q2 cos( 2 t   20 )
2
2
注意：这里的1 、 2 是系统的本证振动频率， 1 并不是x1
的振动频率，2 也不是x2的振动频率， 1 、 2 为x1、 x2所
共有，反映了系统的自由度，本证振动为各个自由度所共有，
每一个振动都是x1与 x2的叠加。对于n个自由度的情况，用同
样的方法可以求解。
对于多个自由度的复杂系统，我们从研究系统入手，而不是
从某个点入手，给予了系统新的独立变量，解出了属于系统
所共有的简正模。这是思维方式的飞跃、转型与升级！
多自由度的简正模
两个自由度
三个自由度
四个自由度
苯的简正振动
• 苯基的简正振动
前六个基态
前六个激发态
§3 阻尼振动
当没有外界的能量补充时，
实际振动系统的振幅都要随时间逐渐衰减。
振幅衰减的原因:
一、存在阻尼力;
二、振动能量以波的形式向周围传播
 kx
设弹簧振子受到的保守力：F
x

由牛顿第二定律得
阻尼力：f  Cx
mx  Fx  f x
弹簧振子的运动方程为
mx  Cx  kx
或：
C
k
x  x  x  0
m
m
x  2 x   x  0
固有角频率： 0 
2
0
k
m
阻尼振动方程
阻尼系数：  
C
2m
注意：系统的固有频率只跟弹簧进度系数k和振子的质量m有
关，与其他的外界因素无关，是系统的固有属性。
it
设复数试解为：
x  Ae
代入阻尼振动方程得
( 2  2 i  02 ) Aeit  0
it
 2  2i  02  0
解之得
x  Ae
  i  02   2
讨论
(1) 当0> 时
  i  r
其中: r  02   2  0
x(t )  e-  t ( A1eirt  A2e-irt )
初始条件为： x(0)  A cos   A( 1 ei0  1 e-i0 )  A  A
0
1
2
2
2
A
A
令: A1  ei0 A2  e-i0
x  A cos(t  0 )
2
2
- t
x
(
t
)

Ae
cos(r t  0 )
则:
阻尼振动方程的解为
这相当于振幅不断减小的简谐振动。
x
阻尼振动的能量：
1 2 1 2
这里用到了
E  kx  mx
2
2
0  k / m
O
1
2 2 2  t
因为较小，所以
 m0 A e
2
r  02   2  0
 E0e2  t
有阻尼时，系统的机械能不再守恒，
而是随着时间的增加指数减小
t
x
吸引子
x
O
耗散系统： 机械能不守恒的系统。
振子机械能的耗散
dE d  1 2 1 2  相空间轨道
  mvx  kx 
dt dt  2
2

 mxx  kxx  (mx  kx) x  f x v
机械能的减少是由于阻尼力提供了负的功率。
这里用到了
mx  Cx  kx
(2) 当0< 时
其中:
  i  02   2
  i(   r )
r   2  02
虚数
x(t )  A1e(  r )t  A2e-(  r )t
it
x  Ae
不合理，舍去。
阻尼振动方程的解为
A1e
(   r ) t
∴
x(t )
这种状态称为过阻尼。
 Ae
-(   r ) t
不再有振荡行为
x(t )
x
v (t )
x(t )
0  1
  3.284
t
(3) 当0=  时
阻尼振动方程的解为
  i
x(t )  Ae
- t
这种状态称为临界阻尼。
此时振子回到平衡位置所需的时间最短。
低阻尼
这个跟衰减指数有关，过
阻尼的衰减指数-r小于临
界阻尼的衰减指数
§4 受迫振动
没有外部不断供给能量，耗散系统的振动是不能持久的
激励振动的方式主要有两种：周期力和单向力。
受迫振动：回复性保守力+阻尼力+周期性策动力
自激振动: 回复性保守力+阻尼力+单向策动力
受迫振动：用周期力驱动的振动。
周期力中简谐策动力最重要：
1、简谐策动力最简单，也最普遍
2、非简谐策动力都可以看作简谐策动力的线性叠加
回复性保守力
阻尼力
周期性策动力
f  Cx
Fx  kx
Fext  F0 cos t
受迫振动的运动方程为 mx  Cx  kx  F cos t
0
或：
上式中
x  2 x  02 x  f 0 cos t
k
0 
m
C

2m
F0
f0 
m
受迫振动方程的复数形式
x  2 x  02 x  f 0eit
该方程的解为相应的齐次方程的解与其一个特解的和。
x1  2 x1   02 x1  0
通解

x2  2 x2   02 x2  f 0 cos(t ) 特解
方程的通解= 齐次方程的通解 + 方程的特解
x  x1  x2
受迫振动的微分方程的求解问题就转化为寻找方程的特解
x1  Ae
方程的通解
其中
t
cos(r t  0 )
r  02   2
这里是阻尼较
小的情况
猜测特解形式为 x*  Beit
将该设特解代入为方程中，得
∴
( 2  2 i  02 ) Beit  f 0eit
B 是复数，可表示为：
i
f0
B

B
e
B 2
0   2  i2
B表示稳定振动位移的振幅，它
f0
并非取决于初始条件，而是依
B B 
(02   2 )2  4 2  2 赖于系统本身的性质，阻尼力
的大小和驱动力的特征
这是稳定振动的位移与驱动力
的相位差，它与阻尼系数有关，
与系统的固有频率有关于驱动
力的频率有关
受迫振动方程的解为
2
  arg B  arctan 2
0   2
x(t )  Ae-  t cos(r t  0 )  Re( Be-i t )
第一项即阻尼振动，随时间衰减，故称暂态解； 与驱动力无关
第二项不随时间衰减，称为稳态解，由
描述。
与驱动力同频率
从静止开始的受迫振动
0  1
  0.4
0  1
  1.01
黑线代表策动力，蓝线代表从静止开始的受迫振动
§5 共振
稳态解
it
x稳定  Be
i it
 Be e
稳定 
1、位移振幅B随的变化
B
Bmax 
dt
 i Be e   Be
i it
π
i(  )
2 it
e
f0
(02   2 )2  4 2  2
dB
0
d
位移共振
dx稳定
    2
2
0
f0
2  02   2
2
此时对应的二阶导
数是小于零的，因
此是极大值
G  02  2 2
共振频率
注意：当有阻尼存在时，共振频率既与系统的固有
频率有关，还与阻尼系数有关。
当β很小时， G  0 ； β越小， Bmax越大，共振现象越显著

1
 0.01, 0.1, , 0.25,
0
6
0.01
2
2
, 0.5,
, 1, 2
4
2
B
f0
2

0
幅频特性曲线
2、位移的相位随或0的变化
位移的相位：
驱动力的相位为0
2
  arg B  arctan 2
0   2
π
当 →0 时，   
2
注意：位移的相位总是落
后于驱动力的相位
相频特性曲线
3、品质因数Q
G  02  2 2
位移振幅：
B
f0
(02   2 )2  4 2  2
峰的锐度:
S
B
Bmax
Bm
2
0
( 0   )  ( 0   )
 0  0

2 2 
共振频率
O 0   G  0 0  

幅频响应曲线
峰越尖锐，展宽越小，对应的阻尼系数也就越小；反之，
峰越平缓，展宽越大，对应的阻尼系数也就越大。
2πE
Q
E
品质因数:
阻尼振动的能量：
若

一个周期后能量
的减小量
E是阻尼振动的能量。
E (t )  E0e2  t
E  E (t )  E (t  T )  E (t )(1  e2  T )
2
这里根据
  0 则 0  r 
2
2
T





r
0
1  e2  T  2 T
2 E (t )
2π
0
2π
Q



S
2  T
2  T
E (t )(1  e
) 1 e
2 T 2
峰的锐度
品质因数的意义: 描述阻尼振动过程中能量衰减的快慢。
峰的锐度越小，能量衰减越快。
作业
1、结合PPT讲稿，认真钻研教材P129-134。
2、思考题：5-15
3、作业题：习题5-13，5-16
[加上分析过程]
对作业的要求
1、每道题要抄题、画图；
2、[求解]前要给出[分析]过程；
3、[求解]要给出详细计算过程；
4、求解后要说明属于哪一类的问题；用到哪些基本公式和定律.
5、作业要认真，不要抄题解，不要潦草。
关于作业
1、平时作业占30分，期终考试占70分。
2、每周星期一中午之前学习委员把作业收齐、按学号排好顺序送到物理
系3S211室王艳利老师的办公桌上。
提醒： 把《高等数学》书或《数学手册》放在案头，随时翻用！
谢谢,再见！
结合ＰＰＴ讲稿，认真钻研教材，
一定要自己推算一遍！