Transcript 14.8.衍射光栅

14 波动光学
任课教师
曾灏宪
中原工学院 理学院
大学物理（下）
14 波动光学
14.8 衍射光栅
r  r2  r1  d sin 
x
d
d'
x
d'
k

d
明纹
d'

暗纹
 ( 2k  1)
d
2
a sin   2k

2
  k
干涉相消（暗纹）
a sin   0
中央明纹中心
a sin   (2k  1)

2
干涉加强（明纹中心）
同时考虑干涉和衍射
Figs on 2~7 are from http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/phyopt/mulslid.html
一
光栅——平面衍射光栅
衍射光栅：由大量等间距、等宽度的平行狭缝
所组成的光学元件。
用于透射光衍射的叫透射光栅。
用于反射光衍射的叫反射光栅。
a
b
光栅常数 d
d
l
d  ab 
N
刻痕，遮光
未刻，缝
透光
l
N
数量级为10-5~10-6m
（一厘米内刻有1000--10000条刻痕，亦称为
光栅规格）
二
光栅衍射条纹的形成
各单缝分别同时产生单缝衍射。
各单缝衍射的平行光产生多光束干涉。
Y
衍射和干涉
的
总效果
光 透
栅 镜
条纹特点：亮、细、疏
I
屏
幕
各单缝衍射的平行光产生什么样的
多光束干涉？
d
d
d
aa
a
b
b
b


B



C
C
C
B
B
从相邻单缝射出的平行光依次相差
相同的光程BC或相同的相位差
BC  ( a  b ) sin   d sin 
I
BC
  2

即光栅衍射是N个相位依次相差的光振动的叠加
综合：
I
只考虑单缝衍射强度分布
-2
-1
只考虑五缝干涉强度分布
干涉、衍射均有：
-2
单缝衍射
1
o
I
oI
o
2 sin 
多缝干涉
sin 
单缝衍射对
光强的调制
2
sin 
明纹的光强受到衍射光强的调制。（参与干涉的光是衍射的光.）
光栅衍射条纹是单缝衍射与多缝干涉的总效果。
三 明纹公式：光栅方程
每两个相邻主明纹之间有N-1条暗纹和N-2条次明纹
（主极大明纹）
Y
BC
ab
   2
 2
sin 


 2 k  k  0  1 .  2 .  3 ...
( a  b ) sin   k  k  0 .  1 .  2 .
光栅方程
a
光 透
d
栅 镜 b


B
3级明纹
2级明纹
1级明纹
I
中央
明纹
-1级明纹
-2级明纹
C
屏
幕
-3级明纹
光栅衍射明纹条件
光栅方程
(a  b) sin    k
(k  0,1,2, )
讨 论：
1）光强分布
亮纹的光强 I  N 2 I 0
（ N ：狭缝数，I 0 ：单缝光强）
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮.
(a  b) sin    k
光强分布
(k  0,1,2, )
中央明纹
I
第一级
主明纹
第二级
主明纹
次明纹
(a  b) sin 
 3  2  
0

2
3
理论计算表明，在两相邻主明纹间有 N - 1 条暗纹
和 N - 2 条次明纹 ，因为次明纹的光强远小于主明纹，
所以暗纹和次明纹连成一片形成暗区.
(a  b) sin    k
(k  0,1,2, )
2）条纹最高级数
k
π
sin  k  
   ,
2
ab
3）光栅衍射明纹位置
 L2

d


明纹间距


P
F
f
k  kmax
ab


k
x  D tan   f sin    f
ab
f
x  xk 1  xk 
ab
a  b一定，  ，x 
a  b  ，x 
一定，
4）缺级现象
在某些特定的衍射方向，满足光栅方程中的明纹条件，但又满足衍射的暗纹
条件时，这一特定方向的明纹将不出现的现象，称为“缺级”。
I
只考虑单缝衍射强度分布
-2
单缝衍射
-1
1
只考虑五缝干涉强度分布
o
多缝干涉
I
-6 -5 -4 -3 -2 -1
干涉、衍射同时考虑
1 2
-5 -4
3 4 5 6
oI
-2 -1 o 1 2
sin 
衍射+干涉
缺
级
缺
级
-2
2 sin 
2
4 5
sin 
既满足光栅方程中的明纹条件，又满足衍射的暗纹条件
由明纹公式（光栅方程）：
(a  b) sin    k (k  0,1,2, ) k 称为干涉级
由单缝衍射的暗纹公式：
'
(
k
 1,2,3,) k ' 称为衍射级
a sin    k 
'
同时满足两式，式（1）/（2）得：
ab k
 '
a
k
（为整数比）
缺级公式：
ab
d
k  k'
 k'
a
a
k '   1 .  2 .  3 ...
ab
'
' d
(
k
 1,2,3,)
k
缺级公式：k  k
a
a
'
例：一光栅，b=2a。则缺级的明纹：
ab
'
' a  2a
'
(
k
 1,2,3,)
k k
k
 3k
a
a
'
'
k

3
k
 3,6,9   
故缺级级次
I
缺
级
缺
级
-5 -4
-2 -1
1
2
4
5
N=2 双缝衍射
d
3
a
-5 -4
d
4
a -6 -5
d
5
a -6
I
缺
级
-2 -1
缺
级
1
2
I
4
5
缺
级
缺
级
3 -2 -1 0
1
2 3
5 6
I
缺
级
缺
级
-4 3 -2 -1 0
1
2 3
4
6
光栅（N=5；d/a=3）
I
缺
级
-5 -4
缺
级
-2 -1
1
2
4
5
5）光栅光谱
白光投射在光栅上，在屏上除零级主极大明
条纹由各种波长混合仍为白光外，其两侧将形成
由紫到红对称排列的彩色光带，即光栅光谱。
(b  b' ) sin    k
(k  0,1,2,)
(b  b' ) sin    k
(k  0,1,2,)
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin 

0 一级光谱
三级光谱

b  b'
二级光谱
重叠现象
I
sin 

0 一级光谱
三级光谱

b  b'
二级光谱
例如
二级光谱重叠部分光谱范围
(b  b' ) sin   3紫
(b  b' ) sin   2
  400 ~ 760nm
3
  紫  600nm
2
二级光谱重叠部分:
600 ~ 760 nm
例 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平面
光栅上，求第三级光谱的张角.
  400 ~ 760nm b  b' 1 / 6500 cm
k1

1  51.26
 0.78
紫光 sin 1 
解
红光
b  b'
k2
sin  2 
 1.48  1
b  b'
不可见
第三级光谱的张角   90.00  51.26  38.74


第三级光谱所能出现的最大波长
(b  b' ) sin 90 b  b'

 513nm
' 
3
k
绿光

小结：
1）光栅衍射条纹具有亮、细、疏的特点。
亮：每一单缝出射的光强虽小，但N条单缝
的光强叠加起来，光强会增强。
细、疏：光栅的单缝数量很大，光栅常数很小，
在相邻两个主极大明纹之间占着很大的角宽度。
2）主要公式
光栅方程
明纹公式：( a  b) sin    k
缺级公式：
ab
' d
k k
k
a
a
'
(k  0,1,2, )
(k '  1,2,)
条纹最高级数 k max
ab


光栅衍射明纹位置
k
x  D tan   f sin    f
ab
f
明纹间距 x  xk 1  xk 
ab
一定时，光栅常数越小，条纹越稀疏，反之则越密。
d=a+b一定时，波长越大，衍射角越大。
3）当白色光入射光栅时，将产生彩色的衍射
光谱。从中央到两侧将出现由紫到红的光
谱。
练习和例题
[例1]一平面透射光栅，在1mm内刻有500条纹。现用
λ=0.59×10-3mm钠光谱观察。求：光线垂直入射时，
最多能看到第几级光谱？
解：光栅常数为
1
3
ab 
 2  10 mm
500
k  0 ,  1,  2 , 
 ( a  b ) sin   k 
 k max
3
2  10
ab
 3 .39


3
0.59  10

取整，即垂直入射时，最多能看到第三级光谱
[例2]双缝缝距d=0.40mm, 两缝宽度都是a=0.08mm，
用波长λ=480nm的平行光垂直照射双缝, 在双缝后放
一焦距f =2.0m的透镜, 求:(1)在透镜焦平面处的屏上，
双缝干涉条纹的间距△x; (2)在单缝衍射中央亮纹范
围内的双缝干涉亮纹数目
解：1）对双缝干涉第k级明纹有 d sin   k 
k
第k级明纹在屏上的位置 xk  f
d
f 2  4800  10 10
3
x 

 2 . 4  10 m
3
0.4  10
d
2)
d
  5 即在单缝衍射中央明纹范围内，只有
a
k  0 ,  1,  2 ,  3,  4 级明纹出现
所以双缝干涉明纹的数目 N  9
[例3]波长为7000A的单色光，垂直入射在平面透射光栅
上，光栅常数为3×10-4 cm，缝宽为10-4cm。求(1)最多
能看到第几级光谱?(2)哪些级出现缺级现象?
 ( a  b ) sin   k 
ab
 4 .28
k max 
解: 

k  0 ,  1, 
取整，即最多可看到第四级光谱
ab
k ' 时缺级
满足 k 
a
k '  1, 2 , 
 k  3k '
又 k max  4  k  3 时缺级
 即光屏上实际呈现级数为4-1=3，对应于
明纹 k =-4,-2,-1,0,1,2,4共七条
例4 用氦氖激光器发出的   632.8nm 的红
光，垂直入射到一平面透射光栅上，测得第一级明纹
出现在   38 的方向上，试求（1）这一平面透射
光栅的光栅常数d , 这意味着该光栅在 1cm 内有多少
条狭缝？（2）最多能看到第几级衍射明纹？
解（1）由光栅方程
(b  b)   k , k  1,   38
(b  b)  1.028μm
（2）
 90
o
o
1
N
 9729 条
b  b
(b  b) sin 
k
2

只能看到第一级
衍射明纹
例5：一平行衍射光栅，每厘米刻1000条，用可见光垂
直入射，缝后透镜焦距f = 100cm
1、光栅衍射第一级完整可见光谱所占宽度
2、证明第二、三级光谱重叠

3、用红光  7000 A入射，b  3a, 最多看到主明纹条数
解：1）光栅常数为 d  a  b  10 5 m
明纹条件d sin   k
k  1:
1
1  4 10 m sin 1   0  04
d
2
7
2  7.6 10 m sin  2   0  076
7
d
x  f (tg2  tg1 )  f (sin 2  sin 1 )  3.6(cm)
2）红光
k 2
21
sin  
 0 14
d
紫光
k 3
sin   

32
 0 12  0 14
d
二级红光与三级紫光重迭

3）用红光  7000 A入射，b  3a, 最多看到主明纹条数
d
3） k m   14.2 k max  14

缺级 d  a  b  4a
d sin   k
a sin   k 
k  4k 
k   1,2,3
第 12、8、4、-4、-8、-12 级主明纹缺级
最多可见主明纹
2  14  1  6  23条
作业
 P238: 24；25；
版权声明
本课件根据高等教育出版社《物理学教程（第二版）下册》
（马文蔚 周雨青 编）配套课件制作。课件中的图片和动
画版权属于原作者所有；部分例题来源于清华大学编著的
“大学物理题库”。由 Haoxian Zeng 设计和编写的内容采
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