Transcript 4 光波衍射与变换 §4.4 衍射光栅 4 光波衍射与变换 4.4 衍射光栅 主要内容 1. 光栅及其结构特点 2. 朗琴光栅的夫琅禾费衍射 3. 闪耀光栅 4. 正弦光栅的夫琅禾费衍射 5. 体光栅的布拉格衍射 6.

4 光波衍射与变换
§4.4 衍射光栅
4 光波衍射与变换
4.4 衍射光栅
主要内容
1. 光栅及其结构特点
2. 朗琴光栅的夫琅禾费衍射
3. 闪耀光栅
4. 正弦光栅的夫琅禾费衍射
5. 体光栅的布拉格衍射
6. 光栅的云纹效应
7. 塔耳博特效应
4 光波衍射与变换
4.4 衍射光栅
4.4.1光栅及其结构特点
(1) 定义
狭义：平行、等宽且等间隔的多狭缝衍射屏（朗琴光栅）
广义：具有周期性空间结构的衍射屏
图4.4-1 朗琴光栅
图4.4-2 正弦光栅
4 光波衍射与变换
硅片上离子束刻蚀的光栅（周期：440nm）
4.4 衍射光栅
正交光栅（周期：500nm）
4 光波衍射与变换
4.4 衍射光栅
4.4.1光栅及其结构特点
(2) 分类
按照明方式：透射型（平面、三维），反射型（平面）
按调制光波方式：振幅型，相位型，混合型
按结构特点：矩形，正弦型，阶跃型
(3) 光栅的特征参数
光栅常数（周期）：相邻栅线的间距，即空间周期的长度，以d表示
光栅频率：光栅常数的倒数1/d，以f0表示
(4) 光栅的用途
衍射分光，高频调制
4 光波衍射与变换
4.4 衍射光栅
4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射
(1) 衍射图样的形成机制
单色点光源S经透镜L1准直后垂直照射在一朗琴光栅G上，透过光栅的
衍射光波经透镜L会聚在其像方焦平面上，形成夫琅禾费衍射。
L1
L
G
Pq
q
S
P0
q
f'
图4.4-3 光栅的夫琅禾费衍射
4 光波衍射与变换
4.4 衍射光栅
4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射
设光栅的透光部分包含N个狭缝，每个狭缝宽度为a，相邻两个狭缝的
间距（光栅常数）为d，透过单个狭缝的光波在P0点的振幅和强度分别为A0
和I0=A02。根据单缝衍射和多光束干涉的特点可得出：
① 透过每个狭缝的光波，均在透镜L的像方焦平面上形成一组振幅分布相
同且位置重合的夫琅禾费衍射光场，其中透过第m个狭缝的衍射光波
在P 点的振幅大小：
(
)
(4.4-1)
② 相邻狭缝对应的衍射光波在叠加点的相位差相等，并且等于：
(
)
(4.4-2)
4 光波衍射与变换
4.4 衍射光栅
4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射
③ 各个狭缝引起的单缝衍射光波在透镜L的像方焦平面上形成等强度的多
光束干涉，其在q 方向总的叠加光波复振幅和强度分布分别为
(4.4-3)
(4.4-4)
单缝衍射因子：
缝间干涉因子：
4 光波衍射与变换
4.4 衍射光栅
4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射
(2) 衍射图样的强度分布
主极大值位置：
或
(4.4-5)
j=0, 1, 2, 3, ···
主极大值强度：
中央主极大值强度：
(4.4-6)
（a=0）
极小值位置：
(4.4-7)
(4.4-8)
j'=1, 2, 3, ··· ，但 j'≠N, 2N, 3N, ···
极小值强度：
(4.4-9)
4 光波衍射与变换
4.4 衍射光栅
4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射
次极大值位置：
(4.4-10)
j'=1, 2, 3, ··· ，但 j'≠N, 2N, 3N, ···
次极大值强度：
(4.4-11)
讨 论：
① 由于a<d，在单缝衍射的每一级亮纹区域内又出现了一系列新的强度极
值点。相邻两个主极大值之间分布着N-1个极小值和N-2个次极大值。
② 主极大值位置与狭缝数目无关，但其强度大小正比于狭缝数目的平方及
单缝衍射强度因子。因此，一方面主极大值中心点的光强度随狭缝数目
的增大而增大；另一方面，各级主极大值中心点的相对强度又按sinc2a
形式分布，中央主极大值中心点的光强度最大。
4 光波衍射与变换
4.4 衍射光栅
4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射
③ 随着狭缝数目的增大，次极大值强度越来越小，并以各主极大值点为中
心向两侧依次减弱。当N很大时，最大的次极大值强度不超过主极大值
的1/23。因此，一般情况下衍射光能量主要集中在各主极大值条纹上。
④ 若取狭缝数目N=2，则缝间干涉因子变为：
强度分布变为：
(4.4-12)
结论：
多缝或光栅衍射实际上是受单缝衍射因子调制的多光束干涉。给定缝
的间隔d后，强度主极大值位置即确定，单缝衍射因子并不改变主极大值的
位置，只改变各级主极大值的强度。或者说，单缝衍射因子的作用仅仅在
于影响衍射光强度在各级主极大值间的分配。
4 光波衍射与变换
4.4 衍射光栅
4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射
N=1
N=2
d=3a
N=3
d=3a
N=4
d=3a
N=5
d=3a
-2
-1
0
a /p
衍射图样
归一化强度分布
图4.4-4 多缝的夫琅禾费衍射图样及强度分布
1
2
4 光波衍射与变换
4.4 衍射光栅
4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射
多缝的夫琅禾费衍射图样（仿真）
4 光波衍射与变换
4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射
4.4 衍射光栅
1.0
N=20
d=3a
0.5
0
-2
-1
0
a /p
1
2
图4.4-5 光栅的夫琅禾费衍射图样强度分布（归一化）
正交光栅的夫琅禾费衍射图样
4 光波衍射与变换
4.4 衍射光栅
4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射
(3) 光栅衍射条纹的半角宽度及角间距
半角宽度：亮纹中心与其一侧相邻暗纹中心对透镜中心的张角，以DqW表示。
角间距：相邻亮纹中心对透镜中心的张角，以Dqd表示。
单缝衍射因子中央主极大值的角宽度：
光栅衍射第j个主极大值中心的角位置：
(4.4-13)
(4.4-14)
相邻第一极小值的角位置：
(4.4-15)
第j个主极大条纹的半角宽度：
(4.4-16)
相邻两个主极大值条纹的角间距：
(4.4-17)
4 光波衍射与变换
4.4 衍射光栅
4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射
结论：
① 光栅衍射主极大值条纹的半角宽度正比于照射光的波长，反比于狭缝数
目及光栅常数，并随着衍射角的增大而增大。当狭缝数目很大时，主极
大值条纹将变为一明细的亮线，即光栅的衍射谱线。
② 相邻主极大值条纹的角间距正比于照射光的波长，反比于光栅常数，并
随着衍射角的增大而增大。当狭缝数目很大时，角间距远大于半角宽度
（ Dqjd>> DqjW），衍射图样为宽阔的暗背景下的一组锐细的亮线。
③ 当衍射角较小时，主极大值条纹的半角宽度和角间距近似为常数：
(4.4-18)
(4.4-19)
4 光波衍射与变换
4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射
4.4 衍射光栅
(4) 光栅方程
光栅方程：平面衍射光栅在给定衍射角方向出现主极大值中心的必要条件
， j=0, 1, 2, 3, ···
平行光垂直入射：
(4.4-20)
， j=0, 1, 2, 3, ···
平行光斜入射：
(4.4-21)
符号规则：以光栅法线为基准，入射光与衍射光位于同侧时，入射角q0前取
正号；异侧时，取负号。
G
G
q
q0
q
q0
(a) 同侧
(b) 异侧
图4.4-6 平行光倾斜照射光栅时的夫琅禾费衍射
4 光波衍射与变换
4.4 衍射光栅
4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射
(5) 缺级现象
缺级现象：衍射图样中亮条纹的缺位现象。
d=2a
缺级的原因：
给定衍射角方向上相应级次的主极大
d=3a
值条纹中心与单缝衍射的某一级极小值位
置重合。即该衍射方向同时满足条件：
d=4a
dsinq=±jl 和asinq=±j'l ，故而受单缝衍
射因子的调制，该级主极大值条纹强度等
于0。
缺级亮条纹级次：
d=5a
(4.4-22)
-3
-2
-1
0
1
2
3
图4.4-7 光栅衍射的缺级现象（N=20）
4 光波衍射与变换
4.4 衍射光栅
4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射
结 论
光栅方程只表示了在给定衍射角方向出现主
极大值中心的必要条件，即使该条件已得到满足，
但同时在该方向又满足单缝衍射的极小值条件，则
该方向上的主极大值将并不出现，即发生缺级现象。
4 光波衍射与变换
4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射
4.4 衍射光栅
(6) 光栅光谱
光栅光谱：根据光栅方程，在给定亮纹级次情况下，衍射角与波长成正比。
因此，复色光照射时，同一级次不同波长的衍射主极大值位置
不同，从而形成的一组不同波长彼此分开的锐细的彩色谱线。
光栅光谱仪：基于光栅衍射分光原理的光谱仪——摄谱仪、单色仪、分光计。
0级衍射
白
光
光
源
L2
L1
光栅
平行光管
S
图4.4-8 光栅光谱仪原理
蓝
绿
红
4 光波衍射与变换
4.4 衍射光栅
4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射
① 光栅光谱的特点
 同一级谱线中，长波谱线的衍射角大于短波谱线；
 随着级次的增大，不同波长、不同级次的谱线可能发生重叠；
 白光照射时，除中央0级亮纹中心仍为白色外，其余各级均为自短波
长到长波长排列的连续光谱。
② 光栅光谱仪的色散本领（色散率）——衍射角随波长的变化率
角色散率：
(4.4-23)
线色散率：
(4.4-24)
结论：光栅光谱的色散本领与光栅常数及衍射光谱级次有关。衍射级次越
高，光栅常数越小，色散本领越大。
4 光波衍射与变换
4.4 衍射光栅
4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射
③ 光栅光谱与棱镜光谱的比较
棱镜光谱：非匀排光谱，只有一级。起因于折射率色散，l↑，q↓；
光栅光谱：匀排光谱（小角度），有多级。起因于衍射色散，l↑，q↑。
④ 光栅光谱仪的量程
由于光栅的衍射角最大不超过90o（q<90o），故满足光栅方程的最大波
长：lmax≤d。表明光栅光谱仪的最大量程为光栅常数d。工作于不同波段的
光谱仪要选用适当光栅常数的光栅备件。
⑤ 光栅光谱仪的自由光谱范围
为使相邻级次光谱不至于出现重叠现象，要求光谱仪工作波段第j级的
上限（长波）lM与第（j+1）级的下限（短波）lm满足关系：(j+1)lm>jlM。
满足这一关系的波长范围，称为光谱仪在该衍射级的自由光谱范围。对于1
级光谱：lm> lM/2。
4 光波衍射与变换
4.4.2 朗琴光栅的夫琅禾费衍射
4.4 衍射光栅
说
明
由于透镜总是存在色差问题，实际光谱仪中都尽量
避免适用透镜进行光谱成像，而是采用凹面反射镜来会聚
衍射光谱。因为反射镜系统是理想的消色差系统。有的光
栅光谱仪直接采用凹面反射式光栅，既作为分光器件，又
作为成像器件，从而大大简化了光路系统。
4 光波衍射与变换
4.4 衍射光栅
4.4.3 闪耀光栅
透射式光栅的缺点：0级主极大值条纹占有绝大部分光能量，仅有很少部分
光能量分布于高级次条纹上。特别是当光栅狭缝数目很
大时，高级次条纹的强度变得很小。
闪耀光栅：由一组锯齿状刻槽构成的反射式光栅。
刻槽平面
qb
d
光栅平面
图4.4-9 闪耀光栅的结构
闪耀光栅的特点：可将单槽衍射的0级与槽间干涉的0级在空间错开，从而
把光能量转移并集中到所需要的某一级光谱上。
闪耀角：刻槽面法线与光栅面法线之间的夹角，以qb表示。
4 光波衍射与变换
4.4.3 闪耀光栅
4.4 衍射光栅
① 平行光束垂直刻槽表面入射
单槽衍射的0级方向正好沿入射光方向返回。光栅衍射的0级主极大值
中心位于-qb方向（与入射光线相对于光栅平面法线呈镜面对称）。相邻刻
槽反射的光束在其反射方向的光程差为 D=2dsinqb。对于波长为lb的单色成
分，在该方向上出现相长干涉的条件是：
， j=1, 2, 3, ···
单缝衍射中央主极大方向
光栅衍射中央主极大方向
q b -q b
qb
D
d
图4.4-10 闪耀光栅的衍射（垂直槽面照射）
(4.4-25)
4 光波衍射与变换
4.4.3 闪耀光栅
4.4 衍射光栅
② 平行光垂直光栅平面入射
由于刻槽表面相对于光栅面法线方向夹角为qb，单槽衍射的0级极大值
不再沿刻槽面法线方向，而是沿与光栅面夹角 q0=2qb的反射方向。相邻刻
槽表面反射的光束间的光程差变为：D=dsin(2qb)。因此，闪耀条件变为
， j= 1, 2, 3, ···
单缝衍射中央主极大方向
2q b
光栅衍射中央主极大方向
=q 0
qb
d
图4.4-11 闪耀光栅的衍射（垂直栅面照射）
(4.4-26)
4 光波衍射与变换
4.4 衍射光栅
4.4.3 闪耀光栅
结论：满足由闪耀条件时，波长lb的第j级谱线将被转移到单槽衍射的0级极
大值方向，从而大大提高谱线的亮度。通过闪耀角qb的不同设计，可
以使光栅适用于某一特定波段的某级光谱上。
闪耀波长： lb；闪耀级次：j。
闪耀光栅的特点：单槽宽度a与刻槽间距d相差很小，故其它衍射级次（包
括中央0级）都因几乎落在单槽衍射的极小值位置而形成缺级，从而
将80%～90%的光能量都集中到lb成分的第j级谱线上。当a取值很小
时，单槽衍射的中央主极大分布较宽，从而可使得位于闪耀波长附
近波段的光谱强度都得到提高。
4 光波衍射与变换
4.4.3 闪耀光栅
4.4 衍射光栅
d≈a
j=2
N=20
光
源
M1
闪耀光栅
G
d≈a
j=1
N=20
-3
-2
狭缝S1
探
测
器
-1
0
1
2
图4.4-12 闪耀光栅的衍射原理
3
凹面反射镜
M2
狭缝S2
图4.4-13反射式光栅单色仪结构光路
4 光波衍射与变换
4.4 衍射光栅
4.4.4 正弦光栅的夫琅禾费衍射
正弦光栅：复振幅透过率具有正弦（余弦）函数形式的衍射屏
一维正弦光栅：
(4.4-27)
正交正弦光栅：
(4.4-28)
f0=1/d，fx=1/dx，fy=1/dy：光栅的空间频率，大小等于光栅常数的倒数。
一维正弦光栅的夫琅禾费衍射：
设单位振幅平面光波垂直照射一维正弦光栅，则透射光波复振幅表示为
(4.4-29)
4 光波衍射与变换
4.4.4 正弦光栅的夫琅禾费衍射
4.4 衍射光栅
L1
光栅G
L2
P+q
q
P0
S
P-q
f2'
图4.4-14 正弦光栅的夫琅禾费衍射
结论：垂直入射的平面光波被一维正弦光栅衍射后，分解为三束方向不同
的平面光波（空间频率分别为0和±f0）。其中，第一项代表0级衍
射，衍射角：q0=0；第二项代表+1级衍射，衍射角：sinq+=f0l=l/d；
第三项代表-1级衍射，衍射角： sinq-=-f0l=-l/d 。
4 光波衍射与变换
4.4 衍射光栅
4.4.5 体光栅的布拉格衍射
体光栅：具有三维空间周期性结构的衍射体，厚度远大于空间周期。
举例：晶格点阵、体全息图、由超声波或光波在透明介质中形成的空间周
期性折射率或密度分布。
q
a
q'
a'
d
图4.4-15 三维体光栅结构
图4.4-16 体光栅的布拉格衍射
4 光波衍射与变换
4.4 衍射光栅
4.4.5 体光栅的布拉格衍射
体光栅的衍射特点：
一维体光栅可等效为一组透明的等间隔平行界面。光波进入介质后，
将在每个界面上发生反射和透射，自各个界面透射的光波相位相同，与界
面间距即光栅常数无关，其叠加结果形成0级衍射极大值。自不同界面反
射的光波相位有可能不同，其叠加结果与光波入射角a或掠射角a有关。
相邻界面反射的两束光波间光程差：
布拉格条件——反射光波发生相长干涉的条件，即：
(4.4-30)
4 光波衍射与变换
4.4 衍射光栅
4.4.5 体光栅的布拉格衍射
说明：
① 布拉格条件是描述体光栅衍射的基本方程，又称布拉格方程。对于给定
的光栅常数，不同波长满足布拉格条件所要求的掠射角不同。或者说，
给定波长情况下，只有方向满足布拉格条件的入射光波，才能发生衍
射（反射）。另一方面，给定光栅常数和入射方向情况下，只有波长
满足布拉格条件的入射光波，才能发生衍射（反射）。此即布拉格衍
射的方向和波长选择特性，是体全息再现、声光调制器以及光纤光栅
的理论基础。
② 体光栅的三维结构特点，决定了其光栅常数往往不是唯一的。对于给定
波长，在给定入射光方向情况下，会出现多级布拉格衍射条纹，这些
条纹的产生起源于不同取向且不同光栅常数的空间结构。晶体的X射线
衍射，正是利用这一原理，通过对给定波长X射线经晶体的衍射光谱分
析，从而确定出晶体结构特征和晶格常数。
4 光波衍射与变换
4.4 衍射光栅
4.4.6 光栅的云纹效应
云纹效应：两块光栅（或网状结构）叠置时出现的几何投影条纹，又称莫
阿条纹。
如果把等间隔平行排列
的光栅栅线（狭缝）看成是
单色平面光波的一组等相位
面，则莫阿条纹可以看成是
两列单色平面光波叠加时形
成的干涉条纹。
a
(a) 第一类莫阿条纹
(b) 第二类莫阿条纹
图4.4-17 光栅的莫阿条纹
4 光波衍射与变换
4.4 衍射光栅
4.4.6 光栅的云纹效应
(1) 第一类云纹（第一类莫阿条纹）
定义：两个栅线平行但光栅常数略有不同的光栅叠置时产生的条纹图样。
条纹特点：
① 透光部分形成亮纹，不透光部分形成暗纹；
② 条纹排列方向平行于光栅栅线方向；
③ 相邻（暗）亮条纹中心的间距：
(4.4-31)
可见，两光栅常数d和d'相差很小时，莫阿条纹的间距Dx可以很大。此
即第一类云纹效应的光学放大原理。
④ 两光栅沿栅线方向相对平移一个栅距（光栅常数），莫阿条纹相应移动
一个条纹间距。
4 光波衍射与变换
4.4 衍射光栅
4.4.6 光栅的云纹效应
(2) 第二类云纹（第二类莫阿条纹）
定义：两个空间频率（或光栅常数）相同但栅线相对有一很小转角的光栅
叠置时产生的条纹图样。
条纹特点：
① 透光和不透光部分分别形成亮纹和暗纹
② 条纹排列方向垂直于光栅栅线方向——与第一类云纹正交
③ 相邻（暗）亮条纹中心的间距：
(4.4-32)
两光栅栅线夹角a 很小时，莫阿条纹的间距Dx可以很大。此即第二类
云纹效应的光学放大原理。
④ 两光栅沿栅线方向相对平移一个栅距（光栅常数），莫阿条纹相应移动
一个条纹间距。
4 光波衍射与变换
4.4.6 光栅的云纹效应
4.4 衍射光栅
表面变形
表面等高线
图4.4-19 莫阿条纹的应用
结论：云纹效应反映了相互叠置的两光栅之间的微小差异。这种差异越小，
所引起的莫阿条纹间距Dx越大。前者是微小量，后者则是宏观量。
通过常规方法对莫阿条纹的测量，即可推算出两光栅的微小差异。
利用这一原理，可检测光栅或网格的质量、测量工程材料或结构件
的应力、应变，测量物体的三维面形，以及微小位移和速度等。
4 光波衍射与变换
4.4 衍射光栅
4.4.7 塔耳博特效应
L1
G1
G
塔耳博特效应：
具 有周期 性结 构的衍 射
G3
S
z
屏在空间的周期性衍射自成
z1
像现象。
光栅的塔耳博特效应特点：
G2
z2
z3
图4.4-20 光栅的塔耳博特（Talbot）效应
设平面光波垂直照射光栅，波长为l，光栅常数为d，则塔耳博特像距
离光栅的位置：
(4.4-33)
灰度反转像（反转塔耳博特像）的位置：
(4.4-34)
4 光波衍射与变换
4.4.7 塔耳博特效应
4.4 衍射光栅
塔耳博特效应的产生机制：
透过光栅的衍射光波在空间相遇区发生相干叠加，在满足塔耳博特距
离的平面上，所有参与叠加的衍射波分量间的相位关系正好与光栅平面处
相同。其相干叠加的结果，再次形成类似光栅几何投影的条纹图样。
塔耳博特效应的应用：
无透镜成像，可用于复制印
刷电路板的掩模板、复制光栅、
复制阵列微光学器件，或形成云
纹测量用的空间虚光栅等。
z=0
z=d2/l
z=2d2/l
z=3d2/l
z=4d2/l
图4.4-21 正弦光栅的塔耳博特效应的衍射图解
4 光波衍射与变换
4.4 衍射光栅
本节重点
1. 多缝及朗琴光栅的夫琅禾费衍射图样特点
2. 平面光栅衍射的光栅方程
3. 缺级现象的起因及特点
4. 闪耀光栅和正弦光栅的夫琅禾费衍射图样特点
5. 体光栅的布拉格衍射方程
6. 两类云纹效应的特点及可能应用