Transcript 推理幾何 崙背國中 廖偟郎 94.5.1 前言 以前我們曾探討過有關幾何圖形的形狀,大小和其畫法, 並且知道一些有關於幾何圖形的性質： 1.三角形的全等性質有: SSS,SAS,ASA,AAS,RHS。 A 觀察與實驗可獲得最基本的知識(基礎)，再利用推理證明2.兩平行線被一直線所截， A 獲得較複雜的知識(不易由觀察與實驗中獲得的性質)。 相等 A 則其同位角 相等 ；內錯角 ；同側內角 互補 。 3.兩直線被一直線所截,若一雙 同位角 相等或一雙 內錯角 相等 推理證明是獲得很多新知識的重要方法。 1, 2, 3為互相平行 ABC的一組外角 或一雙 同側內角 互補，則這兩條直線會 。 3 條直線與此直線平行。 一 4.過直線外一點只能作 B  1  2  3

推理幾何
崙背國中
廖偟郎
94.5.1
前言
以前我們曾探討過有關幾何圖形的形狀,大小和其畫法,
並且知道一些有關於幾何圖形的性質：
1.三角形的全等性質有: SSS,SAS,ASA,AAS,RHS。
觀察與實驗可獲得最基本的知識(基礎)，再利用推理證明
A
1
2.兩平行線被一直線所截， A
獲得較複雜的知識(不易由觀察與實驗中獲得的性質)。
相等
A
則其同位角 相等 ；內錯角
；同側內角 互補
。
3.兩直線被一直線所截,若一雙 同位角 相等或一雙 內錯角 相等
推理證明是獲得很多新知識的重要方法。
1, 2, 3為互相平行
ABC的一組外角
或一雙 同側內角 互補，則這兩條直線會
。
3 條直線與此直線平行。
一
4.過直線外一點只能作
B
 1  2  3  360
B C
C
2
5.三角形的三大定理：
1
B
 A  B  C
C(觀察或實驗)
 180
(1)外角和定理：一組外角和等於360°
 1  A  (實驗或推理)
B
(2)內角和定理：三內角和等於180°
(3)外角定理：三角形中任一外角等於其兩個內對角的和 (實驗或推理)
推理證明的基本知識
(一)起步：
(1)定義：
(2)性質：
(3)符號： ∵ (因為) ∴ (所以)  (推得)
(二)在證明幾何問題時,要使證明很清晰而且有條理的
步驟：
(1)作一簡單的圖形(標出適當的記號)
(2)已知:? 已知條件
(3)求證:? 結論
(4)證明:? 推理過程
通常用虛線表示
(三)在幾何證明過程中,為了證明需要,我們常常要連接某一線段
或直線,這種線段或直線就稱為 輔助 線
例題(1)
題目：試證四邊形的內角和等於360°
A
B
已知：A, B, C, D為ABCD的四個內角
求證：A+B +C +D  360
證明： (1)連接 AC
(2)四邊形ABCD的內角和
輔助線  ABC的內角和
+ADC的內角和
D
=180+180
C
=2
180
根據三角形
=360
內角和定理
以上的證明方式較為粗略
例題(2)
題目：試證四邊形的內角和等於360°
A
1 2
B
已知：A, B, C, D為ABCD的四個內角
求證：A+B +C +D  360
證明： (1)連接 AC
(2)BAD +B  BCD  D
輔助線
 1 2  B  3  4  D
 (1  B  3)  (2  D  4)
D
=180+180
4
=360
3
C
根據三角形
內角和定理
例題(3)
題目：試證同角的餘角相等
證明過程中,除了已經講過的定義或性質
證明： 1+2  90 ,
可以利用外,沒講過的一概不能引用。
3 2
2  3  90
1
已知：如圖,1和3均為2的餘角
求證：1＝3
1+2  2  3
 1  3
正N邊形
定義： 各邊等長，內角都相等的N邊形
360
每一個外角 
N
360
每一個內角  180 
N
或
( N  2)  180
N
練習題(1)
題目：如圖,∠1和∠2是對頂角,試證∠1＝∠2。
證明：
2

3
1+3  180 ,
2  3  180
1
1+3  2  3
 1  2
練習題(2)
題目：L是BAC的平分線, PB  AB, PC  AC , 試證APB  APC
證明：
B
A
1
2
L
P
C
在APB與APC中
1  2 , B  C  90, AP  AP
APB  APC (AAS)
 APB  APC
練習題(3)
題目：如圖, ABC為直角三角形, C  90, CD  AB, 試證ACD  B
A
1
C
證明： 1  90  ACB
ACD  180A 1
 180A ACB
根據三角形
D
B
 B
內角和定理
根據三角形
內角和定理
練習題(4)
題目：試證同角的補角相等
證明：
3
1
2
1+2  180 ,
1  3  180
1+2  1  3
 2  3
已知：2和3均為1的補角
求證：2＝3
練習題(5)
題目：如圖,∠2＝∠3,試證∠1＝∠3。
A
2
D
1 B
E
證明：
3
C
2=3
又 1=2 (對頂角)
1  3
練習題(6)
題目：如圖,直線OC是∠AOB的角平分線,∠AOD＝∠BOE
試證∠1＝∠2。
B
O
證明：
E
C
1
2
BOC  AOC
又 BOE =AOD
1  BOC  BOE
 AOC  AOD
 2
A
D
練習題(7)
題目：如圖 , CD  AB, 1  2, 試證3=4
D
證明：
ACD  90  BCD
又
A
34
1 2
C
B
1  2
3  ACD  1
 BCD  2
 4
練習題(8)
題目：如圖 , 1  2, OB  OA, 試證OC  OD
B
證明：
1  3  90
C
D
OB  OA
又
23
O
1  2
2  3  90
1
A
 OC  OD
練習題(9)
題目：如圖,BAC  90, B為1的餘角, 試證B=2
A
12
證明：
B是1的餘角
B+1=90
又
1  2  90
 B  1  1  2
B
C
 B  2
練習題(10)
題目：如圖 , AB // DE , BC // EF , 試證B  E =180
A
證明：
D
BC // EF
1=E (同位角)
又
1
B
C
AB // DE
B  1  180(同側內角)
 B  E  180
F
E
練習題(11)
題目：如圖 , AB // DE , BC // EF , 試證B  E
A
證明：
D
BC // EF
1=E (同位角)
同理 B  1
1
B
E
C
F
 B  1  E
練習題(12)
題目：如圖,五星形ABCDE,
試證∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°
證明： A  B  C  D  E
A
1
B
2
E
 A  (B  D)  (C  E )
 A  1  2
 180

根據三角形
C
D
外角定理
根據三角形
內角和定理
練習題(13)
A
證明： P  180  (1  2)
P
1
三角形內角和定理
 180  (ABC  ACB)
2
P
1
P  180  (180  A)
2
1
2
1
C
B
P  180三角形內角和定理
 90  A
2
ABC與ACB的平分線相交於P
1
P  90  A
1
2
P  90 
2
A
練習題(14)
題目：AB // CD, EF交 AB於G, 交CD於H , 若 HP平分DHG
GP平分BGH , 試證 HP  GP
E
H
C
1
2
A
G
P
證明：
AB // CD
DHG  BGH  180(同側內角)
1
D  1  2  (DHG  BGH )
2
根據三角形
1
 180  90
B
2
內角和定理
 P  180  (1  2)  180－90 90
F
 HP  GP
全等三角形
定義： 兩個三角形，若經過適當的搬動後，可以
若兩三角形全等，
則：(1)對應邊相等
頂點對頂點、邊對邊 、角對角處處疊合
(2)對應角相等
在一起，則稱此兩個三角形全等。

A
對應點：A  D
BE

CF
Ｄ 對應邊：AB  DE AC  DF

B
C
Ｅ
BC  EF
對應角：A  D C  F
B  E
Ｆ
記作：ABC  DEF
讀作：三角形ABC
全等於三角形DEF
三角形的全等性質(SSS)
性質： 在兩個三角形中，若有三個邊分別對應相等，
則此兩個三角形全等。
AB  DE ,
BC  EF ,
AC  DF
A
Ｄ
B
ABC  DEF
C
Ｅ
(SSS)
Ｆ
三角形的全等性質(SAS)
性質： 在兩個三角形中，若有二個邊及它們的夾角
分別對應相等，則此兩個三角形全等。
AB  DE ,
B  E ,
A
Ｄ
B
BC  EF
ABC  DEF
C
Ｅ
(SAS)
Ｆ
三角形的全等性質(ASA)
性質： 在兩個三角形中，若有二個角及它們的夾邊
分別對應相等，則此兩個三角形全等。
B  E ,
BC  EF ,
C  F
A
Ｄ
B
ABC  DEF
C
Ｅ
(ASA)
Ｆ
三角形的全等性質(AAS)
性質： 在兩個三角形中，若有二個角及其中一角的
對邊分別對應相等，則此兩個三角形全等。
B  E ,
C  F ,
A
Ｄ
B
AB  DE
AC
DF
ABC  DEF
C
Ｅ
(AAS)
Ｆ
三角形的全等性質(RHS)
性質： 在兩個直角三角形中，若斜邊及其中一股
分別對應相等，則此兩個三角形全等。
A
D
B
AB  DE ,
AC
BC  DF
EF ,
C  F  90
ABC  DEF
C
E
F
(RHS)
例題(1)
題目：如圖, AB與CD互相平分於E , 試證A  B
證明：
AE  BE , 1  2 (對頂角) ,CE  DE
C
A
在AEC與BED中
1
E
2
B
D
AEC  BED (SAS)
 A  B
例題(2)
題目：如圖, ABC  DCB, 1  2, 試證 BD  AC
證明：
ABC  DCB , BC  BC , 1  2
D
A
在ABC與DCB中
ABC  DCB (ASA)
 BD  AC
1
B
2
C
例題(3)
題目：如圖, 1  2, B  C , BE  CF , 試證 AB  CD
證明： (1)
A
B
2
F
C
BE  CF
 BE  EF  CF  EF
 BF  CE
(2)在ABF 與DCE中
E
C  B ,CE  BF , 2  1
1
D
ABF  DCE (ASA)
 AB  CD
例題(4)等腰三角形的性質一
題目：試證等腰三角形兩腰上的高相等
已知：如圖, AB  AC , BE  AC於E , CD  AB於D
求證：BE  CD
A
證明： 在ABE與ACD中
D
B
1
2
A  A , 1  90  2 , AB  AC
E
ABE  ACD (AAS)
C
 BE  CD
例題(4)等腰三角形的性質二
題目：試證等腰三角形兩腰上的中線相等
已知：如圖, AB  AC , BE和CD為兩腰上的中線
A
求證：BE  CD
證明： (1)
D
AB  AC
1
1
 AD  AB  AC  AE
2
2
E
(2)在ABE與ACD中
B
C
AB  AC , A  A , AD  AE
ABE  ACD (SAS)
 BE  CD
例題(4)等腰三角形的性質三
題目：試證等腰三角形的頂角平分線必垂直平分底邊
已知：如圖, AB  AC , AD平分A
A
求證：AD垂直平分 BC
12
B
3 4
D
證明： 在ABD與ACD中
AB  AC , 1  2 , AD  AD
ABD  ACD (SAS)
C
 BD  CD, 3  4
又 3+4  180
3=4  90
 AD  BC
故得證
例題(4)等腰三角形的性質四
題目：試證等腰三角形的兩底角相等
A
已知：如圖, AB  AC
求證：B  C
證明：(1)作 AD平分A交 BC於D
12
(2)在ABD與ACD中
B
D
AB  AC , 1  2 , AD  AD
ABD  ACD (SAS)
C
 B  C
例題(5)等腰三角形的判別性質-1
題目：試證兩邊上高相等的三角形為等腰三角形
已知：如圖, BE  AC於E , CD  AB於D, BE  CD
求證：ABC為等腰三角形
A
證明： 在ABE與ACD中
D
B
1
2
A  A , 1  90  2 , BE  CD
E
ABE  ACD (AAS)
C
 AB  AC
ABC為等腰三角形
例題(5)等腰三角形的判別性質-2
題目：試證有兩角相等的三角形為等腰三角形
A
12
B
已知：如圖, B  C
求證：ABC為等腰三角形
證明： (1)作 AD平分A交 BC於D
1  2
(2)在ABD與ACD中
在兩個定理中，它們的前提與結論剛好
B  C , 1  2 , AD  AD
倒過來，在這種情況下，我們常稱其中
C
D
(AAS) 。
ABD  ACD
的一個定理為另一個定理的
逆性質
逆定理
 AB  AC
ABC為等腰三角形
例題(6)平行四邊形的性質-1
性質： 平行四邊形的任一對角線將它分成兩個
Ａ
全等的三角形。
證明：(1)
Ｄ
1 3
對角線
4
Ｂ
2
Ｃ
ABCD為
ABC  CDA
AB // CD
1  2 (內錯角)
同理 3  4
(2)在ABC與CDA中
1  2 , AC  AC, 3  4
ABC  CDA (ASA)
例題(6)平行四邊形的性質-2
性質： 平行四邊形的兩雙對邊分別相等。
Ａ
Ｄ
證明：(1)連接 AC
(2) ABCD為
ABC  CDA
Ｃ
Ｂ
ABCD為
AD  BC , AB  CD
AD  BC , AB  CD
例題(6)平行四邊形的性質-3
性質： 平行四邊形的兩雙對角分別相等。
Ａ
Ｄ
證明：(1)連接 AC
(2) ABCD為
ABC  CDA
Ｃ
Ｂ
ABCD為
A  C , B  D
B   D
(3)同理 A  C
例題(6)平行四邊形的性質-4
性質： 平行四邊形的兩對角線互相平分。
證明：(1)
Ａ
Ｄ
1
4
3
O
2
Ｂ
Ｃ
ABCD為
OA  OC , OB  OD
AD // BC
 1  2, 3  4 (內錯角)
(2) ABCD為
 AD  BC
(3)在AOD與COB中
1  2 , AD  BC , 3  4
AOD  COB (ASA)
OA  OC , OB  OD
例題(7)
題目：試證若兩鄰角互補,則這兩角的平分線互相垂直
已知：如圖, AOC與AOB互補,
EO, DO分別平分AOC , 與AOB
求證：OD  OE
證明：
A
D
E
1 ２
C
O
B
DOE  1  2
1
 (AOC  AOB )
2
1
 180  90
2
 OD  OE
例題(8)
題目：如圖, 已知 AB  AC , AD  AE , 試證ABE  ACD
證明： 在ADC與AEB中
A
AB  AC , A  A , AD  AE
B
C
ADC  AEB (SAS)
 ABE  ACD
D
E
例題(9)
題目：如圖, 已知CA  AB, DB  AB, CA  DB, 試證CB  DA
證明：在CAB與DBA中
C
D
CA  DB, CAB  90  DBA, AB  AB
CAB  DBA(SAS)
 BC  DA
A
B
例題(10)
題目：如圖, 已知 AD  AE , BD  BE , C 在 AB上, 試證CD  CE
證明：(1)在ABD與ABE中
AD  AE , AB  AB, BD  BE
 ABD  ABE (SSS)
D
 1  2
A
1
2
B
E
C
(2)在ADC與AEC中
AD  AE , 1  2, AC  AC
ADC  AEC (SAS)
 CD  CE
例題(11)
題目：如圖, A,B,D三點共線,A,C,E三點共線,且AB  AC, BD  CE,
試證 DF  EF
AB  AC , BD  CE
 AB  BD  AC  CE  AD  AE
(2)在ADC與AEB中
AD  AE , A  A, AB  AC
ADC  AEB (SAS)
證明： (1)
A
B
C
1
2
 D  E
F
D
E
(3)在BDF 與CEF中
BD  CE , 1  2(對頂角), D  E
BDF  CEF (AAS)
 DF  EF
練習(1)
題目：如圖, AD  BC , 1  2, 試證A  C
D
C
1
1  2
 AD // CB
又 AD  CB
2
A
證明：
B
 ABCD為
A  C
練習(2)
題目：如圖, A, F , C , E 在同一直線上, AB // DE , BC  DF ,
B  D, 試證 AB  DE
A
B
1
證明：(1)
AB // CD
1  2 (內錯角)
(2)在ABC與EDF中
F
B  D, 1  2, DF  BC
ABC  EDF (AAS)
C
D
2
 AB  DE
E
練習(3)
題目：如圖, ABCD為一平行四邊形, DE  AC , BF  AC
試證 DE  BF
證明：
D
A
F
E
C
B
ABCD為平行四邊形
ADC  CBA
 ADC  CBA
1
1
 AC  DE  AC  BF
2
2
 DE  BF
練習(4)
題目：如圖, ABC與BPQ都是正三角形, 試證 AQ  CP
證明：(1) ABC為正
A
 AB  BC , 1  60
同理  BQ  BP, 2  60
(2)在ABQ與CBP中
AB  BC , 1  60  2, BQ  BP
B 1
2
Q
P
C
 ABQ  CBP (SAS)
 AQ  CP
練習(5)
題目：如圖, ABC為正三角形, AD  BE  CF ,
試證DEF 也是正三角形
證明： (1)
A
AB  AC , AD  CF
 AB  AD  AC  CF
D
 BD  AF
(2)在ADF 與BED中
F
B
E
C
AD  BE , A  B  60, AF  BD
 ADF  BED (SAS)
 DF  ED
(3)同理  EF  DF  EF  DF  ED
DEF 為正三角形
練習(6)
題目：如圖, 1  2, 3  4,試證(1)BAD  ABC
(2) AC  BD
證明：(1) 1  2
D
C
1
3
A
2
4
B
180  1  180  2
 BAD  ABC
(2)在DAB與CBA中
BAD  ABC , AB  AB, 3  4
共用邊
DAB  CBA(ASA)
 AC  BD
練習(7)
題目：如圖, B, F , C , E 在同一直線上, AB  DE , BF  CE ,
AC  DF ,試證(1)B  E (2) AF  DC
證明： (1) BF  CE
 BF  CF  CE  CF  BC  EF
A
B
C
F
D
E
(2)在ABC與DEF中
AB  DE , AC  DF , BC  EF
ABC  DEF (SSS)
 B  E
(3)在ABF 與DEC中
AB  DE , B  E , BF  CE
ABF  DEC (SAS)
 AF  DC
練習(8)
題目：如圖, G為 AD及CF的中點, 過G作直線BE分別交
FD, AC於E , B兩點, 試證 BG  EG
證明：(1)在DGF 與AGC中
E
F
D
1
2
A
B
G
C
GF  GC , DGF  AGC , GD  GA
對頂角  D  A
DGF  AGC(SAS)
(2)在DGE與AGB中
1  2, GD  GA, D  A
對頂角
DGE  AGB(ASA)
 BG  EG
練習(9)
題目：如圖, AB=CD, ABD  CDB, 試證 BE  DE
C 證明： (1)在ABD與CDB中
AB  CD, ABD  CDB, BD  BD
A
1
2
E
B
D
A  C
ABD  CDB (SAS)  共用邊
(2)在ABE與CDE中
A  C , 1  2, AB  CD
對頂角
(AAS)
ABE  CDE
 BE  DE
練習(10)
題目：如圖, 在ABC的兩邊 AB與 BC上, 分別向外作正方形
ABDE與BCFG, 試證(1) AG  CD(2) AG  CD
證明：(1) 1  90  2
G
D
B
1 2
3
6
I
54
J
E
A
C
1  3  2  3 DBC  ABG
(2)在DBC與ABG中
DB  BA, DBC  ABG, BG  BC
DBC  ABG(SAS)
根據三角形
F
 AG  CD, A  D
根據三角形
(3)在AIJ 與BID中 內角和定理
4  180  5 內角和定理

A
對頂角
 180  6  D
 1  90
 AG  CD
練習(11)
題目：如圖, 在ABC中, B是直角, BC  7, AB  5,
ACDE是正方形, 求 BE  ?
解： 以 AB為邊長作一正方形ABFG
E
BE  CG
D
2
 CF  GF
2
 (7  5) 2  52
G
A
5
5
F
5B
 169
7
C
 13
練習(12)
題目：如圖, 在ABC中, AB  AC  15公分, BC  18公分, 求
(1)ABC的面積 (2)一腰上的高  ? 公分
解：(1)作 AD  BC於D
A
 BD 
H
15
B
 AD 

9
12

D
(2)
1
 18  9
2
2
AB  BD
2
 152  92  12
1
ABC   18 12  108 (平方公分)
2
C
108  2 72
1
(公分)

 AB  CH  108  CH 
15
5
2
練習(13)
題目：如圖, 對一等腰直角ABC , 其中 AB  AC , 今過其
頂點A任作一直線L, 並從B, C兩點向L作垂線,
垂足為D, E．試證 (1) DE  BD  CE
(2)已知 DA  3, AE  4, 試求 BC  ?
D
1
5
B
3
5
3
A
4
90
5
4
E
2
證明：(1) 3  4  180  90  90,
L
3
C
解： CE  AD  3
 AB  AC  32  42  5
 BC  52  52  5 2
3  5  180  90  90,
3  4  3  5  4  5
根據三角形
(2)在BDA
與AEC中
1 內角和定理
90  2, 4  5, AB  AC
BDA  AEC (AAS)
 AD  CE , AE  BD
 DE  AD  AE  CE  BD