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复习提问：
1.二次函数的一般形式是什么？
y  ax  bx  c(a  0)
2
2.它的对称轴和顶点坐标分别是什么？
b
对称轴是x  
2a
b 4ac  b
顶点坐标是（  ，
）
2a
4a
2
复习提问：
3、当a>0时,抛物线开口向 上,图像有最 低点,
函数有最小 值,在对称轴左侧,y随x的增大
而 减小;在对称轴右侧,y随x的增大而增大.
当a<0时,抛物线开口向 下 ,图像有最高 点,
函数有最 大值,在对称轴左侧,y随x的增大
而 增大;在对称轴右侧,y随x的增大而减小.
二次函数的应用
•最大面积是多少
例1：如图，张大爷准备利用现有的一面墙和
40m长的篱笆，把墙外的空地围成四个相连且
面积相等的矩形养兔场。
x
1.设每个小矩形一边的长为x m,试用x表
示小矩形的另一边的长.
40  5 x
4
2.设四个小矩形的总面积为y m 2,请写出
用x表示y的函数表达式.
40  5 x
y  x
 4  5 x 2  40 x
4
如图，张大爷准备利用现有的一面墙和40m长
的篱笆，把墙外的空地围成四个相连且面积相
等的矩形养兔场。
x
3.你能利用公式求出所得函数的图像的顶
点坐标,并说出y的最大值吗?
y  5x  40 x
2
b
40


4
2a
2  (5)
顶点坐标(4,80)
4ac  b
 40

 80
4a
4  (5)
2
2
2
最大值为80 m
如图，张大爷准备利用现有的一面墙和40m长
的篱笆，把墙外的空地围成四个相连且面积相
等的矩形养兔场。
x
y  5x  40 x
2
4.你能画出这个函数的图像,并借助图像
说出y的最大值吗?
在直角坐标系中描点连线
80
y
70
(4,80)
2
y  5x  40 x
60
50
40
30
20
10
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
如图，张大爷准备利用现有的一面墙和40m长
的篱笆，把墙外的空地围成四个相连且面积相
等的矩形养兔场。
建立函数的表达式
x
求最大（或最小）值时可以采取两种方法：
1. 画出函数的图像,观察图像的最高（或
最低）点，得到函数的最值。
2. 根据a的符号确定函数的最大（或最小）
值，利用顶点坐标公式，直接计算出函数
的最值。
例2：
如图，△ABC是一块铁皮余料，已知底边
BC=160cm，高AD=120cm，在铁皮余料上截
取一个矩形，怎样截取才能使截得的矩形
面积最大。
A
设HG=y cm，HE=x
cm，矩形面积为S。
HG∥BC
H
△AHG ∽△ABC B
E
HG AM
y 120  x


BC
AD 160
120
G
M
D
F
C
4
y   x  160.
3
例2：
如图，△ABC是一块铁皮余料，已知底边
BC=160cm，高AD=120cm，在铁皮余料上截
取一个矩形，怎样截取才能使截得的矩形
面积最大。
A
S  xy
4
 x( x  160)
3
4 2
  x  160 x
3
H
B
E
G
M
D F
C
b
4ac  b
当x  
 60时, y最大值 
 4800.
2a
4a
2
例2：
如图，△ABC是一块铁皮余料，已知底边
BC=160cm，高AD=120cm，在铁皮余料上截
取一个矩形，怎样截取才能使截得的矩形
面积最大。
A
变式：
如果在铁皮余料上截
取一个平行四边形，
怎样截取才能使截得 B
的平行四边形面积最
大？
D
E
FH
C
例3：在秦皇岛市开展的创城活动中，某居民小区要在
一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园
ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围
成（如图所示）。若设花园的BC边长为x（m），花园的
面积为y（m 2）
（1）求y与x之间的函数
关系式，并写出自变量x
的取值范围。
A
D
根据题意，得
40  x
y  x
2
∵BC≤15
B
x
1 2
 y   x  20 x
2
0  x  15
C
例3：在秦皇岛市开展的创城活动中，某居民小区要在
一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园
ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围
成（如图所示）。若设花园的BC边长为x（m），花园的
面积为y（m 2）
（2）满足条件的花园面积能达到200m 2吗？若能，
求出此时x的值；若不能，说明理由。
1 2
当y  200时，
 x  20 x  200
2
即x 2  40 x  400  0
解得x  20  15
 0  x  15 此花园的面积不能达到200m 。
2
例3：在某市开展的创建卫生城活动中，某居民小区要
在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花
园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏
围成（如图所示）。若设花园的BC边长为x（m），花园
的面积为y（m 2）
（3）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图
像的变化趋势；并结合题意判断当x取何值时，
花园的面积最大，最大面积是多少？
1 2
 y   x  20 x
2
y
200
(20,200) 1
y   x 2  20 x
2
150
100
当0  x  15时，
50
0
y随x的增大而增大，
10 15
20
30
40
x
•解决实际问题的一般思路：
1、理解题意。
2、分析问题中的变量与常量，以及它们
之间的关系。
3、用二次函数表示出变量之间的关系。
4、利用二次函数的有关性质进行求解。
5、检验结果的合理性。
练习：
1、如图，已知AB=2，C是AB上一点，四边形
ACDE和四边形CBFG都是正方形，设BC=x
G
（1）AC=
2-x .
E
F
D
(2)设正方形ACDE和
A
B
C
正方形CBFG的总面积为S，
2
2
x
 4 x  4。
用x表示S的函数表达式为S=
（3）总面积S有最大值还是最小值？这个
最大值或最小值是多少？ 最小值
最小值是2
（4）总面积S取最大值或最小值时，点C
在AB的什么位置？ C在AB的中点
练习：
2、如图，正方形ABCD的边长为4，P是边BC上
一点，QP⊥AP，并且交DC于点Q。
(1)Rt△ABP与Rt△PCQ相
似吗？为什么？
D
A
3
Q
（2）当点P在什么位置时，
2
1
B
P
C
Rt△ADQ的面积最小？
最小面积是多少？
△ ABP ∽△PCQ
设BP=x，则PC=4-x
AB BP


PC CQ
4
x

4  x CQ
x(4  x)
CQ 
4
练习：
2、如图，正方形ABCD的边长为4，P是边BC上
一点，QP⊥AP，并且交DC于点Q。
D
1
x（4  x） A
S△ ADQ   4  [4 
]
2
4
4x  x
 8
2
Q
2
B
1 2
 x  2x  8
2
b
当x  
2
2a
P
C
x(4  x)
CQ 
4
4ac  b

 6.
4a
2
y最小值
课堂小结
•1、本节课我们主要探究了有关几何
图形中的面积问题。要掌握应用二次
函数解决问题的基本思路，根据不同
背景下实际问题中变量之间的关系建
立二次函数模型，进而解决相关问题
检 验
或作出决策。
课堂小结
•2、进一步体会“数形结合”的数
学思想。
•3、意识到数学与实际生活密不可分，
培养应用数学的习惯。
作业：
习题第1、2题。