Transcript 勾股定理的逆定理(1)

勾股定理的逆定理
勾股定理：
如果直角三角形的两直角
边分别为a, b,斜边为c,那
2
2
2
么 a b  c 。
 1.若一直角三角形的两直角边分别为2,3，
13
则斜边长为＿。
2.已知直角三角形的两边长分别为3cm和
5cm,则第三边为____。
4cm, 34cm
3.小华和同学周末登山游玩，他们沿着45°
的坡路走了2米，遇到了一棵松树，这棵松树
2
离地面的高度是＿米。
如果我们反向思考，会有下列问题：
• 如果我们给定一组边长，
如何确定三角形的形状？
• 如何作直角三角形？
动手画一画、量一量
下面的四组数分别是一个三角形的三边
长a，b，c：
2，1.5，2.5 ；
2，3，4；
3，4， 5 ；
2，2，3
（1）它们都是直角三角形吗？
2
2
2
（2）这四组数都满足 a  b  c ？
试猜想，一个三角形的各
边长的平方应满足怎样的
关系时，这个三角形是直
角三角形？
勾股定理的逆定理：
作用：根据边的
数量关系判定是
否是直角三角形.
如果三角形的三边长a、b、c满
2
2
2
足a b  c ，
那么这个三角形是直角三角形。
且边c所对的角为直角。
勾股定理的逆命题证明：
已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b a
且 b  c
求证:△ ABC是直角三角形
证明:画一个△A’B’C’,使∠C’=90°,B’C’=a ,C’A’=b
2
A
c
b
B
a
C
A'
BC=a=B’C’
CA=b=C’A’
a
C'
2
∵ ∠ C’=900
∴ △ABC ≌△A’B’C’
∴ A’B’2= a2+b2 =c2
∴ A’B’ =c(边长为正值)
∴ ∠ C= ∠ C’=90°
在△ ABC和△ A’B’C’中
(全等三角形对应角相等）
b
B'
2
AB=c=A’B’
∴ △ ABC是直角三角形
（直角三角形的定义）
1. 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？
如果是那么哪一个角是直角？
(1) a=15 b=8 c=17
(2) a=13 b=14 c=15
(3) a=1 b=2 c= 3
(4) a:b: c=3:4:5
0
∠
C=90
是
____ _____ ;
不是
____
_____ ;
是
____ ∠ B=90
_____0 ;
0
∠
C=90
是
_____ _____ ;
一组勾股数的倍
数一定是勾股数
2.一个零件的形状如图所示，按规定这个零
件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得
这个零件各边尺寸如图所示，这个零件符合
要求吗？
C
C
13
D
D
4
A
B
5
A 3 B
12
直角
3.三边为6、8、10的三角形，是_____三角
形。
4.有四根木棒，长度分别为3，4，5，6，若
去其中的三根木棒组成三角形，且构成的三
3，4，5
角形是直角三角形，那么应取_______。
5.在△ABC中，a=15,b=17,c=8，求此三角形的
面积？
6.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的
C
是___.
A 三个内角比为1:2:1
B 三边之比为1: 2 : 5
C 三边之比为 3 : 2 : 5 D 三个内角比为1:2:3
已知：如图所示，在四边形ABCD中，AB=3, BC=5，CD=
AC⊥AB.
2
求：S四边形ABCD
3
提示：
（1）在Rt△ABC中，根据勾股
定理求AC=
，
（2）根据勾股定理的逆定理判定
△ADC为
三角形.
图1
，AD=2,
△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c下列判
断错误的是（
）
A. 如果∠C-∠B=∠A，则△ABC是直角三角形.
B. 如果a2+c2=b2,则△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C.如果(c-a)(c+a)=b2， 则△ABC是直角三角形.
D. ∠A:∠B:∠C=5:2:3，则△ABC是直角三角形.
勾股定理的逆命题
逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足
2
a
+
2
b
=
2
c
那么这个三角形是直角三角形。且边c
所对的角为直角。
勾股定理
互逆命题
定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
开启
智慧 定理与逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它
是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个
定理称另一个定理的逆定理.
我们已经学习了一些互逆的定理,如:
勾股定理及其逆定理,
两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
想一想:
互逆命题与互逆定理有何关系?
驶向胜利
的彼岸
试一试
说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?
(1)两条直线平行，内错角相等．
逆命题: 内错角相等，两条直线平行.
成立
(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等.
不成立
(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. 不成立
(4)全等三角形的对应角相等．
逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形. 不成立
感悟: 一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.
原命题成立时, 逆命题有时成立, 有时不成立
三角形三边长a、b、c满足条件
(a  b)  c  2ab, 则此三角形是(
2
2
A、锐角三角形
B、直角三角形
C、钝角三角形
D、等边三角形
B
)
思维拓展
1.已知a，b，c为△ABC的三边,
且满足
2
2
2
a +b +c +50=6a+8b+10c
试判断△ABC的形状.
2.如图所示，分别
以三角形的三边
为直径作半圆,三
个半圆的面积是
S3  4 , S2  8 , S1  12
则三角形ABC是什么形状？
如果将半圆化为
正方形、等边三
角形，结论如何
变化？
学习体会
1.本节课你有哪些收获？
2.预习时的疑难问题解决了吗？你还有哪些
疑惑？