Transcript 14.8.衍射光栅
14 波动光学
任课教师
曾灏宪
中原工学院 理学院
大学物理(下)
14 波动光学
14.8 衍射光栅
r r2 r1 d sin
x
d
d'
x
d'
k
d
明纹
d'
暗纹
( 2k 1)
d
2
a sin 2k
2
k
干涉相消(暗纹)
a sin 0
中央明纹中心
a sin (2k 1)
2
干涉加强(明纹中心)
同时考虑干涉和衍射
Figs on 2~7 are from http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/phyopt/mulslid.html
一
光栅——平面衍射光栅
衍射光栅:由大量等间距、等宽度的平行狭缝
所组成的光学元件。
用于透射光衍射的叫透射光栅。
用于反射光衍射的叫反射光栅。
a
b
光栅常数 d
d
l
d ab
N
刻痕,遮光
未刻,缝
透光
l
N
数量级为10-5~10-6m
(一厘米内刻有1000--10000条刻痕,亦称为
光栅规格)
二
光栅衍射条纹的形成
各单缝分别同时产生单缝衍射。
各单缝衍射的平行光产生多光束干涉。
Y
衍射和干涉
的
总效果
光 透
栅 镜
条纹特点:亮、细、疏
I
屏
幕
各单缝衍射的平行光产生什么样的
多光束干涉?
d
d
d
aa
a
b
b
b
B
C
C
C
B
B
从相邻单缝射出的平行光依次相差
相同的光程BC或相同的相位差
BC ( a b ) sin d sin
I
BC
2
即光栅衍射是N个相位依次相差的光振动的叠加
综合:
I
只考虑单缝衍射强度分布
-2
-1
只考虑五缝干涉强度分布
干涉、衍射均有:
-2
单缝衍射
1
o
I
oI
o
2 sin
多缝干涉
sin
单缝衍射对
光强的调制
2
sin
明纹的光强受到衍射光强的调制。(参与干涉的光是衍射的光.)
光栅衍射条纹是单缝衍射与多缝干涉的总效果。
三 明纹公式:光栅方程
每两个相邻主明纹之间有N-1条暗纹和N-2条次明纹
(主极大明纹)
Y
BC
ab
2
2
sin
2 k k 0 1 . 2 . 3 ...
( a b ) sin k k 0 . 1 . 2 .
光栅方程
a
光 透
d
栅 镜 b
B
3级明纹
2级明纹
1级明纹
I
中央
明纹
-1级明纹
-2级明纹
C
屏
幕
-3级明纹
光栅衍射明纹条件
光栅方程
(a b) sin k
(k 0,1,2, )
讨 论:
1)光强分布
亮纹的光强 I N 2 I 0
( N :狭缝数,I 0 :单缝光强)
光栅中狭缝条数越多,明纹越亮.
(a b) sin k
光强分布
(k 0,1,2, )
中央明纹
I
第一级
主明纹
第二级
主明纹
次明纹
(a b) sin
3 2
0
2
3
理论计算表明,在两相邻主明纹间有 N - 1 条暗纹
和 N - 2 条次明纹 ,因为次明纹的光强远小于主明纹,
所以暗纹和次明纹连成一片形成暗区.
(a b) sin k
(k 0,1,2, )
2)条纹最高级数
k
π
sin k
,
2
ab
3)光栅衍射明纹位置
L2
d
明纹间距
P
F
f
k kmax
ab
k
x D tan f sin f
ab
f
x xk 1 xk
ab
a b一定, ,x
a b ,x
一定,
4)缺级现象
在某些特定的衍射方向,满足光栅方程中的明纹条件,但又满足衍射的暗纹
条件时,这一特定方向的明纹将不出现的现象,称为“缺级”。
I
只考虑单缝衍射强度分布
-2
单缝衍射
-1
1
只考虑五缝干涉强度分布
o
多缝干涉
I
-6 -5 -4 -3 -2 -1
干涉、衍射同时考虑
1 2
-5 -4
3 4 5 6
oI
-2 -1 o 1 2
sin
衍射+干涉
缺
级
缺
级
-2
2 sin
2
4 5
sin
既满足光栅方程中的明纹条件,又满足衍射的暗纹条件
由明纹公式(光栅方程):
(a b) sin k (k 0,1,2, ) k 称为干涉级
由单缝衍射的暗纹公式:
'
(
k
1,2,3,) k ' 称为衍射级
a sin k
'
同时满足两式,式(1)/(2)得:
ab k
'
a
k
(为整数比)
缺级公式:
ab
d
k k'
k'
a
a
k ' 1 . 2 . 3 ...
ab
'
' d
(
k
1,2,3,)
k
缺级公式:k k
a
a
'
例:一光栅,b=2a。则缺级的明纹:
ab
'
' a 2a
'
(
k
1,2,3,)
k k
k
3k
a
a
'
'
k
3
k
3,6,9
故缺级级次
I
缺
级
缺
级
-5 -4
-2 -1
1
2
4
5
N=2 双缝衍射
d
3
a
-5 -4
d
4
a -6 -5
d
5
a -6
I
缺
级
-2 -1
缺
级
1
2
I
4
5
缺
级
缺
级
3 -2 -1 0
1
2 3
5 6
I
缺
级
缺
级
-4 3 -2 -1 0
1
2 3
4
6
光栅(N=5;d/a=3)
I
缺
级
-5 -4
缺
级
-2 -1
1
2
4
5
5)光栅光谱
白光投射在光栅上,在屏上除零级主极大明
条纹由各种波长混合仍为白光外,其两侧将形成
由紫到红对称排列的彩色光带,即光栅光谱。
(b b' ) sin k
(k 0,1,2,)
(b b' ) sin k
(k 0,1,2,)
入射光为白光时, 不同, k不同,按波长分开形成光谱.
I
sin
0 一级光谱
三级光谱
b b'
二级光谱
重叠现象
I
sin
0 一级光谱
三级光谱
b b'
二级光谱
例如
二级光谱重叠部分光谱范围
(b b' ) sin 3紫
(b b' ) sin 2
400 ~ 760nm
3
紫 600nm
2
二级光谱重叠部分:
600 ~ 760 nm
例 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平面
光栅上,求第三级光谱的张角.
400 ~ 760nm b b' 1 / 6500 cm
k1
1 51.26
0.78
紫光 sin 1
解
红光
b b'
k2
sin 2
1.48 1
b b'
不可见
第三级光谱的张角 90.00 51.26 38.74
第三级光谱所能出现的最大波长
(b b' ) sin 90 b b'
513nm
'
3
k
绿光
小结:
1)光栅衍射条纹具有亮、细、疏的特点。
亮:每一单缝出射的光强虽小,但N条单缝
的光强叠加起来,光强会增强。
细、疏:光栅的单缝数量很大,光栅常数很小,
在相邻两个主极大明纹之间占着很大的角宽度。
2)主要公式
光栅方程
明纹公式:( a b) sin k
缺级公式:
ab
' d
k k
k
a
a
'
(k 0,1,2, )
(k ' 1,2,)
条纹最高级数 k max
ab
光栅衍射明纹位置
k
x D tan f sin f
ab
f
明纹间距 x xk 1 xk
ab
一定时,光栅常数越小,条纹越稀疏,反之则越密。
d=a+b一定时,波长越大,衍射角越大。
3)当白色光入射光栅时,将产生彩色的衍射
光谱。从中央到两侧将出现由紫到红的光
谱。
练习和例题
[例1]一平面透射光栅,在1mm内刻有500条纹。现用
λ=0.59×10-3mm钠光谱观察。求:光线垂直入射时,
最多能看到第几级光谱?
解:光栅常数为
1
3
ab
2 10 mm
500
k 0 , 1, 2 ,
( a b ) sin k
k max
3
2 10
ab
3 .39
3
0.59 10
取整,即垂直入射时,最多能看到第三级光谱
[例2]双缝缝距d=0.40mm, 两缝宽度都是a=0.08mm,
用波长λ=480nm的平行光垂直照射双缝, 在双缝后放
一焦距f =2.0m的透镜, 求:(1)在透镜焦平面处的屏上,
双缝干涉条纹的间距△x; (2)在单缝衍射中央亮纹范
围内的双缝干涉亮纹数目
解:1)对双缝干涉第k级明纹有 d sin k
k
第k级明纹在屏上的位置 xk f
d
f 2 4800 10 10
3
x
2 . 4 10 m
3
0.4 10
d
2)
d
5 即在单缝衍射中央明纹范围内,只有
a
k 0 , 1, 2 , 3, 4 级明纹出现
所以双缝干涉明纹的数目 N 9
[例3]波长为7000A的单色光,垂直入射在平面透射光栅
上,光栅常数为3×10-4 cm,缝宽为10-4cm。求(1)最多
能看到第几级光谱?(2)哪些级出现缺级现象?
( a b ) sin k
ab
4 .28
k max
解:
k 0 , 1,
取整,即最多可看到第四级光谱
ab
k ' 时缺级
满足 k
a
k ' 1, 2 ,
k 3k '
又 k max 4 k 3 时缺级
即光屏上实际呈现级数为4-1=3,对应于
明纹 k =-4,-2,-1,0,1,2,4共七条
例4 用氦氖激光器发出的 632.8nm 的红
光,垂直入射到一平面透射光栅上,测得第一级明纹
出现在 38 的方向上,试求(1)这一平面透射
光栅的光栅常数d , 这意味着该光栅在 1cm 内有多少
条狭缝?(2)最多能看到第几级衍射明纹?
解(1)由光栅方程
(b b) k , k 1, 38
(b b) 1.028μm
(2)
90
o
o
1
N
9729 条
b b
(b b) sin
k
2
只能看到第一级
衍射明纹
例5:一平行衍射光栅,每厘米刻1000条,用可见光垂
直入射,缝后透镜焦距f = 100cm
1、光栅衍射第一级完整可见光谱所占宽度
2、证明第二、三级光谱重叠
3、用红光 7000 A入射,b 3a, 最多看到主明纹条数
解:1)光栅常数为 d a b 10 5 m
明纹条件d sin k
k 1:
1
1 4 10 m sin 1 0 04
d
2
7
2 7.6 10 m sin 2 0 076
7
d
x f (tg2 tg1 ) f (sin 2 sin 1 ) 3.6(cm)
2)红光
k 2
21
sin
0 14
d
紫光
k 3
sin
32
0 12 0 14
d
二级红光与三级紫光重迭
3)用红光 7000 A入射,b 3a, 最多看到主明纹条数
d
3) k m 14.2 k max 14
缺级 d a b 4a
d sin k
a sin k
k 4k
k 1,2,3
第 12、8、4、-4、-8、-12 级主明纹缺级
最多可见主明纹
2 14 1 6 23条
作业
P238: 24;25;
版权声明
本课件根据高等教育出版社《物理学教程(第二版)下册》
(马文蔚 周雨青 编)配套课件制作。课件中的图片和动
画版权属于原作者所有;部分例题来源于清华大学编著的
“大学物理题库”。由 Haoxian Zeng 设计和编写的内容采
用 知识共享 署名-相同方式共享 3.0 未本地化版本 许可协
议进行许可。详细信息请查看课件发布页面。