Transcript 力学课程-第十四讲
普通物理学
《力学》课程
主讲教师:王艳利博士
罗绍凯教授
第十四讲
§2 简正模
问题:对于多个自由度相互关联的系统振动情况如何?
固体物理中的分子模型
H2
CO
O2
NH3
CO2
CH4 C2H4 C2H2
现代科技中的谐振腔
对于复杂的孤立振动系统,往往存在几种可能的简谐振动模式
(称之为简正模)。
x
mx1 kx1 k ( x2 x1 )
mx2 kx2 k ( x2 x1 )
求解简正频率:
方法一:
将原式改写为
作试探解为
对每一个物体写出
运动微分方程
k
m
k
x1
k
x2
2k
k
2k
k
x1
x1 x2 x2
x2 x1
m
m
m
m
x1 A cos t x2 B cos t
将试探解代入上式得
2k
k
A cos t
A cos t B cos t
m
m
2k
k
2
B cos t
B cos t A cos t
m
m
2
m
2k
k
A B) cos t 0
m
m
2k
k
2
( B
B A) cos t 0
m
m
2k
k
k
2k
2
2
( ) A B 0
A ( ) B 0
m
m
m
m
整理上式得 ( 2 A
即:
上面这两个式子可以写成一个方
矩阵和一个列矩阵的乘积,这里
方矩阵的矩阵元就是A,B变量
前面的系数
方程有解的条件为
2k
k
m
m
0
k
2k
2
m
m
2
行列式的值为
( 2
2k 2
k
) ( )2 0
m
m
1
k
m
2
3k
m
方法二:
mx1 kx1 k ( x2 x1 )
mx2 kx2 k ( x2 x1 )
2
d
两式相加: m
( x1 x2 ) k ( x1 x2 )
2
q1, q2都可以看做是一个
dt
变量,它们是彼此独立的
2
d
两式相减:m
( x1 x2 ) 3k ( x1 x2 )
2
dt
简正坐标变换并不改变系
令:q1 x1 x2 q2 x1 x2
则:
mq1 kq1
mq2 3kq2
统的自由度,这里系统仍
有两个自由度
3k
k
2
1
∴
m
m
可见,q1 、 q2分别以角频率1 、 2作简谐振动。
∴
q1 Q1 cos(1t 10 )
q2 Q2 cos(2t 20 )
q1 x1 x2
q2 x1 x2
∴
1
x1 (q1 q2 )
2
1
x2 (q1 q2 )
2
1
1
x1 Q1 cos(1t 10 ) Q2 cos( 2 t 20 )
2
2
1
1
x2 Q1 cos(1t 10 ) Q2 cos( 2 t 20 )
2
2
注意:这里的1 、 2 是系统的本证振动频率, 1 并不是x1
的振动频率,2 也不是x2的振动频率, 1 、 2 为x1、 x2所
共有,反映了系统的自由度,本证振动为各个自由度所共有,
每一个振动都是x1与 x2的叠加。对于n个自由度的情况,用同
样的方法可以求解。
对于多个自由度的复杂系统,我们从研究系统入手,而不是
从某个点入手,给予了系统新的独立变量,解出了属于系统
所共有的简正模。这是思维方式的飞跃、转型与升级!
多自由度的简正模
两个自由度
三个自由度
四个自由度
苯的简正振动
• 苯基的简正振动
前六个基态
前六个激发态
§3 阻尼振动
当没有外界的能量补充时,
实际振动系统的振幅都要随时间逐渐衰减。
振幅衰减的原因:
一、存在阻尼力;
二、振动能量以波的形式向周围传播
kx
设弹簧振子受到的保守力:F
x
由牛顿第二定律得
阻尼力:f Cx
mx Fx f x
弹簧振子的运动方程为
mx Cx kx
或:
C
k
x x x 0
m
m
x 2 x x 0
固有角频率: 0
2
0
k
m
阻尼振动方程
阻尼系数:
C
2m
注意:系统的固有频率只跟弹簧进度系数k和振子的质量m有
关,与其他的外界因素无关,是系统的固有属性。
it
设复数试解为:
x Ae
代入阻尼振动方程得
( 2 2 i 02 ) Aeit 0
it
2 2i 02 0
解之得
x Ae
i 02 2
讨论
(1) 当0> 时
i r
其中: r 02 2 0
x(t ) e- t ( A1eirt A2e-irt )
初始条件为: x(0) A cos A( 1 ei0 1 e-i0 ) A A
0
1
2
2
2
A
A
令: A1 ei0 A2 e-i0
x A cos(t 0 )
2
2
- t
x
(
t
)
Ae
cos(r t 0 )
则:
阻尼振动方程的解为
这相当于振幅不断减小的简谐振动。
x
阻尼振动的能量:
1 2 1 2
这里用到了
E kx mx
2
2
0 k / m
O
1
2 2 2 t
因为较小,所以
m0 A e
2
r 02 2 0
E0e2 t
有阻尼时,系统的机械能不再守恒,
而是随着时间的增加指数减小
t
x
吸引子
x
O
耗散系统: 机械能不守恒的系统。
振子机械能的耗散
dE d 1 2 1 2 相空间轨道
mvx kx
dt dt 2
2
mxx kxx (mx kx) x f x v
机械能的减少是由于阻尼力提供了负的功率。
这里用到了
mx Cx kx
(2) 当0< 时
其中:
i 02 2
i( r )
r 2 02
虚数
x(t ) A1e( r )t A2e-( r )t
it
x Ae
不合理,舍去。
阻尼振动方程的解为
A1e
( r ) t
∴
x(t )
这种状态称为过阻尼。
Ae
-( r ) t
不再有振荡行为
x(t )
x
v (t )
x(t )
0 1
3.284
t
(3) 当0= 时
阻尼振动方程的解为
i
x(t ) Ae
- t
这种状态称为临界阻尼。
此时振子回到平衡位置所需的时间最短。
低阻尼
这个跟衰减指数有关,过
阻尼的衰减指数-r小于临
界阻尼的衰减指数
§4 受迫振动
没有外部不断供给能量,耗散系统的振动是不能持久的
激励振动的方式主要有两种:周期力和单向力。
受迫振动:回复性保守力+阻尼力+周期性策动力
自激振动: 回复性保守力+阻尼力+单向策动力
受迫振动:用周期力驱动的振动。
周期力中简谐策动力最重要:
1、简谐策动力最简单,也最普遍
2、非简谐策动力都可以看作简谐策动力的线性叠加
回复性保守力
阻尼力
周期性策动力
f Cx
Fx kx
Fext F0 cos t
受迫振动的运动方程为 mx Cx kx F cos t
0
或:
上式中
x 2 x 02 x f 0 cos t
k
0
m
C
2m
F0
f0
m
受迫振动方程的复数形式
x 2 x 02 x f 0eit
该方程的解为相应的齐次方程的解与其一个特解的和。
x1 2 x1 02 x1 0
通解
x2 2 x2 02 x2 f 0 cos(t ) 特解
方程的通解= 齐次方程的通解 + 方程的特解
x x1 x2
受迫振动的微分方程的求解问题就转化为寻找方程的特解
x1 Ae
方程的通解
其中
t
cos(r t 0 )
r 02 2
这里是阻尼较
小的情况
猜测特解形式为 x* Beit
将该设特解代入为方程中,得
∴
( 2 2 i 02 ) Beit f 0eit
B 是复数,可表示为:
i
f0
B
B
e
B 2
0 2 i2
B表示稳定振动位移的振幅,它
f0
并非取决于初始条件,而是依
B B
(02 2 )2 4 2 2 赖于系统本身的性质,阻尼力
的大小和驱动力的特征
这是稳定振动的位移与驱动力
的相位差,它与阻尼系数有关,
与系统的固有频率有关于驱动
力的频率有关
受迫振动方程的解为
2
arg B arctan 2
0 2
x(t ) Ae- t cos(r t 0 ) Re( Be-i t )
第一项即阻尼振动,随时间衰减,故称暂态解; 与驱动力无关
第二项不随时间衰减,称为稳态解,由
描述。
与驱动力同频率
从静止开始的受迫振动
0 1
0.4
0 1
1.01
黑线代表策动力,蓝线代表从静止开始的受迫振动
§5 共振
稳态解
it
x稳定 Be
i it
Be e
稳定
1、位移振幅B随的变化
B
Bmax
dt
i Be e Be
i it
π
i( )
2 it
e
f0
(02 2 )2 4 2 2
dB
0
d
位移共振
dx稳定
2
2
0
f0
2 02 2
2
此时对应的二阶导
数是小于零的,因
此是极大值
G 02 2 2
共振频率
注意:当有阻尼存在时,共振频率既与系统的固有
频率有关,还与阻尼系数有关。
当β很小时, G 0 ; β越小, Bmax越大,共振现象越显著
1
0.01, 0.1, , 0.25,
0
6
0.01
2
2
, 0.5,
, 1, 2
4
2
B
f0
2
0
幅频特性曲线
2、位移的相位随或0的变化
位移的相位:
驱动力的相位为0
2
arg B arctan 2
0 2
π
当 →0 时,
2
注意:位移的相位总是落
后于驱动力的相位
相频特性曲线
3、品质因数Q
G 02 2 2
位移振幅:
B
f0
(02 2 )2 4 2 2
峰的锐度:
S
B
Bmax
Bm
2
0
( 0 ) ( 0 )
0 0
2 2
共振频率
O 0 G 0 0
幅频响应曲线
峰越尖锐,展宽越小,对应的阻尼系数也就越小;反之,
峰越平缓,展宽越大,对应的阻尼系数也就越大。
2πE
Q
E
品质因数:
阻尼振动的能量:
若
一个周期后能量
的减小量
E是阻尼振动的能量。
E (t ) E0e2 t
E E (t ) E (t T ) E (t )(1 e2 T )
2
这里根据
0 则 0 r
2
2
T
r
0
1 e2 T 2 T
2 E (t )
2π
0
2π
Q
S
2 T
2 T
E (t )(1 e
) 1 e
2 T 2
峰的锐度
品质因数的意义: 描述阻尼振动过程中能量衰减的快慢。
峰的锐度越小,能量衰减越快。
作业
1、结合PPT讲稿,认真钻研教材P129-134。
2、思考题:5-15
3、作业题:习题5-13,5-16
[加上分析过程]
对作业的要求
1、每道题要抄题、画图;
2、[求解]前要给出[分析]过程;
3、[求解]要给出详细计算过程;
4、求解后要说明属于哪一类的问题;用到哪些基本公式和定律.
5、作业要认真,不要抄题解,不要潦草。
关于作业
1、平时作业占30分,期终考试占70分。
2、每周星期一中午之前学习委员把作业收齐、按学号排好顺序送到物理
系3S211室王艳利老师的办公桌上。
提醒: 把《高等数学》书或《数学手册》放在案头,随时翻用!
谢谢,再见!
结合PPT讲稿,认真钻研教材,
一定要自己推算一遍!