Transcript 三角形的内切圆

三角形的内切圆
前提测评
一．判断：
1．角平分线上的点到角两边的距离相等。( √ )
A
2．圆的切线垂直于圆的半径。
( ╳
)
二．填空：
O
1．如图1，⊙O叫△ABC的 外接 圆，
B
D
外心
圆心O点叫△ABC的
，
△ABC叫⊙O的 内接 三角形。
图1
2．直线与圆有且只有唯一公共点，则此直线是圆的切线 。
3．确定一个圆的条件有两种①：已知圆心与半径；
② 不在同一直线上的三点 。
教学目标
1．让学生会用画三角形的内切圆。
2．让学生了解三角形内切圆，圆的外切三
角形和外切多边形、三角形内心的概念。
重点、难点、关键
重点：三角形的内切圆的作法和三角形的内心的应用。
难点：重点也是难点。
关键: 确定圆心位置及半径这是作三角形的内切圆的关键。
探索研究
请同学们思考下列问题：
从一块三角形的材料上裁下一块圆形的用料，怎
样才能使圆的面积尽可能大呢？
A
B
C
导读提纲
请同学们阅读教材P59，思考下列问题：
1．如图，若⊙O与∠ABC的两边相切，
那么圆心O的位置有什么特点？
圆心0在∠ABC的平分线上。
A
M
O
B
N
C
2．如图2，如果⊙O与△ABC的内角∠ABC的两边
相切，且与内角∠ACB的两边也相切，
A
那么此⊙O的圆心在什么位置？
圆心0在∠ABC与∠ACB的两个角的角平分线
的交点上。
O
B
图2
C
3．如何确定一个与三角形的三边都相切的圆心的
位置与半径的长？
作出三个内角的平分线，三条内角
平分线相交于一点，这点就是符合
条件的圆心，过圆心作一边的垂线，
垂线 段的长是符合条件的半径。
4．你能作出几个与一个三角形的 A
三边都相切的圆？为什么？
只能作一个，因为三角形的三条内角
平分线相交只有一个交点。
C
F
E
I
D
B
5．什么叫三角形的内切圆？什么叫三角形的内心？
什么叫圆的外切三角形？
A
和三角形各边都相切的圆叫做三角形
的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形
的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
B
三角形的内心是它的三条内角平分线的交点。
I
C
6．什么叫多边形的内切圆？什么叫圆的外切多边
C
形？
B
和多边形的各边都相切的圆叫做
多边形的内切圆，这个多边形叫
做圆的外切多边形。
I
D
A
E
问题解决
例1：作圆，使它和已知三角形的各边都相切。
A
已知：△ABC（如图）。
求作：和△ABC的各边都相切的圆。
分析：作圆的关键是确定圆心，
因为所求的圆与△ABC的三边
C
B
都相切，所以圆心到三边的距离相等，因此，这个点既要
在∠B的平分线上，又要在∠C的平分线上。显然这两条平
分线的交点到三边的距离相等。
A
作法：
1、作∠B、∠C的平分线BM和CN，交点为I。
2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。
3．以I为圆心，ID为半径作⊙I.
⊙I就是所求的圆。
M
N
I
B
D
C
例题2：如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB
＝75°，点O是内心，求∠BOC的度数。
分析：
O为△ABC的内心
BO是∠ABC的角平分线
CO是∠ACB的角平分线
A
1
1  ABC
2
3 
1
ACB
2
O
∠1 + ∠3= ?
∠O = ?
2
1
B
4
3
C
解： ∵点O为△ABC的内心
1
1
ABC   50 0  25 0
∴∠1＝∠2＝
2
2
1
1
0
0
3  4  ACB   75  37.5
2
2
∴ ∠BOC=1800 - (∠1+∠2)
=1800 - (250+37.50)
=117.50
∴ ∠BOC=117.50
A
O
2
1
B
4
3
C
延伸与拓展
如图，在△ABC中，∠A=n°，点I是内心，
A
求∠BIC的度数。
解：∠BIC=1800－(∠IBC+∠ICB)
I
1
ABC  ACB
2
=1800－ 1 (180 0  A)
2
n0
=1800－
=1800－900+
2
0
n
0
＝90 +
2
B
一般地： △ABC的内
心为Ｉ， ∠A=n0 0
n
0
则∠BIC＝90 +
2
C
如图，⊙I是△ABC的内切圆分别切AB、BC、CA于点D、E、
F。设⊙I的半径为ｒ，BC＝ａ，CA＝ｂ，AB＝ｃ，求证：
S△ABC＝ 1 r (a  b  c)
2
证明：连结AI、BI、CI，并连结ID、IE、IF，则ID⊥AB、
IE⊥BC，IF⊥CA。
1
1
1
S△BCI= ar
∴S△AIB＝  AB  ID  c  r
2
2
2
C
1
S△ACI= br
E
2
F
∴S△ABC=S△ACI+S△BCI+S△ABI= 1 r (a  b  c)
I
2
A
D
B
反馈练习
一：填空题：
1、三角形的 内切 圆的圆心叫三角形的内心。
2、三角形的内心是三条 内角平分 线的交点，它到三角
三条边
形的
的距离相等。
一个 个内切圆。
3、任意三角形有且只有
二:选择题
1、任意三角形的内心的位置（ A ）
A: 总是在三角形的内部
B：可以在三角形的边上
C: 可以在三角形的外部
D：无法确定
C
2．如图△ABC的内心为Ｉ，且∠A=900, 则∠BIC=(
C)
A
A：
90°
B：120°
I
C：135°
D：150°
C
B
三：解答题:
已知Rt△ABC中，∠C=90°,r为其内切圆的半径，
C
若AC=6,BC=8.求内切圆半径ｒ。
E
解：连结AI、BI、CI
F
由勾股定理得：AB=10
∴S△ABC=S△ACI+S△BCI+S△ABI
∴AC·BC=AC·r+BC·+AB·r
即： r=
I
B
A
D
2 AC  BC
 4 还有其他解法:切线长定理
AC  BC  AB
归纳小结
1. 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆
的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做外切三角形。
２.三角形的内心是三条内角平分线相交于一点，它到三角形三边的
距离相等。
外接圆－外心  三边中垂线的交点
3.三角形与圆：三角形的 内切圆－内心  三条内角平分线交点

内接三角形  圆在三角形外
圆的 
外切三角形  圆在三角形内