Transcript ABC

右圖是某縣的地圖，為了籌辦臺灣區運動
大會，縣政府爭取到一筆經費，打算建造一座
大型體育中心。在選址過程中有人建議：該體
育中心應與該縣的三大城市中心（右圖中以 P、
Q、R 表示）等距離。依據這個建議，與三個城
市中心等距的點 O 會存在嗎？如果存在的話，
該如何找？
因為要求 OP＝OQ＝OR，所以點 O 必須分別在 PQ、
QR、RP 的中垂線上，但三中垂線會相交於同一個點嗎？
三角形三邊的中垂線是否交於同一點
剪下附件(三)的銳角、直角、鈍角三角形，如圖 3-1 ～ 3-3。
用摺紙的方法分別摺出三邊的中垂線。打開紙片，檢視三條
摺痕是否交於同一點。
圖3-1
答：是。
圖3-2
圖3-3
從上面的活動中可以發現：
三角形三邊的中垂線相交於同一個點。
一般而言，兩條直線只要不平行就會交於一點，但三條直
線相交於同一點，該如何證明它呢？
要證明三條直線交於一點，只需證明「其中兩條直線的交
點會在另一條直線上」即可。
證明三角形三邊中垂線相交於一點
已知：△ABC 中，L1、L2、L3 分別是 AB、BC、CA 的中垂線。
求證：三中垂線 L1、L2、L3交於同一點。
分析：如右圖，設其中兩邊 AB、BC 的中垂線 L1、
L2 交於 P 點，連接 PA、PB、PC。
請想一想：P 點會在的中垂線 L3上嗎？
證明：因為 PB＝PA ( P 在 AB 的中垂線上 )
PB＝PC ( P 在 BC 的中垂線上 )
所以 PA＝PC
由中垂線的判別性質知：P 點也在 AC 的中垂線 L3上。
故三中垂線 L1、L2、L3交於同一點。
對於直角三角形、鈍角三角形，其證法一樣，得出的結論
也相同，即任一△ABC 之三邊的中垂線交於同一點 P。以 P 為
圓心，PA 為半徑畫一圓，此圓會通過三個頂點 A、B、C，我
們稱此圓為△ABC 的外接圓（△ABC 稱為此圓的內接三角形）
，點 P 就是外接圓的圓心，簡稱為△ABC 的外心。
1. 三角形三邊的中垂線交於同一點（此點為三角形的外心）。
2. 外心到三個頂點的距離相等。
前面提到的建造體育中心，其位置應選在△PQR 的外心
O 上，就可使 OP＝OQ＝OR。
下面任意給了銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，試
用尺規分別作出它們的外接圓，並觀察「外心與三角形」
的位置關係。
答：
從隨堂練習中得知：鈍角三角形的外心在該三角形的外
部，銳角三角形的外心在該三角形的內部，而直角三角形的
外心恰在斜邊的中點上。
1. 直角三角形的外心在斜邊的中點上。
2. 直角三角形外接圓的半徑 R＝ 1 （斜邊長）。
2
事實上，在第四冊學過「矩形的兩條對角線等長且平分」，
並配合下面的圖示：
直角三角形斜邊的中點 O
到三頂點等距
亦可看出「直角三角形的外心在斜邊的中點上」。
1. 如右圖，有共同斜邊 AB 的直角三角形
ABC、ABD、ABE 中，斜邊中點 O 到三
個直角頂的距離 OC、OD、OE 會相等嗎？
答： 會。
2. 承上題，若 AB＝10，則△ABC 外接圓的半徑是多少？
答： 外接圓半徑＝ 1 × 10＝5
2
求 30°－ 60°－ 90°三角形之邊長
如右圖，在直角△ABC 中，∠A＝30°，∠C＝90°。
若 AB＝10，試求 BC、AC 的長。
解：如右圖，取斜邊的中點 D，並連接 CD，
則 D 是△ABC 的外心，即 DA＝DB＝DC。
又因為∠A＝30°，∠B＝60°，
由此推知△BCD 是正三角形。
1
所以 BC＝BD＝ 2 AB＝5，
再由勾股定理知 AC＝
AB 2－BC 2＝ 102－52＝5 3。
有一直角△ABC，
已知∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6。
請問△ABC 的外接圓半徑是多少？
答： 外接圓半徑＝
1
1
AB＝ ×（2BC ）＝6
2
2
在直角三角形中，如果一個銳角等於 30°，
那麼它所對的邊等於斜邊的一半。
30°－ 60°－ 90°三角形之邊長比例
在直角△ABC中，若∠A＝30°，∠C＝90°，
求 AB：BC：AC。
答： 2：1：
3
求三角形外心與三頂點所成之角
設 O 是△ABC 的外心，∠BAC＝60°，
∠ACB＝50°。求∠AOB、∠BOC、
∠COA 的度數。
分析：如右圖，作△ABC 的外接圓。
請想一想：
「同弧所對圓周角與圓心角有何關係？」
解：∠AOB ＝2∠ACB ＝2 × 50°＝100°，
∠BOC ＝2∠BAC ＝2 × 60°＝120°，
∠COA ＝360° －( ∠AOB ＋ ∠BOC )
＝360° －( 100° ＋ 120° )＝140°
如右圖，O 為鈍角△ABC 的外心，
其中∠A＝110°，試計算∠BOC 的
度數。
答： ∠BOC＝BAC＝360°－BC
＝360°－2∠A
＝360°－2 × 110°
＝140°
有三條公路 L1、L2、L3 圍成一個
△ABC，想在三角形區域內選擇適當的
地點 P，來建造一座休息站，使得休息
站 P 到這三條公路的距離相等。這樣
的點 P 存在嗎？如果存在，如何選取？
找至三角形三邊等距離之點
任意給一個三角形，如何在內部選取一點 P，
使得點 P 到三邊的距離相等？
分析：先考慮△ABC 的一個內角∠A，
由角平分線的判別性質知：
「到一個角的兩邊等距離的點，
必在角的平分線上」。
找至三角形三邊等距離之點
任意給一個三角形，如何在內部選取一點 P，
使得點 P 到三邊的距離相等？
解：如右圖，
(1) 若 P 到 AB、AC 的距離相等 ( PD＝PF )，
則 P 在∠A 的角平分線上。
(2) 若 P 到 BA、BC 的距離相等 ( PF＝PE )，
則 P 在∠B 的角平分線上。
所以選取∠A、∠B 之角平分線的交點 P，
就有 PD＝PE＝PF ( P 到三邊的距離相等 )。
在例題四中，∠A 與∠B 之角平分線的交點 P，
是否也在∠C 的角平分線上？為什麼？
答： 是，因為 PD＝PF，PD＝PE，
所以 PE＝PF，
故 P 點也在∠C 的角平分線上。
△ABC 之三內角平分線交於
同一點 I。以 I 為圓心，I 到 AB
的距離為半徑，可以作出△ABC
的內切圓，△ABC 之內切圓的圓
心 I 簡稱為△ABC 的內心。
1. 三角形之三內角平分線必交於同一點
（此點為三角形的內心）。
2. 內心到三邊的距離相等。
如下圖，給一個△ABC，試用尺規作圖，畫出△ABC 的
內切圓（△ABC 稱為內切圓的外切三角形）。
A
答：
B
C
前面提到：在三條公路所圍的三角形區，若選擇該三
角形的「內心」來建造一座休息站，就可使得休息站到這
三條公路的距離相等。
求三角形內心與三頂點所成之角
設 I 是△ABC 的內心，若∠BAC＝100°，
∠ACB＝50°，求∠AIC、∠BIC、∠AIB
的度數。
解：因為△ABC 的內角和是180°，
所以∠ABC＝180° －( 100°＋50°）＝30°。
∠AIC＝180° －( ∠IAC＋∠ICA )
＝180° － 1 ( ∠BAC＋∠ACB )＝180° － 75°＝105°
2
1
同理，∠BIC＝180° － 2 ( ∠ABC＋∠ACB )＝180° － 40°＝140°，
∠AIB＝360° －( ∠AIC＋∠BIC )＝360° － 245°＝115°。
設 I 是直角△ABC 的內心，∠C＝90°，
求∠AIB 的度數。
答：∠AIB＝180°－ 1（∠BAC＋∠ABC）
2
＝180°－ 1 × 90 ° ＝135 °
2
一個三角形的「周長 l，內切圓半徑 r，面積 A」，
它們之間有一個重要關係式：
A＝ 1 lr
2
如何推導這個關係式呢？先看下面的例題。
利用內切圓半徑求三角形面積
設△PQR 三邊的長為 a、b、c，內切圓的半徑為 r，求△PQR 的面積。
解：如右圖，I 為內心，連接 IP、IQ、IR。
△PQR面積
＝△QRI 面積 ＋ △RPI 面積 ＋ △PQI 面積
＝ 1 ×a×r＋ 1 ×b×r＋ 1 ×c×r
2
2
2
1
＝ 1 × ( a ＋ b ＋ c ) × r〔 ＝ （周長 × 半徑）〕
2
2
由例題六的解題中看出：將原△PQR 的內心 I 與三頂點連
接，把原三角形分割成三個小三角形△PQI、△QRI、△RPI，
再利用
△PQR＝△PQI ＋ △QRI ＋ △RPI
就可以導出
△PQR 的面積＝ 1 （△PQR 的周長）× ( 內切圓半徑 )，
2
即 A＝ 1 lr。
2
若已知「l、r、A」中某兩項的值，透過上面等式就可以算
出另一項的值。
內切圓之應用
有一塊面積是 120 m2 的三角形地，其周長是 60 m。
想在這塊三角形地上挖一個圓形水池，
求最大可能的半徑。
解：當「圓形水池」是該塊三角形地的「內切圓」時，
其半徑 r 會最大，
最大的內切圓半徑為 r＝
2×120
2A
＝
＝4 ( m )。
l
60
有一個三角形，它的周長是 72，
內切圓半徑是 6，求此三角形的面積。
答：
A＝
1
×72×6＝216
2
對一般三角形，如果已知「周長 l 與面積 A」，則可求出
內切圓的半徑 r 為 r＝ 2A 。當三角形是直角三角形時，除了
l
上面的方法外，還有一個更簡便的計算 r 的方法。說明如下：
(1) 如右圖，設 I 為直角△ABC 的內心，
內切圓與 BC、CA、AB 分別切於 D、
E、F 三點，內切圓半徑為 r，三邊長
為 a＝BC，b＝CA，c＝AB。
(2) 因為圓外一點引出的兩條「切線段」
等長，故四邊形 IDCE 是正方形，即
CD＝CE＝r。
(3) 又 BD＝BF，AE＝AF，所以
a ＋ b － c＝ BC＋ CA－AB
＝( BD＋DC )＋( CE＋AE )－( AF＋BF )
＝DC＋CE＝2r
於是得到 r＝
1
( a ＋ b － c )：
2
1. 三角形的「周長 l，內切圓半徑 r，面積 A」
恆有下列關係式：A＝ 1 lr。
2
2. 若直角三角形內切圓的半徑為 r，
則 r＝ 1 （兩股和－斜邊長）。
2
求直角三角形之內切圓半徑
在直角△ABC 中，已知∠C＝90°，AC＝12，BC＝5。
求：
(1) AB 的長度。
(2) △ABC 的內切圓半徑。
解：(1) AB＝ AC 2＋BC 2＝ 122＋52＝13
(2) 內切圓半徑為
r＝ 1 ( AC＋BC－AB )＝ 1 ( 12 ＋ 5 － 13 )＝2
2
2
在例題八中，請先求△ABC 的面積，再用「半徑＝
2×面積
周長
求出內切圓半徑 r，並檢視兩種求法得出的半徑 r 是否相同。
答： △ ABC 面積＝ 1 ×12×5＝30，
2
2×30
則 r＝
＝2。
13＋12＋5
」，
任給一個三角形，我們知道：
(1) 三邊的中垂線必交於同一點（即外心），
並且此點到三頂點的距離相等。
(2) 三內角的平分線必交於同一點（即內心），
並且此點到三邊的距離相等。
那麼三中線會不會也交於同一點呢？
三角形三邊的三中線會不會交於同一點
1. 如圖 3-4 ～ 3-6，三角形三邊的中點分別為 L、M、N，請用
直尺畫出三中線，並檢視三中線是否交於一點。
圖 3-4
圖 3-5
圖 3-6
答： 是。
2. 再任意畫一個三角形，並畫出三中線。檢視三中線會不會交於同一點，
與同學交流觀摩。
答： 是。
從〔活動二〕中可以發現：
「三角形之三中線必交於同一點」
上述從操作中得出的結論，我們要進一步用推理方法證明。
請看例題九及〔活動三〕。
三角形兩中線交點分中線長度之比
已知：E、F 分別為△ABC 中 AB、AC 的中點，
兩條中線 BF、CE 交於 G 點。
求證：BG：GF＝CG：GE＝BC：EF＝2：1。
分析：要證明「線段成比例」
BG：GF＝CG：GE＝BC：EF。
辦法之一就是證明「包括諸線段的兩個三角形相似」。
因此考慮△GBC 與△GFE 是否相似。
三角形兩中線交點分中線長度之比
已知：E、F 分別為△ABC 中 AB、AC 的中點，
兩條中線 BF、CE 交於 G 點。
求證：BG：GF＝CG：GE＝BC：EF＝2：1。
證明：(1) EF 是△ABC 之兩邊中點連線，故 EF // BC，且 EF＝ 1 BC。
2
(2) 在△GBC 與△GFE 中，
因為 ∠GBC ＝∠GFE
（內錯角相等），
∠BGC ＝∠FGE
（對頂角相等），
所以 △GBC ～ △GFE
（AA 相似性質）。
(3) 由△GBC ～ △GFE得知對應邊成比例，即
BG：GF＝CG：GE＝BC：EF＝2：1。
由例題九可以進一步得到：
GB＝ 2 BF＝
3
GC＝ 2 CE＝
3
2 （中線長），GF＝
3
2 （中線長），GE＝
3
1 BF＝ 1 （中線長）。
3
3
1 CE＝ 1 （中線長）。
3
3
即「G 到一頂點的距離等於它到對邊中點之距離的 2 倍」。
如右圖，△ABC 的兩中線 BF、CE 交於 G 點，
(1) 若 BF＝9，則 GB＝
6
答： GB＝ 2 BF＝ 2 ×9＝6
3
3
1
1
GF＝ BF＝ 3 ×9＝3
3
(2) 若 GE＝2.5，則 GC＝ 5
，GF＝
3
。
，CE＝ 7.5
答： GC＝2GE＝2×2.5＝5
CE＝GE＋GC＝2.5＋5＝7.5
。
三角形的三中線必交於同一點
在例題九中，如果△ABC 的另一條中線 AD 與中線 BF 交於 G' 點，
如圖 3-7、3-8。請問 G' 與 G 是同一點嗎？
圖 3-7
(1) △G'DF ～△G'AB（
AA 相似性質）。
(2) BG'：G'F＝AB：DF＝
2
(3) BG'＝ 3
BF。
(4) 又由例題九知 BG＝
圖 3-8
2
：
1
（寫成整數比）。
2
BF，故 BG'＝BG，即 G'＝G（兩點重合）。
3
由〔活動三〕可知三角形三中線必交於同一點，
此點稱為三角形的重心。
1. 三角形的三中線必交於同一點（此點為△ABC 的重心）。
2. 重心到一頂點的距離等於它到對邊中點之距離的 2 倍。
重心性質之應用
如右圖，△ABC 中，∠ACB＝90°，兩條中線
AN、CM 交於 G 點。若 AC＝8，BC＝6，
求 AB、 CM 、CG 的長。
解：由勾股定理知 AB＝
AB 2＋BC 2
＝ 82＋62
＝10
因為 M 是直角△ABC 斜邊的中點，故 M 是三角形的外心。
所以 CM＝ 1 AB＝5，CG＝ 2 CM＝ 10 。
2
3
3
在例題十中，求 AN、AG 的長。
答：
AN＝
AG＝
82＋（ 1 ×6）2＝73
2
2
73＝
73
3
AC 2＋CN 2＝
2
2
AN＝ ×
3
3
三角形的「重心」與三頂點的連線，
把原三角形分割成三個面積相等的小三角形，
請看例題十一。
三角形重心所分成三個三角形面積之關係
已知：設 G 是△ABC 的重心，連接 GA、GB、GC。
求證：△GAB＝△GBC＝△GCA（面積相等）。
證明：延長 AG 交 於 M 點，則 AM 是中線，BM＝CM。
因為「等底同高」的兩個三角形的面積相等，
故△ABM＝△ACM ····················
○ 1
△GBM＝△GCM ···················
○ 2
1 －○
2 得到△GAB＝△GCA。
○
同理可證 △GAB＝△GBC，
所以△GAB＝△GBC＝△GCA。
從例題十一的結論中可以進一步導出：
三角形的三條中線，
把原三角形分割成六個面積相等的小三角形。
如右圖，即
△GAL＝△GBL
＝△GBM＝△GCM
＝△GCN＝△GAN
＝ 1 △ABC
6
1. 重心與三頂點的連線將三角形面積三等分。
2. 三角形的三中線將三角形面積六等分。
在△ABC 中，三中線 AD、BE、CF 交於 G 點。
若△GBD＝4，求下列三角形的面積：
(1) △GCD、△GBC、△GAB。
答：△GCD＝4，△GBC＝8，△GAB＝△GBC＝8。
(2) △ABC。
答：△ ABC＝6×△GBC＝24。
在△ABC 中，P 是中線 AM 上任意一點。試問：
(1) △PBM 與 △PCM 的面積是否相等？
答： 是。
(2) △ABP 與△ACP 的面積是否相等？
答： 是。
三角形重心性質之活用
如右圖，在 □ ABCD 中，兩對角線 AC、BD 交於 O 點，
M 是 BC 的中點， AM 與 BD 交於 P 點。
(1) 若 △ABP 面積＝8，求 △ABC 面積。
(2) 若 BP＝4，求 BD 的長度。
解：(1) 在△ABC 中，P 是兩中線 AM 與 BD 的交點，
即 P 是△ABC 的重心，
所以△ABC＝3 × △ABP＝3 × 8＝24。
3
(2) BD＝2BO＝2 × ( 2 BP )＝3BP＝3 × 4＝12。
如右圖，在 □ ABCD 中，N 是 AD 的中點，
CN 與 BD 交於 P 點。
(1) 若 □ ABCD 面積＝36，求 △PDN 面積。
答： □ ABCD＝36
⇒ △ACD＝ 1 × 36＝18
2
1
1
⇒△PDN＝
× △ACD＝
× 18＝3
6
6
(2) 若 BD＝20，求 OP 的長度。
答： BD＝20 ⇒ OD＝ 1 × 20＝10 ⇒ OP＝ 1 × OD＝ 1 × 10＝ 10
3
2
3
3
1. 外心：
(1) 三角形三邊的中垂線必交於同一點，此點到三頂點的
距離相等。
(2) 三角形外接圓的圓心（三中垂線的交點）稱為三角形的
外心。
(3) 直角三角形的外心在斜邊中點上。
1
(4) 直角三角形的外接圓半徑 R＝ 2 （斜邊長）。
2. 內心：
(1) 三角形之三內角平分線必交於同一點，此點到三邊的距離
相等。
(2) 三角形內切圓的圓心（三內角平分線的交點）稱為三角形
的內心。
(3) 若三角形的內切圓半徑為 r，周長為 l，
則三角形的面積 A＝ 1 lr。
2
1
(4) 直角三角形的內切圓半徑 r＝ （兩股和－斜邊長）
2
3. 重心：
(1) 三角形之三中線必交於同一點，此點稱為三角形的重心。
(2) 重心到一頂點的距離等於它到對邊中點之距離的 2 倍。
(3) 重心與三頂點的連線將三角形面積三等分；三中線將三
角形面積六等分。
1. 如下圖，給一直線 L 及 L 外相異兩點 A、B，試在直線 L上找一個點
O，再以 O 為圓心，作出一圓通過 A、B 兩點。
2. 如右圖，△ABC 的周長為 18，內切圓的半徑為 2，
試求 △ABC 的面積。
1
面積＝ 2 × 18 × 2＝18
3. 如右圖，△ABC 的內切圓 I 與三邊分別
相切於 D、E、F 三點。如果∠DIE＝125°，
∠EIF＝110°，求 △ABC 各內角的度數。
∠DIF＝360°－125°－110°＝125°，
故∠A＝180° －125°＝55°，
∠B＝180° －125° ＝55°，
∠C＝180° －110° ＝70°。
4. 如右圖，在 □ ABCD 中，M 是 BC 的
中點，P 是 AM 與 BD 的交點。
(1) 若 BD＝12，求 BP 與 OP 的長。
BD＝12 ⇒ BO＝ 1 × 12＝6
2
⇒ BP＝ 2 × 6＝4，
3
OP＝ 1 × 6＝2
3
(2) 若 △APO 面積＝2，則 △APB 面積＝
△ABC 面積＝ 12
，□ ABCD 面積＝
4
，
24 。
△APB＝2△APO＝4，△ABC＝3△APB＝12，
□ ABCD＝2 △ABC＝24。
5. 如右圖，直角△ABC 中，∠C＝90°，
AC＝24，BC＝7，試求△ABC 之
(1) 外接圓半徑。
1
1
所求＝ 2 AB＝
2
242＋72＝
(2) 內切圓半徑。
1
所求＝ （24＋7－25）＝3
2
1
25
× 25＝
2
2
6. 在正△ABC中，試問：
(1) 外心、內心、重心，此三個心是不是同一點？
是。
D
(2) 若邊長為 12，則正△ABC 之外接圓半徑、內切圓半徑各多少？
AB2－BD 2＝ 122－62＝6
外接圓半徑 OA＝ 2 AD＝4 3 ；
3
內切圓半徑 OD＝ 1 AD＝2 3
3
AD＝
3
本節已結束。
請點選數學小博士→
離開投影片。
如右圖，
為圓O的直徑，弦
未過
圓心O，則下列哪一個敘述是正確的？
(A) O是△PCD的外心
(B) O是△APD的外心
(C) O是△ACD的外心
(D) O是△BCP的外心
A
B
O P
D
C
《93.基測(一)第8題》
1. 如右圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，
A
＝5， ＝12，O為
O
5
中點，求 ＋ ＋
B
12
的長。
A
2. 如右圖，O為△ABC的外心，
＝5公分，求 ＋ ＋
O
B
的和。
＝3×5＝15（公分）
C
C
如右圖，△ABC中，∠ABC＝90°，
O為△ABC的外心，∠C＝60°，
A
＝2。
若△AOB面積＝a，△OBC面積＝b，
O
則下列敘述何者正確？
(A) a＞b
(B) a＜b
(C) a－b＝0
(D) a＋b＝4
B
60°
2
C
《92.基測(一)第28題》
1. 在直角△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝30°，
＝5，則
＝？
＝？
2. 在直角△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，
＝
，則
＝？
＝？
3. 在直角△ABC中，若∠C＝90°，
＝2，
＝
，則∠B＝？ 60°。
1. 若O為銳角△ABC的外心，
則∠AOC＝
＝2∠B。
2. 若O為鈍角△ABC的外心，
∠B為鈍角，
則∠AOC＝360° － 2∠B。
A
1. 已知O為△ABC的外心，
且∠BOC＝140°，求
O
∠BAC的度數。 70°。
B
2. 如右圖，
為直徑，∠ABO＝40°，
A
求∠A、∠ABC、∠C的度數。
∠A＝40°，∠ABC＝90°，
∠C＝50°。
C
O
B
C
如右圖，圓上三弦
、
、
，欲在
E
圓內找一點，使其到三弦的距離相等。
下列四種做法中，哪一種是正確的？
(A) 作
中垂線與
D
L
N
F
中垂線的交點
C
M
Q
A
B
P
(B) 作∠FAB角平分線與∠ABC角平分線的交點
(C) 取
、
、
三邊中點M、N、L，作MN中垂線
與ML中垂線的交點
(D) 分別延長
與 交於P，分別延長
作∠P角平分線與∠Q角平分線的交點
與
交於Q，
《92.基測(二)第26題》
如右圖，在直線MN上
M
找出一點Q，再以Q為
A
圓心，作一圓分別與
∠AOB的兩邊
相切。
、
Q
O
N
B
如右圖，四邊形ABCD中，
∠B＝60°、∠DCB＝80°、
∠D＝100°。若P、Q兩點
分別為△ABC及△ACD的
內心，則∠PAQ＝？
(A) 60°
(B) 70°
(C) 80°
(D) 90°
《94.基測(一)第3題》
[解] 4 公分。
[解] 內切圓半徑＝1。
假設一個直角三角板的內部可以放入一個半徑
為 5 的銅板，且銅板與三角形的三邊相切，如
右圖。若此三角板內部的周長為50，求此三角
板內部的面積。
[解] 面積＝
× 50 × 5
＝125（平方單位）。
1. 已知直角三角形的斜邊長為17，且內切圓
半徑為 3，求兩股和。
[解] 23。
2. 已知一三角形的一邊長為14，面積為336，
且內切圓半徑為 6，求另兩邊長的和。
[解] 98。
[解]
找重心
用質地均勻的厚紙板剪一塊三角形，在頂點處
用大頭釘穿洞，將一條繩子固定在大頭釘上，
另一端綁一重物，提起繩子，此時繩子通過對
邊中點，繩子恰好為「中線」，在另兩個頂點
處，重複以上動作，則另二條「中線」亦可
得，此時可看到三中線交於一點。
如右圖，G為直角三角形ABC的重心，
A
O為斜邊 的中點，其中
＝3公分，
分別求
[解]
、
＝4公分，
O
的長。
B
G
D
C
如右圖， ＝ ， ＞ ，
P、Q兩點在
上，其中 ＝
，
且Q為△ABC的重心。若兩直線
BP、BQ與
分別交於
B
S、R兩點，則下列關係何者正確？
A
P
Q
M
S
R
C
《95.基測(一)第19題》
已知G為△ABC的重心，
且△ABG面積＝12，求
△ABC的面積。
[解] 3×12＝36。
1. 隨堂練習中，四邊形AEGF的
面積為多少？ 8 平方單位。
2. 如右圖，G為直角三角形ABC的
重心，∠ABC＝90°，且知 ＝ 8，
A
＝ 6，求△AGD的面積。
D
G
B
C
如右圖，已知△PCD面積＝5，Q為
的中點，
則△BCD面積＝
15 ，
平行四邊形ABCD面積＝ 30 。
A
D
P
B
Q
C
A
1. 如右圖，I為△ABC的內心，
已知∠BIC＝110°，求：
I
(1) ∠ABC ＋ ∠ACB的度數。
B
C
[解] (1) 140°；(2) 40°。
(2) ∠A的度數。
2. 如右圖，直角△ABC中，
∠ABC＝90°，O為外心，
G為重心。若 ＝10公分，
求
的長。 [解] 60公分。
A
O
G
B
C
右圖是10個相同的正六邊形
緊密排列在同一平面上的情
C
D
B
形。根據圖中各點的位置，
判斷 O 點是下列哪一個三角
A
形的外心？《96.基測(二)第20題》
(A) △ABD
(B) △BCD
(C) △ACD
(D) △ADE
O
E
PQRS為一矩形，其中PQ＝2PS，
T、U分別為PS、PQ的中點，
U
QT和US交於V，則四邊形 P
QRSV與四邊形PTVU
T
的面積比＝？
S
(A) 3：1
(B) 4：1
(C) 8：3
(D) 2：1
Q
V
R
如右圖，I為△ABC的內心，
A
∠CAI＝25°，求：
(1) ∠ABC ＋∠ACB的度數。
I
(2) ∠BIC的度數。
B
C
[解] (1) 130°；(2) 115°。
如右圖，G 為△ABC 的重心，
M、N 兩點分別在¯¯¯、
AB ¯¯¯上，
BC
且GM
¯¯¯⊥¯¯¯，GN
AB ¯¯¯⊥¯¯¯。若
BC
¯¯¯＝4，
AB
¯¯¯＝3，∠B＝90°，
BC
則長方形 MBNG 的面積為何？
(A) 2
3
(C)
4
(B) 3
4
(D)
3
《97.基測(二)第23題》
如右圖，座標平面上，I 為△ABC 的內心，其中
¯¯¯平行
AB
x 軸，∠CAB＝90°，且
A 的座標為（2 , 1）。求直線
AI 與 y 軸的交點座標為何？
1
(A)（0 ,－ ）
2
(B)（0 ,－1）
3
(C)（0 ,－ ）
2
(D)（0 ,－2） 《97.基測(二)第33題》
如右圖，G 是△ABC 的
重心，直線 L 過 A 點與
¯¯¯平行，若直線
BC
CG
分別與¯¯¯、L
AB
交於 D、E
兩點，直線 BG 與¯¯¯交於
AC
F 點，則
△AED 的面積：四邊形 ADGF 的面積＝？
(A) 1：2
(B) 2：1
(C) 2：3
(D) 3：2
《97.基測(一)第29題》