Transcript 第36课锐角三角函数和解直角三角形

第36课 锐角三角函数
和解直角三角形
要点梳理
1．锐角三角函数的意义，Rt△ABC中，设∠C＝90°，∠α为
Rt△ABC的一个锐角，则：
∠α的正弦 sin α＝
∠α的对边
斜边 .
∠α的余弦 cos α＝
∠α的邻边
斜边 .
∠α的正切 tan α＝
∠α的对边
∠α的邻边.
2．30°、45°、60°的三角函数值，如下表：
正弦
余弦
正切
30°
1
2
3
2
3
3
45°
2
2
2
2
1
60°
3
2
1
2
3
3．同角三角函数之间的关系：
sin2α＋cos2α＝
tanα＝
sinα
cosα
1 ；
.
互余两角的三角函数关系式：(α为锐角)
sin 90°－α ＝ cosα ；
cos90°－α ＝ sinα
.
函数的增减性：(0°<α<90°)
(1)sinα，tanα的值都随α
(2)cosα都随α
增大而增大
；
增大而减小
．
4．解直角三角形的概念、方法及应用．
解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所
有未知元素的过程叫做解直角三角形．
直角三角形中的边角关系：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、
∠B、∠C所对的边分别为a、b、c则：
(1)边与边的关系：
a2＋b2＝c2
；
(2)角与角的关系： ∠A＋∠B＝90° ；
(3)边与角的关系：
a
a
b
sinA＝cosB＝c ，cosA＝sinB＝ c ；
b
tanA＝b ，tanB＝ a
.
1 absinC
1
5．三角形面积公式：S△＝ ah＝ 2
.
2
[难点正本 疑点清源]
1．正确理解三角函数的概念
书写三角函数时，若锐角用一个大写字母或者一个小写希腊字
母表示的，表示它的正弦时，习惯省略角的符号，如sin A；若锐
角是用三个大写字母或数字表示的，表示它的正弦时，不能省略
角的符号，如sin∠ABC，余弦和正切的写法同理．由定义可以看
出，锐角A的正弦、余弦、正切都是它所在直角三角形的两边的
比，因此都是正数；因为锐角A的取值范围是0<∠A<90°，则三角
函数的取值范围是0<sin A<1,0<cos A<1，tan A>0；当∠A确定时，
三个比值也分别有唯一确定的值与之对应．
2．解直角三角形在实际问题中的应用
解直角三角形在实际中有广泛的应用，主要涉及测量、航空、
航海、工程等领域，常作为习题出现的有以下几个方面：度量
工作、工程建筑、测量距离等．解这类问题的一般步骤是：
(1)弄清题中名词术语的意义，然后根据题意画出几何图形，
建立数学模型；
(2)将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的
关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，
把它们分割成直角三角形；
(3)寻求基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求
解．
基础自测
1．(2011·烟台)如果△ABC中，sin A＝cos B＝ 2 ，则下列最
2
确切的结论是(C
)
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是锐角三角形
2
2
，cosB＝ 时，∠A＝∠B＝45°， 所以
2
2
△ABC是等腰直角三角形．
解析：当sinA＝
2．(2011·湖州)如图，已知在Rt△ABC中，∠ C＝90°，BC＝1，
AC＝2，则tan A的值为( B )
A．2
B. 1
C. 55
D. 2 5
2
5
解析：在Rt△ABC中，∠C＝90°， tanA＝ BC＝ 1.
AC
2
3．(2011·茂名)如图，已知45°<∠A<90°，则下列各式成立
的是( B )
A．sin A＝cos A
B．sin A>cos A
C．sin A>tan A
D．sin A<cos A
解析：当45°<∠A<90°时，∠A>∠B，BC>AC，
AC
在Rt△ABC中，sinA＝ BC
，cosA＝
，
AB
AB
∴sinA>cosA.
4．(20011·镇江)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
垂足为D. 若AC＝ 5 ，BC＝2，则sin∠ACD的值为(
5
A. 3
C. 5
2
2 5
B. 5
D. 2
3
解析：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
AC＝ 5 ，BC＝2，则AB＝3.
由CD⊥AB，得∠ACD＝∠B，
AC
所以sin∠ACD＝sinB＝ AB＝ 35 .
A)
5．(2011·苏州)如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的
中点．若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tan C等于( B )
A. 3
B. 4
3
4
C. 3
D. 4
5
5
解析：连接BD，因为E、F分别是AB、
AD的中点，所以EF是△ABD的中位线，
BD＝2EF＝2×2＝4.
在△BCD中，BD＝4，BC＝5，CD＝3.
由BD2＋CD2＝BC2，得∠BDC＝90°，
4
所以tanC＝ BD＝ 3 .
CD
题型分类 深度剖析
题型一
特殊角三角函数参与实数运算
【例 1】 计算tan45°·sin45°－4sin30°·cos45°＋ 6 tan30°.
2
3
1 2
解：原式＝1× 2 －4× × 2 ＋ 6 × 3
2
＝ 2－ 2 ＋ 2 ＝ 2 .
2
2
探究提高
利用特殊角的三角函数值进行数的运算，往往与绝对值、乘方、
开方、二次根式相结合．准确地记住三角函数值是解决此类题目
的关键，所以必须熟记．
知能迁移1
计算：
°
sin60
(1)
－tan45°的值是________；
0
°
cos30
°
sin60
解析：
° －tan45°＝
cos30
3
2
3
2
－1＝1－1＝0.
3
(2)2sin60°＝________；
解析：2sin60°＝2×
3
＝ 3.
2
3
1－
3
(3) tan30°－12 ＝________.
解析： tan30°－12＝|tan30°－1|
3
＝1－tan30°＝1－ 3 .
题型二
仰角、俯角、方向角有关问题
【例 2】 已知：如图，在某建筑物AC上，挂着“多彩云南”的宣
传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测得仰角为30°，
再往条幅方向前行20m到达点E处，看到条幅顶端B，测得仰角
为60°，求宣传条幅BC的长．(小明的身高不计，结果用含有
根号的式子表示)
解：设BC＝x，在Rt△BCF中，tanF＝BC ，
CF
x
∴CF＝
＝
3x.
°
tan30
在Rt△BCE中，tan∠BEC＝ BC，
EC
x ＝ 3x.
∴EC＝
tan60° 3
∵FE＝FC－EC，
∴ 3x－ 3x＝20.
3
∴ 2 3x＝20，x＝10 3.
3
答：宣传条幅BC的长是10 3 m.
探究提高
此类问题常与仰角、俯角等知识相关，通常由视线、水平线、
铅垂线构成直角三角形，再利用边与角之间存在的三角函数式，
变形求得物体高度．
知能迁移2
(2011·潜江)五月石榴红，枝头鸟儿歌．一只小鸟从石
榴树上的A处沿直线飞到对面一房屋的顶部C处．从A处看房屋
顶部C处的仰角为30°，看房屋底部D处的俯角为45°，石榴树
与该房屋之间的水平距离为3 3 m，求出小鸟飞行的距离AC和
房屋的高度CD.
解：作AE⊥CD于点E.
由题意可知：∠CAE＝30°，∠EAD＝45°，AE＝3 m.
3
CE
CE
在Rt△ACE中，tan∠CAE＝
，即tan 30°＝
.
AE
3 3
3＝3m，
∴CE＝3 3tan 30°＝3 ×
3 3
∴AC＝2CE＝2×3＝6(m).
在Rt△AED中，∠ADE＝90°－∠EAD＝90°－45°＝45°，
∴DE＝AE＝3
3(m)．
∴DC＝CE＋DE＝(3＋3
3)m.
答：AC＝6m，DC＝(3＋3 3 )m.
题型三
解直角三角形的简单应用
【例 3】 (2010·赤峰)关于三角函数有如下的公式：
sin(α＋β)＝sinα·cosβ＋cosα·sinβ ①
cos(α＋β)＝sinα·cosβ－sinα·sinβ ②
tan(α＋β)＝(1－tanα·tanβ≠0)
③
利用这些公式可以将一些不是特殊的三角函数转化为特殊角的
三角函数来求值，如tan105°＝tan(45°＋60°)
tan45°＋tan60°
1＋ 3
＝
＝
1－tan45°×tan60° 1－1× 3
4＋2 3
1＋ 32
＝
＝
＝－(2＋ 3 )．
－2
1－ 31＋ 3
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的
俯角α为60°，底端C点的俯角β为75°，此时直升飞机与建筑物
CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．
解：过点D作DE⊥AB于E，
在Rt△ADE中，∠ADE＝∠a＝60°，
AE＝ED·tan60°＝BC·tan60°＝42 3 .
在Rt△ACB中，∠ACB＝∠β＝75°，
∴AB＝BC·tan75°，
∵tan75°＝tan(45°＋30°)
＝ tan45°＋tan30° ＝ 3＋ 3 ＝2＋ 3 ，
1－tan45°·tan30° 3－ 3
∴AB＝42×(2＋ 3)＝84＋42 3，
CD＝BE＝AB－AE＝84＋42 3 －42 3 ＝84.
答：建筑物CD的高为84m.
探究提高
在解斜三角形时，通常把斜三角形转化为直角三角形，常见
的方法是作高，作高把斜三角形转化为直角三角形，再利用解
直角三角形的有关知识解决问题．
知能迁移3
(2011·安顺)一次数学活动课上，老师带领学生去测一
条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A处观测到河
对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向
北前行40m到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根
据以上数据，求这条河的宽度．(参考数值：tan 31°≈3 )
5
解：如图，过点C作CD⊥AB于D ，
由题意∠DAC＝31°，∠DBC＝45°，
设CD＝BD＝x，
则AD＝AB＋BD＝40＋x，
x
在Rt△ACD中，tan∠DAC＝ CD，则
＝ 3，
40＋x 5
AD
解得x＝60.
答：这条河的宽是60m.
题型四
解直角三角形在实际中的应用
【例 4】 (2010·杭州) 如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ
移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为
200千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离P点320千米
处．
(1)说明本次台风会影响B市；
(2)求这次台风影响B市的时间．
>> 解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！
解：(1)作BH⊥PQ于点H，在Rt△BHP中，由条件知，
PB＝320，∠BPQ＝75°－45°＝30°，
得BH＝320×sin30°＝160<200，
∴本次台风会影响B市．
[4分]
(2)如图，若台风中心移动到P1时，台风
开始影响B市，台风中心移动到P2时，
台风影响结束．
由(1)得BH＝160，由条件得BP1＝BP2＝200，
∴P1P2＝2
2
[8分]
2002－160＝240，
240
∴台风影响的时间t＝
＝8(小时)． [10分]
30
探究提高
此类问题一般求出危险区域中心的距离，看其是否小于圆形
危险区域的半径，其实质是判断圆和直线的位置关系．求影响
情况，通常以此为圆心，以台风影响半径为半径画圆，交台风
行进路线于两点，这两点之间的距离就是受影响其间台风所经
过的路程，其中最靠近台风方向的一点表示台风开始影响，另
一点表示台风结束影响．
知能迁移4
(2010·乌鲁木齐)某过街天桥的截面图为梯形，如图所
示，其中天桥斜面CD的坡度为i＝1∶
3，(i＝1∶ 是指铅直高度
3
DE与水平宽度CE的比)，CD的长为10m，天桥另一斜面AB坡角
∠ABG＝45°.
(1)写出过街天桥斜面AB的坡度；
(2)求DE的长；
(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB斜面的坡度变缓，将其
45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF.试计算此
改建需占路面的宽度FB的长．(结果精确0.01)
解：(1)在Rt△AGB中，∠ABG＝45°，
∴AG＝BG，
∴AB的坡度＝ AG＝1.
BG
DE 1
(2)在Rt△DEC中，∵tanC＝
＝ ＝ 3，
EC
3
3
∴∠C＝30°.
1
又∵CD＝10，∴DE＝ CD＝5.
2
(3)由(1)知，AG＝BG＝5，在Rt△AFG中，∠AFG＝30°，
5
tan∠AFG＝ AG，即 3＝
，
FG
3 FB＋5
解得FB＝5 3－5≈3.66.
答：改建后需占路面宽度约为3.66 m.
易错警示
24．添加辅助线，把分散条件集中起来
试题
如图，AD是BC边上的高，AD∶DC∶BD＝1∶2∶3，
求∠BAC的度数．
学生答案展示
不能添加辅助线来考虑，从而无法下手．
剖析
如图，延长BA，过C画CE⊥AB，只要求∠BAC的外角即可．
正解
过C作CE⊥BA，交BA的延长线于点E.
设AD＝m，则DC＝2m，BD＝3m，
∴AC＝
2
AD2＋DC＝
2
m2＋2m＝
5m，
AB＝ AD2＋BD2＝ m2＋3m2＝ 10 m.
∵∠B＝∠B，∠ADB＝∠CEB＝90°，
∴△BEC∽△BDA.
3m＋2m 5m
CE
BC
10m.
∴
＝
＝
AD＝AB＝
2
10
10
10
∴CE＝
m.
10
2
m
2
EC
在Rt△AEC中，sin∠EAC＝
＝
＝，
AC
5m
∴∠EAC＝45°，
∴∠BAC＝135°.
批阅笔记
如果题目中的条件比较分散，所给的图形不够完整，我们
可以通过作垂线，作平行线等添辅助线的方法，将斜三角形
的问题转化为解直角三角形的数学模型(化斜为直的思想)，
把分散的条件集中起来，构造直角三角形、相似三角形，以
达到解题目的．
思想方法 感悟提高
方法与技巧
1. 准确理解三角函数概念，熟练运用正弦、余弦、正切的定
义．
2. 形成解直角三角形思考过程的程序：在不同的条件下，应
有不同的考虑；无论什么条件下，分别求解各未知元素时，应
尽量代入已知的数值，少用在前面的求解中刚刚算出的数值，
以减少以错传误的机会．
3. 解直角三角形应用题的思考方法：
(1)寻求各类应用题的共同思考步骤：
①审题，把情景尽可能弄通、弄细致，甚至画个示意图；
②把示意图转化为几何图；
③从要求的量所在的直角三角形分析，解之，若条件不足，
转而先去解所缺条件所在的直角三角形，然后返回；若条件仍
不足，再去解第二次所缺条件所在的直角三角形，直至与全部
已知条件挂上钩，然后层层返回．
(2)积累各种类型应用题的特殊思考步骤，如：测高问题，测
不可到达的两点间距离问题，航海有关问题等．
失误与防范
1．在直角三角形中，求锐角三角函数值的问题，一般转化为
求两条边的问题，这样就把新知识(求锐角三角函数值)转化为旧
知识(求直角三角形的边长)，因此不可避免地用到勾股定理．若
原题没有图形，可以画出示意图，直观地观察各边的位置及类型
(直角边还是斜边)，再运用定义求解；也可以直接通过字母来判
断边的位置和类型，即∠A的对边为BC，∠B的对边为AC，∠C的对
边为AB.
2．在解斜三角形时，通常把斜三角形转化为直角三角形，常见
的方法是作高，通过作高把斜三角形转化为直角三角形，再利用
解直角三角形的有关知识解决问题．注意在画图过程中考虑一定
要周到，不可遗漏某一种情况．
完成考点跟踪训练 36