§5 衍射光栅 多缝夫琅和费衍射 黑白型光栅的衍射 正弦型光栅的衍射 闪耀光栅 Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射 光栅衍射 一.问题的提出 不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图： 亮纹 d sin d tan d x k D （k=0,1,2,…） I I0 sin 2 d d 2 d d 双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢, 因而主极大的位置很难测准,对测量不利。 为了测准主极大的位置， 应让主极大又窄又亮， 所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。 二.光栅 光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝 （或反射面）构成的光学元件。 a 透光 b不透光 从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫 作光栅。 光栅可分透射、反射两大类，如图所示： 透射光栅 a b d 反射光栅 b a d a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。 b.
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§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 2
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 3
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 4
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 5
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 6
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 7
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 8
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 9
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 10
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 11
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 12
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 13
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 14
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 15
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 16
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 17
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 18
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 19
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 20
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 21
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 22
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 23
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 24
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 25
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 26
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 27
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 28
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 29
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 30
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 31
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 32
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 33
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 34
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 35
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 36
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 37
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 38
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 39
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 40
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 41
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 42
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 43
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 44
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 45
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 46
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 47
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 48
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 49
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 50
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 51
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 52
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 53
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 54
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 55
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 56
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 57
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 58
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 59
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 60
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 61
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 62
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 63
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 64
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 65
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 66
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 67
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 68
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 69
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 70
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 71
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 72
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 73
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 74
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 75
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 76
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 77
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 78
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 79
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 80
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 81
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 82
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 83
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 84
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 85
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 86
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 87
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 88
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 2
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 3
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 4
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 5
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 6
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 7
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 8
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 9
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 10
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 11
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 12
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 13
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 14
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 15
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 16
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 17
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 18
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 19
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 20
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 21
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 22
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 23
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 24
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 25
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 26
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 27
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 28
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 29
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 30
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 31
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 32
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 33
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 34
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 35
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 36
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 37
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 38
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 39
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 40
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 41
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 42
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 43
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 44
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 45
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 46
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 47
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 48
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 49
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 50
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 51
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 52
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 53
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 54
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 55
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 56
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 57
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 58
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 59
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 60
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 61
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 62
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 63
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 64
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 65
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 66
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 67
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 68
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 69
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 70
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 71
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 72
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 73
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 74
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 75
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 76
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 77
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 78
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 79
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 80
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 81
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 82
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 83
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 84
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 85
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 86
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 87
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。
Slide 88
§5 衍射光栅
多缝夫琅和费衍射
黑白型光栅的衍射
正弦型光栅的衍射
闪耀光栅
Ｘ射线在晶体中的Ｂｒａｇｇ衍射
光栅衍射
一.问题的提出
不考虑衍射时, 杨氏双缝干涉的光强分布图：
亮纹
d sin d tan d
x
k
D
（k=0,1,2,…）
I
I0
sin
2
d
d
0
2
d
d
双缝干涉的光强在主极大附近变化缓慢,
因而主极大的位置很难测准,对测量不利。
为了测准主极大的位置，
应让主极大又窄又亮，
所以通常不用双缝，而用光栅作衍射物 。
二.光栅
光栅——大量等宽、等间距的平行狭缝
（或反射面）构成的光学元件。
a 透光
b不透光
从广义上理解，任何具有空间周期性的衍射屏都可叫
作光栅。
光栅可分透射、反射两大类，如图所示：
透射光栅
a
b
d
反射光栅
b
a
d
a ----是透光（反光）部分的宽度，相当缝宽。
b ----是不透光部分的宽度，
d = a + b----光栅常数 (两缝之间的距离)
实用光栅： 用电子束刻制
几十条/mm 几千条/mm
几万条/mm
光栅常数
设单位长度内的刻痕
d
条数为n，则光栅常数
1
n
如 每 厘 米 刻
5000 条栅痕的衍
射光栅常数
d
1
cm 2 10
6
m
5000
普通光栅刻线为数十条/mm ─ 数千条/mm
用电子束刻制可达数万条/mm(d 10 1 μ m )。
可以按不同的透射率或反射率分为黑白光栅、
正弦光栅，等等。
a
b
d
衍射光栅：具有
周期性空间结构
或光学结构的衍
射屏。
是Fraunhofer多
缝衍射。
a
b
d
通常在 1 cm 内刻有成千上万条透光狭缝，相
当于多光束干涉，光栅形成的光谱线，尖锐、
明亮。
单缝衍射条纹
光栅衍射谱线
光栅中狭缝条数越多，明纹越亮，宽度越窄。
1条缝
5条缝
3条缝
20 条 缝
二、实验装置
L1
L2
A
P
S
P0
a
b
f2’
S为垂直纸面的缝光源，A为平面衍射光
栅。透光部分宽为a，不透光部分宽为b。
总缝数为N。
I
光栅衍射
光强曲线
三、表观现象
-8
-4
0
4
8
A、与单缝衍射相比，出现了一系列新的最大值和最小值；其中，强度
较大的亮线称为主级大，较小的称为次级大。
B、主级大位置与N无关，但宽度随N的增大而变窄，强度正比于N2；
C、相邻主级大间有（N-1）个最小值、（N-2）个次级大；
D、强度分布中保留了单缝衍射的因子。即：光强分布曲线的包迹
（外部轮廓）与单缝衍射的光强分布曲线相同。
E、若以复色光入射，每种波长将形成一组条纹，产生自己的明亮条纹。
这种条纹通常称为光谱线。
经过光栅的所有光波，进行相干叠加。
光栅的每一个单缝，是次波的叠加，按衍射分析；
不同的单缝之间，是分立的衍射波之间的叠加，按
干涉分析。
d a
d a
四、定性解释——光栅衍射条纹形成的机制
多缝干涉受到单缝衍射调制的结果。
1
单缝衍射
单缝衍射光强曲线
多缝干涉
-2
-1
多光束干涉光强曲线
-8
-4
0
1
2 sin (/a)
N2
N2
I
0
4
8 sin (/d)
单缝衍射
轮廓线
sin (/d)
1、用振幅矢量法求解衍射强度
L1
每一个单缝衍射的复振
幅用一个矢量表示。
相邻的单缝间具有位相
差Δφ。
所有单缝衍射的矢量和
为光栅衍射的复振幅。
d
L2
L3
L4
相邻衍射单缝间的
光程差
d sin
a
a
a
a
相邻衍射单元间的位相差
2
kd sin
d sin
R
O
BN
A
R
a B1
2
d sin
N个矢量首尾相接，依次转
过Δφ，即2β角。
2N
2
记 2
R
B
2
a / 2
sin
A OB N 2 R sin N 2
a
sin N
sin
a0
a / 2
sin N
sin
sin u sin N
u
sin
I (P) a
2
讨论：
①
2
sin c u 为单缝衍射光强分布函
花样的外部轮廓
②
N
2
sin
sin
2
(
0
sin u
u
2
) (
sin N
sin
数 , 来源于单缝衍射
, 对多缝干涉的主最大起
)
2
, 决定整个光栅衍射
调制作用 .称为单缝衍射因子
.
为多缝干涉光强分布函数，来源于多缝隙干涉，
决定各个主极大的位置。称为缝间干涉因子。
光栅衍射的光强是单缝衍射因子和缝间干涉因子的乘积。
光栅衍射过程是由单缝衍射过程和多缝干涉过程组成
的。故也称为单缝衍射和多缝干涉的合效应。
2、用Fresnel-Kirchhoff衍射积分求解
满足近轴条件
~
U (P) K
e
~
U 0 ( Q ) F ( 0 , )
1
~
K U 0 (0)
f
1
~
ikr
e d K U 0 (0)
f
ikr
d
r
N
[ e
n 1
n
ikr n
d n ]
先对每一狭缝求衍射积分，再将各个缝的衍射积分
相加。
0
x
L1
n
L2
d
rn
Ln
xn
rn L n x n sin
L4
~
K U 0 (0)
1
f
N
[
n 1
1
~
[ K U 0 (0)
f
a/2
a / 2
e
ik ( L n x n
a/2
e
a / 2
N
1
~
~
U ( P ) K U 0 (0)
f
1
~
sin )
dx n ] K U 0 ( 0 )
f
ikx sin
N
dx ] e
n 1
[ e
e
ikL n
a/2
a / 2
n 1
N
ikL n
n
n 1
N
z
e
~
ikL
U ( ) e n
n 1
ikr n
d n ]
ikx n sin
dx n
~
N ( )
N
e
N
ikL n
n 1
ikL 1
e
i 2 ( n 1 )
1 e
N 1
e
ikL 1
e
2 i
i ( N 1 )
N ( )
e
i 2 n
n0
2 iN
1 e
e
n 1
n 1
e
ikL 1
n 1
N
e
e
ik [ L1 ( n 1 ) d sin ]
N
e
iN
i
e
sin( N )
sin
sin( N )
sin
e
iN
e
i
e
e
iN
e
i
i ( N 1 )
N ( )
N元干涉因子
ik ( n 1 ) d sin
~
~
~
U ( P ) U ( ) N ( )
~
K U (Q )
e
ikr 0
e
i ( N 1 )
f
I (P) I0 (
I0 a
sin u
) (
u
~
K U 0 (Q )
f
2
sin u sin N
u
sin N
sin
)
sin
2
2
满足近轴条件时，单个狭缝在像方
焦点处的光强
单元衍射与N元干涉曲线周期之比为d/a
I0(sinu/u)2
(sinNβ/sinβ)2
N=4
d=3a
u=πasinθ/λ
N=6,d=5a
N=20,d=3a
三、衍射花样的特点
1．衍射极大值位置
I (P) a
极大值
2
(
0
sin u
) (
u
k
I a0 (
2
2
sin N
)
sin
sin u
2
) N
u
d sin
2
2
I0 N
2
d sin k
对应一系列的亮条纹（光谱线） k：谱线级数
谱线强度受衍射因子调制。
2．衍射极小值位置
E1
E2 d
E3
E4
EN
o
x
f
P
各相邻分振动的振幅相等，各光矢量的
2 d sin
位相差 Δ
暗纹位置即各振幅矢量构成闭合多边形，合振幅为零。
Δ
Δ
Ep
Δ
由数学知识，各振幅矢量构成闭合
多边形时，其外角和必有如下规律:
N Δ 2m π
m 1, 2, 3,
一圈
Δ
2 d sin
Nk
（k=0,1,2,----） d sin
得暗纹条件
m
N
d sin
m
N
m
d sin k
N
m 1, 2, N 1
即相邻两个主极大之间有N－1条暗纹
次极大
其中最大的一个合振幅对应的光强，就是次极大。
在相邻两个主极大之间有N -2 个次极大。
主极大的中心到邻近极小的
角距离为它的半角宽。
主极大的半角宽:
k
k
k级 主 极 大 : sin k k
d
1
相 邻 暗 纹 : sin k k k
N
d
sin k k sin k
又
k 很 小
Nd
sin k k sin k cos k k
cos k k
Nd
k
N d cos k
return
cos k k
Nd
k
N d cos k
讨论：
中央主极大： 0 Nd
与 K 无关 。
N , 谱线越窄 ， 锐度越好 。
若入射光单色性好，则整个光栅光谱是一组
明锐的细线。
对于实用的
衍射光栅，
只有主极大
的前几个衍
射级是可用
的；其它的
衍射主极大
和次级大完
全可以略。
光栅衍射光谱的相对强度（j=3缺级）
缺级现象
衍射花样中主级强条纹出现的条件——光栅主方
程，是必要的，但不是充分的，即满足光栅方程的条
纹不一定出现。把满足光栅方程而主级强条纹不出现
的现象称为条纹的缺级。
光栅衍射是单缝衍射
与多光束干涉合成的结果，
光栅中各主极大受到单缝
衍射光强的调制。
缺级的条件：衍射角为
φ 的光线，既满足光栅
方程，又满足单缝衍射
暗纹条件时，相应级次
的条纹不出现。
1
2
1
0
1
2 sin(/
a)
N
2
8
4
8
4
0
4
8 sin(/
d)
4
8 sin(/
d)
NI2
0
缺级的条纹
( a b ) sin k
光栅衍射方程：
a sin k '
单缝衍射暗纹条件:
I单
两式相比
k
ab
-2
k
-1
'
1
0
2
I
光栅衍射
光强曲线
a
-8
-4
单缝衍射
轮廓线
0
4
8
j=-3 j=-2 j=-1 j=0 j=1 j=2 j=3
N=6,d=5a
假设
d=1/1000mm，
总刻线数
N=10000
光栅衍射光谱的相对强度（j=2缺级）
d、a 对条纹的影响：
d
a
决定衍射中央明纹范围内的干涉条纹数。
这是因为
而
决定衍射中央明纹的宽度，
a
决定干涉主极大的的间距。
d
▲
若 a 不变 单缝衍射的轮廓线不变；
d 减小主极大间距变稀， 单缝中央亮纹范
围内的主极大个数减少，如果出现缺级的话，
则缺级的级次变低。
▲
若 d 不变 各主极大位置不变；
a 减小 单缝衍射的轮廓线变宽，单缝中央明
纹范围内的主极大个数增加，缺级的级次变高。
极端情形： 当 a 时，单缝衍射的轮廓线变
为很平坦，第一暗纹在距中心 处， 此时各
主极大光强几乎相同。
多缝衍射图样 多光束干涉图样：
I
0
sin
当平行光斜入射时（入射光与栅平面的法线成 角）
d sin sin
则
d sin
d sin
同侧（＋）
k
k
0 , 1, 2
d sin
d sin
异侧（－）
二、黑白型光栅的衍射强度
是多缝夫琅和费衍射
满足近轴条件
每一狭缝的衍射是相同的。即具有相同的单元衍
射因子。
~
~ sin u
U ( ) U 0
a
u
e
~
~
U 0 aK U 0 ( Q )
u
1
2
ikr 0
f
ka sin
a
sin
正弦光栅的衍射
振幅透过率为 t 1 cos
2
d
x
d
d
光栅的空间周期
d
光栅的瞳函数为
2
~
U 0 ( x ) U 0 [1 cos
x]
d
单元衍射因子为
u~ ( ) KU
e
0
ikr 0
f
d /2
d / 2
(1 cos
2
d
x )e
ikx sin
dx
u~ ( ) KU
KU
KU
d /2
e
(
0
ikr 0
0
0
d /2
d / 2
f
e
ikr 0
f
ikx sin
d / 2
2
e
e
ikr 0
(1
d / 2
d / 2
1
2
1
i
e
2
[e
ikx sin
e
d
k sin ) x
dx
2
ikx sin
x )e
dx
d
i
1
2
d
e
x
)e
ikx sin
1
i(
e
2
k sin ) x
d
2
dx
d /2
d / 2
2 d
d
1
2
i
e
1
i(
e
2
k sin ) x
d
] dx
2
sin
d
2
d
2
2
dx d
k sin ) x (
i(
x
2
d /2
(1 cos
d / 2
f
d
d /2
d /2
d sin
sin ) x
2
( ) x
d
2
d
( ) x
dx
d sin( )
2
1
d /2
d / 2
i(
2
k sin ) x
d
e
dx
d sin( )
2
2
单元衍射因子为
e
~
u ( ) KU 0 d
ikr 0
[
f
sin
1 sin( )
2
N元干涉因子不变
~
i ( N 1 ) sin N
N ( ) e
sin
1 sin( )
2
]
最后的复振幅为
e
~
U ( ) KU 0 d
ikr 0
e
i ( N 1 )
r0
[
sin
1 sin( )
2
1 sin( ) sin N
]
2
sin
衍射光强分布
I ( ) I 0 [
sin
1 sin( )
2
1 sin( )
2
sin N
]
sin
2
2
sinβ/β
sin(β+π)/(β+π)
-10
-8
sin(β-π)/(β-π)
(sinNβ/sinβ)2
-6
-4
-2
0
β
22
44
66
88
10
10
正弦光栅 的特点
相当于具有三个单元衍射因子，缝宽为d。
狭缝中心分别在0，π，-π处。
正是多元衍射因子的0级和±1级的位置。
其余的级次全部抵消。所以只有这三级衍射。
例一束平行单色光垂直入射在光栅上，当
光栅常数 ( a+b ) 为下列那种情况 ( a 代表
每条缝的宽度) 时,k = 3 、6 、9 等级次的
主极大均不出现。
(A) a+b= 2a
(B) a+b= 3a
(C) a+b= 4a
(D) a+b= 6a
[ B ]
例1 用白光垂直照射在每厘米有6500条刻痕的平
面光栅上，求第三级光谱的张角.
解 400 ~ 760 nm
紫光
红光
sin 1
sin 2
k 1
3 4 10
d
k 2
5
cm
d 1cm / 6500
0 . 78
1cm 6500
1 51 . 26
5
3 7 . 6 10 cm
d
第三级光谱的张角
1 . 48 1
不可见
1cm 6500
90 . 00 51 . 26 38 . 74
第三级光谱所能出现的最大波长
d sin 90
d
513 nm
'
3
k
绿光
例2
试设计一个平面透射光栅的光栅常数，使
得该光栅能将某种光的第一级衍射光谱展开 20 . 0 角
的范围．设该光的波长范围为 430 nm ~ 680 nm ．
解
d sin 1 1 430 nm
d sin( 1 20 . 0 ) 2 680 nm
d 913 nm
4
每厘米大约有 10 条刻痕
例3：分光计作光栅实验，用波长 =
632.8 nm的激光照射光栅常数 d = 1/300
mm的光栅上，问最多能看到几条谱线。
解：在分光计上观
察谱线，最大衍射
角为 90°,
( a b ) sin k
k max
( a b ) sin 90
o
d
x
f
P
k max
( a b ) sin 90
1 10
3
300 632 . 8 10
9
5 .3
取 k max 5
能观察到的谱线为11条：
5， 4， 3， 2， 1，0 ，
1 ，2 ，3 ，4 ，5。
例4一衍射光栅，每厘米有 200 条透光缝，每
条透光缝宽为 a = 2×103 cm ，在光栅后放
一焦距 f =1 m 的凸透镜，现以 600nm 的单
色平行光垂直照射光栅。 求：（1）透光缝 a
的单缝衍射中央明条纹宽度为多少？
（2）在该宽度内，有几个光栅衍射主极大？
解：(1 )中央明条纹的半角宽度
0
2
a
6 10
7
/ 2 10
5
为
3 10 2 rad
0/2 5
sin tg x/f
5
a sin k
由单缝暗纹公式：
ax
f
k
x 1 f / a 0 . 03 m
取 k 1,
中央明条纹宽度为
(2) 由光栅方程：
d 5 10
x 2 x 1 0 . 06 m
( a b )sin k '
k ' ( a b ) x1 / f 2.5
取 k ' 2 .所 以 共 有 k ' 0, 1, 2, 等 5 个 主 极 大 。
例5.以氦放电管发出的光垂直照射到某光
栅上,测得波长1=0.668m 的谱线的衍射
角为 =20.如果在同样 角处出现波长
2=0.447m的更高级次的谱线,那么光栅
常数最小是多少?
解:由光栅公式得
k1 1 k 2 2
k 2 k1 1 2 0 . 668 0 . 447
k 2 k1 3 2 6 4 12 8 ......
取最小的k1和k2 ,
k1 2 , k 2 3
对应的光栅常数
a b k1 1 sin 3 . 92 μ m
例6.波长范围在450--650nm 之间的复色平行光
垂直照射在每厘米有 5000 条刻线的光栅上，
屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色
光在屏上所占范围的宽度为 35.1cm.求透镜的
焦距 f 。(1nm=109m)
解：光栅常数
设
d 1m (5 10 ) 2 10
5
1 450 nm ,
则据光栅方程，
6
m
2 650 nm ,
1 和 2 的第 2 谱线
d sin 1 2 1
d sin 2 2 2
-1
-1
据上式得： 1 sin 2 1/d 26 .74
2 sin 2 2/d 40.54
第二级光谱的宽度
x 2 x 1 f ( tg 2 tg 1 )
透镜的焦距
f ( x 2 x 1 ) /( tg 2 tg 1 )
100 cm
波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，
有两个相邻的干涉主极大出现在sin 1＝0.2和sin 2 =0.3
的衍射方向上，第四级缺级．试求：
(1)光栅常数；
(2)光栅每缝缝宽可能是多少？
(3)列出屏上可能出现的干涉主极大级次．
解:
根据题意可有
k1
0 .2
d
k 2 k1 1
k2
0 .3
d
600 nm
(1)由上面诸方程可解得d=6微米，
k 1 2, k 2 3
k
d
a
k
( k 1, 2, 3........)
(2)第四级缺级，故d＝４a， d=6微米, 得缝宽a＝１.５微米．
(3)光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，
第10级的衍射角为 90 0 ，事实上也不能出现，
故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、
±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．
6.1光栅光谱
6. 光栅光谱
光栅的主极大满足光栅方程
d sin k
如果入射光中包含两个十分接近的波长与’，
由于色散,它们各有一套窄而亮的主极大。
I
’
波长相差越大、级次越高,
则分得越开。
sin
0级 1级 2级 3级
注 :谱线级次如上图示
同级谱线中任意两波长谱线间距随级次 k 的增大而增大
'
' sin ' sin k
d
k '
不同级次的谱线有可能发生重级现象
a
a
由 d sin k 可 知 : 对 同 一 级 谱 线 ( k 一 定 ), , ;
即 短 波 谱 线 靠 近 中 央,长 波 谱 线 远 离 中 央.
入射光为白光时， 不同， k不同，按波长分开形成光谱.
I
sin
b b'
0 一级光谱
三级光谱
二级光谱
如果是复色光入射，同级的不同颜色的条纹
按波长的顺序排列，称为光栅光谱。
各种原子、分子发光，都有自己特定的光谱。
光谱分析仪:根据光谱的位置和强度,
分析物质的成分与含量的仪器。
光栅（及棱镜）是大型光谱分析仪的核心元件。
光栅的谱线虽很细，但毕竟有一定宽度。
如果 与’ 十分接近，它们的主极大就
有可能相重叠而难于分辨。
实际上需要把波长相差很小的两条谱线分开,
也就是需要分光本领大的光谱仪。
光栅光谱和色散问题
不同波长的光在空间分开称为色散，光
栅具有色散能力。
/ 角色散率，光栅的分光能力。
d sin k
/
k 0, / 0
很小时
d cos k
k
d cos
零级光谱无色散，原因是其光程差等于零。
/ k / d
同一级谱线有相同的色散率。
角色散率与N无关。
两条谱线能分辨（或不能分辨）
有没有定量的标准？
答：有。就是瑞利判据。
瑞利判据:一条谱线的中心与另一条谱线
的第一极小重合时,这两条谱线刚刚能分辨。
刚可分辨
不可分辨
0.8
1.0
按照这瑞利判据，如何衡量一个光栅的
分辨本领的大小？
光栅的分辨本领
波长相差δλ的同一级光谱在空间分开的
角距离δθ
d sin k
k
d cos k
d cos
由Rayleigh判据， δθ=Δθ为可以分辨的极限。
k
d cos
kN
色分辨本领
R
Nd cos
kN
例如. 对 Na 双线的分辨
1 5890
A
2 5896
光栅色分辨率
所以,
R
对 k 2
则 N 491
对 k 3
则 N 327
A
5890
982 Nk
6
都可分辨开
Na 双线。
为了在较低级次上分辨两条谱线（光强、有利），
就必须增大光栅的总缝数；
对于总缝数不太多的光栅，可以用斜入射的
办法得到较高级次的光谱。
2．自由光谱范围（色散范围）
m ~ M m
k级光谱不重叠的条件是
m / k
k ( m ) ( k 1) m
即 M m m / k
对于1级光谱 M m m
m M / 2
不会重叠的光谱范围，即自由光谱范围。
同时必须满足光栅对量程的要求
M d
例 宽5厘米的光栅 每毫米1200条
求：色分辨本领 R
解：N 1200 50 6 10 4
if k 1
R 6 10
6 10
4
R kN k 6 10
if
6000
4
可分辨出附近
6000
60000
10
1
Å
Å
4
三棱镜分光
光栅 光谱
闪耀光栅
平面式光栅的零级谱无色散。但该级却具有最大的
能量。从分光角度看，这部分光能属浪费。
而有色散的其他谱线能量又较小，这是透射光栅的
一个主要缺点。
对于平面光栅，单缝衍射零级的位置与缝间干涉零
级的位置恰好是重合的。
如果让衍射零级偏离干涉零级的位置，即让单缝衍
射的中央零级与k=1，或2，……的光谱重合，即可
解决上述问题。
闪耀光栅具有这种能力。
用磨光了的
金属板或镀
上金属膜的
玻璃板为胚
，在上面压
出一系列平
行的锯齿状
槽面，槽面
与光栅平面
间夹角 (可
控制）
——闪跃角
闪耀光栅
闪耀角 B
闪耀面a
B
闪耀面的法线
B
B
光栅平面的法线
第一种照明方式
每一个槽面是一个反射单元，也是衍射
单元，按惠更斯原理，波面上任一面元
都是发射次波的波源。
单槽衍射的中央极大是几何光学的反
射方向。
相邻缝间光程差
2 d sin B
槽间干涉极大条件
2 d sin B k
k 1时， 1 B 2 d sin B
一级闪耀波长
B
而且，对闪耀光栅，有d ≈a,除了K=1级外，其它光谱几乎
都落在单槽衍射的极小位置，而形成缺级。
所以入射光的大部分能量集中到一级谱线上，强度大大加
强，可实现强光谱和高分辨本领。
B
第二种照明方式
相邻缝间光程差
d sin 2 B
干涉极大条件
d sin 2 B k
k 1时， 1 B d sin 2 B
一级闪耀波长
0
0 B
总之，用它可以将光能集中到与闪跃角相应的方
向，而且只对一定波长有效。故每一闪跃光栅只适用
于一定波长范围。
通过对闪耀角设计（改变槽形），可按需要使其
适合某一特定波长段的某一级光谱，以提高光能
利用率。
光栅单色仪
入射狭缝S1
球面镜M1
S1处于M1的
焦平面处。
反射光栅G
（闪耀光栅）
球面镜M2
出射狭缝S2
S2处于M2的
焦平面处。
双光栅光谱仪
球面闪耀光栅G1
G1
光谱仪
探测器
G2
球面闪耀光栅G2
引出单色光
单色仪
§5.2 X-RAY在晶体中的衍射
晶体具有周期性的空间结构，这种结构可以
作为衍射光栅。
是一种三维的光栅。
但是晶体的结构周期，即晶格常数，通常比
可见光的波长小得多。可见光不能在晶体中
出现衍射。
只有波长小得多的X射线的波长与晶格常数匹
配。
晶体具有规则的空间结构
这种空间结构可以用空间周期性表示
晶体的每一个结构单元，即基元，即原子、
分子、或离子基团，可以用一个点表示。
周期性的结构可以用晶格表示
晶格的格点构成晶格点阵
晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不
同的间距，即，晶格常数，d。
入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。
各个散射波进行相干叠加，产生衍射。有一
系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X
射线出射的方向。
衍射的极大值条件
首先计算每一个晶面上不同点间的相干叠加，即点
间干涉，或称为晶面的衍射。
0
a sin a sin 0
由于衍射光的能量大部分集中于衍射的零级，即中央主极大。
0
再计算不同晶面间的相干叠加。即面间干涉。
d
d sin d sin
2 d sin
取极大值的条件为
2 d sin j
Bragg条件，或Bragg方程。
θ为相对于晶面的掠射角。
实验方法
1、劳厄（Laue）照相法
固定单晶，连续谱X射线入射。 X射线偏转
2θ角。
2、粉末法（得拜法Debye）
样品旋转，单色X光入射。由于样品中多
晶粒的晶面沿任意方向排列，故衍射光
沿圆锥面衍射。