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三角形的內心
教育部98年全國中小學資訊融入教學創意競賽

竹南國中
下一頁

林榮耀老師製作


Slide 2

引起動機
有三條公路圍成一個△ABC,想在三角形區域內選擇適當
的地點P建造一座咖啡廳,使得P到這三條公路的距離相等
,請問咖啡廳建在何處?

A

咖啡廳

B
C

下一頁


Slide 3

三角形的內心
請點選以下單元作連結
1.三角形[內心]的定義及相關性質(一)
2.三角形[內心]的相關性質(二)
3.三角形[內心]的相關性質(三)
4.教學掠影
5.結束


Slide 4

教學目標 (三角形的內心)--第一節
本節你將學到
(1) 複習三角形分角線的尺規作圖
(2) 能用尺規作圖找出三角形內心及畫出內切圓
(3) 能理解三角形[內心]的定義及相關性質

下一頁


Slide 5

複習舊經驗
已知：∠A

(分角線的尺規作圖)
點選左邊

圖案可作連結

求作：∠A 的角平分線
作法：
步驟1

步驟2

以 A 為圓心，適當長為半徑劃弧，
與兩邊相交於 B、C
以 B、C為圓心，相同長度為半
徑劃弧，設兩弧相交於 D

B
D

A

C
步驟3

下一頁

連接直線 AD，即為∠A 之角平
分線


Slide 6

例 題 1 三角形三邊的三分角線會不會交於一點
步驟1

作 ∠ A 的平分線

B

步驟2
作 ∠ B 的平分線
步驟3

A

作∠ C 的平分線

C

下一頁

(尺規作圖)


Slide 7

活 動 一 三角形三分角線交於一點(學生作圖老師巡堂)
請同學用尺規作圖畫出三分角線，並檢視是否交於一點？
解答

銳角三角形
結論
下一頁

解答

直角三角形

解答

鈍角三角形

三角形的三內角平分線必交於一點


Slide 8

例 題 2

三角形三分角線交於一點,且這點與三邊等距離 (推理證明)

首先複習「角平分線性質」,及「角平分線判別性質」

【說明】
1

A

(1) 設  A 與  B 的平分線交於一點

P
● ●

且 PD  AB , PE  AC
 PD  PE ( 角平分線性質

)

go

同理 , PD  PF

2

E

 PD  PE  PF
( P點到三邊等距離 )
3

D

( 2 )  PE  PF

B

 P 點在  C 的平分線上

即三角形之三內角平分
下一頁

援引國中幾何動動題目

●
●

P
=

●
●

■

C

F
( 角平分線判別性質

)

線必交於同ㄧ點上

go


Slide 9

動 動腦
【說明】
1

三角形的內心一定都在三角形的內部嗎?為什麼?
(學生動腦，老師提問)

(1)  P 點為三內角平分線的交

 PD  PE  PF
2

A

點

go

( 2 ) 以 P 為圓心 , PD 為半徑畫圓

則此圓即為三角形的內

切圓

P 點即為三角形的內心

go

內心

D

E
P

心得
∵內心為三角形內切圓的圓心，
∴內心一定都在三角形的內部
下一頁

B

=
■

F

C


Slide 10

動 動手

還有其他的方法找出三角形的內心嗎?

【工具】：三角板、細沙 (學生動手，老師提問)
操作
問題

1

這個沙山的稜線是 角平分線 的位置

2

內心的位置在何處？ 三條稜線的交點

下一頁


Slide 11

活 動 二 三角形內切圓的作圖

(學生練習，老師巡視)

給ㄧ個△ABC,試用尺規作圖，畫出△ABC的內切圓
步驟1

A

作∠A，∠B的平分線，設交於p點
● ●

步驟2

H

過P點 作直線AB的垂直線，交 AB
於H點
步驟3

以P為圓心，直線PH為半徑
畫圓，則圓P即為所求

下一頁

P
B

●
●

C


Slide 12

咖啡廳應建在何處?
有三條公路圍成一個△ABC,想在三角形區域內選擇適當
的地點P建造一座咖啡廳,使得P到這三條公路的距離相等
,請問咖啡廳建在何處?
解答
A
●●

P
B

●
●

C

下一頁


Slide 13

綜合活動
1、請第一組派代表上台做心得分享。
2、指定作業： 評量單1
預習P129~130

本 節 結 束
回首頁


Slide 14

教學目標

(三角形的內心)--第二節

本節你將學到
(1) 上ㄧ節評量檢討

(2) 能理解三角形[內心]的定義及角度相關性質
(3) 能利用內切圓半徑求三角形面積

下一頁


Slide 15

◆ 評量檢討 ◆

基礎題 (基測 92 ) (點選ABCD可得答案)

圓 上 三 弦 A B, C D , E F, 欲 在 圓 上 找 一 點 , 使 其 到 三 弦 等 距 離 

下 列 四 種 作 法 中 , 哪一 種 是 正 確 的 ?

(1) 作 AB的中垂線與 CD的中垂線的交點
(A)
(B)
(2) 作FAB與ABC的角平分線的交點

(3)取 AB, CD, EF, 三邊中點M, N, L,
(C)
作 MN與 ML中垂線的交點
(D)
(4) 延長 AB與 CD交於P, 延長 AB與 EF

交於Q, 作P與Q的平分線的交點

恭喜！答對了
答錯了！再試一次！

下一頁


Slide 16

◆ 評量檢討 ◆

進階題

在直線 MN 上找出一點 Q , 再以 Q 為圓心作一圓分別與
 AOB 的兩邊 OA , OB 相切

M

【作法】
步驟1

作  O 的平分線 , 設交 MN 於 Q 點

步驟2

過 Q 作 OA 的垂線交於 C 點

C

go

Q

go

O
步驟3

B

以 Q 為圓心 , QC 半徑畫圓 , 即所求
go

下一頁

A

N


Slide 17

◆ 評量檢討 ◆

統整題

(綜合作圖)

已知△ABC，求作一點 P，使P到 BC 兩端點的距離相等
，且P到∠A兩邊的距離相等。
A

【作法】

步驟2

(2) 作  A 的 分 角 線 M

●●

go

go

B

■

步驟3

(3) 設 直 線 L 與 M 交 於 P , 則 P 點 即 所 求

P

M
下一頁

=

(1) 作 B C的 中 垂 線 L

=

步驟1

L

C


Slide 18

例 題 3

三角形內心與 三頂點所成的角 (點選核色方塊,可得答案)

在△ABC中，∠B與∠C的平分線交於O點，
1

試證  BOC  90 
0

A

2

在△BOC中
證明
∠BOC = 1800－(∠1＋∠2 )
1
2

 180

-(

1

 ABC 

2

 180
3

0

0

 180

-

0

-

1

 180

(  ABC   ACB)

2
1

(180

- 90

0



1
2

 90
下一頁

0



1
2

 ACB)

2

0

-  A)

2
0

1

A

A

1

2


Slide 19

隨堂練習

(學生練習，老師巡視)

(點選

圖案可得答案)

設 I是  A B C 的 內 心 , 若  B A C  1 0 0 ,  A C B  5 0 
求  B IC ,  A IC ,  A IB 的 度 數

【解答】
1

BIC  90 
0

1

BAC  140

A

0

2

2

AIB  90 
0

1

ACB  115

0

2

3

AIC  90 

下一頁

0

1
2

ABC  105

I

0

B

C


Slide 20

例 題 4

利用內切圓半徑求三角形面積

設△PQR三邊長為a,b,c,內切圓半徑為r,求△PQR的面積
【說明】
P

(1) I 為內 心 , 連 接 IP , IQ , IR 
(2)  P Q R 面 積
  Q R I面 積   R P I面 積   P Q I面 積



1
2





1
2
1

2
下一頁

ar

1

br

2

1

c

cr

2

r

I

b

r

 ( a  b  c)  r

■

Q
 (周 長  半 徑 )

r

a

R


Slide 21

隨堂練習
I是ABC的內心, IL  AB, IM  BC , IN  AC, 若ABC的面積

為84, 且 AC  13, AB  15, BC  14求 IM 的長
解析

A

先求ABC的周長15  14  13  42
 ABC 的面積 

1

L

(ABC 周長)  (內切圓半徑)

2

故 84 

1

 42  IM

2
所以 IM  4

下一頁

B

N

I
■

M

C


Slide 22

補充練習
已知 : I是ABC的內心, 設AIB, BIC , CIA的面積分別為a, b, c

求證 : a : b : c  AB : BC : CA

證明
1
2

A

設內切圓的半徑為 r
 AIB的面積  a 
 BIC 的面積  b 

1

 AB  r

2
1

r

I

 BC  r

2
 CIA的面積  c 

1

 CA  r

B

2

3

1
1
1
故a : b : c  (  AB  r ) : (  BC  r ) : (  CA  r )
2
2
2

所以 a : b : c  AB : BC : CA
下一頁

■

r

r
C


Slide 23

例 題 5

內切圓的應用

有一塊面積是270平方公尺的三角形地,其周長是54公尺,想
在這三角形地挖一個圓形水池,求水池最大的可能半徑?
解析

當[圓形水池]是三角形的內切圓時,其半徑最大
ABC 

1

A

 (周 長  半 徑 )

2

半徑 
半徑 

2  ABC面 積
周長
2  270
54

下一頁

 10 ( 公 尺 )

B

■

C


Slide 24

補充練習
如右圖, I是正ABC的內心, AB  6, 則其內切圓半徑為多少?
解析
先求ABC 的面積 

3

A

6  9 3
2

4
 ABC 的面積 

1

(ABC 周長)  (內切圓半徑)

2

故9 3 

1

I

18  r

r

2
所以 r  3

下一頁

B

■

C


Slide 25

綜合活動
1、請第二組派代表上台做心得分享。
2、指定作業： 評量單2
預習P131~132

本 節 結 束
回首頁


Slide 26

教學目標

(三角形的內心)--第三節

本節你將學到
(1) 上ㄧ節評量檢討

(2) 能求直角三角形內切圓半徑
(3) 能充分利用內心的性質解題

下一頁


Slide 27

◆ 評量檢討 ◆

進階題

(點選ABCD可得答案)

四邊形ABCD中∠B=60°, ∠DCB=80°, ∠D=100°,若P、
Q兩點分別為△ABC及△ACD的內心,則∠PAQ=?
(A)
(B)
(C)
(D)
(A)60°
(B)70
°
(C)80
°
(D)90
°

答錯了！再試一次！
恭喜！答對了

解析

(1)DAB  360  60  80  100
0

0

0

 120
1
(2)PAQ  (DAC  BAC )
2

Q

0



1
2

下一頁

DAB  60

0

A

D

0

P
C

B


Slide 28

◆ 評量檢討 ◆

資優挑戰題

(點選ABCD可得答案)

在直角ABC中B  90 , AB  8, BC  6, O是內切圓的圓心
10
20
(A)
(B)
(C)
(D)
2
則OB  ?
8
3
3
0

A

答錯了！再試一次！
恭喜！答對了

解析
1

先求ABC的周長8  6  8  6  24

2

 ABC 的面積 

2



68
2

3

(ABC 周長)  (內切圓半徑)

o

2


1

 24  r  r  2

2

故OB 

下一頁

1

2

r
C

2 2  8
2

2

■

B


Slide 29

◆ 評量檢討 ◆

統整題

△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，且O為內心，
則△AOB：△AOC：△BOC＝？
(A) 3：2：1

(B) 2： 3：1

(C) 1： 3：2

(D)

3 ：2：1

解析

C

A  30 , B  60 , C  90 (爲什麼)
0

0

0

F

OD  OE  OF (爲什麼)

 AOB : AOC : BOC
 2 : 3 :1

下一頁

(爲什麼)

E

O
A

■

D

B


Slide 30

動 動腦

求直角三角形內切圓半徑

(學生動腦，老師提問)

對ㄧ般三角形如果已知「周長與面積」，則可求出內切圓的半徑。
但如果是直角三角形時，是否有更簡便的方法？
【解析】
(1 )   切 線 段 等 長  , 四 邊 形 ID C E
為正 方 形 , 即 C D  C E  r

( 2 ) 又 B D  B F, A E  A F

=

(3)  a  b - c  B C  C A  A B
 ( B D  D C )  (C E  A E )  ( A F  B F )

即r 

1
2

下一頁

(a  b  c)

2

(兩股和  斜邊長)

r
r

=

 DC  CE  2r  r 

1


Slide 31

例 題 6

求直角三角形內切圓半徑（解一）

直角三角形ABC中∠C=90°, AC =12, BC = 5。求
(1) AB 的長度? (2) △ABC的內切圓半徑。
利用直角內切圓半徑 r 

1

(兩股和  斜邊長)解題

2

【解答】
(1)由勾股定理知 AB 

2

AC  BC

B

2

13

 12  5  13
2

A
(2)由內切圓半徑 

1

(兩股和  斜邊長)

2
r 

1
2

下一頁

5

2

(12  5  13)  2

■

12

C


Slide 32

隨 堂 練 習 求直角三角形內切圓半徑（解二）
直角三角形ABC中∠C=90°, AC =12, BC = 5。求
(1) AB 的長度? (2) △ABC的內切圓半徑。
利用ABC 的面積 

1

(ABC周長)  (內切圓半徑)解題

2

【解答】
(1)由勾股定理知 AB 

B
2

AC  BC

2

 12  5  13
2

(2)ABC的面積 

1

5

2

A

12  5  30

2
ABC的周長  13  12  5  30

 30 

1

 30  r  r  2

2

下一頁

試檢視兩種求法所得的結果如何?

■

12

C


Slide 33

補 充 練 習 日常生活配合題

(點選

圖案可得答案)

假設一個直角三角板的內部可以放入一個半徑為5的銅板,且
銅板與三角形的三邊相切,若此三角板內部的周長為50,求此
三角形內部的面積
【解答】

1
面積   50  5  125(平方單位)
2

下一頁


Slide 34

補 充 練 習 資優挑戰題

圖案可得答案)

(點選

如右圖, AB  9, BC  10, AC  7, D; E; F分別是內切圓與三邊的

切點 , 則 AD  ? BF  ? CE  ?
解析
1

(爲什麼)

設 AD  AE  x, BD  BF  y, CE  CF  z

x y 9
y  z  10

2

A

xz 7
3

D

z  CE  4

下一頁

x

E

y

解得 x  AD  3
y  BF  6

x

B

z
y

F

z

C


Slide 35

補充練習

統整題

圖案可得答案)

(點選

如右圖, AB  AC  10, BC  12, 若G是ΔABC 的重心,
I是ΔABC 的內心, 則IG  ?

A

解析
1

2

先求 AD 
再求 DG 

2

AB  BD  100  36  8 (為什麼?)
1
3

3

2

AD 

(為什麼?)

3
1

12  8 

2

1

(10  10  12)  ID

2

解得 ID  3
IG  ID  DG  3 

下一頁

B

■

6

(ABC周長)  (內切圓半徑)解題

2
1

I
G

8

利用ABC 的面積 

10

8
3



1
3

D

C


Slide 36

補充練習

統整題

如圖, 直角ABC中, 外接圓半徑R  5,內切圓半徑r  2

求ΔABC 的周長?
解析
B
1

先求斜邊 AB  5  5  10 (為什麼?)

5
2
3

再求AC  BC  AB  2r  14 (為什麼?)

O

I

 解得ABC周長  10  14  24

2 D
■

A

下一頁

C


Slide 37

綜合活動
1、請第三組派代表上台做心得分享。
2、指定作業： 複習P127~132
準備綜合評量

本 節 結 束
回首頁


Slide 38

教學掠影

下一頁

逐一點選左邊小圖案可放大觀看


Slide 39

複習舊經驗

(角平分線的性質) (點選

已知： p 是  AOB 角平分線上ㄧ點
求証： PC  PD

圖案可得答案)

, PC  OA , PD  OB

証明：
(1) 在  OPC 與  OPD 中

B

PDO  90  ( 已知 )
PCO   ____
  ____
OP  ____
OP
____

D

( 公共邊 )

P

POC   ____
POD ( 已知 )
 ____
  OPC   OPD ( AAS全等 )
( 2 )   OPC   OPD
PC  ____
 ____
PD
回家

( 對應邊相等 )

O

■

C

L

A


Slide 40

複習舊經驗

(角平分線的判別性質)(點選核色方塊,可得答案)

已知： 如右圖 , PC  OA , PD  OB , 且 PC  PD
求証：  POA   POB ( 即點 P 在  AOB 的角平分線上

)

証明：
(1) 在  OPC 與  OPD 中

B

PDO  90  ( 已知 )
PCO   ____
  ____

OP  OP ( 公共邊

D

)

P

  OPC   OPD ( RHS全等 )
( 2 )   OPC   OPD

POB
POA   ____
  ____
回家

( 對應角相等 )

∥

____
PC  ____
PD ( 已知 )

L

O

■

C

A


Slide 41

謝謝大家指教