Transcript 平面向量数量积的坐标表示

平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积
复
习
1.已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ，则
a·b＝ a b cos θ .
a·b称为向量a与b的数量积（或内积）.
2.数量积a·b等于a的长度 a 与b在a的方向上的
投影 b cosθ 的乘积.
3. a⊥b
a·b＝0.
4. a·a＝ a 2＝a2.
a·b
5. cos θ ＝
a b
6. a·b ≤ a b .
.
复习题1 已知： a ＝4，b ＝5，a·b＝10，
求：a与b的夹角θ.
解：设a与b的夹角为θ ，则
a·b
1
cos θ ＝
＝ 2 ,
a b
θ ＝60°.
复习题2 已知：A(2，1)，B(3，2)，C(–1，4)，
求证：ABC是直角三角形.
y
分析：先画图，从图中可知，
∠A应为90°，为证明∠A
C
B
＝90°，只需证明
A
AB · AC＝0.
O
x
复习题2 已知：A(2，1)，B(3，2)，C(–1，4)，
求证：ABC是直角三角形.
y
由AB·AC＝ AB AC cosA
可知，为了证明AB·AC = 0,
C
B
需先得出 cosA = 0，需先
证明∠A为90°，而这正是
最终要证明的结论.
A
O
x
平面向量数量积的坐标表示
新
课
在坐标平面xoy内，已知a＝(x1，
y1)，b＝ (x2，y2)，则
a·b＝x1x2＋y1y2.
即 两个向量的数量积等于它们
对应坐标的乘积的和.
a·b＝x1x2＋y1y2
证明：设x轴、y轴方向的单位向量
分别是i、j，则
a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)
＝x1x2i·i＋ x1y2i·j＋ y1x2j·i＋ y1y2j·j
＝x1x2＋y1y2.
已知：A(2，1)，B(3，2)，C(–1，4)，
求证：ABC是直角三角形.
证明： AB＝(3 – 2，2 – 1)＝(1，1),
AC＝(– 1 – 2，4 – 1)＝(– 3，3),
∵ AB · AC＝1×(– 3)＋1×3＝0,
∴ AB⊥AC.
∴ ABC是直角三角形.
由向量数量积的坐标表示,可得
(1)若A、B坐标分别为 (x1，y1)、 (x2，y2)，则
(
|AB| ＝√(x1－x2)2＋(y1－y2)2
|AB|2 ＝ AB·AB = (x1－x2)2＋(y1－y2)2
)
y
(2)设 a＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)，则
a⊥b
(a∥b (b≠0)
B
x1x2＋y1y2＝0 (x2，y2)
x1y2－x2y1＝0)
A
(x1，y1)
x
O
例 1 已知a＝(1，√3 )，b＝(– 2，2√3 ),
（1）求a·b；
（2）求a与b的夹角θ.
解：（1）a·b＝1×(–2)＋√3×2√3＝4;
√1 ＋(√3 ) ＝2,
b ＝√(– 2) ＋(2√3 ) ＝4,
（2） a ＝
2
2
2
cos θ ＝
a·b
a b
∴ θ ＝60º.
2
＝
4 ＝1 ,
2
2×4
例 2：已知a＝(5, 0)，b＝(–3.2, 2.4),
求证：(a＋b)⊥b .
证明：∵(a＋b)·b
＝a·b＋b2
＝5×(–3.2)＋0×2.4＋(–3.2)2＋2.42
＝0，
∴ (a＋b)⊥b .
例 3：已知：A、B、C三点坐标分别为(2，0)、
(4，2)、(0，4)，直线 l 过A、B两点，求
点C到 l 的距离.
y
分析一：如图，
为求CH长，由
CH＝AH－AC可知，关键 C
在于求出AH.
B l
由AC·AB的几何意
义，AC·AB等于AB的长度
H
与AC在AB方向上的投影的
O
A
x
乘积.
所以 AC·AB＝AH·AB.
解：AC＝(0 – 2，4 – 0)＝(–2，4)，
AB＝(4 – 2，2 – 0)＝(2，2), y
AC·AB＝–2×2＋4×2＝4.
C
∵AH与AB共线，
B
∴可设AH＝mAB＝(2m，2m).
H
AH·AB＝4m＋4m＝8m.
由AC·AB=AH·AB，得
m＝ 12 .
l
O
A
x
∴ AH＝ (2m，2m) = (1，1).
CH=AH－AC＝(3，–3)，
y
C
B
CH ＝√32＋(–3)2＝3√2 .
l
H
即 C点到直线 l 的距离为3√2 .
O
A
x
若能确定H点坐标，
分析二：
y
CH长就易求了.
为定H点坐标(两个未
C
B
知数)，
可利用H点在 l 上，
及CH⊥AB这两个条件.
l
H
O
A
x
练习：1.向量a、b夹角为θ,
（1）a＝(3，－2)，b＝(1，1)，
√26
1
则a·b＝_________，cos
θ ＝______.
26
|a|＝√13,|b|＝√2
（2）a＝(－1，2)，b＝(2，－4)，
－10
180º
则a·b＝_______，θ＝__________
2. 已知ABC三个顶点坐标A( 1 ，4 )，
3 3
B(－2，3)，C(0，1)，
求证：ABC是直角三角形.
小结：
（1）掌握平面向量数量积的坐标表示，即
两个向量的数量积等于它们对应坐标的
乘积之和；
（2）要学会运用平面向量数量积的坐标表
示解决有关长度、角度及垂直问题.
（1）P121
练习;
（2）P121
习题5.7
第1、2、4、5题.
今日
作业