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第九章 波的衍射
章节简介
波的衍射
光的衍射
菲涅尔衍射
单缝衍射
光栅衍射
夫琅和费衍射
园孔衍射
x射线衍射
光学仪器分辨率
本章利用惠惠更斯-菲涅尔原理着重讨论夫琅和费衍射单缝
衍射现象的特点和单缝衍射的处理方法－半波带法，并在单缝
衍射的基础上进一步研究了光栅衍射图像的特点及其成因。
（课时数：共3讲，6学时）
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第二十二讲 单缝衍射
主要内容： 惠更斯-菲涅尔原理、单缝衍射 、
重点要求： 衍射的强度分布的主要特征及其定量的计算
难点理解： 半波带法
数学方法： 三角函数取值分析
典型示例： 单缝衍射
课外练习： 思考题9.1，9.5；习题9.1，9.3。
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一、波的衍射现象 惠更斯-菲涅尔原理
1. 惠更斯原理
媒质中波动传到的
各点都可看作是发射子波
的波源，任一时刻这些子
波的包迹就是该时刻的波
阵面——惠更斯原理
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平面波
S1
球面波
S2
S2
S1
R2
R1
o
u △t
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2. 波的衍射
惠更斯原理—子
波的包迹决定新的波
阵面，能说明光线偏
离直线路径传播——
衍涉现象。
A
B
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光的衍射现象
光源
障碍物
A
几
何
阴
影
区
光能绕过障碍
物进入几何阴影区，
并出现光强的不均
匀分布。
A
a'
a
B
B
b
b'
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动画演示：光的衍射
动画说明：
可调节物理量：
通光或遮光限度；
入射光波长。
可选择遮挡物：
小球、圆孔、单
缝、细针。
思维空间：a. 菲涅耳的区域分析法。
b. 菲涅耳衍射与夫琅和费衍射。
c. 区域数目m的物理意义。
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据光源、观察屏的障碍物之间的距离，光的衍射分为
E
A
1） 菲涅耳衍射
S
光源
光源—障碍物—接
收屏距离为有限远。
障碍物
接收屏
E
2） 夫琅和费衍射
光源—障碍物—接收
屏距离为无限远。
B
A
S
光源
B
障碍物
接收屏
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3. 惠更斯原理 ——菲涅尔原理
菲涅尔原理：同一波阵面上的子波在空间相遇也可
产生干涉现象.
S
(1) 各子波初相相同，在P点的相位
n
θ
r
p
2r
  t   0 

（2）振幅与面元ds成正比，与p
点到ds的距离成反比，而
且与倾角θ有关。
ds
2r
dE  Fk () con (t  0 
)
r

积分非常困难
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二、单缝衍射
1.夫琅和费单缝衍射
S
L1
L2
X
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2.衍射公式
A,B两条平行光线之间的光程差 BC=asinθ
作平行于AC的平面,
使相邻平面之间的距离
等于入射光的半波长.
（位相差）
A
A1 θ
a
θ
A2
B
λ
λ λ
2
2 2
如图把AB波阵面分成AA1，
A1A2，A2B波带.两相邻波带对
应点AA1中A1和AA2中A2，到达P
点位相差为，光程差为/2。
所以任何两个相邻波带所发出
的光线在P点相互抵消.
当BC是/2的偶数倍，所有波带成对抵消，P点暗，
当BC是/2的奇数倍，所有波带成对抵消后留下一个波带，P点明。
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结论
1.  0　(衍射角), 各平行光束δ  0,
位相相同, 相互加强,中央明纹.
λ
2.　BC  asin   2 k , 暗纹,
( k  1,2,...)
2
λ
3.　BC  asin   (2 k  1) ,明纹。
2
λ
4.BC  asin   的整数倍，
2
条纹亮度介于上述明暗之间。
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3.图象特点
1) 形状分布
y
P
θ
0
f
透镜焦距
y
f

f
2k   k
a
2
a
f

y   (2k  1)
a
2
（1）
.条纹位置：
中央明纹：  0，
其余各级条纹：
yk  f  tg  f
K=1,2,3,…暗纹
K=1,2,3,…明纹
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（2）
.条纹的线宽度
y
中央明纹的线宽度：
P
y中央

0
f
透镜焦距
f
f

 ( )  ( )  2 f 
a
a
a
其各级明纹的宽度，通
常看作是相邻两条暗纹的宽
度。
y 
2)强度分布
f
f
f
(k  1)  k 
a
a
a
I
3
5 

2a
2a
3
2a
5
2a
sinθ

3λ 2

a
a


a

a
2 3λ
a a
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4. 狭缝宽度对衍射图象的影响
a  ,中央明纹占据单缝后整个空间，衍射条纹消失。

一级暗纹，a sin 1  2k
 
2 k 1


如：a  ，1  ；a　
，
sin


1，1无解。

1
2
a
a时,θ角很小,各级条纹集中在中央明纹附近,分辨不清，
单一明条纹几何光学。

几何光学是波动光学在 (  0　)时的极限。
a
单缝衍射
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例：在夫琅和费单缝实验中，垂直入射的平行单色光
波长为=605.8nm，缝宽a=0.3mm，透镜焦距f=1m。
求：（1）中央明纹宽度；（2）第二级明纹中心至中央明
纹中心的距离；（3）相应于第二级和第三级明纹，可将单
缝分出多少个半波带，每个半波带占据的宽度是多少？
2 f
解：
(1) x0 
 4.0mm
a

5
(2) 单缝衍射明纹的角位 置由 a sin  （2k  1） 确定，得：sin 2  ，
2
2a
x2  f tan 2  f sin 2 
5
 f  5.0mm
2a

(3) 由 a sin  （2k  1） 知 : 相应于第二级、三级衍 射明纹 , k分别为 2、
3，
2
单缝相应地分成 5个和7个半波带。
对应半波带的宽度分别 为
3
3
mm， mm。
50
70
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一、光栅及其衍射
光栅：
大量的等间距平行
单缝组成的光学元件。
1 光栅及其衍射
b
a
θ
光栅常数
p
0
d=a+b
光栅衍射图样是由
单缝内许多子波的干涉
（单缝衍射）以及缝间
对应的子波彼此相干叠
加（缝间干涉）而形成。
因此，它是单缝衍射和
多缝干涉的综合效果。
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第二十三讲 光栅衍射
主要内容： 光栅衍射 、
重点要求： 光栅衍射图像的特点及其成因
难点理解： j明条纹缺级
数学方法： 三角函数取值分析
典型示例： 光栅衍射
课外练习： 思考题9 .13，9.14；习题9 .5，9 .6。
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2. 光栅方程
d
p
θ
0

相邻两束光的光程差
=(a+b)sinθ
=(a+b)sinθ=±k ---(1)
(k=0,1,…)
干涉加强，明纹位置。
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3.
光栅衍射条纹的缺级
光栅明纹公式
dsinθ=±k
(k=0,1,…)
单缝衍射中K级暗纹公式
a sin    k 
(k=1,…)
ab
k 
k  ( k   1,2,3, , k只能取整数 )
a
z
P
S
0
I I0
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3
条纹特点宽度间距
1）条纹宽度
共N条缝，分成两半
光程差
N ( a  b )sin   
暗纹（一级）衍射角
sin 1暗
上
半
部
分
下
半
部
分
d


N（a  b）
p
θ
0
明条纹很窄，锐利
2）条纹间距
( a  b )sin   k

sin 1明 
ab
20明
2

N （ a  b）
1明  0明
明条纹间分得很开
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3) 条纹强度
* 一条缝：
振幅：
光强：
A
I  A2
* N条缝：
振幅
光强
NA
I  (NA)2
光栅谱线特点
与单缝衍射的情况相比,光栅衍射明纹要明亮、尖
锐得多；明纹之间彼此也分得很开，形成明锐且清晰
可辨的谱线。
光栅衍射
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例: 波长为=632.8nm的平行单色光垂直入射到某光栅上，设
该光栅每毫米刻有500条刻痕，相邻刻痕间透光部分宽度为
1000nm，求(1)光栅常数;(2)一共能观察到多少根明条纹?
3
10
解: 光栅常数为：
d  a  b 
 2  106（m）
500


能观察到的光栅衍射条纹的最大衍射角应小于 ，令  ，将其带入
2
2
ab
2 106
光栅公式（a  b）sin   k，得：k 

 3.16.
7

6.32810
k只能取整数，故能观察到的最高明纹级数k  3，
本应有（2k  1） 7根明纹。
但根据缺级公式： k  
ab
k   2k （k   1，
2，
...）缺级。
a
故实际上只能观察到 K  0、
 1、
 3共5根明条纹（ k  2缺级）。
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例:一衍射光栅,每厘米有400条透光缝,每条透光缝宽度为
a=110-5m,在光栅后放一焦距f=1m的凸透镜,现以=500nm的
单色平行光垂直照射光栅,求(1)透光缝a的单缝衍射中央明
条纹宽度为多少?(2)在该宽度内,有几个光栅衍射主极大?
解: (1)由单缝衍射中央明条纹宽度公式,
λ
500  109
L0  2 f  2 
 1  0.1m
5
a
10
(2)在由单缝衍射第一级暗纹公式asin=,所确定
的内,按光栅衍射主极大的公式,即
asinφ  λ
dsinφ  kλ
两式联立
ab
k
 2.5
a
k  0,1,2
ab
缺级公式： k  
k （k   1，
2，
3，
...；k只能取整数） k  2.5k 
a
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第二十四讲 光学仪器分辨率
X射线衍射
主要内容：光学仪器分辨率
X射线衍射
重点要求：光学仪器分辨率
难点理解： 园孔衍射
典型示例：望远镜分辨率
课外练习： 思考题9 . 18，9.19；习题9 . 9，9 . 10。
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一、光学仪器的分辨率
1 . 夫琅和费圆孔衍射
圆孔，D
2θ
光源
透镜
透镜
衍射图象：明暗相间的同心圆。
爱里斑
占入射光强的84%，
若爱里斑的直径为d
2 
d

 2.44
f
D
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2 . 光学仪器的分辨率
1) 瑞利判据
L2
点物
S
象
f2
A
S1
S’
O
S’
S1’
S
L
S1’
f2
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瑞利给出恰可分辨两个物点的判据：
S1
S2
可分辨
100%
73.6%
S1
S2
恰可分辨
S1
S2
不可分辨
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2) 最小分辨角 分辨本领
满足瑞利判据的两物点间的距离，就是光学仪器所能
分辨的最小距离。对透镜中心所张的角称为最小分辨角。
=1.22/D
光学仪器中将最小分辨角的倒数称为仪器的分
辨本领。
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3.86108 m 设从月亮出射的光
例：月地间距约
波长为550 nm，用直径D=4 mm的天文望远镜观察
月亮，能分辨出的月亮上两点间的最小距离是多少？
解：
D
 
1.22 
4

1.22  5.5  107
 1.68107 (rad)
x  l   3.86108 1.68107
 64.8 (m)
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二、 X 射线的衍射 布喇格公式
高压
1.X射线
电子以极高的速度或
能量撞击阳极A的表面，
阳极吸收了高速电了的能
量之后，便会发出X射线。
K
A
其特点是：
1) 在电磁场中不发生偏转
2) 穿透力强
3) 波长较短的电磁波，范围在0.001nm～10nm之间
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2. 劳厄的实验
P
B
劳厄的实验装置,如图：
C
天然晶体可以看作
是光栅常数很小的空间
三维衍射光栅。
乳胶板
在乳胶板上形成
对称分布的若干衍射斑
点，称为劳厄斑。
天然
晶体 铅版
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二、布喇格公式
同一晶面上相邻原子
散射的光波的光程差为
AD-BC= 0， 它们相干加强。 1
若要在该方向上不同晶面
2
上原子散射光相干加强，
则必须满足：
3
  NM  MP  k

A

N
M


P
d
k  1,2,3
即当
2dsin = k 时各层面上的反射光相干加强，形
成亮点，称为 k 级干涉主极大。该式称为布喇格公式。
因为晶体有很多组平行晶面，晶面间的距离
不相同所以，劳厄斑是由空间分布的亮斑组成。
d 各