第十四章 机 械 振 动 前言: 1、振动是物质的普遍运动形式 2、某物理量在某一值附近作周 期性变化—振动 机械振动:物体在某一位置附近作周期 往复运动 电磁振荡:电场、磁场随时间作周期性 变化 3、简谐振动(简谐运动):最简单、最 基本的振动 一、简谐运动 1、运动学特征 物体的位移(x)是时间的余弦 (或正弦)的函数(或)物体的加速度a 与位移 (x)成正比,而方向相反 x A cost dx v A sin t dtd x2 a 2
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Transcript 第十四章 机 械 振 动 前言: 1、振动是物质的普遍运动形式 2、某物理量在某一值附近作周 期性变化—振动 机械振动:物体在某一位置附近作周期 往复运动 电磁振荡:电场、磁场随时间作周期性 变化 3、简谐振动(简谐运动):最简单、最 基本的振动 一、简谐运动 1、运动学特征 物体的位移(x)是时间的余弦 (或正弦)的函数(或)物体的加速度a 与位移 (x)成正比,而方向相反 x A cost dx v A sin t dtd x2 a 2
第十四章
机
械
振
动
前言:
1、振动是物质的普遍运动形式
2、某物理量在某一值附近作周
期性变化—振动
机械振动:物体在某一位置附近作周期
往复运动
电磁振荡:电场、磁场随时间作周期性
变化
3、简谐振动(简谐运动):最简单、最
基本的振动
一、简谐运动
1、运动学特征
物体的位移(x)是时间的余弦
(或正弦)的函数(或)物体的加速度a 与位移
(x)成正比,而方向相反
x A cost
dx
v
A sin t
dt
2
d x
2
2
a 2 A cost x
dt
图示 x t , v t , a t 等图线 ( 0)
x
o
x
v
o
x
a
o
x
2、动力学特征
以弹簧和物体的振动(弹簧
振子)为例,o点处物体所受合
外力为零,取图示ox坐标轴,物体在任一
位置处受到弹簧作用的弹性力
F kx
m
m
o x
x
由牛顿第二定律得
2
d x
kx ma m 2
dt
2
d x k
x0
2
dt
m
2
k
d x
2
令
则 2 x 0
m
dt
2
方程的解:x A cost
物体作简谐运动,因此
物体在线性回复力 F kx 的作用下
作简谐运动,或者说,运动物体具有上
式动力学微分方程的,则该物体作简谐
运动
3、能量特征
弹簧振子的动能和势能分别为
1 2 1
2 2
2
Ek mv mA sin t
2
2
1 2 1 2
2
E p kx kA cos t
2
2
2
因为 k ,则总机械能为
m
1
1 2
2 2
E Ek E p mA kA
2
2
简谐运动系统的动能和势能
随时间变化,但机械能是守恒
的,其总能量与振幅(A)平方成
正比(如图)
E
E Ek E p
二、简谐运动的特征
物理量
1、周期 T :物体作一 o
次完全振动的时间
x A cost A cos t T
Ek
Ep
t
得 T 2
k
因
,所以
m
m
(固有周期)
T 2
k
单位时间内物体的完
1
—频率
全振动次数
T
单位时间内所作的完
全振动次数的 2 倍 —角频率 2
2、振幅A:在振动中,物体离
开平衡位置的最大位移绝对值
3、相位( t ),初相位( )
—确定简谐运动物体在任一时刻 t 运动
状态的物理量
例如:某时刻的相位 t
2
则物体的振动状态
x A cost 0
dx
v
A sin t 0
dt
即该时刻 t 物体处于平衡位
置 x ,且向方向运动的状态
如 t 0 时,初相
3
物体的振动状态 x A
2
v A sin 0
3
A
即 t 0 时刻物体处于位移为 2,且向x负方
向运动的状态。
反之,若某时刻 t ,物体处于 A 2 ,且向x正方
A
向运动
由 x A cost
2
则 t
5
( )
3
3 3
又有 v A sin t 0
5
则必然 t
( )
3 3
4、常数 A 和 的确定
若已知 t 0 时的位移 x0和速度 v0 ,则
x0 A cos v0 A sin
2
v0
v0
2
解得 A x0 2 tg
x0
或
即 A 和 是由振动系统()的初
始条件( t 0, x0和v0 )所决定的
三、研究简谐振动的一种辅助方法
y
M
1、旋转矢量法
A
t M
自ox轴的原点作一矢
o
p
x
量 A (A为振幅大小),绕 o
x
点以 逆时针匀角速度
转动,设 t 0时,矢量
与ox轴夹角为
,
A
则任一时刻,矢量
与ox轴夹角为(
),
t
A
矢量 A 端点在ox轴上投影点的位置
0
x A cost
因此,旋转矢量 A 的端点投
影点在ox 轴上的运动,可以用
来表示物体在ox 轴上的简谐运动
2、旋转矢量法的应用
(1)旋转矢量端点在 ox 轴上投影点的运
动,形象而直观地展示了简谐运动。由于
旋转矢量匀角速运动,因此给研究简谐运
动带来方便。
(2)旋转矢量把描述简谐运动
的三个物理量 ( A, , t )
直观地表示出来
(3)用旋转矢量 A 与 ox轴夹角表示相位,
不仅相位计算方便,而且有助于对相位概
y
念的理解
如前 M 1,t 0时, 3 时,
运动状态,以及某时刻
时的相位(如图)
M2, x A ,v 0
2
A
o
M1
3
x
M2
(4)在讨论振动合成时,带来
极大方便
三、简谐运动的研究
1、研究的基本方法
(1)正确运用简谐运动的特征和规律
(2)旋转矢量方法的应用
(3)振动曲线图
2、典型例题
例1、质量为m的平底木船模型,
其平均截面积为 S ,竖直高度
静浮在水中,若不计阻力,将其竖直再向
L 25cm
下压入
后,静止释放模型,求船模型
5cm
的运动和运动方程(设水的密度为
3
3
3
3
0 1.0 10 kg m
木船模型
) 0.8 10 kg m
L
l
(a )
o x
x
(b)
解:取平衡时模型底部为坐标
原点,取图示ox轴,当模型底
部在图(b)位置时,其受的合力
F合 mg l x S0 g mg lS0 g xS0 g
S 0 gx k x ( mg lS0 g )
∴模型作简谐运动
L
l
(a )
o x
x
(b)
其角频率为
S 0 g
k
1
7.0rad s
m
SL
由初始条件确定 A 和
(t 0 时 x0 5.0cm, v0 0)
A x
2
0
2
0
2
v
0.05m
v0
0
tg
x0
1
则振动方程
x 0.05 cos 7t
例2、设地球是一个半径为R 的
均匀球体,现假定沿直径凿通
一条隧道。若有一质量为 m 的
质点在此隧道内作无摩擦的运
x
动,求证此质点作简谐运动
x
(P37,14-4)
o
解:从动力学进行分析
(1)地球球心为坐标原点作ox轴,
当质点处于某位置x时,其受力
M m
F G 2
x
式中M 为半径为 x 的地球质量,
若地球质量密度为 ,则
4 3
M x
3
4 3
x m
4
3
所以 F G
Gm x kx
2
x
3
∴质点作简谐振动
讨论:
4
(1)振动周期
Gm
4
3
2
G
T 2
m
3
1
T 2
?
4
G ( )
3
2
2
M 地m
gR地
gR地
3g
G
mg G 2
M 地 4 R 3 4R地
R地
地
3
R地
1
T 2
2
4
g
G
3
该周期恰等于人造地球卫星绕地球一
周的时间!这是什么道理?
(2)若地球上开凿另一隧道,
如图,那么情况又如何
例题3、已知物体作简谐运动的
图线,试根据图线写出其振动方程
xm
0.04
0.02
0
0.02
0.04
2
t s
解:方法Ⅰ
设振动方程为 x A cost
A
由图知 A 0.04m,又由图知 t 0, x0 , v0 0
2
所以 A
2
4
A cos 或
2
3
3
v0 A sin 0 0
2
则得
3
A
由图知 t 2s, x , v 0
2
所以 A
xm
0.04
0.02
0
0.02
0.04
2
2 5
2
2
或
A cos( 2 )
3 3 3
2
3
2
2
2
v A sin( 2 ) 0 2
3
3
t s
2
5
∴取 2
3 3
2
2
由此得振动方程 x 0.04 cos( t )
2
3 y
方法Ⅱ:旋转矢量法
初相的确定:t 0 时质点位
a
x
于 点向 轴负
方向运动,则对
应的旋转矢量位
于 位置,所以初相位
a
a
a o
v
b
b
2
3
x
角频率的确定:t 2s 时,质点
x
b 轴正方向,
位于 点向
对应的旋转矢量位于 位 b
置,可见矢量旋转
,
则角频率为
t 2
a
y
a o
v
b
b
x
例题4、已知质点作简谐运动,
振幅 A 12cm,角频率 ,
开始时,质点位于 x0 6cm 处,
y
向 x 轴负方向运动。
求: (1)质点运动方程
x
(2)质点从x1 6cm运
o
动到 x2 6cm 处最短时
间
解: (1)用旋转矢量法确定初相
3
(如图),则 x 12 cos(t )
cm
3
3
(2)将 x2 6cm代入运动方程。
6 12 cos(t )
3
2
4
则 t 或
3 3
3
又由题意得,此时
v2 A sin( t ) 0
0 t
3
2
取 t
3 3
3
y
x
o
3
t 1s
显然,计算结果是错误的!(为什么)
分析:原运动方程 x 12 cos(t )
3
中 3 ,表明质点的初始运动
状态是从 x0 6cm 向 x 轴正方
向运动,显然与题意不符!按题意所指是
从 x1 6cm 向 x 轴负向运动到 x2 6cm处
所需时间。
因此,其初始运动状态对应
的初相 ,得
3
x 12 cos(t )
3
然后以 x 6cm 代入
2
1
计算,仿前可得 t t ( s)
3
3
3
更简单的方法是运用旋转矢
量法计算
质点从x1 6cm运动到x2 6cm
最短的时间,对应的旋转矢量
是从 a 运动到 b ,则所需时间
1
3
t
s
3
小结:
1、初相位(相位)的物理意义
2、旋转矢量法的应用
y
a
b
o
x
四、单摆和复摆
1、单摆:m, l
设某时刻角位移为 ,则力矩
(对A点)M mgl sin
A
当 角很小时( 5)
l
M mgl (与F kx 比较)
FT
由转动定律
2
2
m
d
d
mgl
o
M J 2
2
P
dt
dt
J
J ml
d g
0
2
dt
l
2
2
单摆作简谐运动,其
g
l
T 2
l
g
简谐运动方程 0 cos(t )
2、复摆:质量为m的物体绕水平轴自由摆动
设质心到转轴距离为 l ,复摆小角度摆
动,则作用于复摆的力矩为
o
M mgl sin mgl
2
d mgl
0
2
dt
J
l
c
P
所以复摆作简谐运动,且
mgl
J
J
T 2
mgl
A
例题1、一均匀等边三角形薄
板,质量为m,高度为 h ,如
图,当其绕 AB边转动时,已
1 2
知转动惯量J mh ,求其微小
6
振动的周期
解:薄板作简谐运动,其 T 2
B
J
mgl
1 2
式中J mh ,质心离转轴距
6
1
离l
3
h ,所以
J
h
T 2
2
mgl
2g
例题2、图示一轻质绳一端连接
o
轻质弹簧,其劲度系数为 k ,绳
m
另一端绕过一转动惯量为 J 的薄
x
圆盘与物体m相连,圆盘半径为R
开始时,使弹簧处于原长,然后静止释放
物体,求物体运动方程
解:取物体、弹簧和圆盘为研
究对象,分析它们受力,其动
力学方程分别为
2
d x
物体 mg T1 ma m 2 ⑴
dt
圆盘 T1 T2 R J
⑵
T2 T1
⑶
弹簧 T2 k l0 x
T2
T1
2
a 1d x
且
kl0 mg
2
R R dt
2
o
d
x
mg
将 T1 T1 mg m
dt
2
和 T2 T2 k l0 x mg kx
代入式⑵得
2
2
d x
J d x
(mg m 2 mg kx) R
2
dt
R dt
2
2
d x J
d x
k
( 2 m) kx
(
)x 0
2
2
J
dt R
dt
m
2
R
则物体作简谐运动,
其周期为
2
J mR
T
2
2
kR
2
用能量方法研究系统的运动
该系统( m, J , k 和地球)的
机械能守恒,则有
1 2 1
1 2
2
mv J kx 常
2
2
2
两边求导
o
dv
d
dx
m
mv J
kx 0
x
dt
dt
dt
式中
2
2
dv d x dx
d
1d x
v
2 , v,
,
2
dt dt dt
dt
R dt
R
2
2
d x J d x
mv 2 2 v 2 kxv 0
dt
R dt
2
d x J
( 2 m) kx 0
2
dt R
与上结果相同
注:从能量守恒导出简谐运动方程的思路,
对研究非机械运动十分重要,因为此
时已不宜用受力分析的方法了!
五、简谐振动的合成
(进一步认识研究简谐运动的
重要性)
1、同频率、同方向的两个简谐运动合成
x1 A cost 1
x2 A cost 2
x x1 x2 A cost (仍为简谐运动)
A A 2 A1 A2 cos 2 1
A1 sin 1 A2 sin 2
tg
A1 cos 1 A2 cos 2
其中 A
2
1
2
2
以上结果,可以用旋转矢量
方法导出
A
分别画出矢量
和矢量
1
1
和
A由平行四边形法则求得
A
2
2
合成结果:
A
(1)仍然作简谐运动, A2
其振动方向和频率保持
A1
2
x
o
不变
1
(2)两个重要的特例
若 2 1 2k k 0,1,2
A A1 A2 合成加强
若 2 1 2k 1
k 0,1,2
A A1 A2 合成减弱
(3)相位差任意值时,合振幅值在 A1 A2
和 A1 A2 之间
2、多个同方向同频率简谐运动的合成
设有 N 个同方向、同频率的简谐运动,
且振幅相等,相位差依次恒为 ,即
x1 A0 cos t
x2 A0 cost
x3 A0 cost 2
xN A0 cost N 1
其合成后仍为简谐运动,表达式为
x A cost
R
A
由旋转矢量法求合成结果,
N
图示,用多边形法则计算合
矢量。
2
由几何关系得合矢量大小
A
N
A 2 R sin
2
0
A0
R
A0 2 R sin
A
2
N
N
sin
2
2
A0 A A0
A0
sin
2
1
相位 为: N 1
2
讨论:
(1)若 2k k 0,1,2
A NA0(N个矢量同方向)
A0
A0
A0
A0
A0
A0
A
(2)若 N 2k
k 1,2,但k N ,2N ,3N ,
A (N个矢量构成一闭合图形)
0
如 N 5, k 1则 72 72
(如图)
72
72
如 N 5, k 2则 144
(如图)
144
144
144
144
72
A0
3、两个同方向不同频率简谐
运动的合成
x1 A1 cos 1t 设1 2 0
x2 A2 cos 2t
合成运动不再是简谐运动
当两个频率很大且比较接近时,合成结
果出现合振幅随时间发生周期性变化—“拍”
定性分析:用位移—时间曲线说明图
(a)(b)分别表示两个分振动的位移—时
间曲线(设 A1 A2 A )图(c)表示合振动
曲线
t1 处两振动相位相同合振幅最大
t 2 处两振动相位相反合振幅最小
虚线表示合振幅随时间周
期性变化
定量讨论:
x1 A1 cos 1t A cos 21t
x2 A2 cos 2t A cos 22t
2 1
2 1
x 2 Acos 2
t cos 2
t
2
2
2 1
合振幅 2 A cos 2
t
2
可见其合振幅随时间作缓慢
的周期性变化,合振幅在 0 和
2 A之间时大时小的变化—“拍”
的现象
合振幅变化频率—拍频为 1 2
上述结果可以用旋转矢量合成法求得,
如图
2 2
1 1
A2
A1
o
六、两个垂直简谐运动的合成
1、两个相互垂直的同频率的
简谐运动的合成
x A1 cost 1
y A2 cost 2
得轨迹方程
2
2
x
y
2 xy
2
2
cos 2 1 sin 2 1
2
A1 A2 A1 A2
可见,合振动的轨迹一般为椭圆
(1)若 2 1 0
2
(或2 ( ), ) x 2
y
2
2
A1
A2
合振动轨迹为一条直线,合振动是简谐运
动(如图)
3 5
(2) 2 1 (或 , , )
2
2
2
2
2
x
y
2 1
2
A1 A2
合振动轨迹为正椭圆,当 A1 A2 时为一圆
(如图)
2、两个相互垂直的不同频率的
简谐运动的合成
x A1 cos1t 1
y A2 cos 2t 2
(1)1与 2 不同,合成运动复杂,且轨
迹不稳定
(2)1与 2 为简单整数比,才有稳定轨
迹—李萨如图(如图)
总结:简谐运动是研究复杂运动规律
的基础
七、阻尼振动、受迫振动、共振
1、阻尼振动:系统在回复力和
阻力作用下的减幅振动
当物体速度不太大时,受到阻力
Fr Cv (C为阻力系数)
弹簧振子有 kx Cv ma
2
d x
dx
m 2 C
kx 0
dt
dt
2
d x C dx k
x0
2
dt
m dt m
k
2
设 0(固有频率)
m
C
2 (阻尼系数)
m
2
d x
dx
2
2
0 x 0
2
dt
dt
2
2
在阻尼较小 0时,解得
x Ae
t
cost
式中 02 2 —有阻尼时系统的角频率
讨论:
(1)阻尼振动位移—时间曲
线(图示)
(2)若
过阻尼(图示b)
2
2
0
(3)若
临界阻尼(图示
c)
2
2
0
2、受迫振动:系统在周期性
外力作用下的振动
系统受力:回复力、阻力和周
期性外力(驱动力)
则 kx Cv F cos Pt ma
2
d x
dx
m 2 C kx F cos P t
dt
dt
2
F
d x
dx
2
2
0 x f cos P t ( f )
2
dt
dt
m
t
解得 x A0e cost A cos P t
可见:振动极为复杂,上式可
视为两个振动的合成,在稳态
时,受迫振动是简谐运动,其
振动频率与驱动力频率相同
x A cos Pt
f
其中 A
2
2
2 2
0 P 4 P
3、共振
从上式知,受迫振动的振幅 A 与驱动力角
频率 P有关,图示为在不同的 值时, A 随
P
的变化关系
可见,当 P 满足某些值时,
受迫振动振幅最大—共振现象
dA
由
0
d P
2
2
得 P r 0 2 时,A有最大值
f
Ar
2
2
2 0
共振角频率 P与阻尼系数 有关,阻尼越
小,共振角频率越接近于系统固有频率,共
振振幅最大
1940年7月1日,美国Tacoma大桥的坍塌