Transcript (1)：等腰三角形的两个底角相等。

等腰三角形的性质与判定
1.性质
(1)：等腰三角形的两个底角相等。
(2)：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、
底边上的高互相重合。
2.判定
定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角
形。
等腰三角形:
1 , 三个角都相等的三角形是等边三角形。
2 , 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三
角形。
3 , 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半
 等腰三角形性质与判定的应用
（1）计算角的度数
利用等腰三角形的性质，结合三角形
内角和定理及推论计算角的度数，是等腰
三角形性质的重要应用。
①已知角的度数，求其它角的度数
②已知条件中有较多的等腰三角形（此时
往往设法用未知数表示图中的角，从中得
到含这些未知数的方程或方程组）
（2）证明线段或角相等
 以等腰三角形为条件时的常用辅助线:
 如图：若AB=AC
A
 ①作AD⊥BC于D，必有结论:∠1=∠2，
12
BD=DC
 ②若BD=DC，连结AD，必有结论：∠1=∠2，
AD⊥BC
B
C
D
 ③作AD平分∠BAC必有结论：AD⊥BC，
BD=DC
 作辅助线时，一定要作满足其中一个性质
的辅助线，然后证出其它两个性质，不能
这样作：作AD⊥BC，使∠1=∠2.

例1 已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。
分析：我们首先在草稿上画好一个示意图，然后对照此图写出已知和求作并
构思整个作图过程……
A
已知：线段a、h
求作：△ABC，使AB=AC=a，高AD=h
a
作法：
1、作PQ⊥MN，垂足为D
2、在DM上截取DA=h
3、以点A为圆心，以a为半径作弧，交PQ
B
于点B、C
4、连结AB、AC
则△ABC为所求的三角形。
h
h
a
D
C
A
M
P
B
D
N
C
Q
例2.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，
CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。







证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）
∴BD⊥AC于D，CE⊥AB于E
∴∠BEC=∠CDB=90°
∴∠1+∠ACB=90°，
∠2+∠ABC=90°（直角三角形
两个锐角互余）
∴∠1=∠2（等角的余角相等）
∴BM=CM（等角对等边）
A
E
B
D
M
1
2
C
说明：本题易习惯性地用全等来
证明，虽然也可以证明，但过程
较复杂，应当多加强等腰三角形
的性质和判定定理的应用。
例3.已知：如图，∠A=90°，∠B=15°，BD=DC.
请说明AC=BD的理由.
 解∵BD=DC，∠B=15°
 ∴∠DCB=∠B=15°（等角对等边）
 ∴∠ADC=∠B+∠DCB=30°
 （三角形的外角等于和它不相邻
D
的两个内角的和）

∵∠A=90°

∴AC= 1DC

2
∴AC= 1 BD
2
B
A
C

例4.已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和
AC上，且BD=CE，M是AB的中点.
求证：△MDE是等腰三角形.
分析：要证△MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连结
CM，可利用△BMD≌△CME得到结果。
证明：连结CM
∵∠C=90°，BC=AC
∴∠A=∠B=45°
∵M是AB的中点
∴CM平分∠BCA
（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合）
∴∠MCE=∠MCB=∠BCA=45°
∴∠B=∠MCE=∠MCB
∴CM=MB（等角对等边）
在△BDE和△CEM中
 BD  CE
∴△BDM≌△CEM（SAS）

B  MCE
∴MD=ME
 BM  CM
∴△MDE是等腰三角形

B
D
M
C
E
A
例5.如图，在等边△ABC中,AF=BD=CE,请
说明△DEF也是等边三角形的理由.

解：∵△ABC是等边三角形
∴AC=BC，∠A=∠C
∵CE=BD
∴BC－BC=AC－CE
∴CD=AE
在△AEF和△CDE中

 AE  CD

A  C
 AF  CE

∴△AEF≌△CDE（SAS）









∴EF=DE
同理可证EF=DF
∴EF=DE=DF
∴△DEF是等边三角形
A
E
F
B
D
C
说明：证明等边三角形有三种思路：
①证明三边相等 ②证明三角相等
③证明三角形是有一个角为
60°的等腰三角形。
具体问题中可利用不同的方式进行求
解。
例6 .如图2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长
线上一点，且BD=CE，DE交BC于G
请说明DG=EG的理由.

思路 因为△GDB和△GEC
不全等，所以考虑在△GDB
内作出一个与△GEC全等的
三角形。
说明 本题易明显得出DG和EG所在的△DBG和△ECG不
全等，故要构造三角形的全等，本题的另一种证法是过E
作EF∥BD，交BC的延长线于F，证明△DBG≌△EFG，同
学们不妨试一试。
例7. 如图2-8-6，在△ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，
AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q.
请说明BP=2PQ的理由.

思路 在Rt△BPQ中，本题的结论等价于证明∠PBQ=30°
证明 ∵AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°，
AE=CD，
∴△BAE≌△ACD
∴∠ABE=∠CAD
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP
=∠CAD+∠BAP=60°
又∵BQ⊥AD
∴∠PBQ=30°
∴BP=2PQ
说明 本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方
法值得同学们细心体会。
A
例8：如图、在△ABC中，D，E在
直线BC上，且AB=BC=AC=CE=BD，
求∠EAC的度数。
D
探索：如图、在△ABC中，D，E
在直线BC上，且AB=AC=CE=BD，
∠DAE=100°，求∠EAC的度数。
D
C
B
E
A
B
C
E
1. 下列结论叙述正确的个数为（ ）
 （ 1）等腰三角形高、中 线、角平分线重合；
 （ 2）等腰三角形两底角 的外角相等；
 （ 3）等腰三角形有且只有一条对称轴；
 （ 4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角
形。
 （A）0个
（B）1个
（C）2个
（D）3
个

2.等腰三角形顶角为36°，底角为_________。
3.等腰三角形顶角和一个底角之和为100°，则顶角
度数为_____________。
4.等腰三角形两个角之比为4:1，则顶角为
__________，底角为___________。
5.等腰三角形两边长为4、6，这个三角形周长为
_____________。
6.已知△ABC中AB=AC，AB垂直平分线交AC于E，
交AB于D，连结BE，若∠A=50°，
∠EBC=__________。
7.△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，若△ABC的周
长为50，△ABD的周长为40，则
AD=____________。
8.若等腰三角形顶角为n度，则腰上的高与底边的夹
角为_____________。
9. 如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以
OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直
线a上，这样的等腰三角形能画多少个?
Ｄ
150°
Ｈ
Ｏ
Ｃ
Ｅ
Ｆ a
9.已知等腰三角形一腰上的中线将三角
形周长分成２：１两部分，已知三角形
底边长为５，求腰长？
Ａ
解：如图，令CD＝x，则AD＝x，
AB＝2x
∵底边BC＝5
x
2x
Ｄ
x
Ｂ
5
∴BC＋CD＝5＋x
Ｃ
AB＋AD＝3x
∴(5+x)：3x＝2:1
或3x：(5+x)=2:1
10、如图，D是正△ABC边AC上的中点，E是BC
延长线上一点，且CE=CD，试说明BD=DE的理由.
解:∵ △ABC是正三角形
∴ ∠ABC= ∠ACB=600
（
∵ D是AC边上的中点
）
1
∴∠1= ∠ABC=300（
）
2
1
∵CE=CD
B
∴∠2= ∠E（
）
∵ ∠2+ ∠E= ∠ACB=600（
）
∴ ∠E=300， ∴ ∠1= ∠E
∴BD=DE（
）
A
D
2
C
E
3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，
∠CAB的平分线AD交BC于D，AB边上的高
线CE交AB于E，交AD于F，求证：CD=CF
分析：CD=CF
B
∠1=∠2
∠1=∠B+∠BAD
∠1=90°－∠BAD
E
D
∠2=∠3+∠DAC
∠２=90
°－∠CAD
C
∠3=∠B
∠ACB =90°，CE是AC边上高
12F
3
A
互余
1 在直角三角形中，两个锐角_______。
两直角边
斜边
2、直角三角形_____________的平方和等于_______的
平方。如果用字母a,b和c分别表示直角三角形的两条
a2
c2
b2
直角边和斜边，那么_____+
_____=_____。
较大
3、如果三角形中_______两边的平方和等于______一边
较小
的平方，那么这个三角形是直角三角形，________所对
斜边
的角是直角。
4、在直角三角形中，如果一个锐角等于 _____度，
30
斜边
那么它所对的直角边等于_________的一半。
斜边的一半
5、在直角三角形中，如果一条直角边等于___________,
那么这条直角边所对的角等于300。
直角三角形全等的判定方法：
A
A′
C
B C′
1) ASA,
AAS
2) SAS
B′
3) SSS
4) HL
温故知新:
（一）填空
1、在ΔABC中，如果∠A+ ∠B= ∠C，且AC=1/2AB，
o
30
则∠B=_______ 。
2、如图ΔABC中， ∠ACB=90o,CD ⊥AB,垂足是D,
7.5
BC=5cm，BD=1/2BC，则AD=
cm。
3、如果等腰三角形底边上的
高线等于腰长的一半，那么
这个等腰三角形的三内角
30o 30o 120o
分别是_______________。
B
C
D
A
4、一艘轮船以16千米/时的速度离开港口向东北方向航
行，另一艘轮船同时离开港口以12千米/时的速度向东
南方向航行，那么它们离开港口1.5小时后，相距
30
__________千米。
(二)、选择。
 1、满足下列条件的ΔABC，不是直角三角形的
是：（
）
 A、b2=a2-c2
B、 ∠C=∠A-∠B
 C、∠A：∠B：∠C=3：4：5
 D、a:b:c=12:13:15

2、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等
的是（
）
 A、一条直角边和一个锐角分别相等
 B、两条直角边对应相等
 C、斜边和一条直角边对应相等
 D、两个锐角对应相等

3、如图，EA⊥AB，BC⊥AB，AB=AE=2BC，
D为AB的中点,有以下判断,(1)DE=AC (2)DE⊥AC,
(3) ∠CAB=30o (4) ∠EAF=∠ADE,期中正确
结论的个数是:(
)
A、 一个
B、两个 C、三个
D、四个
4、如图，在ΔABC中，∠ACB=90o ，CD是高线，
E是AB上一点，且AE=AC，∠ACE：∠ACD=3：1，
则与∠DCE相等的角是（
）
A 、∠A
B、 ∠B
C 、 ∠BCE D、以上都错
E
C
A
F
A
D
B 第三题
C
D
E
B 第四题
5、如图，一个长为25分米的梯子，斜立在一竖直的
墙上，这时梯足距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿
墙下滑4分米。那么梯足将滑（
）
（A）15分米（B）9分米（C）8分米（D）5分米
6、如图，某校A与公路距离为3000米，又与该公路旁
上的某车站D的距离为5000米，现要在公路边建一个
商店C，使之与该校A及车站D的距离相等，则商店与
车站的距离约为（
）
（A）875米（B）3125米（C）3500米（D）3275米
C
A
D
应用与延伸:
例9、如图，设A城市气象台测得台风中心，在A城
正西方向300千米的B处，正向北偏东600的BF方向
移动，距台风中心200千米的范围内是受台风影响
的区域，那么A城是否受到这次台风的影响？为什
么？如果你是气象员，请你算一算。
解：作AD ⊥ BF
∵由已知可得：∠ FBA=300
∴ AD=1/2AB=150KM
而 150＜200
∴ A城会受到台风的影响
北
D
F
600
B
A
东
思考：若A城与B地的方向保持不变，为了确保A城不受
台风影响至少离B地多远？
例10、如图，已知AB=AD，CB=CD，AC，BD相交于
点O，若AB=5，AC=7，BD=6,求∠BCD的度数
分析：∵AB=AD
∴点A在线段BD的中垂线上
同理点也在BD的中垂线上
∴AC⊥BD且平分BD
∵BD=6
∴BO=3
∵AB=5
由勾股定理得 AO=4
∵AC=7
∴OC=3
∴△BOC等腰直角三角形
∴∠BCO=45°
同理∠DCO=45°
∴∠BCD=90°
A
B
O
C
D
例11、如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°AB=4，
D
BC=3,AD=12，DC=13 ，求四边形ABCD的面积
A
B
C
如图已知四边形ABCD中，∠A=60°∠B=∠D=90°，
BC=3，CD=2，求AB2的值
A
D
B
C
E
例12、如图，A、E、F、C在一条直线上，AE=CF，
过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，请说明：
1、BD平分EF
2、若将ΔDEC的边EC沿AC方向移动变为图（2）时
其余条件不变，上述结论是否成立，请说明理
由。
B
B
E
E
A
F
G
D
C
图（1）
A
F G
D
C
图（2）