Transcript 幻灯片1

§5.3
要点梳理
平面向量的数量积
基础知识
自主学习
1.平面向量的数量积
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量
|a|·|b|cos θ 叫做a与b的数量积（或内积），记
作a·b=|a||b|·cos θ .
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 .
两个非零向量a与b垂直的充要条件是 a·b=0 ，两非
零向量a与b平行的充要条件是 a·b=±|a||b|
.
2.平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影
|b|cosθ
的乘积.
3.平面向量数量积的重要性质
（1）e·a=a·e=|a|cos θ；
（2）非零向量a，b，a⊥b
a·b=0
（3）当a与b同向时，a·b= |a||b| ；
当a与b反向时，a·b= -|a||b| ,
a·a= a2 ，|a|=
a a ;
a b
（4）cos θ= |a ||b | ；
（5）|a·b| ≤ |a||b|.
；
4.平面向量数量积满足的运算律
（1）a·b= b·a
（交换律）；
（2）（  a）·b=  a·b = a· b （  为实数）；
（3）（a+b）·c= a·c+b·c .
5.平面向量数量积有关性质的坐标表示
设 向 量 a= （ x1 ， y1 ） ， b= （ x2 ， y2 ） ， 则
a·b= x1x2+y1y2，由此得到
（1）若a=（x，y）,则|a|2=
x2+y2
2
2

x

y
或|a|
.
（2）设A（x1 ，y1 ），B（x2 ，y2 ），则A、B两点间
的距离|AB|=|AB|=
( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2
（3）设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a⊥b
x1x2+y1y2=0
.
.
基础自测
1.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为（C ）
A. 13
解析

B. 13
C. 65
D. 65
5
5
ab
设a和b的夹角为θ，|a|cos θ=|a|
|a ||b |
2  (4)  3  7
(4) 2  7 2
13
65


.
5
65
2.若|a|=2cos 15°，|b|=4sin 15°，a，b的夹角为
30°，则a·b等于
A.
3
2
解析
B. 3
（ B ）
C. 2 3
D. 1
2
a  b | a | | b | cos 30

 2 cos15  4 sin 15  cos 30
 4 sin 30  cos 30
 2 sin 60
 3
3.已知a=(1,-3),b=(4,6)，c=(2,3)，则a·（b·c）
等于
A.（26，-78）
（ A）
B.（-28，-42）
C.-52
D.-78
解析
a·(b·c)=(1,-3)×(4×2+6×3)=(26,-78).
4.向量m=(x-5,1),n=(4,x),m⊥n，则x等于（ D ）
A.1
解析
B.2
C.3
D.4
由m·n=0，得4(x-5)+x=0，得x=4.
5. （ 2009· 江 西 文 ， 13 ） 已 知 向 量
a=(3,1),b=(1,3),c=(k,2),若（a-c）⊥b,则k= 0 .
解析
∵a-c=(3,1)-(k,2)=(3-k,-1),
(a-c)⊥b，b=(1,3),
∴(3-k)×1-3=0,∴k=0.
题型分类
题型一
深度剖析
平面向量的数量积
3
3
【例1】已知向量a=(cos
x,sin
x),
2
2
π π
x
x
b=(cos
,-sin )，且x∈[  ， ].
3 4
2
2
(1)求a·b及|a+b|;
(2)若f(x)=a·b-|a+b|，求f(x)的最大值和最小值.
思维启迪
利用数量积的坐标运算及性质即可求解，
在求|a+b|时注意x的取值范围.
3
x
3
x
解 (1) a  b  cos x cos  sin x sin  cos 2 x,
2
2
2
2
3x
x
3
x
a  b  (cos  cos ,sin x - sin )
2
2
2
2
3
x 2
3
x 2
|a  b | （ cos x  cos ）  (sin x  sin )
2
2
2
2
2  2 cos 2 x  2 | cos x |,
π π
 x  [ , ], cos x ＞0
3 4
∴|a+b|=2cos x.
(2)由(1)可得f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1
=2(cos x-
1 2 3
)- .
2
2
π π
1
∵x∈[  , ] ，∴ ≤cos x≤1，
3 4
2
1
3
∴当cos x=
时，f(x)取得最小值为；
2
2
当cos x=1时，f(x)取得最大值为-1.
探究提高
（1）与三角函数相结合考查向量的数
量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此
类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公
式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三
角恒等变换的相关知识.
（2）求平面向量数量积的步骤：首先求a与b的夹角
为θ,θ∈［0°，180°］，再分别求|a|，|b|，
然后再求数量积即a·b=|a||b|cosθ，若知道向量
的坐标a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
知能迁移1
（1）已知O是△ABC内部一点，
=0，OA  OB  OC AB  AC  2 3,
且∠BAC=30°，则△AOB的面积为
A.2
解析
B.1
1
C.
2
（ D）
1
D.
3
由OA  OB  OC =0得O为△ABC的重心.
1
∴S△AOB= S△ABC.
3
又 AB  AC | AB | | AC |cos 30°=2 3 ，
得 | AB | | AC | =4.
1
1
∴S△ABC= | AB | | AC | sin 30°=1.∴S△AOB=
.
2
3
（2）（2009·重庆理，4）已知|a|=1,|b|=6,a·(ba)=2，则向量a与b的夹角是
A.
π
6
解析
（ C ）
B. π
C. π
D. π
4
3
2
∵a·(b-a)=a·b-a2=2,∴a·b=2+a2=3
a b
3
1


, ∴a 与 b 的 夹 角
∴cos〈a ， b〉=
|a ||b | 1 6 2
为 π .
3
题型二
利用平面向量的数量积解决垂直问题
π
【例2】已知向量a=(cos(-θ),sin(-θ)),b= (cos(   ),
2
π
sin(   )),
2
（1）求证：a⊥b；
（2）若存在不等于0的实数k和t，使x=a+(t2+3)b,
k  t2
y=-ka+tb，满足x⊥y，试求此时
的最小值.
t
思维启迪 （1）可通过求a·b=0证明a⊥b.
（2）由x⊥y得x·y=0，即求出关于k,t的一个方程，从
2
k

t
而求出
的代数表达式，消去一个量k，得出关于
t
t的函数，从而求出最小值.
π
(1)证明 ∵a·b=cos(-θ)·cos( -θ)+sin(-θ)
2
π
·sin(
-θ)=sin θcos θ-sin θ cosθ=0.
2
∴a⊥b.
（2）解
由x⊥y得x·y=0,
即［a+（t2+3）b］·（-ka+tb）=0，
∴-ka2+（t3+3t）b2+［t-k（t 2+3）］a·b=0，
∴-k|a|2+（t3+3t）|b|2=0.
又|a|2=1，|b|2=1，
∴-k+t3+3t=0，∴k=t3+3t.
k  t2 t3  t2  3t
1
11
∴

 t2  t  3  (t  )2  .
t
t
2
4
2
11
1
故当t= 
2
kt
时， t 有最小值 4
.
探究提高
（1）两个非零向量互相垂直的充要条
件是它们的数量积为零.因此，可以将证两向量的
垂直问题，转化为证明两个向量的数量积为零.
（2）向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的
运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用
向量的数量积来解决，因此，我们可以利用向量的
坐标研究有关长度、角度和垂直问题.
1
3
知能迁移2 已知平面向量a=（,
）,b=(- 3, -1).
2 2
(1)证明：a⊥b;
(2)若存在不同时为零的实数k、t,使x=a+(t2- 2)b,
y=-ka+t2b,且x⊥y，试把k表示为t的函数.
(1)证明
1 3
a·b= ( , )·(  3 ,-1)
2 2
1
3
 ( )  ( 3 ) 
 (1)  0,
2
2
∴a⊥b.
(2)解
∵x⊥y,∴x·y=0,
即［a+(t2-2)b］·（-ka+t2b）=0.
展开得-ka2+［t2-k(t2-2)］a·b+t2(t2-2)b2=0,
∵a·b=0,a2=|a|2=1,b2=|b|2=4,
∴-k+4t2（t2-2）=0,∴k=f(t)=4t2 (t2-2).
题型三
向量的夹角及向量模的问题
1
【 例 3】 （ 12 分 ） 已 知 |a|=1 ， a·b= ， （ a2
1
b）·（a+b）=
，
2
求：（1）a与b的夹角；
（2）a-b与a+b的夹角的余弦值.
1
解 （1）∵（a-b）·（a+b）= ，
2
1
∴|a|2-|b|2= ，
2
又∵|a|=1，∴|b|= | a |2  1  2 .
2
2
设a与b的夹角为θ， 1
a b
2
2


,
则cos θ=
| a || b |
2
2
1
2
∵ 0°≤θ ≤ 180°,∴θ=45°.
3分
5分
6分
（2）∵（a-b）2=a2-2a·b+b2
1 1 1
 1 2   ,
2 2 2
∴|a-b|=
2
.
2
8分
（a+b）2=a2+2a·b+b2=1+2×
∴|a+b|=
1 1 5
  ,
2 2 2
10
,
2
设a-b与a+b的夹角为 ，
则cos  =
(a- b) ( a  b)

|a - b ||a  b |
10分
1
2
5

.
5
2
10

2
2
12分
探究提高
=
（1）求向量的夹角利用公式cos〈a，b〉
a b
.需分别求向量的数量积和向量的模.
| a|| b|
（2）利用数量积求向量的模，可考虑以下方法.
①|a|2=a2=a·a;②|a±b|2=a2±2a·b+b2;
③若a=(x,y)，则|a|= x 2  y 2.
知能迁移3
已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°.
(1)计算：①|a+b|;②|4a-2b|;
(2)当k为何值时，(a+2b)⊥(ka-b)？
1
解 由已知，a·b=4×8×(- )=-16.
2
（1）①∵|a+b|2=a2+2a·b+b2
=16+2×(-16)+64=48,
∴|a+b|=4 3 .
②|4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2
=16×16-16×(-16)+4×64=3×162,
∴|4a-2b|=16 3 .
（2）若(a+2b)⊥(ka-b),则(a+2b)·(ka-b)=0,
∴ka2+（2k-1）a·b-2b2=0.
16k-16（2k-1）-2×64=0，∴k=-7.
思想方法
感悟提高
方法与技巧
1.数量积a·b中间的符号“·”不能省略，也不能用
“×”来替代.
2.要熟练类似（  a+μb)·(sa+tb)=  sa2+(  t+μs)
a·b+μtb2的运算律（  、μ、s、t∈R）.
3.求向量模的常用方法：利用公式|a|2=a2,将模的运
算转化为向量的数量积的运算.
4.一般地，（a·b）c≠(b·c)a即乘法的结合律不成
立.因a·b是一个数量，所以(a·b)c表示一个与c
共线的向量，同理右边（b·c）a表示一个与a共线
的向量,而a与c不一定共线,故一般情况下(a·b)c
≠(b·c)a.
失误与防范
1. 零 向 量 :(1)0 与 实 数 0 的 区 别 ， 不 可 写 错 ：
0a=0≠0,a+(-a)=0≠0,a·0=0≠0;(2)0的方向是任
意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只
定义了非零向量的垂直关系.
2.a·b=0不能推出a=0或b=0,因为a·b=0
a⊥b.
3.a·b=a·c(a≠0)不能推出b=c.即消去律不成立.
4.向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，
〈 AB, BC 〉应为120°,而不是60°.