Transcript 第06章振动

大学物理
第六章
振 动 (Vibration)
章节简介
特征量
特征分析
描述方法
振动的合成
简谐振动
动力学原因
动力学方程
能量
阻尼振动
受迫振动
共
振
本章重点讨论简谐振动的运动特征，在此基础上进一步讨论一
个质点同时参与两个振动的情况以及有阻力存在时振动的情形。
（课时数：共三讲，6学时）
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第十四讲 振动的描述及动力学原因
主要内容：简谐振动的概念，描述简谐振动的几个特征量，
运动的几何描述方法，运动的动力学方程
重点要求：正确理解相位的概念
难点理解：旋转矢量法
数学方法：周期性函数，建立相应的微分方程
典型示例：已知振动方程，求特征量；已知运动情况，求振动方程
课外练习：习题6.1, 6.2, 6.7, 6.8, 6.11
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§6.1 简谐振动
一
简谐振动的概念
特征参量
x  A cos( t  )
A:
:
X
o
振幅, 离开平衡位置的最大位移。
圆频率, 2  秒内所作的全振动次数
周期, 完成一次全振动所需的时间
:
m
k
x
2

T
1
频率, 单位时间内所作的全振动的次数  
T
初位相,
 t  ）：t 时刻的位相
. 
A，
，
： 简谐振动的特征参量.
特点
(1)等幅振动
(2)周期振动 x(t)=x(t+T )
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二. 简谐振动的描述方法
由 x=Acos( t+ )
已知表达式
 A、T、
已知A、T、  表达式
1 解析法
2 振动曲线法
x
A
m
x(m)
o
x0 = 0
x
o
-A
0.5
1.0
t (s)
t
T
x  0.02cos(2 t 
0.02
0
 =  /2

2
)
已知曲线
 A、T、
已知 A、T、  曲线
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3 旋转矢量法
 t 
A
x  Acos( t  )
三. 相位差
x1  A1 cos( t  1 )
o


x
A
x2  A2 cos( t   2 )
  (t   2 )  (t  1 )   2  1
对两同频率的谐振动    2  1
• 同相和反相
x
初相差
当  = 2k , ( k =0,1,2,…),
两振动步调相同,称同相
当  = (2k+1) , ( k =0,1,2,…),
两振动步调相反 , 称反相 。
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ω
x
A1
x2
A2
o
同相
- A2
x1
T
oA
2
t
A1
x
-A1
ω
x
A1
反相
x1
A2
o
- A2
-A1
T
x2
t
A2
o
A1
x
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• 超 前 和 落 若   2  1 >0
后
则 x2比x1较早达到正最大, 称x2比x1超前 (或x1比x2落后)。
x
领先、落后以< 的相位角来判断
ω
A2
x2
A1
o
-A1
T
x1
- A2
四.简谐振动的速度、加速度
1.速度
t
A2
o
A1
x
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• 速度也是简谐振动
2. 加速度
v比x领先/2
d2x
a  2   2 A cos( t     )   2 x
dt
也是简谐振动

A
2A
x、 v 、a
v
a
A
x
T
o
-A
- A
- 2A
t
v >0
a<0
<0
<0
<0
>0
>0
>0
减速
加速
减速
加速
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
x  A cos(  t  )
3
例一： 已知一弹簧振子，
振动方程为
（1）试画出旋转矢量图；
（2）在旋转矢量图上标出与以下六个状态所对应的振幅矢量的位置
 0, v  0;
A
② x
, v  0;
2
③ x   A;
A
, v  0;
④ x
2
⑤ x  0, v  0;
①x
⑥
A
x  , v  0;
2
③
②
O
④
A
①
x
⑤
⑥
①
A
②

 3
③
x
④
⑤
⑥
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例二 一质点沿x轴作简谐振动，振幅A=0.12m,周期T=2s，
质点对平衡位置的位移 x0 =0.06m,此时刻质点向x轴正向运
动。求：
（1）此简谐振动的表达式；
（2）t=T/4时，质点的位置、速度、加速度；
（3）从初始时刻开始第一次通过平衡位置的时刻。
解 （1）取平衡位置为坐标原点。设简谐振动的数学表达式为
2
x  A cos( t  )

其中
  rad s
T
由初始条件t=0时， x0 =0.06m可求初相 
x0 0.06 1


cos 
A 0.12 2
 

3
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这两个值中取哪个，要看初始速度条件。由于
v0  A sin  >0
  
v0
x0
o



x
3
A
3
此简谐振动的表达式为

t0
x  0.12 cos( t  )
3
（2） 此简谐振动的速度
 0.12 sin(t 
加速度为
a   2 A cos( t   )
 0.12 cos( t 
2

3
)

3
)

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将t=T/4=0.5s代入得
x  0.104 m
v  0.188m s
a  0.13m s
o
（3） 通过平衡位置时，x=0,由位移表达式得

0  0.12 cos( t  )
3
t 
t

3
 (2k  1)
k 


2
, k  1,2,3

A

A
t=T/4

x

3
A

t0

 
  
2 3
2
5

6
6
取k  1,

5
t   0.83( s )
6
o


3
A
x

t0
t
5 6

 0.83(s)
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§6.2 简谐振动的动力学问题
1. 作简谐运动的加速度对于平衡位置的位移的关系
2
d
x
2
2


x0
a   x
2
dt
F  m x
2
根据牛顿第二定律,
简谐振动的证明：
d 2x
1
dt
2
2
  2x  0
x  A cos( t  )
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例
复摆
M   m g L sin   mgL
据 M I  I
d 
2
dt
d 2
 m gL  I
d t2
d  m gL

 0
2
I
dt
2
d 2
d t2
   0
2
2
o

得
整理得
L
c
mg
mgL
2
记

I
2
I
T
 2

mgL
弹簧振子？
单摆？
2. 简谐振动特征参量的确定 ( , A,)
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 由系统本身的结构确定。
A, 由初始条件确定。
t  0时的位置坐标和速度， 即由x 0 和v 0 确定
x  Acos( t   )
v   Asin ( t   )
A
t  0:
x0 2 
v0 2
2
v0
tg   
 x0
x0  Acos
v0   A sin
例：
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求系统的振动方程
解 设碰后系统处于平衡位置时弹簧的伸长量为Δl
(m  M ) g  kl
k
碰后物体和盘一起向下运动位移为x时，由牛顿第二定律
2
d x
(m  M ) g  k ( x  l )  (m  M ) 2
dt
得
d 2x
k

x0  
2
mM
dt
k
mM
m
h
M
x0
k
t  )
振动方程 x  A cos(
mM
A和 由t=0初始时刻系统的状态确定
x
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物体碰撞前的瞬间的速度
v v  2gh
k
因发生非弹性碰撞， t=0时，
m
v0 
v
mM
m
v0 
2gh
mM
m
mM
M
g
g)   g
x0  (l  l1 )  (
k
k
k
由A 
m
h
v02
v0
x  2 和  arctan( 
)
x 0

2
0
mg
2kh
A
1
k
(m  M ) g
M
x0
2kh
  arctan
(m  M ) g
（应在第三象限）
将A和  代入振动方程，即得到所求系统的振动方程
x
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第十五讲 简谐振动的能量及合成
主要内容：简谐振动的能量表达式及特征，简谐振动的合成
重点要求：简谐振动的能量特征，“拍”的形成
难点理解：一个质点同时参与两个振动
数学方法：解析法
典型示例：简谐振动系统的动能和势能，合振动的振幅和位相
课外练习：思考题6.9, 6.10. 习题6.14, 6.15
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§6.3 简谐振动的能量
以弹簧振子为例
x  Acos(t  )
v  A sin( t  )
1
2 1
Ek  m v  m  2 A 2 sin 2 (  t   )
2
2
2
1 2
E  Ek  E p  kA
2
m
1 2 1 2 2
E p  k x  k A cos (  t   )
2
2
E
(1/2)kA2
Ek
Ep
o
x
T
t
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1 T
1 T1
1 2
2 2
2
Ek   E k d t   m  A sin (  t   ) d t  kA
T 0
T 02
4
1 T
1 T1 2
1 2
2
E p   E p d t   k A cos (  t   ) d t  kA
T 0
T 02
4
E
(1/2)kA2
1 2
kA
4
Ek
Ep
o
x
T
t
* 弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且等于总机械能的一半.
* 任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比.
* 振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还
反映了振动系统总能量的大小及振动的强度。
这些结论同样适用于任何简谐振动。
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例 如图所示，根据给定的条件（1）写出谐振子的振
动方程 （2）求出x=A/2处系统的动能和势能
解
碰后一起运动的速度为V0
u0 M
k
mu0  (m  M )V0
m
V0 
u0
mM
k
m
o

m
M
0
x  A cos( t   ),
t  0, x  0, V0 
设
A
3
,0  , x 
2
k (m  M )
>0
3
cos(t  )
2
k (m  M )
mu0
2
m
u0
mM
X
mu0
2
1 2 1 A 2
m u0
E P  kx  k ( ) 
2
2 2
8(m  M )
2
2
1 2 1 2
3
m
u
0
Ek  E  E P  kA  kx 
2
2
8(m  M )
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§6.4 简谐振动的合成
A
一 同一直线上 同频率简谐振动的合成
x1  A1cos( t  1 )
x2  A2cos( t   2 )
   2  1
x  x1  x2  Acos( t  )
2
2
2
A  A1  A2  2 A1 A2 cos (  2  1)
A1sin1  A2 sin 2
tg 
A1cos1  A2 cos 2
合振动仍然是同频率的简谐振动
A2
A2 y
A1
2
o

 1
A1x
Ax
A2 x
A1 y
x
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
A 
A2

A1
两种特殊情况
(1)若两分振动同相，  2 1=2k
(k=0,1,2,…)
则A=A1+A2 , 两分振动合成的结果是振动加强
(2)若两分振动反相，  2 1=(2k+1)
(k=0,1,2,…)
一般情况：
 2  1  k
| A1  A2 | A | A1  A2 |

A1

A
则A=|A1-A2|, 两分振动合成的结果是振动减弱
如 A1=A2 , 则 A=0

A2

A2

A

A1
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例 设n个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等，
初相位依次差一个恒量。求它们的合振动的振幅和位相。
x1 (t )  a cost
x2 (t )  a cos(t   )
C
x3 (t )  a cos(t  2 )

x N (t )  a cos(t  ( N  1) )
A  2R sin(N / 2)
在OCP中： a  2 R sin( / 2)
上两式相除得
O
sin( N / 2)
Aa
sin  / 2
R
N

a1
M
aN

A

P

a3
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 COM  (  N ) / 2
 COP  (   ) / 2
N 1
  COP  COM 

2
R
C
N
所以，合振动的表达式
x(t )  A cos(t   )
sin(N / 2)
N 1
a
cos(t 
)
sin( / 2)
2
讨论1：
当
  2k
M
O

a1
k  0,1,2,
sin(N / 2)
A  lim a
 Na
sin( / 2)
即各分振动同相位时，合振动的振幅最大。
aN

A

P


a3
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sin(N / 2)
N 1
cos(t 
)
讨论2：x(t )  a
sin( / 2)
2
当   2k  / N 且 k
'
'
 kN
sin(k ' )
Aa
0
'
sin(k  / N )
即：N  2k k  0,1,2, 这时各分振动
矢量依次相接，构成闭合的正多边形，合振
动的振幅为零。
A
A
二 多个同方向同频率简谐振动的合成
多个分振动的合成在说明光的干
涉和衍射规律时有重要的意义。
An
o
1
A1
2
A2
x
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A
三 同方向不同频率简谐振动合成
2
x1  A1cos( 1 t  1 )
A2
x2  A2 cos( 2t   2 )
A1

重合：
反向：
A  A1  A2
A  A1  A2
单位时间内A1比A2多转了 v1
1
o
1
v1 
2
 v2
2
v2 
2
次
单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频
X
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x1
t1
t2
t3
t
x2
t
插入：
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第十六讲 简谐振动的合成及阻尼振
动、受迫振动和共振
主要内容：两个互相垂直的简谐振动合成，阻尼振动、受迫振动
及共振
重点要求：两振动在不同位相时的合运动情形，有阻力作用时的
振动情况
难点理解：根据旋转矢量合成
数学方法：解析法，解微分方程
典型示例：简谐振动系统的动能和势能，合振动的振幅和位相
课外练习：思考题6.9, 6.10. 习题6.14, 6.15
大学物理
四 相互垂直的简谐振动的合成
1
两个互相垂直的同频率的简谐振动的合成
x  A1 cos(t  10 );
y  A2 cos(t  20 )
x
 cost  cos10  sin t  sin 10
A1
y
 cost  cos 20  sin t  sin  20
A2
x
y
cos 20  cos10  sin t  sin( 20  10 )
A1
A2
大学物理
x
y
cos 20  cos10  sin t  sin( 20  10 )
A1
A2
x
y
sin  20  sin 10  cost  sin( 20  10 )
A1
A2
2
2
x
y
2 xy
2


cos



sin

2
2
A1 A2 A1 A2
上式是个平面曲线方程，具体形状由 分振动的振幅、
  ( 20  10 ) 相位差决定。
质点的运动方向与 有关
当 0    
当     2
质点沿顺时针方向运动；
质点沿逆时针方向运动。
2
大学物理
2
x
y
2 xy
2


cos



sin

2
2
A1 A2 A1 A2
x 2 y 2 2 xy
 2
0
1)、 (20  10 )  2k ,
2
A1 A2 A1 A2
A2
x 直线上的运动。
所以是在 y 
A1
2
2
x
y
2 xy
2)、(20  10 )  (2k  1) ,
 2
0
2
A1 A2 A1 A2
A2
x
所以是在 y  
A1

3)、 ( 20  10 ) 
2
直线上的振动。
2
y
x
y
x
y
2
x
y
 2 1
2
A1 A2
所以是在X轴半轴长为 A1 ， Y轴半轴长为
A2的椭圆方程，且顺时针旋转。
x
x 2 y 2 2 xy
2
 2
cos   sin 
2
A1 A2 A1 A2
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3
x
y
( 20  10 ) 
4)、
 2 1
2
2
A1
A2
所以是在X轴半轴长为 A1 ， Y轴半轴长为
A2的椭圆方程，且逆时针旋转。
A1  A2
5)、
2
2
y
质点的轨道是圆。
X和Y方向的相位差决定旋转方向。
6)、
2k  1
 20  10 

2
20  10  k
k  0，
1，
2，
3
则为任一椭圆方程。
x
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 2  1  0

 2  1 
5
4

4
 2  1 
3
2

 2  1 
2
3
4
7
4
综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，合振
动在一直线上或者在椭圆上进行（直线是退化了的椭圆）当两
个分振动的振幅相等时，椭圆轨道就成为圆。
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2
两个互相垂直的不同频率的简谐振动的合成
如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的轨道
是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形称为
李萨如图形。
条件: 位相差恒定，频率成简单整数比。
合成结果：李萨如图形。
用李萨如图形在无线电
技术中可以测量频率：
怎样根据李萨如图形测量频率？
插入：
Tx : Ty  1: 2
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（一） 阻尼振动
§6.5
阻尼振动 受迫振动 共振
阻力与速度大小成正比，与其方向相反。
dx
f r  v  
dt
弹性力和上述阻力作用下的动力学方程：
2
d x
dx
m 2  kx  
dt
dt
2
d x  dx k

 x0
2
m dt m
dt
令：
k
  ;
m
2
0
2 

m
插
入
：
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称 0为振动系统的固有圆频率，称 为阻尼系数
（1）
d 2x
dx
2

2



0x 0
2
dt
dt

2
2
) 方程的解:
  0 ( 
2m
x(t )  A0 e
  t
cos(t   0 ) 其中    
2
0
2
由初始条件决定A0和初相位  0 ,设
dx
2
t  0 , x (0)  x0 ,
 V0
(
V


x
)
dt t 0
A  x02  0 2 0 ,
即有：
x0  A cos 0
V0   A sin  0  A cos 0

V0  x0
tg 0  
x0
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这种情况称为欠阻尼
(2) 
2
2
 0
x(t )
t
方程的解:
欠阻尼
x(t )  C1e
 (    2  02 ) t
其中 C1，C 2
是积分常数，
由初始条件来决定，
 C2 e
 (    2  02 ) t
x(t )
t
这种情况称为过阻尼
无振动发生。
过阻尼
大学物理
（3）如果 
2
  02
方程的解：
x(t )  (C1  C 2 t )e
 t
x(t )
C1 , C 2 是由初始条件决定的积分常数。
这种情况称之为临界阻尼
无振动发生。
t
临界阻尼
大学物理
（二） 受迫振动 共振
（1） 谐振子的受迫振动
设强迫力 f
 H cos pt
dx
阻尼力： f r  v   
2
dt
d x
dx
m


kx



h
cos
pt
2
dt
dt

k
； h H
令  ;  
m
2m
m
2
0
2
d x
dx
2
 2
  0 x  h cos pt
2
dt
dt
大学物理
2
d x
dx
2
 2
  0 x  h cos pt
2
dt
dt
 
2
2
0
x(t )  A0 e
其解为：
  t
cos(    t   0 )  Ap cos( pt   0 )
稳态解：
2
0
2
x(t )  A p cos(pt   0 )
稳定态时的振幅为：
Ap 
h
(02  p 2 )2  4 2 p 2
大学物理
（2） 共振
h
求振幅 Ap 
对频率的极值，
2
2 2
2 2
(


p
)

4

p
0
得出
振幅有极大值：
Ar 
h
2   
2
pr    2 
2
2
0
2
0
共振的振幅。
共振的圆频率。