Transcript 第十四章 机 械 振 动 前言： 1、振动是物质的普遍运动形式 2、某物理量在某一值附近作周 期性变化—振动 机械振动：物体在某一位置附近作周期 往复运动 电磁振荡：电场、磁场随时间作周期性 变化 3、简谐振动（简谐运动）：最简单、最 基本的振动 一、简谐运动 1、运动学特征 物体的位移(x)是时间的余弦 (或正弦)的函数(或)物体的加速度a 与位移 (x)成正比，而方向相反 x  A cost    dx v   A sin t    dtd x2 a  2  

第十四章
机
械
振
动
前言：
1、振动是物质的普遍运动形式
2、某物理量在某一值附近作周
期性变化—振动
机械振动：物体在某一位置附近作周期
往复运动
电磁振荡：电场、磁场随时间作周期性
变化
3、简谐振动（简谐运动）：最简单、最
基本的振动
一、简谐运动
1、运动学特征
物体的位移(x)是时间的余弦
(或正弦)的函数(或)物体的加速度a 与位移
(x)成正比，而方向相反
x  A cost   
dx
v
  A sin t   
dt
2
d x
2
2
a  2   A cost      x
dt
图示 x  t , v  t , a  t 等图线 (  0)
x
o
x
v
o
x
a
o
x
2、动力学特征
以弹簧和物体的振动（弹簧
振子）为例，o点处物体所受合
外力为零，取图示ox坐标轴，物体在任一
位置处受到弹簧作用的弹性力
F  kx
m
m
o x
x
由牛顿第二定律得
2
d x
 kx  ma  m 2
dt
2
d x k
 x0
2
dt
m
2
k
d x
2
令 
则 2  x  0
m
dt
2
方程的解：x  A cost   
物体作简谐运动，因此
物体在线性回复力 F  kx 的作用下
作简谐运动，或者说，运动物体具有上
式动力学微分方程的，则该物体作简谐
运动
3、能量特征
弹簧振子的动能和势能分别为
1 2 1
2 2
2
Ek  mv  mA  sin t   
2
2
1 2 1 2
2
E p  kx  kA cos t   
2
2
2
因为   k ，则总机械能为
m
1
1 2
2 2
E  Ek  E p  mA   kA
2
2
简谐运动系统的动能和势能
随时间变化，但机械能是守恒
的，其总能量与振幅(A)平方成
正比（如图）
E
E  Ek  E p
二、简谐运动的特征
物理量
1、周期 T ：物体作一 o
次完全振动的时间
x  A cost     A cos t  T    
Ek
Ep
t
得 T  2

k
因 
，所以
m
m
（固有周期）
T  2
k
单位时间内物体的完
1
—频率  
全振动次数
T
单位时间内所作的完
全振动次数的 2 倍 —角频率  2
2、振幅A：在振动中，物体离
开平衡位置的最大位移绝对值
3、相位( t   )，初相位( )
—确定简谐运动物体在任一时刻 t 运动
状态的物理量

例如：某时刻的相位 t   
2
则物体的振动状态
x  A cost     0
dx
v
  A sin t     0
dt
即该时刻 t 物体处于平衡位
置  x ，且向方向运动的状态
如 t  0 时，初相  

3
物体的振动状态 x  A
2

v   A sin  0
3
A
即 t  0 时刻物体处于位移为 2，且向x负方
向运动的状态。
反之，若某时刻 t ，物体处于  A 2 ，且向x正方
A
向运动
由 x  A cost    
2
则 t   

 5
( )
3
3 3
又有 v   A sin t     0
 5
则必然 t    
( )
3 3
4、常数 A 和  的确定
若已知 t  0 时的位移 x0和速度 v0 ，则
x0  A cos  v0   A sin 
2
 v0
v0
2
解得 A  x0  2 tg 
x0

或 
即 A 和  是由振动系统()的初
始条件( t  0, x0和v0 )所决定的
三、研究简谐振动的一种辅助方法
y
 M 
1、旋转矢量法
A
t   M
自ox轴的原点作一矢


o
p
x
量 A (A为振幅大小)，绕 o
x
点以 逆时针匀角速度


转动，设 t  0时，矢量
与ox轴夹角为
，
A

则任一时刻，矢量
与ox轴夹角为(
)，

t


A

矢量 A 端点在ox轴上投影点的位置
0
x  A cost   

因此，旋转矢量 A 的端点投
影点在ox 轴上的运动，可以用
来表示物体在ox 轴上的简谐运动
2、旋转矢量法的应用
（1）旋转矢量端点在 ox 轴上投影点的运
动，形象而直观地展示了简谐运动。由于
旋转矢量匀角速运动，因此给研究简谐运
动带来方便。
（2）旋转矢量把描述简谐运动
的三个物理量 ( A,  , t   )
直观地表示出来

（3）用旋转矢量 A 与 ox轴夹角表示相位，
不仅相位计算方便，而且有助于对相位概
y
念的理解
 
如前 M 1，t  0时， 3 时，
运动状态，以及某时刻
时的相位（如图）
M2, x  A ,v  0
2

A

o
M1
3
x
M2
（4）在讨论振动合成时，带来
极大方便
三、简谐运动的研究
1、研究的基本方法
（1）正确运用简谐运动的特征和规律
（2）旋转矢量方法的应用
（3）振动曲线图
2、典型例题
例1、质量为m的平底木船模型，
其平均截面积为 S ，竖直高度
静浮在水中，若不计阻力，将其竖直再向
L  25cm
下压入
后，静止释放模型，求船模型
5cm
的运动和运动方程（设水的密度为
3
3
3
3
 0  1.0 10 kg  m
木船模型
）   0.8 10 kg  m
L
l
(a )
o x
x
(b)
解：取平衡时模型底部为坐标
原点，取图示ox轴，当模型底
部在图(b)位置时，其受的合力
F合  mg  l  x S0 g  mg  lS0 g  xS0 g
 S 0 gx  k x ( mg  lS0 g )
∴模型作简谐运动
L
l
(a )
o x
x
(b)
其角频率为
S 0 g
k
1


 7.0rad  s
m
SL
由初始条件确定 A 和 
（t  0 时 x0  5.0cm, v0  0）
A x 
2
0
2
0
2
v

 0.05m
  v0 
  0
  tg 
 x0 
1
则振动方程
x  0.05 cos 7t
例2、设地球是一个半径为R 的
均匀球体，现假定沿直径凿通
一条隧道。若有一质量为 m 的
质点在此隧道内作无摩擦的运
x
动，求证此质点作简谐运动
x
（P37，14-4）
o
解：从动力学进行分析
（1）地球球心为坐标原点作ox轴，
当质点处于某位置x时，其受力
M m
F  G 2
x
式中M 为半径为 x 的地球质量，
若地球质量密度为 ，则
4 3
M   x 
3
4 3
x m
4 

3
所以 F  G
 Gm    x  kx
2
x
3 
∴质点作简谐振动
讨论：
4 
（1）振动周期
Gm   
4 
3



2
 
 G   
T  2

m
3 
1
T  2
?
4
G (  )
3
2
2
M 地m
gR地
gR地
3g
G


mg  G 2
M 地 4 R 3  4R地
R地
地
3
R地
1
T  2
 2
4
g
G 
3
该周期恰等于人造地球卫星绕地球一
周的时间！这是什么道理？
（2）若地球上开凿另一隧道，
如图，那么情况又如何
例题3、已知物体作简谐运动的
图线，试根据图线写出其振动方程
xm
0.04
0.02
0
 0.02
 0.04
2
t s 
解：方法Ⅰ
设振动方程为 x  A cost   
A
由图知 A  0.04m，又由图知 t  0, x0   , v0  0
2
所以 A
2
4
  A cos    或  
2
3
3
v0   A sin   0 0    
2
则得   
3
A
由图知 t  2s, x  , v  0
2
所以 A
xm
0.04
0.02
0
 0.02
 0.04
2
2  5
2
2 
 或 
 A cos( 2  )
3 3 3
2
3
2
2
 2
v   A sin( 2  )  0   2 
3
3
t s 
2

5
∴取 2   
3 3

 
2

2
由此得振动方程 x  0.04 cos( t  )
2
3 y
方法Ⅱ：旋转矢量法
初相的确定：t  0 时质点位
a
x
于 点向 轴负
方向运动，则对
应的旋转矢量位
于 位置，所以初相位
a
a
a o
v
b
b
2

3
x
角频率的确定：t  2s 时，质点
x
b 轴正方向，
位于 点向
对应的旋转矢量位于 位 b
置，可见矢量旋转
， 
则角频率为
 


t 2
a
y
a o
v
b
b
x
例题4、已知质点作简谐运动，
振幅 A  12cm，角频率    ，
开始时，质点位于 x0  6cm 处，
y
向 x 轴负方向运动。
求： （1）质点运动方程
x
（2）质点从x1  6cm运
o
动到 x2  6cm 处最短时
间

解： （1）用旋转矢量法确定初相   
3
（如图），则 x  12 cos(t   )
cm

3

3
（2）将 x2  6cm代入运动方程。

 6  12 cos(t  )
3
 2
4
则 t   或 
3 3
3
又由题意得，此时

v2   A sin( t  )  0
0  t 


3
2
取 t   
3 3

3
y
x
o


3
t  1s
显然，计算结果是错误的！（为什么）

分析：原运动方程 x  12 cos(t  )
3

中   3 ，表明质点的初始运动
状态是从 x0  6cm 向 x 轴正方
向运动，显然与题意不符！按题意所指是
从 x1  6cm 向 x 轴负向运动到 x2  6cm处
所需时间。
因此，其初始运动状态对应

的初相    ，得
3
x  12 cos(t  )
3
然后以 x  6cm 代入
 2
1
计算，仿前可得 t     t  ( s)
3
3
3
更简单的方法是运用旋转矢
量法计算
质点从x1  6cm运动到x2  6cm
最短的时间，对应的旋转矢量
是从 a 运动到 b ，则所需时间


1
3
t 
  s
  3
小结：
1、初相位（相位）的物理意义
2、旋转矢量法的应用
y
a
b

o
x
四、单摆和复摆
1、单摆：m, l
设某时刻角位移为 ，则力矩
（对A点）M  mgl sin 
A
当  角很小时（  5）
l
M  mgl （与F  kx 比较） 
FT
由转动定律
2
2
m
d
d
mgl
o
M J 2



2
P
dt
dt
J
J  ml
d g
  0
2
dt
l
2
2
单摆作简谐运动，其
g
l

T  2
l
g
简谐运动方程    0 cos(t   )
2、复摆：质量为m的物体绕水平轴自由摆动
设质心到转轴距离为 l ，复摆小角度摆
动，则作用于复摆的力矩为
o
M  mgl sin   mgl
2
d  mgl

 0
2
dt
J
l
 c
P
所以复摆作简谐运动，且
mgl

J
J
T  2
mgl
A
例题1、一均匀等边三角形薄
板，质量为m，高度为 h ，如
图，当其绕 AB边转动时，已
1 2
知转动惯量J  mh ，求其微小
6
振动的周期
解：薄板作简谐运动，其 T  2
B
J
mgl
1 2
式中J  mh ，质心离转轴距
6
1
离l 
3
h ，所以
J
h
T  2
 2
mgl
2g
例题2、图示一轻质绳一端连接
o
轻质弹簧，其劲度系数为 k ，绳
m
另一端绕过一转动惯量为 J 的薄
x
圆盘与物体m相连，圆盘半径为R
开始时，使弹簧处于原长，然后静止释放
物体，求物体运动方程
解：取物体、弹簧和圆盘为研
究对象，分析它们受力，其动
力学方程分别为
2
d x
物体 mg  T1  ma  m 2 ⑴
dt
圆盘 T1  T2 R  J
⑵
T2 T1
⑶
弹簧 T2  k l0  x 
T2
T1
2
a 1d x
且  
kl0  mg
2
R R dt
2
o
d
x
mg
将 T1  T1  mg  m
dt
2
和 T2  T2  k l0  x   mg  kx
代入式⑵得
2
2
d x
J d x
(mg  m 2  mg  kx) R 
2
dt
R dt
2
2
d x J
d x
k
( 2  m)  kx
(
)x  0
2
2
J
dt R
dt
m
2
R
则物体作简谐运动，
其周期为
2
J  mR
T
 2
2

kR
2
用能量方法研究系统的运动
该系统（ m, J , k 和地球）的
机械能守恒，则有
1 2 1
1 2
2
mv  J  kx  常
2
2
2
两边求导
o
dv
d
dx
m
mv  J
 kx  0
x
dt
dt
dt
式中
2
2
dv d x dx
d
1d x
v
 2 ,  v,
 
, 
2
dt dt dt
dt
R dt
R
2
2
d x J d x
 mv 2  2 v 2  kxv  0
dt
R dt
2
d x J
( 2  m)  kx  0
2
dt R
与上结果相同
注：从能量守恒导出简谐运动方程的思路，
对研究非机械运动十分重要，因为此
时已不宜用受力分析的方法了！
五、简谐振动的合成
（进一步认识研究简谐运动的
重要性）
1、同频率、同方向的两个简谐运动合成
x1  A cost  1 
x2  A cost   2 
x  x1  x2  A cost   （仍为简谐运动）
A  A  2 A1 A2 cos 2  1 
A1 sin 1  A2 sin  2
tg 
A1 cos 1  A2 cos  2
其中 A 
2
1
2
2
以上结果，可以用旋转矢量
方法导出



A

分别画出矢量
和矢量
1
1



和


A由平行四边形法则求得

A
2
2
合成结果：

A

（1）仍然作简谐运动， A2


其振动方向和频率保持
A1

2
x
o
不变
1
（2）两个重要的特例
若    2  1  2k k  0,1,2
A  A1  A2 合成加强
若    2  1  2k  1
k  0,1,2
A  A1  A2 合成减弱
（3）相位差任意值时，合振幅值在 A1  A2
和 A1  A2 之间
2、多个同方向同频率简谐运动的合成
设有 N 个同方向、同频率的简谐运动，
且振幅相等，相位差依次恒为 ，即
x1  A0 cos t
x2  A0 cost   
x3  A0 cost  2 
xN  A0 cost  N  1 
其合成后仍为简谐运动，表达式为
x  A cost   
R 
A
由旋转矢量法求合成结果，
N  
图示，用多边形法则计算合

矢量。
2

由几何关系得合矢量大小

A
N
A  2 R sin
2
0



A0

R  
A0  2 R sin
A
2
N  
N

sin


2
2
A0  A  A0



A0
sin
2
1
相位  为：    N  1
2
讨论：
（1）若   2k k  0,1,2
A  NA0（N个矢量同方向）
A0
A0
A0
A0
A0
A0
A
（2）若 N  2k 
k   1,2,但k   N ,2N ,3N ,
A  （N个矢量构成一闭合图形）
0
如 N  5, k   1则  72 72
（如图）
72
72
如 N  5, k   2则  144
（如图）
144
144
144
144
72
A0
3、两个同方向不同频率简谐
运动的合成
x1  A1 cos 1t 设1   2  0
x2  A2 cos  2t
合成运动不再是简谐运动
当两个频率很大且比较接近时，合成结
果出现合振幅随时间发生周期性变化—“拍”
定性分析：用位移—时间曲线说明图
(a)(b)分别表示两个分振动的位移—时
间曲线(设 A1  A2  A )图(c)表示合振动
曲线
t1 处两振动相位相同合振幅最大
t 2 处两振动相位相反合振幅最小
虚线表示合振幅随时间周
期性变化
定量讨论：
x1  A1 cos 1t  A cos 21t
x2  A2 cos 2t  A cos 22t
 2  1 
 2 1

 x  2 Acos 2
t  cos 2
t
2
2


 2  1
合振幅 2 A cos 2
t
2
可见其合振幅随时间作缓慢
的周期性变化，合振幅在 0 和
2 A之间时大时小的变化—“拍”
的现象
合振幅变化频率—拍频为  1  2
上述结果可以用旋转矢量合成法求得，
如图
 2  2 
 1 1 
A2
A1
o
六、两个垂直简谐运动的合成
1、两个相互垂直的同频率的
简谐运动的合成
x  A1 cost  1 
y  A2 cost   2 
得轨迹方程
2
2
x
y
2 xy
2
 2
cos 2  1   sin  2  1 
2
A1 A2 A1 A2
可见，合振动的轨迹一般为椭圆
（1）若    2  1  0
2
（或2 ( ), ） x 2
y
 2
2
A1
A2
合振动轨迹为一条直线，合振动是简谐运
动（如图）

3 5
（2）   2  1  （或  ,  , ）
2
2
2
2
2
x
y
 2 1
2
A1 A2
合振动轨迹为正椭圆，当 A1  A2 时为一圆
（如图）
2、两个相互垂直的不同频率的
简谐运动的合成
x  A1 cos1t  1 
y  A2 cos 2t   2 
（1）1与  2 不同，合成运动复杂，且轨
迹不稳定
（2）1与  2 为简单整数比，才有稳定轨
迹—李萨如图（如图）
总结：简谐运动是研究复杂运动规律
的基础
七、阻尼振动、受迫振动、共振
1、阻尼振动：系统在回复力和
阻力作用下的减幅振动
当物体速度不太大时，受到阻力
Fr  Cv (C为阻力系数）
弹簧振子有  kx  Cv  ma
2
d x
dx
m 2 C
 kx  0
dt
dt
2
d x C dx k

 x0
2
dt
m dt m
k
2
设   0（固有频率）
m
C
2  （阻尼系数）
m
2
d x
dx
2
 2
 0 x  0
2
dt
dt
2
2
在阻尼较小   0时，解得
x  Ae
t
cost   
式中  02   2 —有阻尼时系统的角频率
讨论：
（1）阻尼振动位移—时间曲
线（图示）
（2）若   
过阻尼（图示b）
2
2
0
（3）若   
临界阻尼（图示
c）
2
2
0
2、受迫振动：系统在周期性
外力作用下的振动
系统受力：回复力、阻力和周
期性外力（驱动力）
则  kx  Cv  F cos  Pt  ma
2
d x
dx
m 2  C  kx  F cos  P t
dt
dt
2
F
d x
dx
2
 2
  0 x  f cos  P t ( f  )
2
dt
dt
m
t
解得 x  A0e cost     A cos P t   
可见：振动极为复杂，上式可
视为两个振动的合成，在稳态
时，受迫振动是简谐运动，其
振动频率与驱动力频率相同
x  A cos Pt   
f
其中 A 
2
2
2 2
 0   P  4  P
3、共振
从上式知，受迫振动的振幅 A 与驱动力角
频率 P有关，图示为在不同的  值时， A 随
P
的变化关系


可见，当  P 满足某些值时，
受迫振动振幅最大—共振现象
dA
由
0
d P
2
2
得 P   r  0  2 时，A有最大值
f
Ar 
2
2
2  0  
共振角频率 P与阻尼系数  有关，阻尼越
小，共振角频率越接近于系统固有频率，共
振振幅最大
1940年7月1日，美国Tacoma大桥的坍塌