5.1-2.简谐运动及其参数旋转矢量
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Transcript 5.1-2.简谐运动及其参数旋转矢量
5
机械振动
任课教师
曾灏宪
中原工学院 理学院
任一物理量在某一定值附近随时间周期性变化均称为振动.
– 力学量(如位移)电磁量(如 𝑰 、𝑼、𝑬、𝑩)
机械振动
– 物体在一定位置附近作来回往复运动
– 例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震以及晶体中原子的振动
等.
简谐运动
– 最基本、 最简单、最重要的振动
– 作简谐运动的物体,称为谐振子
简谐运动
合成
分解
复杂振动
大学物理(上)
5
机械振动
5.1 简谐运动 简谐运动的振幅、
周期、频率和相位
一
简谐运动
例:弹簧振子的振动
l0
x0 F 0
k
m
A
x
o
A
轻弹簧 k + 质点m
集中弹性
集中惯性
回复力和物体惯性交
互作用形成简谐振动
可以运用质点运动学
的方法来分析其运动
特征
F kx ma
令
k m
2
a x
2
a 与 x 方向相反
2
d x
2
x0
2
dt
简谐振动的微分方程
F
o
m
x
x
求解得: 积分常数,根据初始条件确定
x A cos(t )
简谐振动的运动方程
dx
v
A sin( t )
dt
2
d x
a 2 A 2 cos(t )
dt
二 简谐振动的特征量
x A cos( t )
1. 振幅 A
A | xmax |
表示振动的范围(强弱),由初始条件决定。
由
x A cos( t )
v A sin( t )
在 t = 0 时刻
解得
x0 A cos
v0 A sin
2
v
A x02 02
2. 周期T 、频率 v 和角频率 𝝎
周期 T 完成一次全振动所经历的时间
频率 单位时间内完成全振动的次数。单位: Hz
角频率 (或称圆频率)
在 2π 秒时间内完成全振动的次数
2
1/T
单位:rad /s
T 2/
k m
是由系统本身决定的常数,与初始条件无关
固有角频率
3. 相位
t
x A cos(t )
v A sin( t )
讨论
1) t
( x, v) 存在一一对应的关系;
( t )是t时刻的相位
相位是描述振动状态的物理量
2)相位在 0 ~ 2π 内变化,质点无相同的运动状态;
(t ) 每变化 2整数倍,x、v重复原来的值(回
到原状态),最能直观、方便地反映出谐振动的周期性。
相差 𝟐𝒏𝝅 (n为整数)的质点运动状态全同.(周期性)
x A cos(t )
v A sin( t )
A
例:当 t
时: x ,
2
3
3
v
A
2
质点在x A 2 处以速率v向 x方向运动
5
A
当 t 时: x ,
3
2
3
v
A
2
A
7
当 t 时: x ,
3
2
3
v
A
2
质点在x A 2 处以速率v向 x方向运动
质点在x A 2 处以速率v向 x方向运动
3)初相位
(t 0)
描述质点初始时刻的运动状态.
描述t = 0时刻运动状态,在振动过程中保持不变,
由初始条件确定。
由 t = 0时
x0 A cos
v0 A sin
x0
或 cos
A
v0
sin
A
v0
arctg (
)
x0
由 cos 大小和 sin 的符号决定
取值范围 0 ~ 2 或 - ~
利用初相可以方便地比较同频率简谐振动的步调
x1 A1 cos( t 1 )
x2 A2 cos( t 2 )
相位差
(t 2 ) (t 1 ) 2 1
2k
同相
(2k 1) 反相
(k 0,1,2,...)
0, x2振动超前x1 ;
0, x1振动超前x2
超前
落后
三 简谐振动的图像
x A cos(t )
T
2π
取
0
A
x
o
A
A
v A sin( t )
o
π
A cos(t ) A
2
a A 2 cos(t )
A 2
2
o
A cos(t π )
2
A
x t图
T
v
v t 图
T
a
t
t
a t图
T
t
简谐运动中,x 和 v 间不
存在一一对应的关系.
x A cos(t )
v A sin( t )
x1 A1 cos( t 1 )
x2 A2 cos( t 2 )
A
v
x
o
T
2
A
x
x
o
o
o
0 同步
v
T
t
用振动的图像可以方便地
比较同频率谐振动的步调
x
t
x t 图
t
π 反相
为其它
t
超前
落后
也可以比较不同物理
量作同频率谐振动的
步调
x A cos(t )
π
v A cos(t )
2
a A 2 cos(t π)
速度 v 超前位移 / 2
而落后于加速度 / 2
A
x
o
A
A
T
v
A
o
A
2
a
t
v t 图
T
o
A 2
x t图
t
a t图
T
t
四 简谐运动的判断(满足其中一条即可)
1)物体受线性回复力作用 𝑭 = −𝒌𝒙
动力学特征
判据1:凡物体所受回复力与位移成正比且反向时,
物体的运动是简谐振动。
2)简谐运动的动力学描述
𝒅𝟐 𝒙
𝒅𝒕𝟐
𝟐
= −𝝎 𝒙
运动学
特征
判据2:若某物理量满足*方程,即该物理量对时间
的二阶导数与其自身成正比且反号时,该物理量的
变化称为简谐振动。
3)简谐运动的运动学描述
x A cos(t )
(在无外驱动力的情况下) v A sin( t )
判据3:任何一个物理量如果是时间的余弦(或正弦)
函数,该物理量的变化称为简谐振动。
简谐运动的特征
a x
2
单摆
弹簧振子 k m
(由振动系统本身性质决定)
g l
大学物理(上)
5
机械振动
5.2 旋转矢量
2π
T
当
t 0
o
A
时
x0 A cos
x0
x
以
o为
原点旋转矢
量 A的端点
在
x轴上的
投影点的运
动为简谐运
动.
A
2π
T
t t时
o
以
原点旋转矢
量 A的端点
t
x
x A cos(t )
x0
o为
x
在
x轴上的
投影点的运
动为简谐运
动.
y vm
t
0
an
π
t
2
v
a
x A cos(t )
A
vm A
an A
2
x
π
v A cos(t )
2
a A cos(t )
2
用旋转矢量图画简谐运动的
x A cos(t )
x
x
A
A
O
*
*
O * T
T * 3T
2
4
4
*
-A
xt
-A
*
*
*
图
π
4
*
T
5T
4
t
T 2π (旋转矢量旋转一周所需的时间)
对同一简谐运动,相位差可以给出两运动状态间
变化所需的时间.
x
A
A2
o
A
(t 2 ) (t1 )
x A cos(t1 )
t t 2 t1
x A cos(t2 )
Ab
a
b
v
π
3
t
A
π 3
1
t
T T
2π
6
0 A
Aa
2
x
A
旋转矢量 𝑨 与谐振动的对应关系
r
旋转矢量 A
模
角速度
r
t=0时,A 与Ox夹角
旋转周期
r
t时刻,A 与Ox夹角
r
A 在Ox 上的投影
r
A 端点速度在Ox 上的投影
r
A 端点加速度在Ox 上的投影
简谐振动 符号或表达式
振幅
角频率
初相
A
0O
ω
M
r
A (ωt + )
P
相位
T=2/
t+
位移
x =Acos(t+ )
速度
v =- Asin(t+ )
加速度
a =- 2Acos(t+ )
振动周期
x
例
已知 t
0, x 0, v 0 求
x A cos(t )
v
0 A cos
π
2
v0 A sin 0
π
sin 0 取
2
π
x A cos(t )
2
x
o
A
o
A
x
T
T
2
t
例
由振动曲线确定初相
解 由振动曲线知 𝒕 = 𝟎 时刻
A
v0 0 x0
2
x0 1
cos 0
A 2
v0 A sin 0
x
r
A v0
A/2
0
sin 0
5
或
3
3
为第四象限角
t
例2 弹性系数为k的轻弹簧系一质量为m的物体。系统达到平衡后,
把物体向下拉开距离 x0,然后由静止释放。问物体的振动是否是
简谐振动,若是用余弦函数表示物体的振动方程。
解:
以物体平衡位置处为坐标原点,物体在任一
位置x所受合力
F kx
d2 x
kx m 2
dt
k
2
dx
k
x
dt
m
x
2
m
因此物体运动是简谐振动
2
dx k
x0
dt m
2
2
k
令 =
m
dx
x 0
dt
2
2
2
x A cos(ω t )
物体在 x 处计时起点,有 t 0时, v 0, x x
0
0
又有x0 cos x0 , 得 0
0
v02
A x 2 x0
2
0
k
x x cos
t
m
0
例
向
一质点作谐振动,周期为T,当它由平衡位置
x 轴正方向运动时,从二分之一最大位移处到最大
位移处这段路程所需要的时间为
(1)T/4
(2)T/12
(3)T/6
(4)T/8
π 3 t
2π
2π
T
t T 6
A
T
t
2
2
T
0
A 2 Ab
A
Aa
x
A
00
A 2
A
例 一简谐运动的运动
曲线如图所示,求振动周
期.
x
7.5
t (s )
v
t 0
A
A2
t 7.5s x 0 v 0
5π 6
0
t 7.5s
A
t 0 x
v0
2
Ax
t 7.5
2π T
T
T 18s
例
如图所示,一轻弹簧的右端连着一物体,弹
1
簧的劲度系数 k 0.72 N m ,物体的质量 m 20g .
(1)把物体从平衡位置向右拉到 x 0.05m 处停
下后再释放,求简谐运动方程;
A
(2)求物体从初位置运动到第一次经过
处时的
2
速度;
(3)如果物体在 x 0.05m 处时速度不等于零,
1
而是具有向右的初速度 v0 0.30m s ,求其运动方程.
x/m
o
0.05
k
0.72 N m 1
1
6.0s
解 (1)
m
0.02kg
A x0 0.05m
v0 A sin 0
0 或 π
o
因向X轴负方向运动
0
x A cos(t ) 0.05 cos 6.0t m
由旋转矢量图可知
A
x
A
(2)求物体从初位置运动到第一次经过
处时的
2
速度;
解
x A cos(t ) A cos(t )
x 1
cos(t )
A 2
π
5π
t 或
3
3
π
由旋转矢量图可知 t
3
A
o
A
2
A
x
v A sin t
1
0.26m s (负号表示速度沿 Ox 轴负方向)
(3)如果物体在 x 0.05m 处时速度不等于零,
1
而是具有向右的初速度 v0 0.30m s ,求其运动方程.
解 A'
x
2
0
v
2
0
2
0.0707m
v0
tan '
1
x0
π
3π
' 或
4
4
o
π 4
x
A'
0 ,由旋转矢量图可知 ' π 4
π
x A cos(t ) 0.0707 cos(6.0t )
因为 v0
4
例
一质量为 0.01kg 的物体作简谐运动,其振
幅为 0.08m ,周期为 4s ,起始时刻物体在 x 0.04m
处,向 Ox 轴负方向运动(如图).试求
(1) t
1.0s 时,物体所处的位置和所受的力;
v
0.08 0.04
解
o
A 0.08m
x/m
0.04
0.08
2π π 1
s
T
2
2π π 1
s
T
2
A 0.08m
t 0, x 0.04m
代入 x
0.04 0.08 cos
π
v0 0
3
0.08 0.04
A cos(t )
π
3
A
π 3
o
0.04 0.08
π
π
x 0.08 cos( t )
2
3
x/m
m 0.01kg
0.08 0.04
v
o
x/m
0.04
0.08
π
π
x 0.08 cos( t )
2
3
t 1.0s
代入上式得
x 0.069m
F kx m x 1.70 103 N
2
(2)由起始位置运动到
的最短时间.
x 0.04m 处所需要
v
0.08 0.04
o
x/m
0.04
0.08
法一 设由起始位置运动到 x 0.04m 处所
需要的最短时间为 t
π
π
0.04 0.08 cos( t )
2
3
t 0.667s
解法二
t
时刻
π 3
t
0.08 0.04
π
t
3
o
起始时刻
π 3
0.04
π 1
s
2
x/m
0.08
t 0.667s
例 已知谐振动的 A 、T ,求 1)如图简谐运动方
程, 2)到达 a、b 点运动状态的时间 .
解法一
xa
x A cos(t )
A * b
*
A2
从图上可知
v
t
0
A
π
π 5π
或 ( , )
3
3 3
v0 0, sin 0
π
5π
或
3
3
A
t 0, x , v 0
2
A
A cos
2
1
cos
2
π
x A cos(t )
3
x
v a
A
A2
0
* b
*
t
π
x A cos(t )
3
A A cos(ta π 3)
π
t a 0,2 π,4 π
3
A
π
(t a ) 2 π
A
3
A cos(tb π 3)
2
T
2π
π
π π 5π 7 π
tb , , ta 0 ta
T
3
3 3 3 3
6
π
2π
π π
(tb ) 2 π
t
T
3
t
b
b
3
T
3 3
x
v a
A
A2
解法二
用旋转矢量法求初相位
* b
*
t
0
A
x A cos(t )
A
t 0, x , v 0
2
矢量位于
A
0 A/2 A
x
x 轴下方时 v 0
π
3 π
x A cos(t )
3
x
v a
A
A2
t tb
* b
*
t
0
A
π
x A cos(t )
3
π π
0 ( )
3 3
T
ta
2π
T
6
A
A/2 t
0
ta
A x
t 0
π
π 2π
( )
3
3
3
T
tb
T
2π
3
作业
P142: 8;10;12
版权声明
本课件根据高等教育出版社《物理学教程(第二版)上册》
(马文蔚 周雨青 编)配套课件制作。课件中的图片和动
画版权属于原作者所有;部分例题来源于清华大学编著的
“大学物理题库”;其余文字资料由 Haoxian Zeng 编写,
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