Transcript 11.4互逆命题(1)

初中数学八年级下册
（苏科版）
11.4
互逆命题（1）
知识回顾
1. 什么是命题?
一般地，对某一件事情作出正确或不正确
的判断的句子叫做命题。
2. 命题由哪两部分组成?
命题可看做由题设(或条件)和结论两部分组成。
命题有真有假。
正确的命题是真命题，错误的命题是假命题
观察与思考
同位角相等 两直线平行
问题：1.
两直线平行 同位角相等
这两个命题有什么联系与区别？
2. 我们还学过类似的一些命
题吗？
归 纳
两个命题中，如果第一个命题的
条件是第二个命题的结论，而第一个命题
的结论又是第二个命题的条件，那么这两
个命题叫做互逆命题。其中一个命题称为
另一个命题的逆命题。
把一个命题的条件和结论互换就得
到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题。
练一练
说出下列命题的逆命题，并与同学交流：
(1)对顶角相等； 相等的角是对顶角。
如果a=b，那么a2=b2
有两个角互余的三角形是直角三
(3)直角三角形的两个锐角互余；
角形。
(4)轴对称图形是等腰三角形；
等腰三角形是轴对称图形。
(5)正方形的4个角都是直角. 如果一个四边形的4个角都是直角，
那么这个四边形是正方形。
(2)如果a2=b2，那么a=b；
1、你能判断上述互逆命题的真假吗？
2、说说你对一对互逆命题的真假性的看法，如果
原命题是真命题，它的逆命题一定是真命题吗？
讨 论
命题“轴对称图形是等腰三角形”、“如
果a2=b2，那么a=b”正确吗？
像小明、小丽这
样，举出一个例子来说明
一个命题是假命题，这样
矩形是轴对称
图形，但不是
等腰三角形。
的例子称为反例。
当a=2，b=－2时，
a2=b2，但a≠b
数学中，判断一个命题是假命题，只需
举出一个反例就行了。
著名的反例
公元１６４０年，法国著名数学家费尔马发现：
０
２
２ ＋１＝３，
１
２２ ＋１＝５，
２
２
２ ＋１＝１７，
３
２
２ ＋１＝２５７，
４
２
２ ＋１＝６５５３７．
而3、5、17、257、65 537都是质数，于是费尔马猜想：
n
对于一切自然数n，２２ ＋１都是质数。
著名的反例
可是，到了1732年，数学家欧拉发现：
5
２２ ＋１= ２32＋１=4 294 967 297
= 641×6 700 417
5
这说明２２ ＋１是一个合数，
从而否定了费尔马的猜想.
例题精讲
例1.判断下列数学命题的真假,并给出证明.
(1) 若2x+y=0,则x=y=0；
解: 是假命题.理由如下：
取x=-1,y=2,则2x+y=2×(-1)+2=0,
但x≠0,且y ≠0.
即 x= -1，y=2具备命题的条件,但不具备
命题的结论,所以这个命题是假命题.
例题精讲
(2) 有一条边、两个角相等的两个三角形全等.
解: 是假命题.理由如下：
如图,在ΔABC和ΔA′B′C′中,
∠A=∠B′, ∠B=∠C′,AB=A′B′,
但很明显,ΔABC和ΔA′B′C′不全等, ′
C
所以这个命题是假命题.
A
0
45
450
B
750
C
A′
750
B′
练一练
1. 用反例说明下列命题是假命题：
(1) 如果 a2=b2，那么a=b ；
(2) 任何数的平方大于0；
(3) 两个锐角的和是钝角；
(4)一个角的补角一定大于这个角；
(5)如果一点到线段两端的距离相等，那么这
点是这条线段的中点。
例题与练习
• 例1：写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题
还是假命题.
• (1)若ac2＞bc2，则a＞b；
• (2)角平分线上的点到这个角的两边距离相等；
• (3)若ab=0，则a=0.
小结：写出一个命题的逆命题，只需将命题的条件
与结论交换一下则行.判断一个命题的真假，说它真
，必须有根有据；而说它假，只要举一个反例，千
万不能想当然.
•
•
•
•
•
•
•
2. 举反例说明下列命题是假命题.
(1)如果a+b＞0，那么a＞0，b＞0；
(2)面积相等的三角形是全等三角形.
(3)4条边相等的四边形是正方形.
(4)相等的角是对顶角.
(5)两直线被第三条直线所截,同位角相等.
(6)两边和其中一边的对角对应相等的两个三
角形全等.
练一练
2. 说出下列命题的逆命题，并判定原命题和逆命题的真假：
（1）既是中心对称，又是轴对称的图形是圆。
圆既是中心对称，又是轴对称的图形。
假命题
真命题
（2）有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。真命题
平行四边形有一组对边平行且相等。
a  b，，那么 a  b
如果 a  b ，那么 a  b
（3）如果
真命题
假命题
真命题
练一练
（4）等边三角形是锐角三角形。
锐角三角形是等边三角形。
（5）平行四边形的对角线互相平分。
真命题
假命题
真命题
对角线互相平分的四边形是平行四边形。 真命题
原命题成立，它的逆命题一定成立吗？
不一定成立．
练一练
判断下列说法是否正确：
（1）如果原命题是真命题，那么它的逆命题也
是真命题。
（ ×）
（2）如果原命题是假命题，那么它的逆命题也
是假命题。
（ ×）
（3）每个命题都有逆命题。
（√ ）
（4）“面积相等的两个三角形是全等三角形”
与“面积不相等的两个三角形不是全等三角形
×（ ）
”是一对互逆命题 。
才智T台
写出下列命题的逆命题，这些逆命题是真命题
吗?如果不是,举出一个反例。
（1）对顶角相等;
（２）如果a2=b2，那么a=b．
（３）直角三角形的两个锐角互余．
（４）轴对称图形是等腰三角形．
（５）正方形的四个角都是直角．
才智T台
(6)如果ab=0 ,那么a=0;
(7)面积相等的三角形是全等三角形;
(8)不是对顶角的两个角不相等;
(9)内错角相等;
(10)如果两个数的差是正数，那么这两个数都是
正数；
(11)如果两个角有一条公共边，并且这两个角的
和是180°，那么这两个角互为邻补角。
初中数学八年级下册
（苏科版）
11.4
互逆命题（2）
情境一
如图1, AB∥CD，AB与DE相交于点G，∠B=∠D.
F
E
A
B
G
C
D
问题1：你由这些条件得到什么结论？
如何证明这些结论？
交流一
在下列括号内填写推理的依据.
因为AB∥CD(已知)
E
所以∠EGA=∠D(
)
A
又因为∠B=∠D(已知)
所以∠EGA=∠B(
)
C
所以DE∥BF(
)
F
B
G
D
交流二
上面的推理过程用符号“ ”怎样表达?
问题2：还有不同的方法可以证明DE∥BF吗？
问题3：在图中，如果DE∥BF,∠B=∠D，那么你得
到什么结论？证明你的结论.
问题4：在图中，如果AB∥CD，DE∥BF，那么你
得到什么结论？证明你的结论.
F
E
A
B
G
C
D
例题精讲
证明：如果两条直线都与第三条直线平行，
那么这两条直线也互相平行.
分析
已知：如图直线a、b、c，b∥a，c∥a，
求证：b∥c.
证明：作直线a、b、c的截线d
d
1
因为b∥a(已知)
所以 ∠2=∠1(
)
2
因为c∥a (已知)
3
所以∠3=∠1(
)
所以∠2=∠3(等量代换)
所以b∥c(
)
a
b
c
交流三
1.用符号“
”简明表述上述的推理过程.
b∥a
∠2=∠1
∠2=∠3
b∥c
c∥a ∠3=∠1
d
1
2.你还有其他的方法
证明b∥c吗？
2
3
a
b
c
例题精讲
例2 如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上，且
BD=AD，DC=AC，求∠B的度数.
分析：
A
图中有三个等腰三角形，
可用等边对等角的性质， B
C
D
再用方程的思想解题，
列方程的依据是
三角形内角和定理.
例题精讲
A
解：∵AB=AC(已知)
∴∠B=∠C(等边对等角)
B
D
同理，∠B=∠BAD，∠CAD=∠CDA.
设∠B=x°，则∠C=x°，∠BAD=x°，
∴∠ADC=2x°, ∠CAD=2x°.
在△ADC中，∵∠C+∠CAD+∠ADC=180°.
∴x°+2 x°+ 2x°=180 °.
∴x°=36 °.
答：∠B的度数为36°.
C
拓展练习
1.给下面的证明过程证明理由
已知AB=DC，∠BAD=∠CDA
求证：∠ABC=∠DCB
证明：连结AC、BD交点为O
A
在△ADB与△DAC中
因为∠BAD=∠ADC(
)
O
AD=DA(
)
AB=DC(
)
B
所以△ADB≌△DAC(
)
所以BD=CA 又在△ABC与△DCB中
因为BD=CA(
) AB=DC(
) BC=BC(
所以△ABC≌△DCB(
)
所以∠ABC=∠DCB
D
C
)
拓展练习
2. 证明：等角的余角相等.